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11. 等式$\sqrt{x+2} · \sqrt{x-2} = \sqrt{x^2 -4}$成立的条件是（
A.$x≥2$
B.$x≥-2$
C.$-2≤ x≤2$
D.$x≥2$或$x≤-2$
A
）A.$x≥2$
B.$x≥-2$
C.$-2≤ x≤2$
D.$x≥2$或$x≤-2$
答案
11. A
12. (2025福建漳州三中阶段练改编)若$\sqrt{2x+4}+(1-y)^2=0$，则$(x+y)^{2026}$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$3^{2025}$
D.$-3^{2025}$
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$3^{2025}$
D.$-3^{2025}$
答案
12. B
13. (2025 河南省实验中学阶段练)若 $ y = \sqrt{x - 2024} - \sqrt{2024 - x} $，则 $ x^y $ 的值为（
A.0
B.1
C.2024
D.-1
B
）A.0
B.1
C.2024
D.-1
答案
13. B
14. 万唯原创 在建设公园的过程中,园林部门计划分出一块边长为$(2\sqrt{10}+5)\mathrm{m}$的正方形场地建设绿化广场(如图所示),并设置四个大小、形状相同的长方形花坛,除花坛部分外其余部分均铺上地砖,已知每个花坛的长为$(\sqrt{6}+1)\mathrm{m}$,宽为$(\sqrt{6}-1)\mathrm{m}$,则地砖覆盖的面积为$\underline{\hspace{5cm}}\mathrm{m}^2$.
答案
14. $(45+20\sqrt{10})$
15. 计算：
(1) $( \sqrt{8} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) × \sqrt{2}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{12} - \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$；
(3) $4\sqrt{18} ÷ 5\sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{6}}{5}$。
(1) $( \sqrt{8} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) × \sqrt{2}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{12} - \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$；
(3) $4\sqrt{18} ÷ 5\sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{6}}{5}$。
答案
15. 解:(1)原式=$\sqrt{8}×\sqrt{2}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{2}$
$= \sqrt{16}-\sqrt{1}$
$=4-1$
$=3$；
(2)原式=$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
$=\sqrt{4}-\sqrt{9}$
$=2-3$
$=-1$；
(3)原式=$\dfrac{4\sqrt{6}}{5}×\dfrac{\sqrt{6}}{5}$
$=\dfrac{24}{25}$。
$= \sqrt{16}-\sqrt{1}$
$=4-1$
$=3$；
(2)原式=$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
$=\sqrt{4}-\sqrt{9}$
$=2-3$
$=-1$；
(3)原式=$\dfrac{4\sqrt{6}}{5}×\dfrac{\sqrt{6}}{5}$
$=\dfrac{24}{25}$。
16. 💡中考新考法·阅读理解题，阅读材料:我们学习了二次根式和乘法公式,可以发现:当$a＞0$,$b＞0$时,有$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b ≥ 0$,所以$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$,当且仅当$a = b$时取等号.请利用上述结论解决以下问题:
(1)当$x＞0$时,$x+\frac{1}{x}$的最小值为________,当$x＜0$时,$x+\frac{1}{x}$的最大值为________;
(2)当$x＞0$时,求代数式$\frac{x^2 + 3x + 16}{x}$的最小值,并求出此时$x$的值.
(1)当$x＞0$时,$x+\frac{1}{x}$的最小值为________,当$x＜0$时,$x+\frac{1}{x}$的最大值为________;
(2)当$x＞0$时,求代数式$\frac{x^2 + 3x + 16}{x}$的最小值,并求出此时$x$的值.
