1. 如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度$AC=1200\ \mathrm{m}$,从飞机上看地平面指挥台B的俯角$α=30°$,则飞机A与指挥台B的距离为（）

A.$1200\ \mathrm{m}$
B.$1200\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
C.$1200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$2400\ \mathrm{m}$

（第1题图）
（第2题图）

1.D

【分析】
首先根据俯角的定义和平行线内错角相等的性质，可得Rt△ABC中∠B=α=30°，已知直角边AC的长度，要求斜边AB的长度，可利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，或锐角三角函数关系求解。
【解析】
∵从A看B的俯角为α=30°，且A处水平线与BC平行
∴∠B=α=30°
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1200m
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴$AC=\frac{1}{2}AB$
∴$AB=2AC=2×1200=2400(\mathrm{m})$
【答案】
D
【知识点】
俯角的概念、直角三角形性质、解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，解题的核心是将实际问题中的俯角转化为直角三角形的内角，再结合直角三角形的边角关系计算即可。
【难度系数】
0.8

2.如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（）

A.$a\sinθ$ km
B.$\dfrac{a}{\sinθ}$ km
C.$a\cosθ$ km
D.$\dfrac{a}{\cosθ}$ km

2.A

【分析】
首先结合题目信息和图形可知，△ALR是直角三角形，其中∠ALR=90°，已知斜边AR=a，锐角∠ARL=θ，待求边AL是θ的对边。我们可根据锐角三角函数中正弦的定义，建立已知边、角和待求边之间的关系，进而求出AL的长度。
【解析】
解：由题意得，△ALR为直角三角形，∠ALR=90°，AR=a km，∠ARL=θ。
在Rt△ALR中，根据正弦函数的定义：
$\sinθ = \frac{\mathrm{∠θ的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AL}{AR}$
将AR=a代入变形可得：
$AL = AR · \sinθ = a\sinθ\ \mathrm{km}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正弦函数定义
2. 解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题目，核心考查锐角三角函数的定义应用，只要找准直角三角形中边和角的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.9

3.(内蒙古中考)如图,因地形原因,湖泊两端A,B的距离不易测量,某科技小组需要用无人机进行测量,他们将无人机上升并飞行至距湖面 90 m 的点 C 处,从点 C 测得点 A 的俯角为 60°,测得点 B 的俯角为 30°(A,B,C 三点在同一竖直平面内),则湖泊两端 A,B 的距离为 m.(结果保留根号)

3.$120\sqrt{3}$

【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先过点C作AB的垂线CD，得到两个直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD，其中CD就是无人机到湖面的高度90m；再根据俯角的定义和平行线的性质，得出两个直角三角形中的锐角角度；最后分别利用正切三角函数求出AD、BD的长度，二者相加就是AB的距离。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知CD=90m。
∵点C处的水平线与AB平行，从C测得A的俯角为60°，测得B的俯角为30°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，∠BCD=90°-30°=60°。
在Rt△ACD中，$\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}$，
∴$AD=CD·\tan30°=90×\frac{\sqrt{3}}{3}=30\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCD中，$\tan∠ BCD=\frac{BD}{CD}$，
∴$BD=CD·\tan60°=90×\sqrt{3}=90\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此$AB=AD+BD=30\sqrt{3}+90\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$120\sqrt{3}$
【知识点】
俯角的概念，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量场景的典型应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合俯角的定义确定三角形的已知边角，再选用合适的三角函数计算未知边即可，侧重考查基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7

4.如图,某种摄像头识别到最远点A的俯角α是$17°$,识别到最近点B的俯角β是$45°$,该摄像头安装在距地面5 m的点C处,求最远点与最近点之间的距离AB.(结果取整数,
参考数据:$\sin 17° \approx 0.29,\cos 17° \approx 0.96,\tan 17° \approx 0.31$)

4.解:根据题意,得$∠ A=α=17°,∠ CBD=β=45°$. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$\because CD=5\ \mathrm{m},\therefore AD=\dfrac{CD}{\tan A}\approx16.1\ \mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BD=\dfrac{CD}{\tan ∠ CBD}=5\ \mathrm{m}.\therefore AB=AD-BD=11.1\approx11(\mathrm{m})$.答:最远点与最近点之间的距离$AB$约是$11\ \mathrm{m}$.

