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1.某工厂计划生产 300 个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的 2倍，因此提前 5 天完成任务.设原计划每天生产零件$x$个，所列方程正确的是 （
A.$\frac{300}{x} - \frac{300}{x+2} =5$
B.$\frac{300}{2x} - \frac{300}{x} =5$
C.$\frac{300}{x} - \frac{300}{2x} =5$
D.$\frac{300}{x+2} - \frac{300}{x} =5$
C
）A.$\frac{300}{x} - \frac{300}{x+2} =5$
B.$\frac{300}{2x} - \frac{300}{x} =5$
C.$\frac{300}{x} - \frac{300}{2x} =5$
D.$\frac{300}{x+2} - \frac{300}{x} =5$
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道分式方程应用的工程类问题，解题思路如下：第一步，先明确工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率；第二步，梳理题目中的已知量和未知量：工作总量是300个零件，原计划工作效率为每天x个，实际工作效率是原计划的2倍，即每天2x个；第三步，找准等量关系：“提前5天完成任务”说明原计划的工作时间比实际的工作时间多5天，即原计划时间-实际时间=5；第四步，分别用含x的式子表示两个工作时间，代入等量关系即可列出方程，同时注意区分“是原计划的2倍”和“比原计划多2个”的表述，避免选错含x+2的错误选项，也要注意两个时间的大小关系，不要写反减法顺序。
【解析】
解：已知工作总量为300个，原计划每天生产x个，则原计划完成任务的时间为$\frac{300}{x}$天。
因为实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，所以实际每天生产2x个，实际完成任务的时间为$\frac{300}{2x}$天。
由“提前5天完成任务”可得等量关系：原计划时间 - 实际时间 = 5天，代入得：
$\frac{300}{x} - \frac{300}{2x} =5$
因此所列方程正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心考查对工程问题三量关系的掌握，解题的关键是准确理解题意，找准“提前5天”对应的等量关系，同时注意审题时不要混淆倍数关系和差量关系，避免出现列错方程的低级错误。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程应用的工程类问题，解题思路如下：第一步，先明确工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率；第二步，梳理题目中的已知量和未知量：工作总量是300个零件，原计划工作效率为每天x个，实际工作效率是原计划的2倍，即每天2x个；第三步，找准等量关系：“提前5天完成任务”说明原计划的工作时间比实际的工作时间多5天，即原计划时间-实际时间=5；第四步，分别用含x的式子表示两个工作时间，代入等量关系即可列出方程，同时注意区分“是原计划的2倍”和“比原计划多2个”的表述，避免选错含x+2的错误选项，也要注意两个时间的大小关系，不要写反减法顺序。
【解析】
解：已知工作总量为300个，原计划每天生产x个，则原计划完成任务的时间为$\frac{300}{x}$天。
因为实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，所以实际每天生产2x个，实际完成任务的时间为$\frac{300}{2x}$天。
由“提前5天完成任务”可得等量关系：原计划时间 - 实际时间 = 5天，代入得：
$\frac{300}{x} - \frac{300}{2x} =5$
因此所列方程正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心考查对工程问题三量关系的掌握，解题的关键是准确理解题意，找准“提前5天”对应的等量关系，同时注意审题时不要混淆倍数关系和差量关系，避免出现列错方程的低级错误。
【难度系数】
0.8
2.[数学文化]我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何?”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布和每尺罗布一共需要120文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺?”设绫布有x尺，则可得方程为
$\frac{896}{x}+\frac{896}{30-x}=120$
.答案
2.$\frac{896}{x}+\frac{896}{30-x}=120$
解析
【分析】
解题时首先统一单位，将3丈换算为30尺，再围绕“单价=总价÷数量”的基本数量关系思考：①设绫布有x尺，则罗布长度为总长度减去绫布长度，即(30-x)尺；②分别用总售价除以对应长度，表示出每尺绫布、每尺罗布的价格；③根据“每尺绫布和每尺罗布共值钱120文”的等量关系，将两个单价相加等于120，即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：$3丈=3×10=30尺$。
设绫布有x尺，则罗布的长度为$(30-x)$尺。
根据“单价=总价÷数量”可得：
每尺绫布的价格为$\frac{896}{x}$文，每尺罗布的价格为$\frac{896}{30-x}$文。
结合“每尺绫布和每尺罗布共值钱120文”的等量关系，列方程得：
$\frac{896}{x}+\frac{896}{30-x}=120$
【答案】
$\frac{896}{x}+\frac{896}{30-x}=120$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价数量总价关系
3. 长度单位换算
