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9.对于实数$a,b$,定义一种新运算“$\otimes$”为$a\otimes b=\frac{1}{a - b^2}$,这里等式右边是实数运算.例如$1\otimes 3=\frac{1}{1 - 3^2}=-\frac{1}{8}$,则方程$x\otimes (-2)=\frac{2}{x - 4}-1$的解是（
A.$x=4$
B.$x=5$
C.$x=6$
D.$x=7$
B
）A.$x=4$
B.$x=5$
C.$x=6$
D.$x=7$
答案
9.B
解析
【分析】
首先要准确理解新定义运算“⊗”的规则，先将方程左边的$x\otimes (-2)$按照新运算转化为普通分式形式，得到常规的分式方程，再按照分式方程的求解步骤：去分母化为整式方程、解整式方程、检验根的有效性，逐步求解即可。
【解析】
根据新运算“⊗”的定义：$a\otimes b=\frac{1}{a - b^2}$，可得：
$x\otimes (-2)=\frac{1}{x - (-2)^2}=\frac{1}{x - 4}$
将其代入原方程，得：
$\frac{1}{x - 4}=\frac{2}{x - 4} - 1$
由分式有意义的条件可知$x - 4≠ 0$，即$x≠ 4$。
方程两边同时乘以$(x - 4)$去分母，得：
$1 = 2 - (x - 4)$
去括号：$1 = 2 - x + 4$
合并同类项：$1 = 6 - x$
移项得：$x = 6 - 1$
解得：$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$x - 4 = 5 - 4 = 1≠ 0$，所以$x=5$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的求解，核心是正确转化新运算为常规代数式，解分式方程时要注意验根，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
首先要准确理解新定义运算“⊗”的规则，先将方程左边的$x\otimes (-2)$按照新运算转化为普通分式形式，得到常规的分式方程，再按照分式方程的求解步骤：去分母化为整式方程、解整式方程、检验根的有效性，逐步求解即可。
【解析】
根据新运算“⊗”的定义：$a\otimes b=\frac{1}{a - b^2}$，可得：
$x\otimes (-2)=\frac{1}{x - (-2)^2}=\frac{1}{x - 4}$
将其代入原方程，得：
$\frac{1}{x - 4}=\frac{2}{x - 4} - 1$
由分式有意义的条件可知$x - 4≠ 0$，即$x≠ 4$。
方程两边同时乘以$(x - 4)$去分母，得：
$1 = 2 - (x - 4)$
去括号：$1 = 2 - x + 4$
合并同类项：$1 = 6 - x$
移项得：$x = 6 - 1$
解得：$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$x - 4 = 5 - 4 = 1≠ 0$，所以$x=5$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的求解，核心是正确转化新运算为常规代数式，解分式方程时要注意验根，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
10.如图，A，B，C三点在数轴上，对应的数分别是$\frac{1}{x+2}$，1，$\frac{3x}{2x+4}$，且点B到点A，C的距离相等，则$x=$
$-6$
。答案
10.$-6$
解析
【分析】
首先根据数轴上点B到A、C的距离相等，且B在A、C中间，可知B是线段AC的中点，因此A、C对应的数之和等于B对应数的2倍，据此列出分式方程；再先化简分式的分母，找到最简公分母后去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否使分式分母不为0即可。
【解析】
根据题意，点B为AC中点，因此A、C对应数的和等于2倍的B对应数，可列方程：
$\frac{1}{x+2} + \frac{3x}{2x+4} = 2$
先化简分母：$2x+4=2(x+2)$，方程变为：
$\frac{1}{x+2} + \frac{3x}{2(x+2)} = 2$
方程两边同时乘最简公分母$2(x+2)$（$x≠-2$）去分母得：
$2 + 3x = 4(x+2)$
展开并整理：
$2+3x=4x+8$
移项得：$3x-4x=8-2$
即$-x=6$，解得$x=-6$。
检验：当$x=-6$时，$2(x+2)=2×(-6+2)=-8≠0$，因此$x=-6$是原方程的解。
【答案】
$-6$
【知识点】
数轴两点距离，分式方程的解法
【点评】
