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1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$\sin B=\dfrac{4}{5}$，则$BC$的长是（
A.3
B.6
C.8
D.9
（第1题图）
（第2题图）
B
）A.3
B.6
C.8
D.9
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.B
解析
【分析】
已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），要求底边BC的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作BC边上的高AD，将BC转化为2倍的BD，只需在构造出的Rt△ABD中，结合已知的AB长和sinB的值，先求出AD，再用勾股定理算出BD，最后乘2即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=5，$\sin B=\frac{4}{5}$，
由$\sin B=\frac{AD}{AB}$，得：
$AD=AB·\sin B=5×\frac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$BC=2BD=2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，考查构造直角三角形求解边长的思路，结合等腰三角形的性质简化计算，掌握三角函数的定义和勾股定理的应用就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），要求底边BC的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作BC边上的高AD，将BC转化为2倍的BD，只需在构造出的Rt△ABD中，结合已知的AB长和sinB的值，先求出AD，再用勾股定理算出BD，最后乘2即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=5，$\sin B=\frac{4}{5}$，
由$\sin B=\frac{AD}{AB}$，得：
$AD=AB·\sin B=5×\frac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$BC=2BD=2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，考查构造直角三角形求解边长的思路，结合等腰三角形的性质简化计算，掌握三角函数的定义和勾股定理的应用就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ABC$的顶点在正方形网格的格点上，则$\cos B$的值为
$\dfrac{4}{5}$
.答案
2.$\dfrac{4}{5}$
解析
【分析】
要计算$\cos B$的值，首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角所在直角三角形中邻边与斜边的比值，因此需要先构造以$∠ B$为锐角的直角三角形。结合网格的特点，我们可以过点$A$作$BC$所在直线的垂线，得到包含$∠ B$的直角三角形，再分别计算$∠ B$的邻边和斜边的长度，代入余弦定义就能求出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，则$∠ ADB=90°$。
通过数网格可得：$BD=4$，$AD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
根据锐角余弦的定义：
$\cos B=\dfrac{∠ B\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是网格背景下求解锐角三角函数值的基础题，解题的核心是结合网格特征构造合适的直角三角形，再结合勾股定理和三角函数定义计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算$\cos B$的值，首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角所在直角三角形中邻边与斜边的比值，因此需要先构造以$∠ B$为锐角的直角三角形。结合网格的特点，我们可以过点$A$作$BC$所在直线的垂线，得到包含$∠ B$的直角三角形，再分别计算$∠ B$的邻边和斜边的长度，代入余弦定义就能求出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，则$∠ ADB=90°$。
通过数网格可得：$BD=4$，$AD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
根据锐角余弦的定义：
$\cos B=\dfrac{∠ B\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是网格背景下求解锐角三角函数值的基础题，解题的核心是结合网格特征构造合适的直角三角形，再结合勾股定理和三角函数定义计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$∠ B=45°$,$BC=3\sqrt{2}$,则$AB$的长为
（第3题图）
（第4题图）
$3+3\sqrt{3}$
.（第3题图）
（第4题图）
答案
3.$3+3\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是斜三角形求边长的问题，已知两个特殊角和一条边，直接无法求解，因此需要构造直角三角形转化问题：过点C作AB边上的高CD，将△ABC分为两个含特殊角的直角三角形Rt△BCD和Rt△ACD。先在Rt△BCD中利用45°角的三角函数值求出CD和BD的长度，再在Rt△ACD中利用30°角的三角函数值求出AD的长度，最后将AD与BD相加即可得到AB的长。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=3√2，
∴$CD = BC·\sin45° = 3\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$，
$BD = BC·\cos45° = 3\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$。
在Rt△ACD中，∠A=30°，CD=3，
$\tan30° = \frac{CD}{AD}$，
∴$AD = \frac{CD}{\tan30°} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 3\sqrt{3}$。
∴$AB = AD + BD = 3\sqrt{3} + 3 = 3 + 3\sqrt{3}$。
【答案】
$3+3\sqrt{3}$
【知识点】