【分析】
解题时首先利用“两直线平行，内错角相等”的性质，将观测点C处的俯角转化为对应直角三角形的内角：∠A=α=17°，∠CBD=β=45°。已知CD垂直地面，长度为5m，因此可分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用正切三角函数求出水平边AD、BD的长度，最后根据AB=AD-BD即可求出两点距离，计算时注意使用题目给出的参考数据，结果按要求取整数。
【解析】
解：根据题意，可得$∠A=α=17°$，$∠CBD=β=45°$，$CD⊥AD$，$CD=5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\tan A=\frac{CD}{AD}$，
$\therefore AD=\frac{CD}{\tan A}=\frac{5}{\tan17°}\approx\frac{5}{0.31}\approx16.1\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$\tan∠CBD=\frac{CD}{BD}$，
$\therefore BD=\frac{CD}{\tan45°}=\frac{5}{1}=5\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=AD-BD\approx16.1-5=11.1\approx11(\mathrm{m})$。
【答案】
最远点与最近点之间的距离$AB$约是$11\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 俯角的定义
2. 解直角三角形
3. 正切函数的应用
【点评】
本题是仰俯角类解直角三角形的典型基础题，解题核心是将俯角转化为直角三角形的内角，再结合已知边长选择合适的锐角三角函数求解未知边，计算时注意参考数据的正确使用，最终按要求取近似值即可。
【难度系数】
0.7

5.(安徽中考)某公司为庆祝新产品上市,在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图,甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示,彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°,测得点D的仰角为36.9°.已知AB=13.20 m,求AD的长.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 23.8°≈0.40,cos 23.8°≈0.91,tan 23.8°≈0.44,sin 36.9°≈0.60,cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75)

5.解:过点$A$作$AE⊥ CD$于点$E$.由题意,得四边形$ABCE$为矩形.所以$CE=AB=13.20\ \mathrm{m}.\because$在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,$\tan ∠ CAE=\dfrac{CE}{AE}$,$\therefore AE=\dfrac{CE}{\tan ∠ CAE}=\dfrac{13.20}{\tan 23.8°}\approx30.0(\mathrm{m}).\because$在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$\cos ∠ DAE=\dfrac{AE}{AD}$,$\therefore AD=\dfrac{AE}{\cos ∠ DAE}=\dfrac{30.0}{\cos 36.9°}\approx37.5(\mathrm{m})$.答:$AD$的长约为$37.5\ \mathrm{m}$.

【分析】
这是一道仰角、俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题首先要通过作辅助线构造直角三角形和矩形：过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABCE是矩形，即可得到CE=AB。首先在Rt△ACE中，利用23.8°俯角的正切值求出两楼的水平距离AE的长度；再在Rt△ADE中，利用36.9°仰角的余弦值，结合已求出的AE长度，即可计算出彩带AD的长度。
【解析】
过点$A$作$AE⊥ CD$于点$E$，由题意得四边形$ABCE$为矩形，因此$CE=AB=13.20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ CAE=23.8°$，根据正切的定义：$\tan ∠ CAE=\dfrac{CE}{AE}$，因此$AE=\dfrac{CE}{\tan ∠ CAE}=\dfrac{13.20}{\tan 23.8°}\approx\dfrac{13.20}{0.44}=30.0(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ DAE=36.9°$，根据余弦的定义：$\cos ∠ DAE=\dfrac{AE}{AD}$，因此$AD=\dfrac{AE}{\cos ∠ DAE}=\dfrac{30.0}{\cos 36.9°}\approx\dfrac{30.0}{0.80}=37.5(\mathrm{m})$。
【答案】
$AD$的长约为$37.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角问题，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际考查三角函数的应用，解题核心是通过作辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形，再利用三角函数的定义列式计算，既考查了基础几何知识的应用，也锻炼了将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65