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1.⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则l与⊙O的位置关系是
相交
。答案
1.相交
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直线与圆位置关系的判定逻辑：我们通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小，来确定直线和圆的位置关系，判定规则为：$d＜r$时相交，$d=r$时相切，$d＞r$时相离。首先从题干提取已知条件：圆的半径$r=5$，圆心到直线$l$的距离$d=3$，再比较$d$和$r$的大小，对应判定规则就能得出结论。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题意得：$r=5$，$d=3$
$\because 3＜5$，即$d＜r$
$\therefore$直线$l$与$\odot O$的位置关系为相交。
【答案】
相交
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.点到直线的距离
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，牢记圆心到直线距离和圆半径的大小对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆直线与圆位置关系的判定逻辑：我们通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小，来确定直线和圆的位置关系，判定规则为：$d＜r$时相交，$d=r$时相切，$d＞r$时相离。首先从题干提取已知条件：圆的半径$r=5$，圆心到直线$l$的距离$d=3$，再比较$d$和$r$的大小，对应判定规则就能得出结论。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题意得：$r=5$，$d=3$
$\because 3＜5$，即$d＜r$
$\therefore$直线$l$与$\odot O$的位置关系为相交。
【答案】
相交
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.点到直线的距离
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，牢记圆心到直线距离和圆半径的大小对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.如图，AB是$\odot O$的切线，点B为切点，AO与$\odot O$交于点C，若$∠ BAO=30°$，则$∠ OCB$的度数为________。
答案
2.$60°$
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质得到直角三角形，再结合已知的锐角角度求出圆心角∠O的度数，最后根据同圆半径相等得到等腰三角形，利用等腰三角形的性质计算出∠OCB的度数。第一步：回忆切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此OB⊥AB，得到Rt△OBA；第二步：在直角三角形中利用两锐角互余，求出∠BOA的度数；第三步：OB和OC都是圆的半径，二者相等，因此△OBC是等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OCB的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OBA$中，$∠ BAO=30°$，
∴$∠ BOA=90°-∠ BAO=90°-30°=60°$。
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，
∴$∠ OCB=∠ OBC=\frac{180°-∠ BOA}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的角度计算题，将圆的切线性质与三角形角度计算结合考查，解题的突破口是熟练运用切线垂直于过切点的半径这一核心性质，再结合三角形内角相关知识即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用切线的性质得到直角三角形，再结合已知的锐角角度求出圆心角∠O的度数，最后根据同圆半径相等得到等腰三角形，利用等腰三角形的性质计算出∠OCB的度数。第一步：回忆切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此OB⊥AB，得到Rt△OBA；第二步：在直角三角形中利用两锐角互余，求出∠BOA的度数；第三步：OB和OC都是圆的半径，二者相等，因此△OBC是等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OCB的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OBA$中，$∠ BAO=30°$，
∴$∠ BOA=90°-∠ BAO=90°-30°=60°$。
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，
∴$∠ OCB=∠ OBC=\frac{180°-∠ BOA}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的角度计算题，将圆的切线性质与三角形角度计算结合考查，解题的突破口是熟练运用切线垂直于过切点的半径这一核心性质，再结合三角形内角相关知识即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,$\odot A$与x轴交于$B(2,0),C(8,0)$两点,与y轴相切于点D,则点A的坐标是
$(5,4)$
.答案
3.$(5,4)$
解析
【分析】
解题时先结合圆中弦的特征想到垂径定理：过圆心作弦的垂线可平分弦，因此过点A作x轴的垂线，就能得到弦BC的中点，进而求出点A的横坐标；再根据圆与y轴相切的性质，圆心到切线的距离等于半径，得到圆的半径长度；最后在直角三角形中利用勾股定理计算点A的纵坐标，即可得到点A的坐标。
【解析】
过点A作AE⊥x轴于点E，连接AB。
∵B(2,0)，C(8,0)，
∴BC=8-2=6，
根据垂径定理可得：$BE=CE=\frac{1}{2}BC=3$，
∴点E的横坐标为$2+3=5$，即点A的横坐标为5。
∵⊙A与y轴相切于点D，
∴⊙A的半径等于圆心A到y轴的距离，即半径$r=5$，
∴$AB=5$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
又
∵点A在第一象限，
∴点A的纵坐标为4，
综上，点A的坐标为$(5,4)$。
【答案】
$(5,4)$
【知识点】
垂径定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆的垂径定理和切线性质找到线段的等量关系，再结合勾股定理求解坐标，属于常见考点。
【难度系数】
0.7
解题时先结合圆中弦的特征想到垂径定理：过圆心作弦的垂线可平分弦，因此过点A作x轴的垂线，就能得到弦BC的中点，进而求出点A的横坐标；再根据圆与y轴相切的性质，圆心到切线的距离等于半径，得到圆的半径长度；最后在直角三角形中利用勾股定理计算点A的纵坐标，即可得到点A的坐标。