本题结合数轴性质考查分式方程的应用，解题的核心是根据距离相等的条件正确列出方程，解分式方程时要注意检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴上点B到A、C的距离相等，且B在A、C中间，可知B是线段AC的中点，因此A、C对应的数之和等于B对应数的2倍，据此列出分式方程；再先化简分式的分母，找到最简公分母后去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否使分式分母不为0即可。
【解析】
根据题意，点B为AC中点，因此A、C对应数的和等于2倍的B对应数，可列方程：
$\frac{1}{x+2} + \frac{3x}{2x+4} = 2$
先化简分母：$2x+4=2(x+2)$，方程变为：
$\frac{1}{x+2} + \frac{3x}{2(x+2)} = 2$
方程两边同时乘最简公分母$2(x+2)$（$x≠-2$）去分母得：
$2 + 3x = 4(x+2)$
展开并整理：
$2+3x=4x+8$
移项得：$3x-4x=8-2$
即$-x=6$，解得$x=-6$。
检验：当$x=-6$时，$2(x+2)=2×(-6+2)=-8≠0$，因此$x=-6$是原方程的解。
【答案】
$-6$
【知识点】
数轴两点距离，分式方程的解法
【点评】
本题结合数轴性质考查分式方程的应用，解题的核心是根据距离相等的条件正确列出方程，解分式方程时要注意检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
11.已知关于$x$的方程$\frac{ax}{a+1} - \frac{2}{x-1}=1$的解与方程$\frac{x+4}{x}=3$的解相同，则$a$的值为
$-3$
。答案
11.$-3$
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先求解不含参数的分式方程$\frac{x+4}{x}=3$，得到它的有效解；第二步利用两个方程解相同的条件，将求得的解代入含有参数$a$的分式方程，得到关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值，注意解分式方程后要检验根是否为增根。
【解析】
1. 求解方程$\frac{x+4}{x}=3$：
方程两边同时乘最简公分母$x$（$x≠0$），去分母得：
$x + 4 = 3x$
移项、合并同类项得：$2x=4$
解得：$x=2$
检验：将$x=2$代入最简公分母$x$，得$x=2≠0$，所以$x=2$是该分式方程的解。
2. 把$x=2$代入方程$\frac{ax}{a+1} - \frac{2}{x-1}=1$，得：
$\frac{2a}{a+1} - \frac{2}{2-1}=1$
化简得：$\frac{2a}{a+1} - 2 = 1$
移项得：$\frac{2a}{a+1}=3$
方程两边同时乘最简公分母$a+1$（$a≠-1$），去分母得：
$2a = 3(a+1)$
去括号得：$2a = 3a + 3$
移项、合并同类项得：$-a=3$
解得：$a=-3$
检验：将$a=-3$代入最简公分母$a+1$，得$a+1=-2≠0$，所以$a=-3$是方程的解。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的应用
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，核心是利用同解方程的性质建立参数的方程求解，解题时要注意分式方程必须验根，避免出现增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：第一步先求解不含参数的分式方程$\frac{x+4}{x}=3$，得到它的有效解；第二步利用两个方程解相同的条件，将求得的解代入含有参数$a$的分式方程，得到关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值，注意解分式方程后要检验根是否为增根。
【解析】
1. 求解方程$\frac{x+4}{x}=3$：
方程两边同时乘最简公分母$x$（$x≠0$），去分母得：
$x + 4 = 3x$
移项、合并同类项得：$2x=4$
解得：$x=2$
检验：将$x=2$代入最简公分母$x$，得$x=2≠0$，所以$x=2$是该分式方程的解。
2. 把$x=2$代入方程$\frac{ax}{a+1} - \frac{2}{x-1}=1$，得：
$\frac{2a}{a+1} - \frac{2}{2-1}=1$
化简得：$\frac{2a}{a+1} - 2 = 1$
移项得：$\frac{2a}{a+1}=3$
方程两边同时乘最简公分母$a+1$（$a≠-1$），去分母得：
$2a = 3(a+1)$
去括号得：$2a = 3a + 3$
移项、合并同类项得：$-a=3$
解得：$a=-3$
