登录
9.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$∠ A=30°$,$AC=6$,点$D$在$AB$上,连接$CD$.若$\tan∠ DCB=\frac{2}{3}$,则$BD$的长为 （
A.2
B.3
C.4
D.$2\sqrt{3}$
（第9题图）
（第10题图）
A
）A.2
B.3
C.4
D.$2\sqrt{3}$
（第9题图）
（第10题图）
答案
9.A
解析
【分析】
解题时先利用含30°角的直角三角形的性质，在Rt△ABC中求出BC的长度，BC是Rt△ABC和Rt△BCD的公共直角边，再在Rt△BCD中根据正切的定义，结合已知的tan∠DCB的值，即可求出BD的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，$AC=6$，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
2. 在$Rt△ BCD$中，$∠ B=90°$，根据正切的定义：$\tan∠ DCB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BD}{BC}$，
已知$\tan∠ DCB=\frac{2}{3}$，代入$BC=3$得：
$\frac{BD}{3}=\frac{2}{3}$，解得$BD=2$。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；正切的定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，以两个共直角边的直角三角形为载体，需先通过特殊直角三角形的性质求出公共边的长度，再结合三角函数的定义计算待求线段，解题的关键是找准两个三角形的公共边作为中间量。
【难度系数】
0.8
解题时先利用含30°角的直角三角形的性质，在Rt△ABC中求出BC的长度，BC是Rt△ABC和Rt△BCD的公共直角边，再在Rt△BCD中根据正切的定义，结合已知的tan∠DCB的值，即可求出BD的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，$AC=6$，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
2. 在$Rt△ BCD$中，$∠ B=90°$，根据正切的定义：$\tan∠ DCB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BD}{BC}$，
已知$\tan∠ DCB=\frac{2}{3}$，代入$BC=3$得：
$\frac{BD}{3}=\frac{2}{3}$，解得$BD=2$。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；正切的定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，以两个共直角边的直角三角形为载体，需先通过特殊直角三角形的性质求出公共边的长度，再结合三角函数的定义计算待求线段，解题的关键是找准两个三角形的公共边作为中间量。
【难度系数】
0.8
10. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, 点 $D$ 在 $AC$ 上.
(1) 若 $∠ DBC=∠ A$, $AC=4$, $\cos A=\dfrac{4}{5}$, 则 $BD$ 的长为 ______;
(2) 若 $BC=\sqrt{5}$, $\tan A=\dfrac{1}{2}$, $\tan ∠ ABD=\dfrac{1}{3}$, 则 $CD$ 的长为 ______.
(1) 若 $∠ DBC=∠ A$, $AC=4$, $\cos A=\dfrac{4}{5}$, 则 $BD$ 的长为 ______;
(2) 若 $BC=\sqrt{5}$, $\tan A=\dfrac{1}{2}$, $\tan ∠ ABD=\dfrac{1}{3}$, 则 $CD$ 的长为 ______.
答案
10.(1)$\frac{15}{4}$ (2)$\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1) 先在$Rt△ ABC$中，利用余弦的定义结合已知$AC$和$\cos A$的值求出$AB$的长，再用勾股定理求出$BC$的长；由$∠ DBC=∠ A$可得$\cos∠ DBC=\cos A$，最后在$Rt△ BCD$中利用余弦的定义即可求出$BD$的长度。
(2) 先在$Rt△ ABC$中，利用正切的定义结合已知$BC$和$\tan A$的值求出$AC$的长，再用勾股定理求出$AB$的长；过$D$作$DE⊥ AB$于$E$，设$DE$的长度为参数，分别利用$\tan∠ ABD$和$\tan A$的定义表示出$BE$、$AE$的长，结合$AB$的长度求出参数值，进而求出$AD$的长，最后用$AC$减$AD$即可得到$CD$的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，$AC=4$，得$\frac{4}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=5$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
$\because∠ DBC=∠ A$，$\therefore\cos∠ DBC=\cos A=\frac{4}{5}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$，$\cos∠ DBC=\frac{BC}{BD}$，
$\therefore\frac{3}{BD}=\frac{4}{5}$，解得$BD=\frac{15}{4}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，$BC=\sqrt{5}$，得$\frac{\sqrt{5}}{AC}=\frac{1}{2}$，解得$AC=2\sqrt{5}$。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=5$。
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，设$DE=m$，
在$Rt△ BDE$中，$\tan∠ ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，$\therefore BE=3m$。
在$Rt△ ADE$中，$\tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，$\therefore AE=2m$。