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查列分式方程解决实际问题的能力，解题的核心是准确找到等量关系，同时要注意先统一单位，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先统一单位，将3丈换算为30尺，再围绕“单价=总价÷数量”的基本数量关系思考：①设绫布有x尺，则罗布长度为总长度减去绫布长度，即(30-x)尺；②分别用总售价除以对应长度，表示出每尺绫布、每尺罗布的价格；③根据“每尺绫布和每尺罗布共值钱120文”的等量关系，将两个单价相加等于120，即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：$3丈=3×10=30尺$。
设绫布有x尺，则罗布的长度为$(30-x)$尺。
根据“单价=总价÷数量”可得：
每尺绫布的价格为$\frac{896}{x}$文，每尺罗布的价格为$\frac{896}{30-x}$文。
结合“每尺绫布和每尺罗布共值钱120文”的等量关系，列方程得：
$\frac{896}{x}+\frac{896}{30-x}=120$
【答案】
$\frac{896}{x}+\frac{896}{30-x}=120$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价数量总价关系
3. 长度单位换算
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查列分式方程解决实际问题的能力，解题的核心是准确找到等量关系，同时要注意先统一单位，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.7
3.斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中$AB=BC=12\ \mathrm{m}$，在绿灯亮时，小敏共用22 s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是
1 m/s
.答案
3.1 m/s
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本关系，找到等量关系：通过AB路段的时间 + 通过BC路段的时间 = 总用时22s。首先设通过AB路段的速度为未知数，再根据BC和AB的速度关系表示出BC路段的速度，接着分别用路程除以速度表示出两段路程的用时，根据总用时列出分式方程，求解后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设小敏通过AB路段时的速度是$x\ \mathrm{m/s}$，则通过BC路段时的速度是$1.2x\ \mathrm{m/s}$。
根据总用时为22s，列方程得：
$\frac{12}{x} + \frac{12}{1.2x} = 22$
化简方程：
$\frac{12}{x} + \frac{10}{x} = 22$
$\frac{22}{x} = 22$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$1.2x=1.2≠0$，分母不为0，且速度为正数符合实际意义，所以$x=1$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】
$1\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
分式方程的应用；行程问题等量关系；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的典型应用，解题的关键是准确找到两段路程用时之和等于总用时的等量关系，求解完成后要注意检验所得的解既要满足方程，也要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本关系，找到等量关系：通过AB路段的时间 + 通过BC路段的时间 = 总用时22s。首先设通过AB路段的速度为未知数，再根据BC和AB的速度关系表示出BC路段的速度，接着分别用路程除以速度表示出两段路程的用时，根据总用时列出分式方程，求解后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设小敏通过AB路段时的速度是$x\ \mathrm{m/s}$，则通过BC路段时的速度是$1.2x\ \mathrm{m/s}$。
根据总用时为22s，列方程得：
$\frac{12}{x} + \frac{12}{1.2x} = 22$
化简方程：
$\frac{12}{x} + \frac{10}{x} = 22$
$\frac{22}{x} = 22$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$1.2x=1.2≠0$，分母不为0，且速度为正数符合实际意义，所以$x=1$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】
$1\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
分式方程的应用；行程问题等量关系；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的典型应用，解题的关键是准确找到两段路程用时之和等于总用时的等量关系，求解完成后要注意检验所得的解既要满足方程，也要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
4.佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种笔袋的单价低10%.已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个.请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？
答案
4. 解:设文具店购进 B 种款式的笔袋 x 个,则购进 A 种款式的笔袋$(x+20)$个.
由题意,得$\frac{810}{x+20}=\frac{600}{x}(1-10\%)$.
解得 $x=40$.
经检验,$x=40$ 是分式方程的解,且符合题意.
则 $x+20=60$.
答:文具店购进 A 种款式的笔袋 60 个,B 种款式的笔袋40 个.
由题意,得$\frac{810}{x+20}=\frac{600}{x}(1-10\%)$.
解得 $x=40$.
经检验,$x=40$ 是分式方程的解,且符合题意.
则 $x+20=60$.
答:文具店购进 A 种款式的笔袋 60 个,B 种款式的笔袋40 个.