检验：将$a=-3$代入最简公分母$a+1$，得$a+1=-2≠0$，所以$a=-3$是方程的解。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的应用
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，核心是利用同解方程的性质建立参数的方程求解，解题时要注意分式方程必须验根，避免出现增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
12.若关于$x$的方程$\frac{1}{x-4}+\frac{m}{x+4}=\frac{4}{x^2-16}$无解，则$m$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
12.$-1$或$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身没有解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x的值）。解题时先将分式方程化为整式方程，先判断整式方程无解的情况，再将增根代入整式方程求对应参数值，最后汇总所有符合条件的参数即可。
【解析】
原方程分母为x-4、x+4、$x^2-16=(x-4)(x+4)$，因此最简公分母为(x+4)(x-4)，原方程的增根为x=4或x=-4。
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母(x+4)(x-4)，得：
x+4 + m(x-4) = 4
2. 整理整式方程：
展开、移项合并同类项得：(1+m)x = 4m3. 分情况讨论无解的条件：情况1：整式方程本身无解对于一元一次方程ax=b，当a=0且b≠0时方程无解，因此：1+m=0且4m≠0，解得m=-1，此时整式方程变为0· x=-4，无实数解，原分式方程也无解，符合要求。情况2：整式方程的解是原分式方程的增根 ① 若增根为x=4，代入(1+m)x=4m得4(1+m)=4m，化简得4=0，等式不成立，无符合条件的m； ② 若增根为x=-4，代入(1+m)x=4m得-4(1+m)=4m，解得$m=-\frac{1}{2}$，此时整式方程的解为原分式的增根，原分式方程无解，符合要求。综上，m的值为-1或$-\frac{1}{2}$。【答案】-1或$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的增根、分式方程无解的条件、解分式方程
【点评】
本题是分式方程的常考题型，解题的易错点是容易遗漏整式方程本身无解的情况，需要全面分类讨论两种无解的情形，同时要注意增根只能代入整式方程求解参数。
【难度系数】
0.6
解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身没有解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x的值）。解题时先将分式方程化为整式方程，先判断整式方程无解的情况，再将增根代入整式方程求对应参数值，最后汇总所有符合条件的参数即可。
【解析】
原方程分母为x-4、x+4、$x^2-16=(x-4)(x+4)$，因此最简公分母为(x+4)(x-4)，原方程的增根为x=4或x=-4。
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母(x+4)(x-4)，得：
x+4 + m(x-4) = 4
2. 整理整式方程：
展开、移项合并同类项得：(1+m)x = 4m3. 分情况讨论无解的条件：情况1：整式方程本身无解对于一元一次方程ax=b，当a=0且b≠0时方程无解，因此：1+m=0且4m≠0，解得m=-1，此时整式方程变为0· x=-4，无实数解，原分式方程也无解，符合要求。情况2：整式方程的解是原分式方程的增根 ① 若增根为x=4，代入(1+m)x=4m得4(1+m)=4m，化简得4=0，等式不成立，无符合条件的m； ② 若增根为x=-4，代入(1+m)x=4m得-4(1+m)=4m，解得$m=-\frac{1}{2}$，此时整式方程的解为原分式的增根，原分式方程无解，符合要求。综上，m的值为-1或$-\frac{1}{2}$。【答案】-1或$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的增根、分式方程无解的条件、解分式方程
【点评】
本题是分式方程的常考题型，解题的易错点是容易遗漏整式方程本身无解的情况，需要全面分类讨论两种无解的情形，同时要注意增根只能代入整式方程求解参数。
【难度系数】
0.6
13. 当$x$为何值时，分式$\frac{4-x}{3-x}$的值比分式$\frac{1}{x-3}$的值大4？
答案
13.解:根据题意,得$\frac{4-x}{3-x}-\frac{1}{x-3}=4$.