$\because AB=AE+BE=2m+3m=5m=5$，$\therefore m=1$，即$DE=1$，$AE=2$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$\therefore CD=AC-AD=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\dfrac{15}{4}$；(2)$\sqrt{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的相关应用，第一问可直接利用锐角三角函数的性质求解，第二问通过作垂线构造直角三角形，将已知角放到直角三角形中利用三角函数求解是解题的关键，这类构造辅助线的方法在解直角三角形问题中非常常用，要注意掌握。
【难度系数】
0.65
(1) 先在$Rt△ ABC$中，利用余弦的定义结合已知$AC$和$\cos A$的值求出$AB$的长，再用勾股定理求出$BC$的长；由$∠ DBC=∠ A$可得$\cos∠ DBC=\cos A$，最后在$Rt△ BCD$中利用余弦的定义即可求出$BD$的长度。
(2) 先在$Rt△ ABC$中，利用正切的定义结合已知$BC$和$\tan A$的值求出$AC$的长，再用勾股定理求出$AB$的长；过$D$作$DE⊥ AB$于$E$，设$DE$的长度为参数，分别利用$\tan∠ ABD$和$\tan A$的定义表示出$BE$、$AE$的长，结合$AB$的长度求出参数值，进而求出$AD$的长，最后用$AC$减$AD$即可得到$CD$的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，$AC=4$，得$\frac{4}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=5$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
$\because∠ DBC=∠ A$，$\therefore\cos∠ DBC=\cos A=\frac{4}{5}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$，$\cos∠ DBC=\frac{BC}{BD}$，
$\therefore\frac{3}{BD}=\frac{4}{5}$，解得$BD=\frac{15}{4}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，$BC=\sqrt{5}$，得$\frac{\sqrt{5}}{AC}=\frac{1}{2}$，解得$AC=2\sqrt{5}$。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=5$。
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，设$DE=m$，
在$Rt△ BDE$中，$\tan∠ ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，$\therefore BE=3m$。
在$Rt△ ADE$中，$\tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，$\therefore AE=2m$。
$\because AB=AE+BE=2m+3m=5m=5$，$\therefore m=1$，即$DE=1$，$AE=2$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$\therefore CD=AC-AD=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\dfrac{15}{4}$；(2)$\sqrt{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的相关应用，第一问可直接利用锐角三角函数的性质求解，第二问通过作垂线构造直角三角形，将已知角放到直角三角形中利用三角函数求解是解题的关键，这类构造辅助线的方法在解直角三角形问题中非常常用，要注意掌握。
【难度系数】
0.65
11. 如图，AD是$△ ABC$的中线，$\tan B = \dfrac{1}{3}$，$\cos C = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$AC=\sqrt{2}$。
(1)求BC的长；
(2)求$\cos ∠ ADC$的值。
(1)求BC的长；
(2)求$\cos ∠ ADC$的值。
答案
11.解:(1)过点 $A$ 作 $AE⊥BC$ 于点 $E$. $\because \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore ∠C=45°. \therefore ∠CAE=90°-∠C=45°=∠C. \therefore AE=CE.$ 在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中,$CE=AC· \cos C=1,\therefore AE=1.$ 在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中,$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3},\therefore BE=3AE=3. \therefore BC=BE+CE=4.$(2)$\because AD$ 是$△ABC$ 的中线,$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=2. \therefore DE=CD-CE=1. \because AE⊥BC,DE=AE=1,\therefore ∠ADC=∠DAE=45°. \therefore \cos ∠ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
解析
【分析】
要解决本题，首先通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形的问题转化为直角三角形的问题求解。第一问求BC的长，过点A作AE垂直BC于E，把BC拆分为BE和CE两段，先利用已知的∠C的余弦值和AC边长，在Rt△ACE中求出CE和AE的长度，再利用∠B的正切值在Rt△ABE中求出BE的长度，相加即可得到BC。第二问求∠ADC的余弦值，先根据中线的性质求出CD的长度，再计算DE的长度，判断△ADE的形状，得到∠ADC的度数后即可求出它的余弦值。
【解析】
(1) 过点 $A$ 作 $AE⊥BC$ 于点 $E$.
