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6. 将某拱桥的主桥拱近似看作抛物线，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，该抛物线的表达式为 $ y = a(x - 10)^2 + 10 $，则主桥拱最高点 $ P $ 与其在水中倒影点 $ P' $ 之间的距离为 
20
m. 答案
6. 20.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：形如$y=a(x-h)^2+k$的抛物线，顶点坐标为$(h,k)$，据此可直接得到主桥拱最高点$P$的坐标。再结合水面为$x$轴的特点，可知倒影点$P'$与$P$关于$x$轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，最后计算横坐标相同的两点间距离即可。
【解析】
1. 确定最高点$P$的坐标：已知抛物线表达式为顶点式$y=a(x-10)^2+10$，根据顶点式的性质，其顶点坐标为$(10,10)$，即点$P$的坐标为$(10,10)$。
2. 确定倒影点$P'$的坐标：水面为$x$轴，倒影点$P'$与$P$关于$x$轴对称，因此$P'$的横坐标与$P$相同为10，纵坐标为$10$的相反数$-10$，即$P'(10,-10)$。
3. 计算两点距离：$P$和$P'$横坐标相同，两点间距离为纵坐标差的绝对值，即$|10 - (-10)|=20(\mathrm{m})$。
【答案】
20
【知识点】
二次函数顶点式，坐标对称变换，两点距离计算
【点评】
本题结合生活中的拱桥倒影场景考查二次函数基础性质的应用，解题的核心是准确提取顶点式中的顶点坐标，明确倒影对应的轴对称关系，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：形如$y=a(x-h)^2+k$的抛物线，顶点坐标为$(h,k)$，据此可直接得到主桥拱最高点$P$的坐标。再结合水面为$x$轴的特点，可知倒影点$P'$与$P$关于$x$轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，最后计算横坐标相同的两点间距离即可。
【解析】
1. 确定最高点$P$的坐标：已知抛物线表达式为顶点式$y=a(x-10)^2+10$，根据顶点式的性质，其顶点坐标为$(10,10)$，即点$P$的坐标为$(10,10)$。
2. 确定倒影点$P'$的坐标：水面为$x$轴，倒影点$P'$与$P$关于$x$轴对称，因此$P'$的横坐标与$P$相同为10，纵坐标为$10$的相反数$-10$，即$P'(10,-10)$。
3. 计算两点距离：$P$和$P'$横坐标相同，两点间距离为纵坐标差的绝对值，即$|10 - (-10)|=20(\mathrm{m})$。
【答案】
20
【知识点】
二次函数顶点式，坐标对称变换，两点距离计算
【点评】
本题结合生活中的拱桥倒影场景考查二次函数基础性质的应用，解题的核心是准确提取顶点式中的顶点坐标，明确倒影对应的轴对称关系，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 某汽车的紧急刹车距离$s$(单位：m)关于车速$v$(单位：km/h)的函数表达式是$s=\frac{1}{100}v^2$. 如果前方25 m处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过
50
km/h.答案
7. 50.
解析
【分析】
首先明确题意：紧急刹车避免碰撞意味着刹车距离s不超过25m，即s≤25。接下来将已知的s关于v的函数表达式代入不等式，得到关于v的不等式，由于车速v一定是正数，求解不等式后舍去不符合实际意义的解，即可得到车速的最大值。
【解析】
解：由题意可知，要避免碰撞，需满足刹车距离s≤25m。
将$s=\frac{1}{100}v^2$代入不等式得：
$\frac{1}{100}v^2 ≤ 25$
两边同时乘100，得：
$v^2 ≤ 2500$
因为车速v为非负数，对不等式两边同时开算术平方根，得：
$v ≤ 50$
即该车车速不超过50km/h。
【答案】
50
【知识点】
二次函数的应用；一元二次不等式求解；实际问题取值分析
【点评】
本题结合生活中的刹车场景，考查将实际问题转化为数学问题的能力，解题时需注意结合实际情况舍去负数解，属于基础的函数应用类题型。
【难度系数】
0.8
首先明确题意：紧急刹车避免碰撞意味着刹车距离s不超过25m，即s≤25。接下来将已知的s关于v的函数表达式代入不等式，得到关于v的不等式，由于车速v一定是正数，求解不等式后舍去不符合实际意义的解，即可得到车速的最大值。
【解析】
解：由题意可知，要避免碰撞，需满足刹车距离s≤25m。
将$s=\frac{1}{100}v^2$代入不等式得：
$\frac{1}{100}v^2 ≤ 25$
两边同时乘100，得：
$v^2 ≤ 2500$
因为车速v为非负数，对不等式两边同时开算术平方根，得：
$v ≤ 50$
即该车车速不超过50km/h。
【答案】
50
【知识点】
二次函数的应用；一元二次不等式求解；实际问题取值分析
【点评】
本题结合生活中的刹车场景，考查将实际问题转化为数学问题的能力，解题时需注意结合实际情况舍去负数解，属于基础的函数应用类题型。
【难度系数】
0.8
8. 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮. 如图, 已有的铁皮是等腰直角三角形 ABC, 它的底边 AB 长 20 cm. 截得的矩形 DEMN 的边 MN 在 AB 上, 顶点 D、E 分别在边 AC、BC 上. 设 DE 的长为 x cm, 矩形 DEMN 的面积为 y cm², y 关于 x 的函数表达式是
(第8题) (第9题)
$y=-\frac{1}{2}x^2+10x$
.(第8题) (第9题)
答案
8. $y=-\frac{1}{2}x^2+10x$.