去分母,得$4-x+1=4(3-x)$.
整理,得$3x=7$.解得 $x=\frac{7}{3}$.
经检验,$x=\frac{7}{3}$是原分式方程的解.
$\therefore$当 $x$ 的值为 $\frac{7}{3}$时,分式$\frac{4-x}{3-x}$的值比分式$\frac{1}{x-3}$的值大4.
去分母,得$4-x+1=4(3-x)$.
整理,得$3x=7$.解得 $x=\frac{7}{3}$.
经检验,$x=\frac{7}{3}$是原分式方程的解.
$\therefore$当 $x$ 的值为 $\frac{7}{3}$时,分式$\frac{4-x}{3-x}$的值比分式$\frac{1}{x-3}$的值大4.
解析
【分析】
首先根据题目描述的数量关系列方程：“分式$\frac{4-x}{3-x}$的值比$\frac{1}{x-3}$大4”，即两式作差等于4，得到$\frac{4-x}{3-x}-\frac{1}{x-3}=4$；其次注意到分母$3-x$和$x-3$互为相反数，去分母时要注意符号变化，再按照“去分母转化为整式方程→解整式方程→检验根的有效性”的分式方程求解步骤逐步计算即可。
【解析】
解：根据题意列方程，得：
$\frac{4-x}{3-x}-\frac{1}{x-3}=4$
方程两边同乘最简公分母$3-x$去分母，得：
$4-x+1=4(3-x)$
整理得：
$5-x=12-4x$
移项合并同类项，得：
$3x=7$
解得：
$x=\frac{7}{3}$
检验：当$x=\frac{7}{3}$时，$3-x=\frac{2}{3}≠0$，$x-3=-\frac{2}{3}≠0$，所有分母均不为0，因此$x=\frac{7}{3}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{7}{3}$
【知识点】
列分式方程、解分式方程、分式方程验根
【点评】
本题重点考察分式方程的实际应用与求解，易错点是处理互为相反数的分母时容易弄错符号，同时要注意分式方程必须检验根是否使分母为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
首先根据题目描述的数量关系列方程：“分式$\frac{4-x}{3-x}$的值比$\frac{1}{x-3}$大4”，即两式作差等于4，得到$\frac{4-x}{3-x}-\frac{1}{x-3}=4$；其次注意到分母$3-x$和$x-3$互为相反数，去分母时要注意符号变化，再按照“去分母转化为整式方程→解整式方程→检验根的有效性”的分式方程求解步骤逐步计算即可。
【解析】
解：根据题意列方程，得：
$\frac{4-x}{3-x}-\frac{1}{x-3}=4$
方程两边同乘最简公分母$3-x$去分母，得：
$4-x+1=4(3-x)$
整理得：
$5-x=12-4x$
移项合并同类项，得：
$3x=7$
解得：
$x=\frac{7}{3}$
检验：当$x=\frac{7}{3}$时，$3-x=\frac{2}{3}≠0$，$x-3=-\frac{2}{3}≠0$，所有分母均不为0，因此$x=\frac{7}{3}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{7}{3}$
【知识点】
列分式方程、解分式方程、分式方程验根
【点评】
本题重点考察分式方程的实际应用与求解，易错点是处理互为相反数的分母时容易弄错符号，同时要注意分式方程必须检验根是否使分母为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
14. 如果关于 $ x $ 的方程 $ 1 + \frac{x}{2 - x} = \frac{2m}{x^2 - 4} $ 的解
也是不等式组 $ \begin{cases} \dfrac{1 - x}{2} ＞ x - 2, \\ 2(x - 3) ≤ x - 5 \end{cases} $ 的解，求 $ m $
的取值范围。
也是不等式组 $ \begin{cases} \dfrac{1 - x}{2} ＞ x - 2, \\ 2(x - 3) ≤ x - 5 \end{cases} $ 的解，求 $ m $
的取值范围。
答案
14.解:方程两边乘$(x+2)(x-2)$,得
$x^2-4-x(x+2)=2m$.
解得 $x=-m-2$.