【解析】
过点A作AE⊥x轴于点E，连接AB。
∵B(2,0)，C(8,0)，
∴BC=8-2=6，
根据垂径定理可得：$BE=CE=\frac{1}{2}BC=3$，
∴点E的横坐标为$2+3=5$，即点A的横坐标为5。
∵⊙A与y轴相切于点D，
∴⊙A的半径等于圆心A到y轴的距离，即半径$r=5$，
∴$AB=5$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
又
∵点A在第一象限，
∴点A的纵坐标为4，
综上，点A的坐标为$(5,4)$。
【答案】
$(5,4)$
【知识点】
垂径定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆的垂径定理和切线性质找到线段的等量关系，再结合勾股定理求解坐标，属于常见考点。
【难度系数】
0.7
4.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，分别与$AB$，$BC$，$AC$相切于点$D$，$E$，$F$，$∠ B=42°$，点$P$是$\overset{\frown}{EF}$上一点，则$∠ DPE$的度数是
$69°$
。答案
4.$69°$
解析
【分析】
要计算∠DPE的度数，可按以下思路推导：1. 连接内切圆圆心O与切点D、E，利用切线的性质可知OD垂直AB、OE垂直BC，得到两个直角；2. 在四边形ODBE中，结合已知∠B=42°，利用四边形内角和为360°求出圆心角∠DOE的度数；3. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DPE的度数。
【解析】
连接OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即$∠ ODB=∠ OEB=90°$，
在四边形ODBE中，内角和为$360°$，
∴$∠ DOE = 360° - ∠ ODB - ∠ OEB - ∠ B = 360° - 90° - 90° - 42° = 138°$，
∵∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ DPE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是通过连接圆心和切点构造直角，找到圆心角与所求圆周角的对应关系，是圆相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
要计算∠DPE的度数，可按以下思路推导：1. 连接内切圆圆心O与切点D、E，利用切线的性质可知OD垂直AB、OE垂直BC，得到两个直角；2. 在四边形ODBE中，结合已知∠B=42°，利用四边形内角和为360°求出圆心角∠DOE的度数；3. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DPE的度数。
【解析】
连接OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即$∠ ODB=∠ OEB=90°$，
在四边形ODBE中，内角和为$360°$，
∴$∠ DOE = 360° - ∠ ODB - ∠ OEB - ∠ B = 360° - 90° - 90° - 42° = 138°$，
∵∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ DPE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
$69°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是通过连接圆心和切点构造直角，找到圆心角与所求圆周角的对应关系，是圆相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
5.如图，正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，连接$OC$，$OD$，则$∠ BAE - ∠ COD =$
$36°$
。答案
5.$36°$
解析
【分析】
要解决本题，需分别求出∠BAE和∠COD的度数再作差。首先∠BAE是正五边形的内角，可先通过多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再除以边数得到单个内角的度数；∠COD是正五边形的中心角，正n边形的中心角总和为360°且各中心角相等，用360°除以边数即可得到∠COD的度数，最后计算两个角的差值即可。
【解析】
1. 计算∠BAE的度数：
多边形内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），正五边形边数$n=5$，
则正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，
正五边形所有内角相等，因此$∠ BAE=540°÷5=108°$。
2. 计算∠COD的度数：
正$n$边形的中心角总和为$360°$，且每个中心角相等，
因此正五边形的中心角$∠ COD=360°÷5=72°$。
3. 计算差值：
$∠ BAE - ∠ COD=108° - 72°=36°$。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
多边形内角和计算；正多边形中心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正多边形的基本性质，只要熟练掌握正多边形内角、中心角的计算方法，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需分别求出∠BAE和∠COD的度数再作差。首先∠BAE是正五边形的内角，可先通过多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再除以边数得到单个内角的度数；∠COD是正五边形的中心角，正n边形的中心角总和为360°且各中心角相等，用360°除以边数即可得到∠COD的度数，最后计算两个角的差值即可。
【解析】
1. 计算∠BAE的度数：
多边形内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），正五边形边数$n=5$，
则正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，
正五边形所有内角相等，因此$∠ BAE=540°÷5=108°$。
2. 计算∠COD的度数：
正$n$边形的中心角总和为$360°$，且每个中心角相等，
因此正五边形的中心角$∠ COD=360°÷5=72°$。
3. 计算差值：
$∠ BAE - ∠ COD=108° - 72°=36°$。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
多边形内角和计算；正多边形中心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正多边形的基本性质，只要熟练掌握正多边形内角、中心角的计算方法，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6.如图，△ABC与它的内切圆分别相切于点D，E，F。若AB=8，BC=7，AC=5，则AF的长为