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先设未知数：已知A种笔袋数量比B种多20个，我们设B种笔袋数量为x个，则A种笔袋数量为$(x+20)$个。再根据“单价=总价÷数量”分别表示出A、B两种笔袋的单价，结合“A种单价比B种低10%”即A单价=B单价×(1-10%)的等量关系列方程，最后解分式方程并检验解是否符合实际意义，即可得到结果。
【解析】
解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋$(x+20)$个。
由题意列方程：
$\frac{810}{x+20}=\frac{600}{x}(1-10\%)$
化简得：$\frac{810}{x+20}=\frac{540}{x}$
交叉相乘得：$810x=540(x+20)$
展开计算：$810x=540x+10800$
移项合并得：$270x=10800$
解得：$x=40$
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则A种笔袋数量为：$x+20=40+20=60$（个）
答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个。
【答案】
购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个。
【知识点】
分式方程应用，等量关系分析，分式方程检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题，解题时要理清总价、单价、数量三者的关系，抓住两类笔袋单价的比例关系列方程，需注意解分式方程后必须检验解是否满足方程且符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先设未知数：已知A种笔袋数量比B种多20个，我们设B种笔袋数量为x个，则A种笔袋数量为$(x+20)$个。再根据“单价=总价÷数量”分别表示出A、B两种笔袋的单价，结合“A种单价比B种低10%”即A单价=B单价×(1-10%)的等量关系列方程，最后解分式方程并检验解是否符合实际意义，即可得到结果。
【解析】
解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋$(x+20)$个。
由题意列方程：
$\frac{810}{x+20}=\frac{600}{x}(1-10\%)$
化简得：$\frac{810}{x+20}=\frac{540}{x}$
交叉相乘得：$810x=540(x+20)$
展开计算：$810x=540x+10800$
移项合并得：$270x=10800$
解得：$x=40$
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则A种笔袋数量为：$x+20=40+20=60$（个）
答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个。
【答案】
购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个。
【知识点】
分式方程应用，等量关系分析，分式方程检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题，解题时要理清总价、单价、数量三者的关系，抓住两类笔袋单价的比例关系列方程，需注意解分式方程后必须检验解是否满足方程且符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
5.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000 m的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务.则实际施工时，每天铺设管道多少米？
答案
5. 解:设原计划每天铺设管道 x m,则实际每天铺设管道$(1+25\%)x=1.25x$ m,
由题意,得$\frac{3\ 000}{1.25x}+15=\frac{3\ 000}{x}$,
解得 $x=40$.
经检验,$x=40$ 是原方程的解,且符合题意.
$40×(1+25\%)=50(\mathrm{m})$.
答:实际施工时,每天铺设管道 50 m.
由题意,得$\frac{3\ 000}{1.25x}+15=\frac{3\ 000}{x}$,
解得 $x=40$.
经检验,$x=40$ 是原方程的解,且符合题意.
$40×(1+25\%)=50(\mathrm{m})$.
答:实际施工时,每天铺设管道 50 m.
解析
【分析】
这是工程类应用题，核心数量关系为“工作时间=工作总量÷工作效率”。已知工作总量为3000m，实际工效比原计划高25%，实际完工时间比原计划少15天。解题时先设原计划每天铺设长度为未知数，再表示出实际每天铺设的长度，利用“原计划总时间-实际总时间=15天”的等量关系列分式方程，解方程后需检验解是否为方程的有效解、是否符合实际意义，最后换算得到实际每天的铺设长度即可。
【解析】
解：设原计划每天铺设管道$x$ m，则实际每天铺设管道$(1+25\%)x=1.25x$ m，
由题意，得$\frac{3000}{1.25x}+15=\frac{3000}{x}$，
去分母得：$3000 + 18.75x = 3750$，
移项计算得：$18.75x=750$，
解得 $x=40$。
经检验，$x=40$是原方程的解，且符合实际施工的题意。
则实际每天铺设长度为：$40×(1+25\%)=50(\mathrm{m})$。
答：实际施工时，每天铺设管道50 m。
【答案】
实际施工时每天铺设管道50 m
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程在工程场景中的典型应用，解题关键是找准时间差对应的等量关系列方程，需要注意分式方程的解必须同时满足“不是增根”和“符合实际意义”两个要求。
【难度系数】
0.65
这是工程类应用题，核心数量关系为“工作时间=工作总量÷工作效率”。已知工作总量为3000m，实际工效比原计划高25%，实际完工时间比原计划少15天。解题时先设原计划每天铺设长度为未知数，再表示出实际每天铺设的长度，利用“原计划总时间-实际总时间=15天”的等量关系列分式方程，解方程后需检验解是否为方程的有效解、是否符合实际意义，最后换算得到实际每天的铺设长度即可。
【解析】
解：设原计划每天铺设管道$x$ m，则实际每天铺设管道$(1+25\%)x=1.25x$ m，
由题意，得$\frac{3000}{1.25x}+15=\frac{3000}{x}$，
去分母得：$3000 + 18.75x = 3750$，
移项计算得：$18.75x=750$，
解得 $x=40$。
经检验，$x=40$是原方程的解，且符合实际施工的题意。
则实际每天铺设长度为：$40×(1+25\%)=50(\mathrm{m})$。
答：实际施工时，每天铺设管道50 m。
【答案】
实际施工时每天铺设管道50 m
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程在工程场景中的典型应用，解题关键是找准时间差对应的等量关系列方程，需要注意分式方程的解必须同时满足“不是增根”和“符合实际意义”两个要求。
【难度系数】
0.65