$\because x=-m-2≠\pm2,\therefore m≠-4$ 且 $m≠0$.
解不等式组得 $x≤1$.
由题意,得 $-m-2≤1$,
解得 $m≥-3$.
$\therefore m$ 的取值范围是 $m≥-3$ 且 $m≠0$.
$x^2-4-x(x+2)=2m$.
解得 $x=-m-2$.
$\because x=-m-2≠\pm2,\therefore m≠-4$ 且 $m≠0$.
解不等式组得 $x≤1$.
由题意,得 $-m-2≤1$,
解得 $m≥-3$.
$\therefore m$ 的取值范围是 $m≥-3$ 且 $m≠0$.
解析
【分析】
本题属于分式方程与不等式组的综合题，解题思路分三步：第一步先解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求出用含m的代数式表示的解，同时要注意分式方程分母不能为0，需排除增根对应的m值；第二步求解一元一次不等式组，得到不等式组的解集；第三步结合“方程的解也是不等式组的解”这一条件，将分式方程的解代入不等式的解集，再结合之前排除增根的限制条件，最终确定m的取值范围。
【解析】
解：先解分式方程：
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$x^2 - 4 - x(x+2) = 2m$
展开并化简：
$x^2 - 4 - x^2 - 2x = 2m$
$-2x - 4 = 2m$
解得 $x = -m - 2$
$\because$ 分式方程分母不能为0，即$x^2 - 4 ≠ 0$，$\therefore x ≠ \pm 2$
代入$x = -m - 2$得：
$-m - 2 ≠ 2$，解得$m ≠ -4$；
$-m - 2 ≠ -2$，解得$m ≠ 0$。
再解不等式组$\begin{cases} \dfrac{1 - x}{2} ＞ x - 2 \\ 2(x - 3) ≤ x - 5 \end{cases}$：
解第一个不等式：
两边同乘2得：$1 - x ＞ 2x - 4$
移项合并同类项得：$3x ＜ 5$，即$x ＜ \dfrac{5}{3}$
解第二个不等式：
展开得：$2x - 6 ≤ x - 5$
移项得：$x ≤ 1$
根据同小取小的原则，不等式组的解集为$x ≤ 1$。
由题意，分式方程的解也是不等式组的解，$\therefore -m - 2 ≤ 1$
解得：$m ≥ -3$
结合之前排除增根的条件，$m ≥ -3$已经包含了$m ≠ -4$，故只需保留$m ≠ 0$的限制。
综上，m的取值范围是$m ≥ -3$且$m ≠ 0$。
【答案】
$m$的取值范围是$m≥-3$且$m≠0$
【知识点】
分式方程求解，一元一次不等式组求解，增根的判别
【点评】
本题是分式方程与不等式组的常规综合题，易错点有两处：一是解分式方程时容易忽略增根的排除，导致多取不符合条件的m值；二是求取值范围时未结合所有限制条件，出现漏判的情况，解题时要注意对求出的结果进行验证。
【难度系数】
0.6
本题属于分式方程与不等式组的综合题，解题思路分三步：第一步先解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求出用含m的代数式表示的解，同时要注意分式方程分母不能为0，需排除增根对应的m值；第二步求解一元一次不等式组，得到不等式组的解集；第三步结合“方程的解也是不等式组的解”这一条件，将分式方程的解代入不等式的解集，再结合之前排除增根的限制条件，最终确定m的取值范围。
【解析】
解：先解分式方程：
方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$x^2 - 4 - x(x+2) = 2m$
展开并化简：
$x^2 - 4 - x^2 - 2x = 2m$
$-2x - 4 = 2m$
解得 $x = -m - 2$
$\because$ 分式方程分母不能为0，即$x^2 - 4 ≠ 0$，$\therefore x ≠ \pm 2$
代入$x = -m - 2$得：