解析
【分析】
要推导矩形面积y关于DE长度x的函数表达式，首先需明确矩形面积=长×宽，已知长DE=x，只需求出矩形的宽即可。结合等腰直角三角形ABC的性质，底角∠A、∠B均为45°，可得两侧的△BEM、△AND均为等腰直角三角形，即BM=EM、AN=DN，再结合矩形对边相等的性质，可推出矩形的宽为(20-x)/2，最后代入面积公式整理即可得到函数关系式。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，底边AB=20cm，
∴∠A=∠B=45°。
∵四边形DEMN是矩形，
∴DE=MN=x，EM=DN，且EM⊥AB，DN⊥AB，
∴△BEM和△AND都是等腰直角三角形，得BM=EM，AN=DN，
∴BM+AN=EM+DN=2EM。
又
∵BM+MN+AN=AB=20cm，
∴BM+AN=20-MN=20-x，即2EM=20-x，解得$EM=\frac{20-x}{2}$。
根据矩形面积公式：
$y=DE· EM=x·\frac{20-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+10x$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2+10x$
【知识点】
等腰直角三角形性质，矩形的性质，二次函数的应用
【点评】
本题属于几何与函数结合的基础题型，解题核心是利用特殊三角形和特殊四边形的性质，用含x的代数式表示出矩形的宽，能有效锻炼学生将几何问题转化为代数函数问题的转化能力。
【难度系数】
0.7
要推导矩形面积y关于DE长度x的函数表达式，首先需明确矩形面积=长×宽，已知长DE=x，只需求出矩形的宽即可。结合等腰直角三角形ABC的性质，底角∠A、∠B均为45°，可得两侧的△BEM、△AND均为等腰直角三角形，即BM=EM、AN=DN，再结合矩形对边相等的性质，可推出矩形的宽为(20-x)/2，最后代入面积公式整理即可得到函数关系式。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，底边AB=20cm，
∴∠A=∠B=45°。
∵四边形DEMN是矩形，
∴DE=MN=x，EM=DN，且EM⊥AB，DN⊥AB，
∴△BEM和△AND都是等腰直角三角形，得BM=EM，AN=DN，
∴BM+AN=EM+DN=2EM。
又
∵BM+MN+AN=AB=20cm，
∴BM+AN=20-MN=20-x，即2EM=20-x，解得$EM=\frac{20-x}{2}$。
根据矩形面积公式：
$y=DE· EM=x·\frac{20-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+10x$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2+10x$
【知识点】
等腰直角三角形性质，矩形的性质，二次函数的应用
【点评】
本题属于几何与函数结合的基础题型，解题核心是利用特殊三角形和特殊四边形的性质，用含x的代数式表示出矩形的宽，能有效锻炼学生将几何问题转化为代数函数问题的转化能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，有长为30 m的篱笆，利用一面长为12 m的墙，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD（连接处的篱笆长度不计）.围成的花圃的最大面积是
72
m².答案
9. 72.
解析
【分析】
这是二次函数解决实际最值的问题，解题思路如下：1. 设垂直于墙的边长为自变量x，结合篱笆总长表示出平行于墙的边长；2. 根据墙的长度限制和边长为正的要求，求出自变量x的取值范围，这是本题的易错点；3. 利用矩形面积公式写出面积关于x的二次函数表达式；4. 结合二次函数的开口方向、增减性和自变量的取值范围，即可求出最大面积。
【解析】
解：设垂直于墙的边AB的长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边BC的长为$(30-3x)\ \mathrm{m}$，花圃面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据实际边长要求列不等式：
$\begin{cases}30-3x≤12 \\30-3x＞0 \end{cases}$
解得$6≤ x＜10$
由矩形面积公式得：
$S=x(30-3x)=-3x^2+30x$
该二次函数$a=-3＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-3)}=5$。
当$x≥6$时，在对称轴右侧，$S$随$x$的增大而减小，因此当$x=6$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{最大}}=6×(30-3×6)=6×12=72$
【答案】
72
【知识点】
二次函数的应用、二次函数的最值、自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，需要注意实际问题中自变量的取值不是全体实数，不能直接套用顶点坐标求最值，要结合取值范围和函数增减性判断最值点，避免忽略墙的长度限制得到错误结果。
【难度系数】
0.65
这是二次函数解决实际最值的问题，解题思路如下：1. 设垂直于墙的边长为自变量x，结合篱笆总长表示出平行于墙的边长；2. 根据墙的长度限制和边长为正的要求，求出自变量x的取值范围，这是本题的易错点；3. 利用矩形面积公式写出面积关于x的二次函数表达式；4. 结合二次函数的开口方向、增减性和自变量的取值范围，即可求出最大面积。
【解析】
解：设垂直于墙的边AB的长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边BC的长为$(30-3x)\ \mathrm{m}$，花圃面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据实际边长要求列不等式：
$\begin{cases}30-3x≤12 \\30-3x＞0 \end{cases}$
解得$6≤ x＜10$
由矩形面积公式得：
$S=x(30-3x)=-3x^2+30x$
