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1. 用一段20 m长的铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙足够长. 若长方形与墙垂直的边长为$x$ m，与墙平行的边上留有一个1 m宽的门，长方形的面积为$y$ m²，则$y$关于$x$的函数表达式为 （$\quad$）
A.$y=-2x^2+21x$；
B.$y=x^2-20x$；
C.$y=-x^2+20x$；
D.$y=2x^2-21x$.
A.$y=-2x^2+21x$；
B.$y=x^2-20x$；
C.$y=-x^2+20x$；
D.$y=2x^2-21x$.
答案
1. A.
解析
【分析】
要得到y关于x的函数表达式，需先确定长方形两条邻边的长度：已知与墙垂直的边长为x m，接下来结合铁丝总长度、1m宽的门的条件，求出与墙平行的边长，最后根据长方形面积公式列式化简即可。解题时需注意门不需要消耗铁丝，避免计算平行边长时出错。
【解析】
已知长方形与墙垂直的边长为$x\ \mathrm{m}$，则两条垂直于墙的边总长度为$2x\ \mathrm{m}$。
由于平行于墙的边上留有1m宽的门（门无需铁丝），因此平行于墙的边长为：$20 + 1 - 2x = (21 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得面积$y$的表达式为：
$y = x(21 - 2x) = -2x^2 + 21x$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用；长方形面积计算；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确把握“门宽不消耗铁丝”的条件，正确推导平行于墙的边长，计算时注意代数式展开的符号问题即可。
【难度系数】
0.75
要得到y关于x的函数表达式，需先确定长方形两条邻边的长度：已知与墙垂直的边长为x m，接下来结合铁丝总长度、1m宽的门的条件，求出与墙平行的边长，最后根据长方形面积公式列式化简即可。解题时需注意门不需要消耗铁丝，避免计算平行边长时出错。
【解析】
已知长方形与墙垂直的边长为$x\ \mathrm{m}$，则两条垂直于墙的边总长度为$2x\ \mathrm{m}$。
由于平行于墙的边上留有1m宽的门（门无需铁丝），因此平行于墙的边长为：$20 + 1 - 2x = (21 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得面积$y$的表达式为：
$y = x(21 - 2x) = -2x^2 + 21x$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用；长方形面积计算；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确把握“门宽不消耗铁丝”的条件，正确推导平行于墙的边长，计算时注意代数式展开的符号问题即可。
【难度系数】
0.75
2. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下. 若在如图所示的直角坐标系中，水流喷出的高度$y$(单位：$\mathrm{m}$)关于水平距离$x$(单位：$\mathrm{m}$)的函数表达式是$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$（$x＞0$），则水流喷出的最大高度是（
A.$3\ \mathrm{m}$；
B.$2.75\ \mathrm{m}$；
C.$2\ \mathrm{m}$；
D.$1.75\ \mathrm{m}$.
B
）A.$3\ \mathrm{m}$；
B.$2.75\ \mathrm{m}$；
C.$2\ \mathrm{m}$；
D.$1.75\ \mathrm{m}$.
答案
2. B.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要明确水流的最大高度对应二次函数的最大值。已知给出的函数是二次函数，二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此顶点处的$y$值就是函数的最大值，也就是水流喷出的最大高度，我们可以通过配方法或者顶点纵坐标公式计算这个最大值。
【解析】
我们可以通过两种方法求解：
方法1：配方法
对函数$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1 +\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$-(x-1)^2≤0$，所以当$x=1$时，$y$取最大值$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
方法2：顶点纵坐标公式
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＜0$时该值就是函数最大值。
代入$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4}-2^2}{4×(-1)}=\frac{-11}{-4}=2.75\ \mathrm{m}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值计算；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是将实际问题转化为二次函数最值求解问题，熟练掌握配方法或顶点公式求二次函数最值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要明确水流的最大高度对应二次函数的最大值。已知给出的函数是二次函数，二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此顶点处的$y$值就是函数的最大值，也就是水流喷出的最大高度，我们可以通过配方法或者顶点纵坐标公式计算这个最大值。
【解析】
我们可以通过两种方法求解：
方法1：配方法
对函数$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1 +\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$-(x-1)^2≤0$，所以当$x=1$时，$y$取最大值$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
方法2：顶点纵坐标公式
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a＜0$时该值就是函数最大值。
代入$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4}-2^2}{4×(-1)}=\frac{-11}{-4}=2.75\ \mathrm{m}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值计算；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是将实际问题转化为二次函数最值求解问题，熟练掌握配方法或顶点公式求二次函数最值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 某商店将进价为每件80元的商品按每件100元出售，每天可售出20件，为了提升销量，决定降价促销. 已知每件降价1元，每天可多售2件. 若每件降价x元，每天的利润为y元，则y关于x的函数表达式为 （