$-m - 2 ≠ 2$，解得$m ≠ -4$；
$-m - 2 ≠ -2$，解得$m ≠ 0$。
再解不等式组$\begin{cases} \dfrac{1 - x}{2} ＞ x - 2 \\ 2(x - 3) ≤ x - 5 \end{cases}$：
解第一个不等式：
两边同乘2得：$1 - x ＞ 2x - 4$
移项合并同类项得：$3x ＜ 5$，即$x ＜ \dfrac{5}{3}$
解第二个不等式：
展开得：$2x - 6 ≤ x - 5$
移项得：$x ≤ 1$
根据同小取小的原则，不等式组的解集为$x ≤ 1$。
由题意，分式方程的解也是不等式组的解，$\therefore -m - 2 ≤ 1$
解得：$m ≥ -3$
结合之前排除增根的条件，$m ≥ -3$已经包含了$m ≠ -4$，故只需保留$m ≠ 0$的限制。
综上，m的取值范围是$m ≥ -3$且$m ≠ 0$。
【答案】
$m$的取值范围是$m≥-3$且$m≠0$
【知识点】
分式方程求解，一元一次不等式组求解，增根的判别
【点评】
本题是分式方程与不等式组的常规综合题，易错点有两处：一是解分式方程时容易忽略增根的排除，导致多取不符合条件的m值；二是求取值范围时未结合所有限制条件，出现漏判的情况，解题时要注意对求出的结果进行验证。
【难度系数】
0.6
15.阅读材料：
关于$x$的方程：$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$，…，$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$（可变形为$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$）的解为$x_1=c,x_2=\frac{-1}{c}$。
根据以上材料解答下列问题：
(1)方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为
方程$x-1+\frac{1}{x-1}=2+\frac{1}{2}$的解为
(2)解关于$x$的方程：$x-\frac{3}{x-2}=a-\frac{3}{a-2}$（$a≠2$）。
关于$x$的方程：$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$，…，$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$（可变形为$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$）的解为$x_1=c,x_2=\frac{-1}{c}$。
根据以上材料解答下列问题：
(1)方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为
$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$
；方程$x-1+\frac{1}{x-1}=2+\frac{1}{2}$的解为
$x_1=3,x_2=\frac{3}{2}$
；(2)解关于$x$的方程：$x-\frac{3}{x-2}=a-\frac{3}{a-2}$（$a≠2$）。
答案
15.解:(1)$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$ $x_1=3,x_2=\frac{3}{2}$
(2)原方程变形为
$(x-2)-\frac{3}{x-2}=(a-2)-\frac{3}{a-2}(a≠2)$,
由题意,得$x-2=a-2$或$x-2=\frac{-3}{a-2}$,
解得 $x_1=a,x_2=\frac{2a-7}{a-2}$.
(2)原方程变形为
$(x-2)-\frac{3}{x-2}=(a-2)-\frac{3}{a-2}(a≠2)$,
由题意,得$x-2=a-2$或$x-2=\frac{-3}{a-2}$,
解得 $x_1=a,x_2=\frac{2a-7}{a-2}$.
