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三、解答题
11. 如图所示，学校规划了一块矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为18 m），另外三边用总长为30 m的篱笆围成. 设菜园垂直于墙的一边AB长为x m.
（1）当AB的长为多少时，菜园的面积为100 m²？
（2）当AB的长为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
11. 如图所示，学校规划了一块矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为18 m），另外三边用总长为30 m的篱笆围成. 设菜园垂直于墙的一边AB长为x m.
（1）当AB的长为多少时，菜园的面积为100 m²？
（2）当AB的长为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
答案
11. (1) 10 m. (2) 当AB=7.5 m时，菜园的面积最大，最大面积为 $112.5\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
解题前首先明确各边的数量关系：垂直于墙的边长为x m，那么平行于墙的边长为(30-2x)m，同时结合墙长18m的限制，先确定x的取值范围为6≤x＜15。
（1）求面积为100 m²时的AB长：利用矩形面积公式列一元二次方程，求解后检验根是否符合x的取值范围，舍去不符合实际的根即可得到结果。
（2）求最大面积：将面积表示为关于x的二次函数，结合二次函数的性质和x的取值范围，即可求出面积的最大值及对应的AB长度。
【解析】
由题意得，菜园平行于墙的边长为(30-2x)m，
根据墙长限制和边长为正，可得：$\begin{cases}30-2x＞0 \\30-2x≤18 \end{cases}$，解得$6≤ x＜15$。
（1）当菜园面积为$100\ \mathrm{m^2}$时，根据矩形面积公式列方程：
$x(30-2x)=100$
整理得：$x^2-15x+50=0$
因式分解得：$(x-5)(x-10)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=10$
$\because x=5$不满足$6≤ x＜15$，舍去，
$\therefore x=10$。
（2）设菜园的面积为$S\ \mathrm{m^2}$，则：
$S=x(30-2x)=-2x^2+30x$
配方得：$S=-2(x-7.5)^2+112.5$
$\because$二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且$x=7.5$在$6≤ x＜15$的范围内，
$\therefore$当$x=7.5$时，$S$取得最大值，最大值为$112.5\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
（1）10 m；
（2）当AB长为7.5 m时菜园面积最大，最大面积为$112.5\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值应用；实际问题取值检验
【点评】
本题结合生活场景考查方程与函数的实际应用，解题的核心是先根据实际限制确定自变量的取值范围，求解后要注意检验结果是否符合实际意义，避免出现不符合逻辑的错解。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确各边的数量关系：垂直于墙的边长为x m，那么平行于墙的边长为(30-2x)m，同时结合墙长18m的限制，先确定x的取值范围为6≤x＜15。
（1）求面积为100 m²时的AB长：利用矩形面积公式列一元二次方程，求解后检验根是否符合x的取值范围，舍去不符合实际的根即可得到结果。
（2）求最大面积：将面积表示为关于x的二次函数，结合二次函数的性质和x的取值范围，即可求出面积的最大值及对应的AB长度。
【解析】
由题意得，菜园平行于墙的边长为(30-2x)m，
根据墙长限制和边长为正，可得：$\begin{cases}30-2x＞0 \\30-2x≤18 \end{cases}$，解得$6≤ x＜15$。
（1）当菜园面积为$100\ \mathrm{m^2}$时，根据矩形面积公式列方程：
$x(30-2x)=100$
整理得：$x^2-15x+50=0$
因式分解得：$(x-5)(x-10)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=10$
$\because x=5$不满足$6≤ x＜15$，舍去，
$\therefore x=10$。
（2）设菜园的面积为$S\ \mathrm{m^2}$，则：
$S=x(30-2x)=-2x^2+30x$
配方得：$S=-2(x-7.5)^2+112.5$
$\because$二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且$x=7.5$在$6≤ x＜15$的范围内，
$\therefore$当$x=7.5$时，$S$取得最大值，最大值为$112.5\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
（1）10 m；
（2）当AB长为7.5 m时菜园面积最大，最大面积为$112.5\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值应用；实际问题取值检验
【点评】
本题结合生活场景考查方程与函数的实际应用，解题的核心是先根据实际限制确定自变量的取值范围，求解后要注意检验结果是否符合实际意义，避免出现不符合逻辑的错解。
【难度系数】
0.7
12. 如图，学校新添了一台移动喷灌机，它的喷水头距离地面1 m，即$PA=1$，喷出的水流轨迹可近似看作一段抛物线. 当水流与喷水头的水平距离为3 m时，达到最大高度10 m.
（1）如图(1)，甲同学站在喷灌机正前方10 m处，她会被水流喷到吗？请说明理由.