A.$y=(20-x)(20-2x)$；
B.$y=(20+x)(20+2x)$；
C.$y=(100-x)(20+2x)$；
D.$y=(100-x-80)(20+2x)$。
D
）A.$y=(20-x)(20-2x)$；
B.$y=(20+x)(20+2x)$；
C.$y=(100-x)(20+2x)$；
D.$y=(100-x-80)(20+2x)$。
答案
3. D.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售利润问题的核心公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量。解题时第一步先求出降价后的单件利润，第二步求出降价后的总销售量，最后将两个式子相乘就能得到y关于x的函数表达式，再对应选项选择即可。
【解析】
根据销售问题的等量关系：总利润=单件利润×销售数量
1. 求单件利润：商品原售价100元，降价x元后售价为(100-x)元，已知进价为80元，因此单件利润为(100-x-80)元；
2. 求销售数量：原本每天可售出20件，每件降价1元多售2件，降价x元后可多售出2x件，因此总销售量为(20+2x)件；
3. 列函数表达式：将上述两个式子相乘，可得$y=(100-x-80)(20+2x)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
销售利润计算，根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是销售类的函数基础应用题，解题核心是牢记总利润的计算逻辑，准确梳理出降价后的单件利润和销售数量即可快速求解，是这类应用题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确销售利润问题的核心公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量。解题时第一步先求出降价后的单件利润，第二步求出降价后的总销售量，最后将两个式子相乘就能得到y关于x的函数表达式，再对应选项选择即可。
【解析】
根据销售问题的等量关系：总利润=单件利润×销售数量
1. 求单件利润：商品原售价100元，降价x元后售价为(100-x)元，已知进价为80元，因此单件利润为(100-x-80)元；
2. 求销售数量：原本每天可售出20件，每件降价1元多售2件，降价x元后可多售出2x件，因此总销售量为(20+2x)件；
3. 列函数表达式：将上述两个式子相乘，可得$y=(100-x-80)(20+2x)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
销售利润计算，根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是销售类的函数基础应用题，解题核心是牢记总利润的计算逻辑，准确梳理出降价后的单件利润和销售数量即可快速求解，是这类应用题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 某中学在科技实验活动中设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度$h$(单位：$\mathrm{m}$)关于飞行时间$t$(单位：$\mathrm{s}$)的函数表达式为$h=-t^2 +12t +11$. 若“水火箭”的飞行时间为$10\ \mathrm{s}$，则此时“水火箭”的升空高度为
31
$\mathrm{m}$.答案
4. 31.
解析
【分析】
本题已知水火箭升空高度$h$与飞行时间$t$的二次函数关系式，要求飞行时间为$10\ \mathrm{s}$时的升空高度，本质是求自变量$t=10$时对应的函数值，解题核心思路是将$t=10$直接代入函数表达式，按照有理数运算规则计算即可得到$h$的值。
【解析】
将飞行时间$t=10$代入函数表达式$h=-t^2 +12t +11$，计算得：
$\begin{aligned}h&=-10^2 +12×10 +11\\&=-100 + 120 + 11\\&=31\end{aligned}$
【答案】
31
【知识点】
二次函数求值、代入法求函数值
【点评】
本题属于二次函数应用的基础题型，考查对函数值概念的理解，解题时注意运算顺序，避免符号运算错误即可得分。
【难度系数】
0.9
本题已知水火箭升空高度$h$与飞行时间$t$的二次函数关系式，要求飞行时间为$10\ \mathrm{s}$时的升空高度，本质是求自变量$t=10$时对应的函数值，解题核心思路是将$t=10$直接代入函数表达式，按照有理数运算规则计算即可得到$h$的值。
【解析】
将飞行时间$t=10$代入函数表达式$h=-t^2 +12t +11$，计算得：
$\begin{aligned}h&=-10^2 +12×10 +11\\&=-100 + 120 + 11\\&=31\end{aligned}$
【答案】
31
【知识点】
二次函数求值、代入法求函数值
【点评】
本题属于二次函数应用的基础题型，考查对函数值概念的理解，解题时注意运算顺序，避免符号运算错误即可得分。
【难度系数】
0.9
5. 某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元。设每月的平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为
$y=30(1+x)^2$
。答案
5. $y=30(1+x)^2$.
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题时可按时间顺序逐步推导各月营业额：首先根据一月份营业额和月平均增长率算出二月份的营业额，再以二月份营业额为基础计算三月份的营业额，最终得到y与x的函数关系。注意一月份到三月份中间共经历2次增长，不要误算为1次增长。
【解析】
已知一月份营业额为30万元，每月平均增长率为x：
1. 二月份的营业额是在一月份基础上增长x，因此二月份营业额为：$30(1+x)$万元；
2. 三月份的营业额是在二月份基础上再增长x，因此三月份营业额为：$30(1+x) × (1+x) = 30(1+x)^2$万元，即$y=30(1+x)^2$。
【答案】
$y=30(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率计算；列函数解析式；二次函数的应用
【点评】
本题是增长类问题的基础题型，核心考查连续增长的数量关系，解题时只要明确增长次数，代入对应公式即可求解，属于得分题。
【难度系数】
0.85
这是一道平均增长率的实际应用题，解题时可按时间顺序逐步推导各月营业额：首先根据一月份营业额和月平均增长率算出二月份的营业额，再以二月份营业额为基础计算三月份的营业额，最终得到y与x的函数关系。注意一月份到三月份中间共经历2次增长，不要误算为1次增长。
【解析】
已知一月份营业额为30万元，每月平均增长率为x：
1. 二月份的营业额是在一月份基础上增长x，因此二月份营业额为：$30(1+x)$万元；
2. 三月份的营业额是在二月份基础上再增长x，因此三月份营业额为：$30(1+x) × (1+x) = 30(1+x)^2$万元，即$y=30(1+x)^2$。
【答案】
$y=30(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率计算；列函数解析式；二次函数的应用
【点评】
本题是增长类问题的基础题型，核心考查连续增长的数量关系，解题时只要明确增长次数，代入对应公式即可求解，属于得分题。
【难度系数】
0.85