$3$
。答案
6.$3$
解析
【分析】
本题是三角形内切圆相关的计算问题，解题核心是运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以通过设未知数的方式，把各段切线长用同一未知数表示，再结合三角形已知边长列方程求解。具体思考路径为：①设AF的长度为x，根据切线长定理依次表示出AD、BD、BE、CE、CF的长度；②利用AF+CF=AC的等量关系列方程；③解方程得到x的值即为AF的长。
【解析】
根据切线长定理可得：$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$。
设$AF=x$，则$AD=x$，
$\therefore BD=AB-AD=8-x$，
$\therefore BE=BD=8-x$，
$\therefore CE=BC-BE=7-(8-x)=x-1$，
$\therefore CF=CE=x-1$，
又$\because AF+CF=AC=5$，
$\therefore x+(x-1)=5$，
解得$x=3$，即AF的长为3。
【答案】
$3$
【知识点】
1.切线长定理 2.方程法解几何计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础题型，解题关键是熟练掌握切线长定理，通过设未知数列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是三角形内切圆相关的计算问题，解题核心是运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以通过设未知数的方式，把各段切线长用同一未知数表示，再结合三角形已知边长列方程求解。具体思考路径为：①设AF的长度为x，根据切线长定理依次表示出AD、BD、BE、CE、CF的长度；②利用AF+CF=AC的等量关系列方程；③解方程得到x的值即为AF的长。
【解析】
根据切线长定理可得：$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$。
设$AF=x$，则$AD=x$，
$\therefore BD=AB-AD=8-x$，
$\therefore BE=BD=8-x$，
$\therefore CE=BC-BE=7-(8-x)=x-1$，
$\therefore CF=CE=x-1$，
又$\because AF+CF=AC=5$，
$\therefore x+(x-1)=5$，
解得$x=3$，即AF的长为3。
【答案】
$3$
【知识点】
1.切线长定理 2.方程法解几何计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础题型，解题关键是熟练掌握切线长定理，通过设未知数列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.如图,已知在$△ OAB$中,$OA=OB=\sqrt{13},AB=6,\odot O$的半径长为$r=2$,判断直线$AB$与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
答案
7.直线 AB 与$\odot O$相切.
理由如下:作 $OC⊥ AB$ 于点 $C$.
$\because OA=OB,\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3,\therefore OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=2$,
$\because \odot O$ 的半径为 $2,\therefore d=r$,
$\therefore$ 直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切.
理由如下:作 $OC⊥ AB$ 于点 $C$.
$\because OA=OB,\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=3,\therefore OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=2$,
$\because \odot O$ 的半径为 $2,\therefore d=r$,
$\therefore$ 直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切.
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题中△OAB是等腰三角形，我们可以过圆心O作AB的垂线OC，先利用等腰三角形三线合一的性质求出AC的长度，再通过勾股定理计算出OC的长度，最后将OC与半径r=2比较，就能得出直线AB和⊙O的位置关系。
【解析】
解：直线AB与$\odot O$相切，理由如下：
过点O作$OC⊥ AB$于点C。
$\because OA=OB$，$OC⊥ AB$，
$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=\sqrt{13}$，$AC=3$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
$\because \odot O$的半径$r=2$，
$\therefore OC=r$，即圆心O到直线AB的距离等于圆的半径，
$\therefore$直线AB与$\odot O$相切。
【答案】
直线AB与$\odot O$相切。
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，解题关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法，合理作出垂线辅助线，结合等腰三角形性质和勾股定理求出圆心到直线的距离即可求解。
【难度系数】
0.8
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题中△OAB是等腰三角形，我们可以过圆心O作AB的垂线OC，先利用等腰三角形三线合一的性质求出AC的长度，再通过勾股定理计算出OC的长度，最后将OC与半径r=2比较，就能得出直线AB和⊙O的位置关系。
【解析】
解：直线AB与$\odot O$相切，理由如下：
过点O作$OC⊥ AB$于点C。
$\because OA=OB$，$OC⊥ AB$，
$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=\sqrt{13}$，$AC=3$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
$\because \odot O$的半径$r=2$，
$\therefore OC=r$，即圆心O到直线AB的距离等于圆的半径，
$\therefore$直线AB与$\odot O$相切。
【答案】
直线AB与$\odot O$相切。
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，解题关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法，合理作出垂线辅助线，结合等腰三角形性质和勾股定理求出圆心到直线的距离即可求解。
【难度系数】
0.8
