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1.⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则l与⊙O的位置关系是
相交
。答案
1.相交
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断位置关系。第一步先从题干中提取两个关键数值：圆的半径r=5，圆心到直线l的距离d=3；第二步将d和r的大小进行比较；第三步对照判定规则即可得出直线和圆的位置关系。
【解析】
设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r。
由题意可知：d=3，r=5。
∵3 ＜ 5，即d ＜ r，
根据直线与圆的位置关系判定规则：当d＜r时，直线与圆相交，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，熟练掌握距离与半径的大小比较对应三种位置关系的规律，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断位置关系。第一步先从题干中提取两个关键数值：圆的半径r=5，圆心到直线l的距离d=3；第二步将d和r的大小进行比较；第三步对照判定规则即可得出直线和圆的位置关系。
【解析】
设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r。
由题意可知：d=3，r=5。
∵3 ＜ 5，即d ＜ r，
根据直线与圆的位置关系判定规则：当d＜r时，直线与圆相交，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，熟练掌握距离与半径的大小比较对应三种位置关系的规律，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.如图，AB是$\odot O$的切线，点B为切点，AO与$\odot O$交于点C，若$∠ BAO=30°$，则$∠ OCB$的度数为________。
答案
2.$60°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“AB是$\odot O$的切线”入手，根据切线的性质可得OB与AB垂直，得到直角$△ OBA$；再结合已知的$∠ BAO=30°$，利用直角三角形两锐角互余求出圆心角$∠ AOB$的度数；最后因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，可知$△ OBC$是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和就能求出$∠ OCB$的度数。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的切线，B为切点，
$\therefore OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OBA$中，$∠ BAO=30°$，
$\therefore ∠ AOB=90°-∠ BAO=90°-30°=60°$，
$\because OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore △ OBC$是等腰三角形，$∠ OCB=∠ OBC$，
$\therefore ∠ OCB=(180°-∠ AOB)÷2=(180°-60°)÷2=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆相关的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，结合三角形内角和、等腰三角形的性质求解角度，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“AB是$\odot O$的切线”入手，根据切线的性质可得OB与AB垂直，得到直角$△ OBA$；再结合已知的$∠ BAO=30°$，利用直角三角形两锐角互余求出圆心角$∠ AOB$的度数；最后因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，可知$△ OBC$是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和就能求出$∠ OCB$的度数。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的切线，B为切点，
$\therefore OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OBA$中，$∠ BAO=30°$，
$\therefore ∠ AOB=90°-∠ BAO=90°-30°=60°$，
$\because OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore △ OBC$是等腰三角形，$∠ OCB=∠ OBC$，
$\therefore ∠ OCB=(180°-∠ AOB)÷2=(180°-60°)÷2=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆相关的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，结合三角形内角和、等腰三角形的性质求解角度，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3.如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,$\odot A$与x轴交于$B(2,0),C(8,0)$两点,与y轴相切于点D,则点A的坐标是
$(5,4)$
.答案
3.$(5,4)$
解析
【分析】首先根据圆的垂径定理，垂直平分弦的直线过圆心，可确定圆心A在弦BC的垂直平分线上，先求出A点的横坐标；再结合圆与y轴相切的性质，圆心到切线的距离等于半径，得到圆的半径长度；最后过A作x轴的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出A点的纵坐标，即可得到A的坐标。
【解析】
1. 求A点的横坐标：
已知$B(2,0)$，$C(8,0)$，弦BC在x轴上，根据垂径定理，圆心A在BC的垂直平分线上。
BC中点的横坐标为$\frac{2+8}{2}=5$，因此BC的垂直平分线为直线$x=5$，即点A的横坐标为$5$。
2. 求$\odot A$的半径：
因为$\odot A$与y轴相切于点D，圆心A到y轴的距离等于圆的半径$r$。
点A在第一象限，横坐标为5，到y轴的距离为5，因此$r=5$，即$AB=5$。
3. 求A点的纵坐标：
过A作$AE⊥ x$轴于点E，可得E点坐标为$(5,0)$，则$BE=5-2=3$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
即点A的纵坐标为4。
【答案】$(5,4)$
【知识点】垂径定理；切线的性质；勾股定理
