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8.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,若直线PA与⊙O相切于点A,则∠PAB的度数为
$30°$
.答案
8.$30°$
解析
【分析】
解题时首先考虑切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA得到直角∠OAP；再结合正六边形内接于圆的性质，正六边形每条边对应的中心角为360°÷6=60°，且OA=OB，可推出△OAB是等边三角形，得到∠OAB的度数；最后用∠OAP减去∠OAB即可求出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ 中心角∠AOB = 360°÷6 = 60°，
又
∵ OA=OB（都是⊙O的半径），
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠OAB = 60°。
∵ 直线PA与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥PA（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠OAP = 90°，
∴ ∠PAB = ∠OAP - ∠OAB = 90° - 60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
正多边形和圆的性质，切线的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将正多边形的性质与切线的性质结合考查，解题的关键是正确连接辅助线，结合等边三角形的性质推导角度关系，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先考虑切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA得到直角∠OAP；再结合正六边形内接于圆的性质，正六边形每条边对应的中心角为360°÷6=60°，且OA=OB，可推出△OAB是等边三角形，得到∠OAB的度数；最后用∠OAP减去∠OAB即可求出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ 中心角∠AOB = 360°÷6 = 60°，
又
∵ OA=OB（都是⊙O的半径），
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠OAB = 60°。
∵ 直线PA与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥PA（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠OAP = 90°，
∴ ∠PAB = ∠OAP - ∠OAB = 90° - 60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
正多边形和圆的性质，切线的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将正多边形的性质与切线的性质结合考查，解题的关键是正确连接辅助线，结合等边三角形的性质推导角度关系，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
9.如图，将$△ ABC$沿着直线$DE$折叠，折叠后点$A$恰好能与$△ ABC$的内心$I$重合，若$∠ DIB+∠ EIC=195°$，则$∠ BAC$的大小是________。
答案
9.$50°$
解析
【分析】
解题需结合折叠性质、三角形内心性质推导角的关系：第一步根据点I处周角为360°，结合已知∠DIB+∠EIC=195°，求出∠BIC与∠DIE的和；第二步利用折叠性质得到∠DIE=∠BAC；第三步利用三角形内心性质推导∠BIC和∠BAC的数量关系；最后将两个角的表达式代入和的等式，解方程即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BIC中，$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC$
∴$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
∵将△ABC沿DE折叠，点A与点I重合
∴$∠ DIE=∠ BAC$
∵在点I处，$∠ DIB+∠ EIC+∠ BIC+∠ DIE=360°$，且$∠ DIB+∠ EIC=195°$
∴$∠ BIC+∠ DIE=360°-195°=165°$
将$∠ BIC=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ DIE=∠ BAC$代入得：
$∠ BAC + 90° + \frac{1}{2}∠ BAC=165°$
$\frac{3}{2}∠ BAC=75°$
解得$∠ BAC=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了折叠变换、三角形内心性质及三角形内角和定理，解题关键是找到∠BIC与∠BAC的数量关系，结合周角性质建立方程求解。
【难度系数】
0.6
解题需结合折叠性质、三角形内心性质推导角的关系：第一步根据点I处周角为360°，结合已知∠DIB+∠EIC=195°，求出∠BIC与∠DIE的和；第二步利用折叠性质得到∠DIE=∠BAC；第三步利用三角形内心性质推导∠BIC和∠BAC的数量关系；最后将两个角的表达式代入和的等式，解方程即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BIC中，$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC$
∴$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
∵将△ABC沿DE折叠，点A与点I重合
∴$∠ DIE=∠ BAC$
∵在点I处，$∠ DIB+∠ EIC+∠ BIC+∠ DIE=360°$，且$∠ DIB+∠ EIC=195°$
∴$∠ BIC+∠ DIE=360°-195°=165°$
将$∠ BIC=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ DIE=∠ BAC$代入得：
$∠ BAC + 90° + \frac{1}{2}∠ BAC=165°$
$\frac{3}{2}∠ BAC=75°$
