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14 化简：
(1) $(\dfrac{1}{2}a^2 - 3 + 2a) - 6(\dfrac{1}{3} - a + \dfrac{1}{4}a^2)$；
(2) $4m^2 - [5m^2 - 3(m^2 - 2m) - 2(2m^2 + 3m)]$。
(1) $(\dfrac{1}{2}a^2 - 3 + 2a) - 6(\dfrac{1}{3} - a + \dfrac{1}{4}a^2)$；
(2) $4m^2 - [5m^2 - 3(m^2 - 2m) - 2(2m^2 + 3m)]$。
答案
14. (1) $-a^2+8a-5$ (2) $6m^2$
解析
【分析】
整式化简的核心是先去括号，再合并同类项。解题时注意：①去括号时，若括号前有系数，要将系数乘遍括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；②多层括号一般按照先去小括号、再去中括号的顺序计算，最后把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
(1)题只有一层括号，先把-6乘进括号内的每一项，再合并同类项即可；
(2)题有两层括号，先去小括号，再去中括号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}a^2 - 3 + 2a - 6×\frac{1}{3} + 6× a - 6×\frac{1}{4}a^2 \\&=\frac{1}{2}a^2 - 3 + 2a - 2 + 6a - \frac{3}{2}a^2 \\&=(\frac{1}{2}a^2 - \frac{3}{2}a^2) + (2a + 6a) + (-3 - 2) \\&=-a^2 + 8a -5\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4m^2 - [5m^2 - 3m^2 + 6m - 4m^2 - 6m] \\&=4m^2 - [(5m^2 - 3m^2 - 4m^2) + (6m - 6m)] \\&=4m^2 - (-2m^2 + 0) \\&=4m^2 + 2m^2 \\&=6m^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-a^2+8a-5$；(2) $6m^2$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，重点考查去括号时的符号处理和乘法分配律的应用，运算时要注意括号前的系数需乘遍括号内所有项，避免漏乘，多层括号按顺序计算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
整式化简的核心是先去括号，再合并同类项。解题时注意：①去括号时，若括号前有系数，要将系数乘遍括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；②多层括号一般按照先去小括号、再去中括号的顺序计算，最后把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
(1)题只有一层括号，先把-6乘进括号内的每一项，再合并同类项即可；
(2)题有两层括号，先去小括号，再去中括号，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}a^2 - 3 + 2a - 6×\frac{1}{3} + 6× a - 6×\frac{1}{4}a^2 \\&=\frac{1}{2}a^2 - 3 + 2a - 2 + 6a - \frac{3}{2}a^2 \\&=(\frac{1}{2}a^2 - \frac{3}{2}a^2) + (2a + 6a) + (-3 - 2) \\&=-a^2 + 8a -5\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4m^2 - [5m^2 - 3m^2 + 6m - 4m^2 - 6m] \\&=4m^2 - [(5m^2 - 3m^2 - 4m^2) + (6m - 6m)] \\&=4m^2 - (-2m^2 + 0) \\&=4m^2 + 2m^2 \\&=6m^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-a^2+8a-5$；(2) $6m^2$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，重点考查去括号时的符号处理和乘法分配律的应用，运算时要注意括号前的系数需乘遍括号内所有项，避免漏乘，多层括号按顺序计算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
15 已知代数式$A=2x^2+3xy+2y$，$B=x^2-xy+x$。
（1）求$A-2B$；
（2）当$x=-1,y=2$时，求$A-2B$的值；
（3）若$A-2B$的值与$x$的取值无关，求$y$的值。
（1）求$A-2B$；
（2）当$x=-1,y=2$时，求$A-2B$的值；
（3）若$A-2B$的值与$x$的取值无关，求$y$的值。
答案
15. (1) 因为$A=2x^2+3xy+2y,B=x^2-xy+x$,所以$A-2B=(2x^2+3xy+2y)-2(x^2-xy+x)=2x^2+3xy+2y-2x^2+2xy-2x=5xy-2x+2y$