答案
16. 解:(1)2;-2；【解法提示】当$x＞0$时,$(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2 = x-2\sqrt{x} · \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x}=x-2+\dfrac{1}{x}$,因为$(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2 ≥ 0$,所以$x-2+\dfrac{1}{x}≥ 0$,所以$x+\dfrac{1}{x}≥ 2$(当且仅当$x=\dfrac{1}{x}$时取等号),所以当$x＞0$时,$x+\dfrac{1}{x}$的最小值为2. 当$x＜0$时,$( \sqrt{-x}-\dfrac{1}{\sqrt{-x}} )^2 = -x-2 \sqrt{-x} · \dfrac{1}{\sqrt{-x}}+\dfrac{1}{-x}=-x-2-\dfrac{1}{x}$,因为$( \sqrt{-x}-\dfrac{1}{\sqrt{-x}} )^2 ≥ 0$,所以$-x-2-\dfrac{1}{x}≥ 0$(当且仅当$-x=\dfrac{1}{-x}$时取等号),所以$x+\dfrac{1}{x}≤ -2$,所以当$x＜0$时,$x+\dfrac{1}{x}$的最大值为-2.
(2)$\dfrac{x^2+3x+16}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{3x}{x}+\dfrac{16}{x}=x+\dfrac{16}{x}+3$,当$x＞0$时,
$(\sqrt{x}-\sqrt{\dfrac{16}{x}})^2 = x-2\sqrt{x} · \sqrt{\dfrac{16}{x}}+\dfrac{16}{x}=x-8+\dfrac{16}{x}$,因为$(\sqrt{x}-\sqrt{\dfrac{16}{x}})^2 ≥ 0$,
所以$x-8+\dfrac{16}{x}≥ 0$,所以$x+\dfrac{16}{x}≥ 8$,
所以$x+\dfrac{16}{x}+3≥ 11$(当且仅当$x=\dfrac{16}{x}$时取等号),
由$x=\dfrac{16}{x}$得$x^2=16$,所以$x=4$或$x=-4＜0$(不符合题意,舍去),
所以当$x＞0$时,代数式$\dfrac{x^2+3x+16}{x}$的最小值为11,此时$x$的值为4.
(2)$\dfrac{x^2+3x+16}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{3x}{x}+\dfrac{16}{x}=x+\dfrac{16}{x}+3$,当$x＞0$时,
$(\sqrt{x}-\sqrt{\dfrac{16}{x}})^2 = x-2\sqrt{x} · \sqrt{\dfrac{16}{x}}+\dfrac{16}{x}=x-8+\dfrac{16}{x}$,因为$(\sqrt{x}-\sqrt{\dfrac{16}{x}})^2 ≥ 0$,
所以$x-8+\dfrac{16}{x}≥ 0$,所以$x+\dfrac{16}{x}≥ 8$,
所以$x+\dfrac{16}{x}+3≥ 11$(当且仅当$x=\dfrac{16}{x}$时取等号),
由$x=\dfrac{16}{x}$得$x^2=16$,所以$x=4$或$x=-4＜0$(不符合题意,舍去),
所以当$x＞0$时,代数式$\dfrac{x^2+3x+16}{x}$的最小值为11,此时$x$的值为4.
1. (2025 四川成都实验外国语学校期中)已知$a,b$均为实数且$\sqrt{1-2a}$与$\sqrt{4b-2}$互为相反数，则$a+b=$（
A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
B
）A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
答案
1. B 【解析】由题意可得$\sqrt{1-2a}+\sqrt{4b-2}=0$,所以$1-2a=0$,$4b-2=0$,解得$a=\dfrac{1}{2}$,$b=\dfrac{1}{2}$,所以$a+b=1$.
2.（黑白卷）若$\sqrt{x-2}+(y+3)^2+|x-z|=0$，则$x+y+z$的值为
1
。答案
2. 1 【解析】因为$\sqrt{x-2}≥ 0$,$(y+3)^2≥ 0$,$|x-z|≥ 0$,
$\sqrt{x-2}+(y+3)^2+|x-z|=0$,所以$\sqrt{x-2}=0$,$(y+3)^2=0$,$|x-z|=0$,解得$x=2$,$y=-3$,$z=2$,所以$x+y+z=2-3+2=1$.
$\sqrt{x-2}+(y+3)^2+|x-z|=0$,所以$\sqrt{x-2}=0$,$(y+3)^2=0$,$|x-z|=0$,解得$x=2$,$y=-3$,$z=2$,所以$x+y+z=2-3+2=1$.