解得$∠ BAC=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了折叠变换、三角形内心性质及三角形内角和定理，解题关键是找到∠BIC与∠BAC的数量关系，结合周角性质建立方程求解。
【难度系数】
0.6
10.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过点A,D的⊙O与BC边相切于点E,则⊙O的半径为
$\frac{25}{4}$
.答案
10.$\frac{25}{4}$
解析
【分析】
本题可通过作辅助线构造直角三角形，结合圆的性质与勾股定理求解半径。首先连接OE、OA，过O作OF⊥AD于F，由切线性质得OE⊥BC，结合矩形对边平行的性质可知O、E、F三点共线，且EF的长度等于矩形的宽AB；再根据垂径定理可得OF垂直平分AD，求出AF的长度；设半径为r，用r表示出OF的长度，最后在直角三角形OAF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：连接OE、OA，过点O作$OF⊥ AD$于点F，设$\odot O$的半径为$r$。
1. 由切线性质得：$\odot O$与BC相切于E，故$OE⊥ BC$，$OE=OA=r$。
2. 结合矩形性质推导：四边形ABCD是矩形，$AD// BC$，$∠ B=∠ BAD=90°$，因此$OF⊥ AD$，四边形ABEF是矩形，可得$EF=AB=8$，则$OF=EF-OE=8-r$。
3. 由垂径定理得：OF垂直平分AD，故$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×12=6$。
4. 利用勾股定理列方程：在$Rt△ OAF$中，$OA^2=AF^2+OF^2$，代入得：
$r^2=6^2+(8-r)^2$
展开化简：$r^2=36+64-16r+r^2$，消去$r^2$后得$16r=100$，解得$r=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与矩形结合的典型题型，解题核心是合理构造辅助线，将圆的性质与直角三角形的勾股定理结合，利用方程思想求解未知量，能较好考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.65
本题可通过作辅助线构造直角三角形，结合圆的性质与勾股定理求解半径。首先连接OE、OA，过O作OF⊥AD于F，由切线性质得OE⊥BC，结合矩形对边平行的性质可知O、E、F三点共线，且EF的长度等于矩形的宽AB；再根据垂径定理可得OF垂直平分AD，求出AF的长度；设半径为r，用r表示出OF的长度，最后在直角三角形OAF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：连接OE、OA，过点O作$OF⊥ AD$于点F，设$\odot O$的半径为$r$。
1. 由切线性质得：$\odot O$与BC相切于E，故$OE⊥ BC$，$OE=OA=r$。
2. 结合矩形性质推导：四边形ABCD是矩形，$AD// BC$，$∠ B=∠ BAD=90°$，因此$OF⊥ AD$，四边形ABEF是矩形，可得$EF=AB=8$，则$OF=EF-OE=8-r$。
3. 由垂径定理得：OF垂直平分AD，故$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×12=6$。
4. 利用勾股定理列方程：在$Rt△ OAF$中，$OA^2=AF^2+OF^2$，代入得：
$r^2=6^2+(8-r)^2$
展开化简：$r^2=36+64-16r+r^2$，消去$r^2$后得$16r=100$，解得$r=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与矩形结合的典型题型，解题核心是合理构造辅助线，将圆的性质与直角三角形的勾股定理结合，利用方程思想求解未知量，能较好考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.65
11.如图,在$\odot O$中,AB为$\odot O$的直径,点C为OB上的点,$CE⊥ OB$交$\odot O$于点D,过点E作$\odot O$的切线,切点为F,连接BF交CD于点G.
(1)求证:$EF=EG$.
(2)若$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FD}=\overset{\frown}{DB}$,$DE=2$,求阴影部分的面积.
(1)求证:$EF=EG$.
(2)若$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FD}=\overset{\frown}{DB}$,$DE=2$,求阴影部分的面积.
答案
11.(1)连接 $OF$.
$\because EF$ 为 $\odot O$ 的切线, $\therefore ∠ EFG+∠ OFB=90°$,
$\because CE⊥ OB,\therefore ∠ BGC+∠ OBF=90°$,
$\because ∠ OFB=∠ OBF,∠ EGF=∠ BGC,\therefore ∠ EGF=∠ EFG,\therefore EF=EG$.
(2)连接 $OD,OF,FD$.
$\because \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FD}=\overset{\frown}{DB},\therefore ∠ AOF=∠ FOD=∠ DOB=60°$,
$\therefore ∠ BFD=\frac{1}{2}∠ DOB=30°,∠ DGF=∠ BGC=90°-\frac{1}{2}∠ AOF=60°$,
$\because EF=EG,OD=OF,\therefore △ EFG$ 和 $△ DOF$ 是等边三角形,点 $D$ 为 $EG$ 的中点,
$\therefore △ EFG$ 的边长为 $4,\therefore FD=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ EFG}=\frac{1}{2}× 4× 2\sqrt{3}=4\sqrt{3},\therefore S_{△ EFD}=\frac{1}{2}S_{△ EFG}=2\sqrt{3}$,
$S_{\mathrm{扇形}OFD}=\frac{60°π×(2\sqrt{3})^2}{360°}=2π,S_{△ DOF}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× \frac{\sqrt{3}}{2}× 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴}}=S_{△ EFD}-(S_{\mathrm{扇形}OFD}-S_{△ DOF})=5\sqrt{3}-2π$.