(2) 当$x=-1,y=2$时,$A-2B=5xy-2x+2y=5×(-1)×2-2×(-1)+2×2=-10+2+4=-4$
(3) 因为$A-2B=5xy-2x+2y=(5y-2)x+2y$,所以当$A-2B$的值与$x$的取值无关时,$5y-2=0$,解得$y=\dfrac{2}{5}$,即$y$的值是$\dfrac{2}{5}$
(2) 当$x=-1,y=2$时,$A-2B=5xy-2x+2y=5×(-1)×2-2×(-1)+2×2=-10+2+4=-4$
(3) 因为$A-2B=5xy-2x+2y=(5y-2)x+2y$,所以当$A-2B$的值与$x$的取值无关时,$5y-2=0$,解得$y=\dfrac{2}{5}$,即$y$的值是$\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】
（1）求$A-2B$只需将已知的$A$、$B$代数式代入式子，先按去括号法则去掉括号，再合并同类项即可得到化简结果，注意去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号，且2要与$B$的每一项相乘。
（2）求代数式的值，直接将$x=-1$、$y=2$代入第（1）问化简得到的$A-2B$的式子中，按有理数运算顺序计算即可。
（3）若$A-2B$的值与$x$的取值无关，说明含有$x$的项的系数为0，因此先将第（1）问的结果整理为关于$x$的一次式的形式，令$x$的系数等于0，解关于$y$的一元一次方程即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 已知$A=2x^2+3xy+2y$，$B=x^2-xy+x$，代入可得：
$\begin{aligned}A-2B&=(2x^2+3xy+2y)-2(x^2-xy+x)\\&=2x^2+3xy+2y-2x^2+2xy-2x\\&=5xy-2x+2y\end{aligned}$
(2) 当$x=-1,y=2$时，将值代入$A-2B=5xy-2x+2y$中：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5×(-1)×2-2×(-1)+2×2\\&=-10+2+4\\&=-4\end{aligned}$
(3) 将$A-2B$变形为含$x$项的形式：
$A-2B=5xy-2x+2y=(5y-2)x+2y$
因为$A-2B$的值与$x$的取值无关，所以$x$的系数为0，即：
$5y-2=0$
解得$y=\dfrac{2}{5}$
【答案】
(1) $5xy-2x+2y$；(2) $-4$；(3) $\dfrac{2}{5}$
【知识点】
整式的加减，代数式求值，多项式无关项性质
【点评】
本题是整式加减的典型基础题型，依次考查了去括号、合并同类项的基本运算能力，代数式代入求值的运算规则，以及“代数式的值与某字母取值无关则该字母的系数为0”的性质应用，第三问的易错点是容易错误理解无关的含义，学习时要注意吃透概念。
【难度系数】
0.7
（1）求$A-2B$只需将已知的$A$、$B$代数式代入式子，先按去括号法则去掉括号，再合并同类项即可得到化简结果，注意去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号，且2要与$B$的每一项相乘。
（2）求代数式的值，直接将$x=-1$、$y=2$代入第（1）问化简得到的$A-2B$的式子中，按有理数运算顺序计算即可。
（3）若$A-2B$的值与$x$的取值无关，说明含有$x$的项的系数为0，因此先将第（1）问的结果整理为关于$x$的一次式的形式，令$x$的系数等于0，解关于$y$的一元一次方程即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 已知$A=2x^2+3xy+2y$，$B=x^2-xy+x$，代入可得：
$\begin{aligned}A-2B&=(2x^2+3xy+2y)-2(x^2-xy+x)\\&=2x^2+3xy+2y-2x^2+2xy-2x\\&=5xy-2x+2y\end{aligned}$
(2) 当$x=-1,y=2$时，将值代入$A-2B=5xy-2x+2y$中：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5×(-1)×2-2×(-1)+2×2\\&=-10+2+4\\&=-4\end{aligned}$
(3) 将$A-2B$变形为含$x$项的形式：
$A-2B=5xy-2x+2y=(5y-2)x+2y$
因为$A-2B$的值与$x$的取值无关，所以$x$的系数为0，即：
$5y-2=0$
解得$y=\dfrac{2}{5}$
【答案】
(1) $5xy-2x+2y$；(2) $-4$；(3) $\dfrac{2}{5}$
【知识点】
整式的加减，代数式求值，多项式无关项性质
【点评】
本题是整式加减的典型基础题型，依次考查了去括号、合并同类项的基本运算能力，代数式代入求值的运算规则，以及“代数式的值与某字母取值无关则该字母的系数为0”的性质应用，第三问的易错点是容易错误理解无关的含义，学习时要注意吃透概念。
【难度系数】
0.7
16 观察下列各式:① $-a + b = -(a - b)$;② $2 - 3x = -(3x - 2)$;③ $5x + 30 = 5(x + 6)$;④ $-x -6 = -(x +6)$.利用你探索出来的规律,解答下面的题目:已知 $a^2 + b^2 =13$, $1 - b = -2$,求 $-1 + a^2 + b + b^2$ 的值.