构造直角三角形，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题是解非直角三角形的常规题型，解题核心是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，再结合三角函数的性质计算边长，熟练掌握特殊角的三角函数值和构造直角三角形的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是斜三角形求边长的问题，已知两个特殊角和一条边，直接无法求解，因此需要构造直角三角形转化问题：过点C作AB边上的高CD，将△ABC分为两个含特殊角的直角三角形Rt△BCD和Rt△ACD。先在Rt△BCD中利用45°角的三角函数值求出CD和BD的长度，再在Rt△ACD中利用30°角的三角函数值求出AD的长度，最后将AD与BD相加即可得到AB的长。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=3√2，
∴$CD = BC·\sin45° = 3\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$，
$BD = BC·\cos45° = 3\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$。
在Rt△ACD中，∠A=30°，CD=3，
$\tan30° = \frac{CD}{AD}$，
∴$AD = \frac{CD}{\tan30°} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 3\sqrt{3}$。
∴$AB = AD + BD = 3\sqrt{3} + 3 = 3 + 3\sqrt{3}$。
【答案】
$3+3\sqrt{3}$
【知识点】
构造直角三角形，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题是解非直角三角形的常规题型，解题核心是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，再结合三角函数的性质计算边长，熟练掌握特殊角的三角函数值和构造直角三角形的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
4.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=45°$，$∠ BAC=15°$，$AC=10$，则$BC$的长为
$5\sqrt{3}-5$
。答案
4.$5\sqrt{3}-5$
解析
【分析】
要求BC的长度，已知△ABC中∠B=45°、∠BAC=15°、AC=10，可通过构造直角三角形利用特殊角的性质求解。首先可求出∠ACB=120°，其补角为特殊角60°，因此过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，即可得到两个含特殊角的直角三角形：Rt△ACD（含60°角）和Rt△ABD（含45°角），先利用30°直角三角形的性质求出CD和AD的长，再利用等腰直角三角形的性质求出BD的长，最后用BD减CD即可得到BC的长度。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D。
∵ 在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=15°
∴ ∠ACB=180°-45°-15°=120°
∴ ∠ACD=180°-∠ACB=60°，∠CAD=90°-60°=30°
在Rt△ACD中，AC=10，∠CAD=30°
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$
在Rt△ABD中，∠B=45°，∠ADB=90°
∴ ∠BAD=45°，即△ABD为等腰直角三角形
∴ $BD=AD=5\sqrt{3}$
∴ $BC=BD-CD=5\sqrt{3}-5$
【答案】
$5\sqrt{3}-5$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题考查构造直角三角形解几何问题，解题关键是合理作辅助线，将非特殊角三角形转化为含特殊角的直角三角形，结合勾股定理和特殊直角三角形的性质计算边长，是解三角形类题目的常用方法。
【难度系数】
0.65
要求BC的长度，已知△ABC中∠B=45°、∠BAC=15°、AC=10，可通过构造直角三角形利用特殊角的性质求解。首先可求出∠ACB=120°，其补角为特殊角60°，因此过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，即可得到两个含特殊角的直角三角形：Rt△ACD（含60°角）和Rt△ABD（含45°角），先利用30°直角三角形的性质求出CD和AD的长，再利用等腰直角三角形的性质求出BD的长，最后用BD减CD即可得到BC的长度。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D。
∵ 在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=15°
∴ ∠ACB=180°-45°-15°=120°
∴ ∠ACD=180°-∠ACB=60°，∠CAD=90°-60°=30°
在Rt△ACD中，AC=10，∠CAD=30°
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$
在Rt△ABD中，∠B=45°，∠ADB=90°
∴ ∠BAD=45°，即△ABD为等腰直角三角形
∴ $BD=AD=5\sqrt{3}$
∴ $BC=BD-CD=5\sqrt{3}-5$
【答案】
$5\sqrt{3}-5$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题考查构造直角三角形解几何问题，解题关键是合理作辅助线，将非特殊角三角形转化为含特殊角的直角三角形，结合勾股定理和特殊直角三角形的性质计算边长，是解三角形类题目的常用方法。
【难度系数】
0.65
5.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠ADC=45°,∠ACB=120°,D为BC上一点.若CD=8,则BD的长为
$8\sqrt{3}$
.答案
5.$8\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求BD的长度，可通过构造直角三角形转化为解直角三角形问题求解。过点A作AE垂直于BC的延长线于点E，得到三个含特殊角的直角三角形，设高AE的长度为x，利用30°、45°、60°特殊角的三角函数值，分别用含x的式子表示出DE、CE、BE的长度，结合CD=8的条件建立等式，最终计算得到BD的长。
【解析】
过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，设AE=x。
1. 在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴DE=AE=x。
2. 在Rt△ABE中，∠B=30°，$\tan B=\frac{AE}{BE}$，
∴$BE=\frac{AE}{\tan30°}=\sqrt{3}x$。
3.