$\because EF$ 为 $\odot O$ 的切线, $\therefore ∠ EFG+∠ OFB=90°$,
$\because CE⊥ OB,\therefore ∠ BGC+∠ OBF=90°$,
$\because ∠ OFB=∠ OBF,∠ EGF=∠ BGC,\therefore ∠ EGF=∠ EFG,\therefore EF=EG$.
(2)连接 $OD,OF,FD$.
$\because \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FD}=\overset{\frown}{DB},\therefore ∠ AOF=∠ FOD=∠ DOB=60°$,
$\therefore ∠ BFD=\frac{1}{2}∠ DOB=30°,∠ DGF=∠ BGC=90°-\frac{1}{2}∠ AOF=60°$,
$\because EF=EG,OD=OF,\therefore △ EFG$ 和 $△ DOF$ 是等边三角形,点 $D$ 为 $EG$ 的中点,
$\therefore △ EFG$ 的边长为 $4,\therefore FD=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ EFG}=\frac{1}{2}× 4× 2\sqrt{3}=4\sqrt{3},\therefore S_{△ EFD}=\frac{1}{2}S_{△ EFG}=2\sqrt{3}$,
$S_{\mathrm{扇形}OFD}=\frac{60°π×(2\sqrt{3})^2}{360°}=2π,S_{△ DOF}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× \frac{\sqrt{3}}{2}× 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴}}=S_{△ EFD}-(S_{\mathrm{扇形}OFD}-S_{△ DOF})=5\sqrt{3}-2π$.
解析
【分析】
(1) 要证明$EF=EG$，可通过证明对应底角相等推导，即证$∠ EGF=∠ EFG$。已知$EF$是圆的切线，连接半径$OF$可得$OF⊥ EF$，结合$CE⊥ OB$的直角，利用等腰三角形等边对等角、对顶角相等的性质，通过等角的余角相等即可推导出两角相等，完成证明。
(2) 先由三段弧相等推出三个圆心角均为$60°$，可判断$△ DOF$是等边三角形，结合(1)的结论可得$△ EFG$是等边三角形，再根据$DE=2$求出等边三角形边长和圆的半径，最后用割补法计算阴影面积：阴影面积等于$△ EFD$的面积减去（扇形$OFD$的面积减去$△ DOF$的面积）。
【解析】
(1) 证明：连接$OF$。
$\because EF$为$\odot O$的切线，$\therefore OF⊥ EF$，即$∠ OFE=90°$，
$\therefore ∠ EFG+∠ OFB=90°$，
$\because CE⊥ OB$，$\therefore ∠ BCG=90°$，
$\therefore ∠ BGC+∠ OBF=90°$，
$\because OF=OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore ∠ OFB=∠ OBF$，
又$\because ∠ EGF=∠ BGC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ EGF=∠ EFG$，$\therefore EF=EG$。
(2) 解：连接$OD,OF,FD$。
$\because \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FD}=\overset{\frown}{DB}$，$AB$为直径，
$\therefore ∠ AOF=∠ FOD=∠ DOB=\frac{180°}{3}=60°$，
$\therefore ∠ ABF=\frac{1}{2}∠ AOF=30°$，$∠ DGF=∠ BGC=90°-∠ ABF=60°$，
由(1)知$EF=EG$，$\therefore △ EFG$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
$\because OD=OF$，$∠ FOD=60°$，$\therefore △ DOF$是等边三角形，且$D$为$EG$中点，
$\because DE=2$，$\therefore EG=EF=FG=4$，
等边$△ EFG$的高$FD=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ EFG}=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$S_{△ EFD}=\frac{1}{2}S_{△ EFG}=2\sqrt{3}$，
$S_{扇形OFD}=\frac{60°×π×(2\sqrt{3})^2}{360°}=2π$，
$S_{△ DOF}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=3\sqrt{3}$，
$\therefore S_{阴}=S_{△ EFD}-(S_{扇形OFD}-S_{△ DOF})=2\sqrt{3}-(2π-3\sqrt{3})=5\sqrt{3}-2π$。
【答案】
(1) $EF=EG$得证；
(2) 阴影部分面积为$\boldsymbol{5\sqrt{3}-2π}$。
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合题，考查了圆的基础性质、特殊三角形的判定与性质、不规则图形面积的计算，解题关键是合理添加辅助线，结合弧相等的条件推导角度关系，熟练运用割补法转化不规则图形的面积。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$EF=EG$，可通过证明对应底角相等推导，即证$∠ EGF=∠ EFG$。已知$EF$是圆的切线，连接半径$OF$可得$OF⊥ EF$，结合$CE⊥ OB$的直角，利用等腰三角形等边对等角、对顶角相等的性质，通过等角的余角相等即可推导出两角相等，完成证明。