答案
16. $-1+a^2+b+b^2=a^2+b^2-(1-b)=13-(-2)=15$
解析
【分析】
解题时首先观察待求代数式的结构，我们已知$a^2+b^2$和$1-b$的值，因此可以利用加法结合律把待求式中$a^2$、$b^2$分为一组，剩余的含$b$和常数的项分为另一组；再根据添括号法则对含$b$和常数的项进行变形，转化为含有已知式$1-b$的形式，最后将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的取值。
【解析】
首先对待求式变形：
$\begin{aligned}-1 + a^2 + b + b^2&=(a^2 + b^2) + (-1 + b)\\&=(a^2 + b^2) - (1 - b)\end{aligned}$
将$a^2 + b^2=13$，$1 - b=-2$代入上式得：
原式$=13 - (-2)=13 + 2=15$
【答案】
$15$
【知识点】
添括号法则，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整式加减中的代数式求值问题，核心是灵活运用添括号法则对待求式进行变形，利用整体代入的思想可大幅简化计算步骤，是整式运算中的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察待求代数式的结构，我们已知$a^2+b^2$和$1-b$的值，因此可以利用加法结合律把待求式中$a^2$、$b^2$分为一组，剩余的含$b$和常数的项分为另一组；再根据添括号法则对含$b$和常数的项进行变形，转化为含有已知式$1-b$的形式，最后将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的取值。
【解析】
首先对待求式变形：
$\begin{aligned}-1 + a^2 + b + b^2&=(a^2 + b^2) + (-1 + b)\\&=(a^2 + b^2) - (1 - b)\end{aligned}$
将$a^2 + b^2=13$，$1 - b=-2$代入上式得：
原式$=13 - (-2)=13 + 2=15$
【答案】
$15$
【知识点】
添括号法则，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整式加减中的代数式求值问题，核心是灵活运用添括号法则对待求式进行变形，利用整体代入的思想可大幅简化计算步骤，是整式运算中的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
1 若有理数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$|a-b|-|b+a|$的结果为 （
A.$-2b$
B.$2a$
C.$-2b-2a$
D.$-2a$
D
）A.$-2b$
B.$2a$
C.$-2b-2a$
D.$-2a$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定a、b的取值特征：a在原点左侧为负数，b在原点右侧为正数，且b到原点的距离大于a到原点的距离，即|b|＞|a|。接下来判断绝对值内两个式子的正负：a是负数、b是正数，因此a-b是负数减正数，结果为负；正数b的绝对值更大，因此b+a的结果为正。最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得：$a＜0＜b$，且$|b|＞|a|$，
因此 $a-b＜0$，$a+b＞0$。
根据绝对值的性质：
$|a-b|=-(a-b)=b-a$，
$|b+a|=b+a$，
代入原式得：
$|a-b|-|b+a|=(b-a)-(b+a)=b-a-b-a=-2a$。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式化简
【点评】
本题是整式化简的典型题型，需要结合数轴判断数的正负和绝对值大小，再依据绝对值的性质去绝对值符号，解题时要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴确定a、b的取值特征：a在原点左侧为负数，b在原点右侧为正数，且b到原点的距离大于a到原点的距离，即|b|＞|a|。接下来判断绝对值内两个式子的正负：a是负数、b是正数，因此a-b是负数减正数，结果为负；正数b的绝对值更大，因此b+a的结果为正。最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得：$a＜0＜b$，且$|b|＞|a|$，
因此 $a-b＜0$，$a+b＞0$。
根据绝对值的性质：
$|a-b|=-(a-b)=b-a$，
$|b+a|=b+a$，
代入原式得：
$|a-b|-|b+a|=(b-a)-(b+a)=b-a-b-a=-2a$。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式化简
【点评】
本题是整式化简的典型题型，需要结合数轴判断数的正负和绝对值大小，再依据绝对值的性质去绝对值符号，解题时要注意去括号时的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
2 有理数$a,b,c$在数轴上的对应点的位置如图所示.