∵∠ACB=120°，
∴∠ACE=180°-120°=60°，在Rt△ACE中，$\tan∠ ACE=\frac{AE}{CE}$，
∴$CE=\frac{AE}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
4. 由线段和差关系得：$DE=CD+CE$，已知CD=8，代入得：
$ x = 8 + \frac{x}{\sqrt{3}} $
整理得$ x(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}})=8 $，即$ x(\sqrt{3}-1)=8\sqrt{3} $。
5. 又$BD=BE-DE=\sqrt{3}x -x =x(\sqrt{3}-1)$，将$x(\sqrt{3}-1)=8\sqrt{3}$代入，得$BD=8\sqrt{3}$。
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
构造直角三角形；特殊角的三角函数；解直角三角形
【点评】
本题解题核心是通过作高将斜三角形转化为多个含特殊角的直角三角形，利用特殊角的边角关系建立等式，无需单独求解未知数，整体代入即可快速得到结果，有效考查转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
要求BD的长度，可通过构造直角三角形转化为解直角三角形问题求解。过点A作AE垂直于BC的延长线于点E，得到三个含特殊角的直角三角形，设高AE的长度为x，利用30°、45°、60°特殊角的三角函数值，分别用含x的式子表示出DE、CE、BE的长度，结合CD=8的条件建立等式，最终计算得到BD的长。
【解析】
过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，设AE=x。
1. 在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴DE=AE=x。
2. 在Rt△ABE中，∠B=30°，$\tan B=\frac{AE}{BE}$，
∴$BE=\frac{AE}{\tan30°}=\sqrt{3}x$。
3.
∵∠ACB=120°，
∴∠ACE=180°-120°=60°，在Rt△ACE中，$\tan∠ ACE=\frac{AE}{CE}$，
∴$CE=\frac{AE}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
4. 由线段和差关系得：$DE=CD+CE$，已知CD=8，代入得：
$ x = 8 + \frac{x}{\sqrt{3}} $
整理得$ x(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}})=8 $，即$ x(\sqrt{3}-1)=8\sqrt{3} $。
5. 又$BD=BE-DE=\sqrt{3}x -x =x(\sqrt{3}-1)$，将$x(\sqrt{3}-1)=8\sqrt{3}$代入，得$BD=8\sqrt{3}$。
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
构造直角三角形；特殊角的三角函数；解直角三角形
【点评】
本题解题核心是通过作高将斜三角形转化为多个含特殊角的直角三角形，利用特殊角的边角关系建立等式，无需单独求解未知数，整体代入即可快速得到结果，有效考查转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图，CD是$△ ABC$的中线，$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan A=\frac{1}{2}$，$AC=\sqrt{5}$，求AB的长.
答案
6.解:过点 C 作 $CE ⊥ AB$ 于点 E. 设 $CE=x$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中, $\because \tan A=\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{1}{2}, \therefore AE=2x. \therefore AC=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x. \therefore \sqrt{5}x=\sqrt{5}$, 解得 $x=1. \therefore CE=1, AE=2$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, $\because \sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \therefore ∠ B=45°. \therefore △ BCE$ 是等腰直角三角形. $\therefore BE=CE=1. \therefore AB=AE+BE=3$.