该二次函数$a=-3＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-3)}=5$。
当$x≥6$时，在对称轴右侧，$S$随$x$的增大而减小，因此当$x=6$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{最大}}=6×(30-3×6)=6×12=72$
【答案】
72
【知识点】
二次函数的应用、二次函数的最值、自变量取值范围确定
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，需要注意实际问题中自变量的取值不是全体实数，不能直接套用顶点坐标求最值，要结合取值范围和函数增减性判断最值点，避免忽略墙的长度限制得到错误结果。
【难度系数】
0.65
10 跳水运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分. 如图，跳台宽度为3 m，水池边与跳台支柱之间的宽度为1 m(见图中标注). 该运动员的起跳点A距离水面10 m，运动过程中的最高点B距离水面11.25 m，且此时与点A的水平距离为0.5 m. 根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为 
(第10题)
4
m. (第10题)答案
10. 4. 提示：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系. 由题意计算坐标，得A(3,10)、B(3.5,11.25)，抛物线对称轴为直线x=3.5. 设抛物线的表达式为 $y=a(x-3.5)^2+11.25$，则10=0.25a+11.25. 解得a=-5. 因此 $y=-5(x-3.5)^2+11.25$. 当y=0时，x=2(舍去)或x=5. 因此，OC=5，点C距离池边4 m.
解析
【分析】
本题是二次函数在实际运动问题中的应用，解题思路如下：首先建立合适的平面直角坐标系，将题目中的实际高度、水平距离信息转化为对应点的坐标；已知运动轨迹的最高点是抛物线顶点，因此选用顶点式设二次函数解析式，代入起跳点A的坐标即可求出解析式的未知系数；再根据入水点纵坐标为0的特点，代入解析式求出入水点的横坐标，最后结合池边的位置计算二者的水平距离，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：以水面所在直线为x轴，跳台支柱所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可得：起跳点A的坐标为(3,10)，轨迹最高点B为抛物线顶点，坐标为(3.5,11.25)。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-3.5)^2+11.25$，
将A(3,10)代入解析式得：
$10=a(3-3.5)^2+11.25$
$10=0.25a+11.25$
解得$a=-5$
因此抛物线解析式为：$y=-5(x-3.5)^2+11.25$
入水点C在水面上，即$y=0$，代入解析式得：
$0=-5(x-3.5)^2+11.25$
整理得：$(x-3.5)^2=2.25$
解得$x_1=5$，$x_2=2$（$x=2$在起跳点左侧，不符合实际，舍去）
即C点坐标为(5,0)，$OC=5\mathrm{m}$。
已知池边与跳台支柱（y轴）的水平距离为1m，因此入水点C与池边的水平距离为$5-1=4\mathrm{m}$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像与性质
【点评】
本题以跳水运动为背景，将实际问题和二次函数知识结合，解题关键是合理建立平面直角坐标系，把实际条件转化为数学坐标信息，利用顶点式简化解析式的求解过程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，能有效考查学生建立数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数在实际运动问题中的应用，解题思路如下：首先建立合适的平面直角坐标系，将题目中的实际高度、水平距离信息转化为对应点的坐标；已知运动轨迹的最高点是抛物线顶点，因此选用顶点式设二次函数解析式，代入起跳点A的坐标即可求出解析式的未知系数；再根据入水点纵坐标为0的特点，代入解析式求出入水点的横坐标，最后结合池边的位置计算二者的水平距离，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：以水面所在直线为x轴，跳台支柱所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可得：起跳点A的坐标为(3,10)，轨迹最高点B为抛物线顶点，坐标为(3.5,11.25)。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-3.5)^2+11.25$，
将A(3,10)代入解析式得：
$10=a(3-3.5)^2+11.25$
$10=0.25a+11.25$
解得$a=-5$
因此抛物线解析式为：$y=-5(x-3.5)^2+11.25$
入水点C在水面上，即$y=0$，代入解析式得：
$0=-5(x-3.5)^2+11.25$
整理得：$(x-3.5)^2=2.25$
解得$x_1=5$，$x_2=2$（$x=2$在起跳点左侧，不符合实际，舍去）
即C点坐标为(5,0)，$OC=5\mathrm{m}$。
已知池边与跳台支柱（y轴）的水平距离为1m，因此入水点C与池边的水平距离为$5-1=4\mathrm{m}$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像与性质
【点评】
本题以跳水运动为背景，将实际问题和二次函数知识结合，解题关键是合理建立平面直角坐标系，把实际条件转化为数学坐标信息，利用顶点式简化解析式的求解过程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，能有效考查学生建立数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