(2) 先由三段弧相等推出三个圆心角均为$60°$，可判断$△ DOF$是等边三角形，结合(1)的结论可得$△ EFG$是等边三角形，再根据$DE=2$求出等边三角形边长和圆的半径，最后用割补法计算阴影面积：阴影面积等于$△ EFD$的面积减去（扇形$OFD$的面积减去$△ DOF$的面积）。
【解析】
(1) 证明：连接$OF$。
$\because EF$为$\odot O$的切线，$\therefore OF⊥ EF$，即$∠ OFE=90°$，
$\therefore ∠ EFG+∠ OFB=90°$，
$\because CE⊥ OB$，$\therefore ∠ BCG=90°$，
$\therefore ∠ BGC+∠ OBF=90°$，
$\because OF=OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore ∠ OFB=∠ OBF$，
又$\because ∠ EGF=∠ BGC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ EGF=∠ EFG$，$\therefore EF=EG$。
(2) 解：连接$OD,OF,FD$。
$\because \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FD}=\overset{\frown}{DB}$，$AB$为直径，
$\therefore ∠ AOF=∠ FOD=∠ DOB=\frac{180°}{3}=60°$，
$\therefore ∠ ABF=\frac{1}{2}∠ AOF=30°$，$∠ DGF=∠ BGC=90°-∠ ABF=60°$，
由(1)知$EF=EG$，$\therefore △ EFG$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
$\because OD=OF$，$∠ FOD=60°$，$\therefore △ DOF$是等边三角形，且$D$为$EG$中点，
$\because DE=2$，$\therefore EG=EF=FG=4$，
等边$△ EFG$的高$FD=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$，
$\therefore S_{△ EFG}=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$S_{△ EFD}=\frac{1}{2}S_{△ EFG}=2\sqrt{3}$，
$S_{扇形OFD}=\frac{60°×π×(2\sqrt{3})^2}{360°}=2π$，
$S_{△ DOF}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=3\sqrt{3}$，
$\therefore S_{阴}=S_{△ EFD}-(S_{扇形OFD}-S_{△ DOF})=2\sqrt{3}-(2π-3\sqrt{3})=5\sqrt{3}-2π$。
【答案】
(1) $EF=EG$得证；
(2) 阴影部分面积为$\boldsymbol{5\sqrt{3}-2π}$。
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合题，考查了圆的基础性质、特殊三角形的判定与性质、不规则图形面积的计算，解题关键是合理添加辅助线，结合弧相等的条件推导角度关系，熟练运用割补法转化不规则图形的面积。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，以$BC$为直径的$\odot O$交$AB$于点$D$.点$E$是$\overset{\frown}{DB}$上一点，$AC=AE$.
(1)求证：$AE$是$\odot O$的切线.
(2)连接$BE$，若$AC=2\sqrt{5}$，求$BE$的长.
(1)求证：$AE$是$\odot O$的切线.
(2)连接$BE$，若$AC=2\sqrt{5}$，求$BE$的长.
答案
12.(1)连接 $OE,AO$.
$\because AC=AE,OC=OE,\therefore △ AOC≌△ AOE(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ AEO=∠ ACB=90°,\therefore AE$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)连接 $CE,AO,AO$ 交 $CE$ 于点 $H$.
$\because △ AOC≌△ AOE,\therefore ∠ CAO=∠ EAO$,
$\because AC=AE,\therefore AO⊥ CE,CH=EH$,
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC=BC=2\sqrt{5},∠ ACB=90°,\therefore OC=\sqrt{5},OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=5$,
$\because S_{△ ACO}=\frac{AC· OC}{2}=\frac{OA· CH}{2},\therefore CH=\frac{AC· OC}{OA}=2,\therefore CE=2CH=4$,
$\because BC=2\sqrt{5},\therefore BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=2$.
$\because AC=AE,OC=OE,\therefore △ AOC≌△ AOE(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ AEO=∠ ACB=90°,\therefore AE$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)连接 $CE,AO,AO$ 交 $CE$ 于点 $H$.