（1）判断正负，用“$＞$”或“$＜$”填空：$c - b$
（2）化简：$|c - b| + |a + b| - |a - c|$.
（1）判断正负，用“$＞$”或“$＜$”填空：$c - b$
$＞$
$0$，$a + b$ $＜$
$0$，$a - c$ $＜$
$0$；（2）化简：$|c - b| + |a + b| - |a - c|$.
答案
2. (1) $＞$ $＜$ $＜$ (2) 原式$=c-b+[-(a+b)]-[-(a-c)]=c-b-a-b+a-c=-2b$
解析
【分析】
首先根据数轴的特征：数轴上右侧的数总比左侧的数大，可确定三个数的大小关系为$a＜0＜b＜c$，且$a$的绝对值大于$b$的绝对值。对于（1），根据有理数加减法的符号判断规则：大数减小数结果为正，小数减大数结果为负，异号两数相加取绝对值较大的数的符号，即可判断三个式子的正负。对于（2），根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，先去掉绝对值符号，再通过去括号、合并同类项完成化简。
【解析】
（1）由数轴可得$a＜0＜b＜c$，且$\vert a\vert＞\vert b\vert$：
① 因为$c＞b$，所以$c-b＞0$；
② 因为$a$为负数且$\vert a\vert＞\vert b\vert$，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，所以$a+b＜0$；
③ 因为$a＜c$，所以$a-c＜0$。
（2）根据绝对值的性质化简：
因为$c-b＞0$，所以$\vert c-b\vert=c-b$；
因为$a+b＜0$，所以$\vert a+b\vert=-(a+b)$；
因为$a-c＜0$，所以$\vert a-c\vert=-(a-c)$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}\vert c - b\vert + \vert a + b\vert - \vert a - c\vert&=c-b+[-(a+b)]-[-(a-c)]\\&=c-b-a-b+a-c\\&=-2b\end{aligned}$
【答案】
（1）$＞$，$＜$，$＜$；（2）$-2b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题结合数轴考查有理数的大小判断、绝对值的化简和整式的运算，解题的关键是准确判断绝对值内式子的正负，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则。
【难度系数】
0.75
首先根据数轴的特征：数轴上右侧的数总比左侧的数大，可确定三个数的大小关系为$a＜0＜b＜c$，且$a$的绝对值大于$b$的绝对值。对于（1），根据有理数加减法的符号判断规则：大数减小数结果为正，小数减大数结果为负，异号两数相加取绝对值较大的数的符号，即可判断三个式子的正负。对于（2），根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，先去掉绝对值符号，再通过去括号、合并同类项完成化简。
【解析】
（1）由数轴可得$a＜0＜b＜c$，且$\vert a\vert＞\vert b\vert$：
① 因为$c＞b$，所以$c-b＞0$；
② 因为$a$为负数且$\vert a\vert＞\vert b\vert$，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，所以$a+b＜0$；
③ 因为$a＜c$，所以$a-c＜0$。
（2）根据绝对值的性质化简：
因为$c-b＞0$，所以$\vert c-b\vert=c-b$；
因为$a+b＜0$，所以$\vert a+b\vert=-(a+b)$；
因为$a-c＜0$，所以$\vert a-c\vert=-(a-c)$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}\vert c - b\vert + \vert a + b\vert - \vert a - c\vert&=c-b+[-(a+b)]-[-(a-c)]\\&=c-b-a-b+a-c\\&=-2b\end{aligned}$
【答案】
（1）$＞$，$＜$，$＜$；（2）$-2b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题结合数轴考查有理数的大小判断、绝对值的化简和整式的运算，解题的关键是准确判断绝对值内式子的正负，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则。
【难度系数】
0.75