【点评】本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题的突破口是利用垂径定理和切线的性质分别确定圆心的横坐标和圆的半径，再通过勾股定理计算纵坐标，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 求A点的横坐标：
已知$B(2,0)$，$C(8,0)$，弦BC在x轴上，根据垂径定理，圆心A在BC的垂直平分线上。
BC中点的横坐标为$\frac{2+8}{2}=5$，因此BC的垂直平分线为直线$x=5$，即点A的横坐标为$5$。
2. 求$\odot A$的半径：
因为$\odot A$与y轴相切于点D，圆心A到y轴的距离等于圆的半径$r$。
点A在第一象限，横坐标为5，到y轴的距离为5，因此$r=5$，即$AB=5$。
3. 求A点的纵坐标：
过A作$AE⊥ x$轴于点E，可得E点坐标为$(5,0)$，则$BE=5-2=3$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
即点A的纵坐标为4。
【答案】$(5,4)$
【知识点】垂径定理；切线的性质；勾股定理
【点评】本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题的突破口是利用垂径定理和切线的性质分别确定圆心的横坐标和圆的半径，再通过勾股定理计算纵坐标，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.7
4.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，分别与$AB$，$BC$，$AC$相切于点$D$，$E$，$F$，$∠ B=42°$，点$P$是$\overset{\frown}{EF}$上一点，则$∠ DPE$的度数是
$69°$
。答案
4.$69°$
解析
【分析】
要求∠DPE的度数，∠DPE是⊙O的圆周角，根据圆周角定理，只需求出它所对弧$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角∠DOE的度数即可。首先连接OD、OE，利用内切圆的切线性质可得OD⊥AB、OE⊥BC，得到两个直角，再结合四边形内角和为360°，即可求出∠DOE的度数，最后利用圆周角定理计算∠DPE即可。
【解析】
连接OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
在四边形ODBE中，内角和为360°，
∴∠DOE=360°-∠ODB-∠OEB-∠B=360°-90°-90°-42°=138°，
∵∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：$∠ DPE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题关键是连接圆心与切点构造直角，将所求圆周角转化为求对应圆心角的度数，熟练掌握切线性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求∠DPE的度数，∠DPE是⊙O的圆周角，根据圆周角定理，只需求出它所对弧$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角∠DOE的度数即可。首先连接OD、OE，利用内切圆的切线性质可得OD⊥AB、OE⊥BC，得到两个直角，再结合四边形内角和为360°，即可求出∠DOE的度数，最后利用圆周角定理计算∠DPE即可。
【解析】
连接OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
在四边形ODBE中，内角和为360°，
∴∠DOE=360°-∠ODB-∠OEB-∠B=360°-90°-90°-42°=138°，
∵∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：$∠ DPE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题关键是连接圆心与切点构造直角，将所求圆周角转化为求对应圆心角的度数，熟练掌握切线性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.如图，正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，连接$OC$，$OD$，则$∠ BAE - ∠ COD =$
$36°$
。答案
5.$36°$
解析
【分析】
要计算∠BAE - ∠COD的度数，只需分别求出两个角的度数再作差即可。第一步先求正五边形的内角度数∠BAE：利用正多边形内角和公式先算出内角和，再除以边数就能得到单个内角的度数；第二步求圆心角∠COD：正n边形的中心角将周角360°平均分成n份，用360°除以边数即可得到中心角的度数；最后将两个角度作差就能得到结果。
【解析】
1. 计算正五边形的内角∠BAE：
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），正五边形边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$。
正五边形每个内角相等，因此$∠ BAE=540°÷5=108°$。
2. 计算圆心角$∠ COD$：
正五边形内接于$\odot O$，五条边对应的中心角将周角360°五等分，因此$∠ COD=360°÷5=72°$。
3. 计算角度差：
$∠ BAE - ∠ COD=108°-72°=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形中心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查正多边形相关角度的计算方法，熟练掌握内角和、中心角的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算∠BAE - ∠COD的度数，只需分别求出两个角的度数再作差即可。第一步先求正五边形的内角度数∠BAE：利用正多边形内角和公式先算出内角和，再除以边数就能得到单个内角的度数；第二步求圆心角∠COD：正n边形的中心角将周角360°平均分成n份，用360°除以边数即可得到中心角的度数；最后将两个角度作差就能得到结果。
【解析】
1. 计算正五边形的内角∠BAE：
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），正五边形边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$。
正五边形每个内角相等，因此$∠ BAE=540°÷5=108°$。
2. 计算圆心角$∠ COD$：
正五边形内接于$\odot O$，五条边对应的中心角将周角360°五等分，因此$∠ COD=360°÷5=72°$。
3. 计算角度差：
$∠ BAE - ∠ COD=108°-72°=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形中心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查正多边形相关角度的计算方法，熟练掌握内角和、中心角的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，△ABC与它的内切圆分别相切于点D，E，F。若AB=8，BC=7，AC=5，则AF的长为