（2）如图(2)，喷灌机正前方9 m处有一排高1 m的幼苗，为了让水流恰好浇灌到幼苗顶端，需要将喷灌机向前移动多少？
（1）如图(1)，甲同学站在喷灌机正前方10 m处，她会被水流喷到吗？请说明理由.
（2）如图(2)，喷灌机正前方9 m处有一排高1 m的幼苗，为了让水流恰好浇灌到幼苗顶端，需要将喷灌机向前移动多少？
答案
12. (1) 不会，理由略. (2) 向前移动3 m.
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：1. 先建立合适的平面直角坐标系，根据已知的抛物线顶点坐标和经过的定点，用顶点式求出水流抛物线的解析式；2. 第一问将同学所在的水平距离代入解析式，计算对应纵坐标，若纵坐标≤0，说明水流已落地，不会被喷到；3. 第二问设喷灌机向前移动的距离为a，结合抛物线平移后形状不变的特点，写出平移后的抛物线解析式，再将幼苗顶端的坐标代入解析式，求解后结合实际意义舍去不合理解，即可得到移动距离。
【解析】
（1）以喷灌机底部A为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，水流抛物线的顶点坐标为$(3,10)$，且过点$(0,1)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+10$。
将$(0,1)$代入解析式得：$1=a(0-3)^2+10$，解得$a=-1$，
因此抛物线解析式为$y=-(x-3)^2+10$。
当$x=10$时，代入解析式得$y=-(10-3)^2+10=-39＜0$，
说明水平距离为10m处，水流位置低于地面，因此甲同学不会被水流喷到。
（2）设喷灌机向前移动$a\ \mathrm{m}(a＞0)$，移动后喷水头的坐标为$(a,1)$，
由于喷水轨迹形状不变，顶点仍在距离喷水头水平距离3m、高度10m处，因此新的抛物线顶点坐标为$(a+3,10)$，
设新的抛物线解析式为$y=-(x-(a+3))^2+10$。
幼苗顶端坐标为$(9,1)$，将其代入解析式得：
$1=-(9-a-3)^2+10$
整理得$(6-a)^2=9$，
解得$a_1=3$，$a_2=9$（$a=9$时喷灌机与幼苗位置重合，不符合实际，舍去）。
因此需要将喷灌机向前移动3m。
【答案】
(1) 不会，理由略；(2) 向前移动3 m。
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数图像平移
【点评】
本题结合喷灌的生活场景考查二次函数的应用，解题的核心是合理建立坐标系，结合已知条件求出函数解析式，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：1. 先建立合适的平面直角坐标系，根据已知的抛物线顶点坐标和经过的定点，用顶点式求出水流抛物线的解析式；2. 第一问将同学所在的水平距离代入解析式，计算对应纵坐标，若纵坐标≤0，说明水流已落地，不会被喷到；3. 第二问设喷灌机向前移动的距离为a，结合抛物线平移后形状不变的特点，写出平移后的抛物线解析式，再将幼苗顶端的坐标代入解析式，求解后结合实际意义舍去不合理解，即可得到移动距离。
【解析】
（1）以喷灌机底部A为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，水流抛物线的顶点坐标为$(3,10)$，且过点$(0,1)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+10$。
将$(0,1)$代入解析式得：$1=a(0-3)^2+10$，解得$a=-1$，
因此抛物线解析式为$y=-(x-3)^2+10$。
当$x=10$时，代入解析式得$y=-(10-3)^2+10=-39＜0$，
说明水平距离为10m处，水流位置低于地面，因此甲同学不会被水流喷到。
（2）设喷灌机向前移动$a\ \mathrm{m}(a＞0)$，移动后喷水头的坐标为$(a,1)$，
由于喷水轨迹形状不变，顶点仍在距离喷水头水平距离3m、高度10m处，因此新的抛物线顶点坐标为$(a+3,10)$，
设新的抛物线解析式为$y=-(x-(a+3))^2+10$。
幼苗顶端坐标为$(9,1)$，将其代入解析式得：
$1=-(9-a-3)^2+10$
整理得$(6-a)^2=9$，
解得$a_1=3$，$a_2=9$（$a=9$时喷灌机与幼苗位置重合，不符合实际，舍去）。
因此需要将喷灌机向前移动3m。
【答案】
(1) 不会，理由略；(2) 向前移动3 m。
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数图像平移
【点评】
本题结合喷灌的生活场景考查二次函数的应用，解题的核心是合理建立坐标系，结合已知条件求出函数解析式，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