解析
【分析】
要求AB的长，已知条件给出了∠A的正切值、∠B的正弦值和AC的长度，没有直接可用的直角三角形，因此首先考虑作辅助线构造直角三角形：过点C作CE⊥AB于点E，将△ABC拆分为Rt△ACE和Rt△BCE两个直角三角形。先在Rt△ACE中，利用tanA的定义设未知数，结合勾股定理和AC的长度求出CE、AE的长；再在Rt△BCE中，根据sinB的值判断△BCE为等腰直角三角形，求出BE的长；最后将AE和BE相加即可得到AB的长度。
【解析】
过点 C 作 $CE ⊥ AB$ 于点 E。
设 $CE=x$，在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中，
$\because \tan A=\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{1}{2}, \therefore AE=2x$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{CE^2+AE^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
已知$AC=\sqrt{5}$，$\therefore \sqrt{5}x=\sqrt{5}$，解得 $x=1$，
$\therefore CE=1, AE=2$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，
$\because \sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \therefore ∠ B=45°$，
$\therefore △ BCE$ 是等腰直角三角形，$\therefore BE=CE=1$，
$\therefore AB=AE+BE=2+1=3$。
【答案】
$AB=3$
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解斜三角形的基础题型，解题关键是通过作高构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解，要求熟练掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，灵活运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
要求AB的长，已知条件给出了∠A的正切值、∠B的正弦值和AC的长度，没有直接可用的直角三角形，因此首先考虑作辅助线构造直角三角形：过点C作CE⊥AB于点E，将△ABC拆分为Rt△ACE和Rt△BCE两个直角三角形。先在Rt△ACE中，利用tanA的定义设未知数，结合勾股定理和AC的长度求出CE、AE的长；再在Rt△BCE中，根据sinB的值判断△BCE为等腰直角三角形，求出BE的长；最后将AE和BE相加即可得到AB的长度。
【解析】
过点 C 作 $CE ⊥ AB$ 于点 E。
设 $CE=x$，在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中，
$\because \tan A=\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{1}{2}, \therefore AE=2x$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{CE^2+AE^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
已知$AC=\sqrt{5}$，$\therefore \sqrt{5}x=\sqrt{5}$，解得 $x=1$，
$\therefore CE=1, AE=2$。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中，
$\because \sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \therefore ∠ B=45°$，
$\therefore △ BCE$ 是等腰直角三角形，$\therefore BE=CE=1$，
$\therefore AB=AE+BE=2+1=3$。
【答案】
$AB=3$
【知识点】
解直角三角形；勾股定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解斜三角形的基础题型，解题关键是通过作高构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解，要求熟练掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，灵活运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
7.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=6,BC=4,tan A=$\frac{4}{3}$,求AD的长.
答案
7.解:延长 AD,BC,交于点 E. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中, $\because \tan A=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{4}{3}, AB=6, \therefore BE=AB · \tan A=8. \therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=10, CE=BE-BC=4. \therefore \cos E=\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{4}{5}$. 在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中, $CE=4, \therefore DE=CE · \cos E=\dfrac{16}{5}. \therefore AD=AE-DE=\dfrac{34}{5}$.