解析
【分析】
本题为规律探究类分式方程题，解题思路如下：①先归纳材料给出的共性规律：若方程为$x+\frac{k}{x}=c+\frac{k}{c}$的形式，则解为$x_1=c$，$x_2=\frac{k}{c}$；②第(1)问第一个方程直接匹配规律形式，代入即可得解；第二个方程将$x-1$看作整体，套用规律求出整体的值后再解x；③第(2)问先对原方程变形，将$x-2$、$a-2$分别看作整体，匹配规律形式后求解，最后检验解是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
(1) ①对于方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$，符合$x+\frac{k}{x}=c+\frac{k}{c}$的形式，其中$k=1$，$c=2$，根据规律得解为$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，代入检验分母均不为0，是原方程的解。
②对于方程$x-1+\frac{1}{x-1}=2+\frac{1}{2}$，设$y=x-1$，则方程变为$y+\frac{1}{y}=2+\frac{1}{2}$，根据规律得$y_1=2$，$y_2=\frac{1}{2}$。
当$y=2$时，$x-1=2$，解得$x=3$；当$y=\frac{1}{2}$时，$x-1=\frac{1}{2}$，解得$x=\frac{3}{2}$。代入检验分母$x-1$均不为0，是原方程的解。
(2) 原方程$x-\frac{3}{x-2}=a-\frac{3}{a-2}$（$a≠2$）变形如下：
两边同时减2，得$(x-2)-\frac{3}{x-2}=(a-2)-\frac{3}{a-2}$，即$(x-2)+\frac{-3}{x-2}=(a-2)+\frac{-3}{a-2}$，符合材料中的规律形式。
根据规律可得：$x-2=a-2$ 或 $x-2=\frac{-3}{a-2}$。
解第一个等式：$x-2=a-2$，得$x_1=a$；
解第二个等式：$x=2-\frac{3}{a-2}=\frac{2(a-2)-3}{a-2}=\frac{2a-7}{a-2}$，即$x_2=\frac{2a-7}{a-2}$。
检验：因为$a≠2$，将$x_1=a$、$x_2=\frac{2a-7}{a-2}$代入原方程分母$x-2$，均不为0，故都是原方程的解。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$；$x_1=3,x_2=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=a,x_2=\frac{2a-7}{a-2}$
【知识点】
1.分式方程求解
2.换元法
3.规律探究应用
【点评】
本题考查对材料规律的提炼和应用能力，解题关键是通过整体换元的思想将待解方程转化为材料给出的标准方程形式，同时要注意分式方程求解后必须检验根是否使分母有意义。
【难度系数】
0.7
本题为规律探究类分式方程题，解题思路如下：①先归纳材料给出的共性规律：若方程为$x+\frac{k}{x}=c+\frac{k}{c}$的形式，则解为$x_1=c$，$x_2=\frac{k}{c}$；②第(1)问第一个方程直接匹配规律形式，代入即可得解；第二个方程将$x-1$看作整体，套用规律求出整体的值后再解x；③第(2)问先对原方程变形，将$x-2$、$a-2$分别看作整体，匹配规律形式后求解，最后检验解是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
(1) ①对于方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$，符合$x+\frac{k}{x}=c+\frac{k}{c}$的形式，其中$k=1$，$c=2$，根据规律得解为$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，代入检验分母均不为0，是原方程的解。
②对于方程$x-1+\frac{1}{x-1}=2+\frac{1}{2}$，设$y=x-1$，则方程变为$y+\frac{1}{y}=2+\frac{1}{2}$，根据规律得$y_1=2$，$y_2=\frac{1}{2}$。
当$y=2$时，$x-1=2$，解得$x=3$；当$y=\frac{1}{2}$时，$x-1=\frac{1}{2}$，解得$x=\frac{3}{2}$。代入检验分母$x-1$均不为0，是原方程的解。
(2) 原方程$x-\frac{3}{x-2}=a-\frac{3}{a-2}$（$a≠2$）变形如下：
两边同时减2，得$(x-2)-\frac{3}{x-2}=(a-2)-\frac{3}{a-2}$，即$(x-2)+\frac{-3}{x-2}=(a-2)+\frac{-3}{a-2}$，符合材料中的规律形式。
根据规律可得：$x-2=a-2$ 或 $x-2=\frac{-3}{a-2}$。
解第一个等式：$x-2=a-2$，得$x_1=a$；
解第二个等式：$x=2-\frac{3}{a-2}=\frac{2(a-2)-3}{a-2}=\frac{2a-7}{a-2}$，即$x_2=\frac{2a-7}{a-2}$。
检验：因为$a≠2$，将$x_1=a$、$x_2=\frac{2a-7}{a-2}$代入原方程分母$x-2$，均不为0，故都是原方程的解。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$；$x_1=3,x_2=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=a,x_2=\frac{2a-7}{a-2}$
【知识点】
1.分式方程求解
2.换元法
3.规律探究应用
【点评】
本题考查对材料规律的提炼和应用能力，解题关键是通过整体换元的思想将待解方程转化为材料给出的标准方程形式，同时要注意分式方程求解后必须检验根是否使分母有意义。
【难度系数】
0.7