$\because △ AOC≌△ AOE,\therefore ∠ CAO=∠ EAO$,
$\because AC=AE,\therefore AO⊥ CE,CH=EH$,
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC=BC=2\sqrt{5},∠ ACB=90°,\therefore OC=\sqrt{5},OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=5$,
$\because S_{△ ACO}=\frac{AC· OC}{2}=\frac{OA· CH}{2},\therefore CH=\frac{AC· OC}{OA}=2,\therefore CE=2CH=4$,
$\because BC=2\sqrt{5},\therefore BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=2$.
解析
【分析】
(1) 要证明AE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明AE垂直于⊙O的半径OE，因此先连接OE、AO。已知AC=AE，OC=OE，且AO是两个三角形的公共边，可通过SSS证明△AOC≌△AOE，由全等三角形对应角相等可得∠AEO=∠ACB=90°，即可证得AE是切线。
(2) 要求BE的长，观察到BC是⊙O的直径，根据圆周角定理可得∠BEC=90°，因此只需在Rt△BEC中求出CE的长，即可用勾股定理计算BE。由(1)的全等结论可得AO平分∠CAE，结合AC=AE，根据等腰三角形三线合一可知AO垂直平分CE。先在Rt△ACO中用勾股定理求出AO的长度，再利用△ACO的面积法求出高CH的长，进而得到CE的长度，最后代入Rt△BEC计算即可得到BE的长。
【解析】
(1) 证明：连接 $OE,AO$.
$\because AC=AE,OC=OE,AO=AO$，
$\therefore △ AOC≌△ AOE(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ AEO=∠ ACB=90°$，即$OE⊥ AE$，
又$\because OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore AE$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 解：连接 $CE,AO$，$AO$ 交 $CE$ 于点 $H$.
$\because △ AOC≌△ AOE$，
$\therefore ∠ CAO=∠ EAO$，
$\because AC=AE$，
$\therefore AO⊥ CE,CH=EH$（等腰三角形三线合一）.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC=BC=2\sqrt{5},∠ ACB=90°$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$，
在$\mathrm{Rt}△ACO$中，$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=5$.
$\because S_{△ ACO}=\frac{AC· OC}{2}=\frac{OA· CH}{2}$，
$\therefore CH=\frac{AC· OC}{OA}=\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5}=2$，
$\therefore CE=2CH=4$.
$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠BEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BEC$中，$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=2$.
【答案】
(1) AE是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $BE=2$
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，考查了切线的判定方法、全等三角形的性质、等腰三角形三线合一、圆周角定理以及面积法求线段长度，解题的关键是合理构造辅助线，将圆的性质和三角形知识结合运用，能较好地锻炼逻辑推理能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AE是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明AE垂直于⊙O的半径OE，因此先连接OE、AO。已知AC=AE，OC=OE，且AO是两个三角形的公共边，可通过SSS证明△AOC≌△AOE，由全等三角形对应角相等可得∠AEO=∠ACB=90°，即可证得AE是切线。
(2) 要求BE的长，观察到BC是⊙O的直径，根据圆周角定理可得∠BEC=90°，因此只需在Rt△BEC中求出CE的长，即可用勾股定理计算BE。由(1)的全等结论可得AO平分∠CAE，结合AC=AE，根据等腰三角形三线合一可知AO垂直平分CE。先在Rt△ACO中用勾股定理求出AO的长度，再利用△ACO的面积法求出高CH的长，进而得到CE的长度，最后代入Rt△BEC计算即可得到BE的长。
【解析】
(1) 证明：连接 $OE,AO$.
$\because AC=AE,OC=OE,AO=AO$，
$\therefore △ AOC≌△ AOE(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ AEO=∠ ACB=90°$，即$OE⊥ AE$，
又$\because OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore AE$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2) 解：连接 $CE,AO$，$AO$ 交 $CE$ 于点 $H$.
$\because △ AOC≌△ AOE$，
$\therefore ∠ CAO=∠ EAO$，
$\because AC=AE$，
$\therefore AO⊥ CE,CH=EH$（等腰三角形三线合一）.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC=BC=2\sqrt{5},∠ ACB=90°$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$，
在$\mathrm{Rt}△ACO$中，$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=5$.
$\because S_{△ ACO}=\frac{AC· OC}{2}=\frac{OA· CH}{2}$，
$\therefore CH=\frac{AC· OC}{OA}=\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5}=2$，
$\therefore CE=2CH=4$.
$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠BEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BEC$中，$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=2$.
【答案】
(1) AE是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $BE=2$
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，考查了切线的判定方法、全等三角形的性质、等腰三角形三线合一、圆周角定理以及面积法求线段长度，解题的关键是合理构造辅助线，将圆的性质和三角形知识结合运用，能较好地锻炼逻辑推理能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