$3$
。答案
6.$3$
解析
【分析】
本题可利用切线长定理找到相等的切线段，再结合三角形各边的长度关系列方程求解。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可得AD=AF、BD=BE、CE=CF三组相等的线段。我们可以设AF的长度为未知数，用含未知数的式子表示出BC对应的两段线段BE、CE的长度，再根据BE+CE=BC的等量关系列方程，解方程即可求出AF的长。
【解析】
设$AF=x$，
∵$△ ABC$的内切圆与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，根据切线长定理可得：
$AD=AF=x$，$BD=BE$，$CE=CF$，
∴$BD=AB-AD=8-x$，即$BE=8-x$，
$CF=AC-AF=5-x$，即$CE=5-x$，
又
∵$BE+CE=BC=7$，
∴$(8-x)+(5-x)=7$，
整理得：$13-2x=7$，
解得：$x=3$，即$AF=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
切线长定理，列方程解几何问题
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础计算题，核心是利用切线长定理得到相等的线段，将几何线段的长度关系转化为方程求解，体现了数形结合的思想，熟练掌握切线长定理是快速解出本题的关键。
【难度系数】
0.7
本题可利用切线长定理找到相等的切线段，再结合三角形各边的长度关系列方程求解。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可得AD=AF、BD=BE、CE=CF三组相等的线段。我们可以设AF的长度为未知数，用含未知数的式子表示出BC对应的两段线段BE、CE的长度，再根据BE+CE=BC的等量关系列方程，解方程即可求出AF的长。
【解析】
设$AF=x$，
∵$△ ABC$的内切圆与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，根据切线长定理可得：
$AD=AF=x$，$BD=BE$，$CE=CF$，
∴$BD=AB-AD=8-x$，即$BE=8-x$，
$CF=AC-AF=5-x$，即$CE=5-x$，
又
∵$BE+CE=BC=7$，
∴$(8-x)+(5-x)=7$，
整理得：$13-2x=7$，
解得：$x=3$，即$AF=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
切线长定理，列方程解几何问题
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础计算题，核心是利用切线长定理得到相等的线段，将几何线段的长度关系转化为方程求解，体现了数形结合的思想，熟练掌握切线长定理是快速解出本题的关键。
【难度系数】
0.7
7.如图,已知在$△ OAB$中,$OA=OB=\sqrt{13},AB=6,\odot O$的半径长为$r=2$,判断直线$AB$与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
答案
7.直线 AB 与$\odot O$相切.
理由如下:作 $OC⊥ AB$ 于点 $C$.
$\because OA=OB,\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3,\therefore OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=2$,
$\because \odot O$ 的半径为 $2,\therefore d=r$,
$\therefore$ 直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切.
理由如下:作 $OC⊥ AB$ 于点 $C$.
$\because OA=OB,\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3,\therefore OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=2$,
$\because \odot O$ 的半径为 $2,\therefore d=r$,
$\therefore$ 直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切.
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小：若$d=r$则直线与圆相切，若$d＞r$则相离，若$d＜r$则相交。本题中$△ OAB$是等腰三角形，我们可以过$O$作$AB$的垂线，利用等腰三角形三线合一求出线段$AC$的长度，再通过勾股定理计算出圆心$O$到$AB$的距离，最后和半径$r=2$对比即可得到结论。
【解析】
解：直线$AB$与$\odot O$相切，理由如下：
作 $OC⊥ AB$ 于点$C$。
$\because OA=OB$，$OC⊥ AB$，
$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$，
$\because \odot O$ 的半径为 $2$，
$\therefore$ 圆心$O$到直线$AB$的距离$d=OC=r$，
$\therefore$ 直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切。
【答案】
直线$AB$与$\odot O$相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础考查题，解题关键是明确直线与圆位置关系的判定思路，通过作辅助线求出圆心到直线的距离，结合等腰三角形性质和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小：若$d=r$则直线与圆相切，若$d＞r$则相离，若$d＜r$则相交。本题中$△ OAB$是等腰三角形，我们可以过$O$作$AB$的垂线，利用等腰三角形三线合一求出线段$AC$的长度，再通过勾股定理计算出圆心$O$到$AB$的距离，最后和半径$r=2$对比即可得到结论。
【解析】
解：直线$AB$与$\odot O$相切，理由如下：
作 $OC⊥ AB$ 于点$C$。
$\because OA=OB$，$OC⊥ AB$，
$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$，
$\because \odot O$ 的半径为 $2$，
$\therefore$ 圆心$O$到直线$AB$的距离$d=OC=r$，
$\therefore$ 直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切。
【答案】
直线$AB$与$\odot O$相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础考查题，解题关键是明确直线与圆位置关系的判定思路，通过作辅助线求出圆心到直线的距离，结合等腰三角形性质和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
