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13. 工人师傅将一块长为 10 dm、宽为 6 dm 的矩形薄铁皮的四角各裁掉一个相同的正方形〔如图(1)〕，然后把四周折起来焊成一个长方体容器〔如图(2)，薄铁皮厚度不计〕.
（1）若长方体容器的底面面积为 $12\ \mathrm{dm}^2$，则裁掉的正方形的边长为多少？
（2）要求制作的长方体容器的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理. 侧面的处理费用为每平方分米0.5元，底面的处理费用为每平方分米2元. 当裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最低？最低为多少？
（1）若长方体容器的底面面积为 $12\ \mathrm{dm}^2$，则裁掉的正方形的边长为多少？
（2）要求制作的长方体容器的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理. 侧面的处理费用为每平方分米0.5元，底面的处理费用为每平方分米2元. 当裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最低？最低为多少？
答案
13. (1) 2 dm.
(2) 当边长为$\frac{5}{2}$ dm时，总费用最低，最低为 25 元. 提示：设总费用为 y 元，则 $y=2(10-2x)(6-2x)+0.5[2x(10-2x)+2x(6-2x)]=4(x-6)^2-24$. 由题意，$x＞0$ 且 $10-2x≤5(6-2x)$，解得 $0＜x≤\frac{5}{2}$. 根据二次函数的性质，当边长为 $\frac{5}{2}$ dm 时，总费用最低，为 $4×(\frac{5}{2}-6)^2-24=25$(元).
(2) 当边长为$\frac{5}{2}$ dm时，总费用最低，最低为 25 元. 提示：设总费用为 y 元，则 $y=2(10-2x)(6-2x)+0.5[2x(10-2x)+2x(6-2x)]=4(x-6)^2-24$. 由题意，$x＞0$ 且 $10-2x≤5(6-2x)$，解得 $0＜x≤\frac{5}{2}$. 根据二次函数的性质，当边长为 $\frac{5}{2}$ dm 时，总费用最低，为 $4×(\frac{5}{2}-6)^2-24=25$(元).
解析
【分析】
（1）设裁掉的正方形边长为未知数，用含未知数的式子表示长方体底面的长和宽，结合底面面积的已知条件列一元二次方程求解，注意求出的解要符合实际意义，边长不能为负，且底面长、宽均需大于0。
（2）先分别计算底面和侧面的防锈处理费用，相加得到总费用关于正方形边长的二次函数表达式；再根据“底面长不大于底面宽的5倍”的约束条件列不等式，求出自变量的取值范围；最后结合二次函数的增减性，在自变量的取值范围内找到总费用的最小值即可。
【解析】
（1）设裁掉的正方形的边长为$x\ \mathrm{dm}$，则折成的长方体容器底面长为$(10-2x)\ \mathrm{dm}$，宽为$(6-2x)\ \mathrm{dm}$。
根据底面面积为$12\ \mathrm{dm}^2$，列方程：
$(10-2x)(6-2x)=12$
整理得：$x^2-8x+12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=6$。
当$x=6$时，$6-2x=-6＜0$，不符合实际情况，舍去。
故$x=2$。
（2）设裁掉的正方形的边长为$x\ \mathrm{dm}$，总费用为$y$元。
总费用=底面处理费用+侧面处理费用，其中：
底面处理费用：$2×(10-2x)(6-2x)$
侧面处理费用：$0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]$
因此总费用表达式为：
$\begin{aligned}y&=2(10-2x)(6-2x)+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]\\&=2(60-32x+4x^2)+0.5×(32x-8x^2)\\&=120-64x+8x^2+16x-4x^2\\&=4x^2-48x+120\\&=4(x-6)^2-24\end{aligned}$
根据题意，自变量$x$需满足：
$x＞0$，且$10-2x≤5(6-2x)$
解不等式$10-2x≤5(6-2x)$：
$10-2x≤30-10x$
$8x≤20$
$x≤\frac{5}{2}$
因此自变量取值范围为$0＜x≤\frac{5}{2}$。