解析
【分析】
题目给出的四边形存在两个直角，但没有直接包含∠A的直角三角形，无法直接利用三角函数求解AD长度，因此考虑作辅助线构造直角三角形：延长AD、BC交于点E，先在Rt△ABE中利用tanA的定义求出BE的长，再通过勾股定理求出AE的长，同时得到CE的长度；再利用∠E是Rt△ABE和Rt△CDE的公共角，求出∠E的余弦值，在Rt△CDE中算出DE的长，最后用AE减去DE即可得到AD的长度。
【解析】
解：延长AD，BC，交于点E。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠ B=90°$，
$\because \tan A=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{4}{3}$，$AB=6$，
$\therefore BE=AB · \tan A=6×\dfrac{4}{3}=8$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
$\therefore CE=BE-BC=8-4=4$，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$\cos E=\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$，
$\because ∠ CDE=∠ B=90°$，$∠ E$为公共角，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$\cos E=\dfrac{DE}{CE}$，
$\therefore DE=CE · \cos E=4×\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{5}$，
$\therefore AD=AE-DE=10-\dfrac{16}{5}=\dfrac{34}{5}$。
【答案】
$\dfrac{34}{5}$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题是构造直角三角形求解的典型题型，解题核心是通过延长边构造含已知角的直角三角形，将四边形问题转化为直角三角形问题求解，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，注意公共角的三角函数值在两个直角三角形中通用。
【难度系数】
0.6
题目给出的四边形存在两个直角，但没有直接包含∠A的直角三角形，无法直接利用三角函数求解AD长度，因此考虑作辅助线构造直角三角形：延长AD、BC交于点E，先在Rt△ABE中利用tanA的定义求出BE的长，再通过勾股定理求出AE的长，同时得到CE的长度；再利用∠E是Rt△ABE和Rt△CDE的公共角，求出∠E的余弦值，在Rt△CDE中算出DE的长，最后用AE减去DE即可得到AD的长度。
【解析】
解：延长AD，BC，交于点E。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠ B=90°$，
$\because \tan A=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{4}{3}$，$AB=6$，
$\therefore BE=AB · \tan A=6×\dfrac{4}{3}=8$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
$\therefore CE=BE-BC=8-4=4$，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$\cos E=\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$，
$\because ∠ CDE=∠ B=90°$，$∠ E$为公共角，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$\cos E=\dfrac{DE}{CE}$，
$\therefore DE=CE · \cos E=4×\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{5}$，
$\therefore AD=AE-DE=10-\dfrac{16}{5}=\dfrac{34}{5}$。
【答案】
$\dfrac{34}{5}$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题是构造直角三角形求解的典型题型，解题核心是通过延长边构造含已知角的直角三角形，将四边形问题转化为直角三角形问题求解，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，注意公共角的三角函数值在两个直角三角形中通用。
【难度系数】
0.6
8.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C三点都在格点上,则sin∠ABC的值为
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
8.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
要求sin∠ABC的值，需先将∠ABC置于直角三角形中，结合锐角三角函数的定义求解。首先可借助网格，利用勾股定理计算△ABC三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，确定直角位置后，即可代入正弦的定义计算结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
1. 计算AB的长度：AB的横向跨度为4，纵向跨度为2，故$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
2. 计算BC的长度：BC的横向跨度为3，纵向跨度为1，故$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$；
3. 计算AC的长度：AC的横向跨度为1，纵向跨度为3，故$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$；
验证直角：$BC^2+AC^2=(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=20$，$AB^2=(2\sqrt{5})^2=20$，因此$BC^2+AC^2=AB^2$，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
根据正弦的定义，在$Rt△ ABC$中，$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理及逆定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于网格中解直角三角形的常见题型，解题核心是借助网格特征用勾股定理求边长、判断直角三角形，再结合三角函数定义计算，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
要求sin∠ABC的值，需先将∠ABC置于直角三角形中，结合锐角三角函数的定义求解。首先可借助网格，利用勾股定理计算△ABC三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，确定直角位置后，即可代入正弦的定义计算结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
1. 计算AB的长度：AB的横向跨度为4，纵向跨度为2，故$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
2. 计算BC的长度：BC的横向跨度为3，纵向跨度为1，故$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$；
3. 计算AC的长度：AC的横向跨度为1，纵向跨度为3，故$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$；
验证直角：$BC^2+AC^2=(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=20$，$AB^2=(2\sqrt{5})^2=20$，因此$BC^2+AC^2=AB^2$，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
根据正弦的定义，在$Rt△ ABC$中，$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理及逆定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于网格中解直角三角形的常见题型，解题核心是借助网格特征用勾股定理求边长、判断直角三角形，再结合三角函数定义计算，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