二次函数$y=4(x-6)^2-24$开口向上，对称轴为直线$x=6$，当$x＜6$时，$y$随$x$的增大而减小。
因此在$0＜x≤\frac{5}{2}$范围内，$x$取最大值$\frac{5}{2}$时，$y$取得最小值：
$y=4×(\frac{5}{2}-6)^2-24=4×(-\frac{7}{2})^2-24=49-24=25$
【答案】
（1）裁掉的正方形的边长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{dm}}$；
（2）当裁掉的正方形的边长为$\boldsymbol{\frac{5}{2}\ \mathrm{dm}}$时，总费用最低，最低为$\boldsymbol{25}$元。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；不等式求解
【点评】
本题结合实际生产场景，综合考查了方程、不等式与二次函数的应用，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义，求二次函数最值时不能直接取顶点，要结合给定的取值范围判断最值对应的自变量取值。
【难度系数】
0.6
（1）设裁掉的正方形边长为未知数，用含未知数的式子表示长方体底面的长和宽，结合底面面积的已知条件列一元二次方程求解，注意求出的解要符合实际意义，边长不能为负，且底面长、宽均需大于0。
（2）先分别计算底面和侧面的防锈处理费用，相加得到总费用关于正方形边长的二次函数表达式；再根据“底面长不大于底面宽的5倍”的约束条件列不等式，求出自变量的取值范围；最后结合二次函数的增减性，在自变量的取值范围内找到总费用的最小值即可。
【解析】
（1）设裁掉的正方形的边长为$x\ \mathrm{dm}$，则折成的长方体容器底面长为$(10-2x)\ \mathrm{dm}$，宽为$(6-2x)\ \mathrm{dm}$。
根据底面面积为$12\ \mathrm{dm}^2$，列方程：
$(10-2x)(6-2x)=12$
整理得：$x^2-8x+12=0$
因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=6$。
当$x=6$时，$6-2x=-6＜0$，不符合实际情况，舍去。
故$x=2$。
（2）设裁掉的正方形的边长为$x\ \mathrm{dm}$，总费用为$y$元。
总费用=底面处理费用+侧面处理费用，其中：
底面处理费用：$2×(10-2x)(6-2x)$
侧面处理费用：$0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]$
因此总费用表达式为：
$\begin{aligned}y&=2(10-2x)(6-2x)+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]\\&=2(60-32x+4x^2)+0.5×(32x-8x^2)\\&=120-64x+8x^2+16x-4x^2\\&=4x^2-48x+120\\&=4(x-6)^2-24\end{aligned}$
根据题意，自变量$x$需满足：
$x＞0$，且$10-2x≤5(6-2x)$
解不等式$10-2x≤5(6-2x)$：
$10-2x≤30-10x$
$8x≤20$
$x≤\frac{5}{2}$
因此自变量取值范围为$0＜x≤\frac{5}{2}$。
二次函数$y=4(x-6)^2-24$开口向上，对称轴为直线$x=6$，当$x＜6$时，$y$随$x$的增大而减小。
因此在$0＜x≤\frac{5}{2}$范围内，$x$取最大值$\frac{5}{2}$时，$y$取得最小值：
$y=4×(\frac{5}{2}-6)^2-24=4×(-\frac{7}{2})^2-24=49-24=25$
【答案】
（1）裁掉的正方形的边长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{dm}}$；
（2）当裁掉的正方形的边长为$\boldsymbol{\frac{5}{2}\ \mathrm{dm}}$时，总费用最低，最低为$\boldsymbol{25}$元。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；不等式求解
【点评】
本题结合实际生产场景，综合考查了方程、不等式与二次函数的应用，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义，求二次函数最值时不能直接取顶点，要结合给定的取值范围判断最值对应的自变量取值。
【难度系数】
0.6