$\because \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore ∠C=45°$，
$\therefore ∠CAE=90°-∠C=45°=∠C$，$\therefore AE=CE$.
在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中，$CE=AC· \cos C=\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$\therefore AE=CE=1$.
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中，$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3}$，$\therefore BE=3AE=3 × 1=3$.
$\therefore BC=BE+CE=3+1=4$.
(2) $\because AD$ 是$△ABC$ 的中线，$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 4=2$，
$\therefore DE=CD-CE=2-1=1$.
$\because AE⊥BC$，$DE=AE=1$，$\therefore △ADE$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ADC=45°$，
$\therefore \cos ∠ADC=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
【答案】
(1) $BC=4$；(2) $\cos∠ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
解直角三角形，三角形中线的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，作高构造直角三角形是此类问题的常用辅助线方法，解题时需要熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角函数定义和三角形相关性质计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形的问题转化为直角三角形的问题求解。第一问求BC的长，过点A作AE垂直BC于E，把BC拆分为BE和CE两段，先利用已知的∠C的余弦值和AC边长，在Rt△ACE中求出CE和AE的长度，再利用∠B的正切值在Rt△ABE中求出BE的长度，相加即可得到BC。第二问求∠ADC的余弦值，先根据中线的性质求出CD的长度，再计算DE的长度，判断△ADE的形状，得到∠ADC的度数后即可求出它的余弦值。
【解析】
(1) 过点 $A$ 作 $AE⊥BC$ 于点 $E$.
$\because \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore ∠C=45°$，
$\therefore ∠CAE=90°-∠C=45°=∠C$，$\therefore AE=CE$.
在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中，$CE=AC· \cos C=\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$\therefore AE=CE=1$.
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中，$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3}$，$\therefore BE=3AE=3 × 1=3$.
$\therefore BC=BE+CE=3+1=4$.
(2) $\because AD$ 是$△ABC$ 的中线，$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 4=2$，
$\therefore DE=CD-CE=2-1=1$.
$\because AE⊥BC$，$DE=AE=1$，$\therefore △ADE$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ADC=45°$，
$\therefore \cos ∠ADC=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
【答案】
(1) $BC=4$；(2) $\cos∠ADC=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
解直角三角形，三角形中线的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，作高构造直角三角形是此类问题的常用辅助线方法，解题时需要熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角函数定义和三角形相关性质计算即可。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$\cos A=\frac{3}{5}$.$D$为$AB$边的中点,过点$D$作直线$CD$的垂线,与边$BC$相交于点$E$.
(1)求线段$CE$的长；
(2)求$\sin∠ BDE$的值.
(1)求线段$CE$的长；
(2)求$\sin∠ BDE$的值.
答案
12.解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$AC=6,\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5},\therefore AB=10. \therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8.$ 又$\because D$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=5. \therefore ∠DCB=∠B. \because \cos ∠DCB=\frac{CD}{CE},\cos B=\frac{BC}{AB},\therefore \frac{5}{CE}=\frac{8}{10}. \therefore CE=\frac{25}{4}.$(2)过点 $E$ 作 $EF⊥AB$ 于点 $F$. 由(1)知 $CE=\frac{25}{4},\therefore BE=BC-CE=\frac{7}{4},DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\frac{15}{4}. \because \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{EF}{BE},\therefore \frac{6}{10}=\frac{EF}{\frac{7}{4}}. \therefore EF=\frac{21}{20}. \therefore \sin ∠BDE=\frac{EF}{DE}=\frac{7}{25}.$
解析
【分析】
(1) 首先在$\mathrm{Rt}△ABC$中，利用余弦的定义结合已知的$\cos A$和$AC$的长度求出$AB$，再用勾股定理算出$BC$；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得$CD=BD$，进而推出$∠ DCB=∠ B$，两个角的余弦值相等，在$\mathrm{Rt}△CDE$中结合余弦的定义列比例式即可求出$CE$的长。
(2) 求$\sin∠BDE$需要将该角置于直角三角形中，因此过$E$作$EF⊥ AB$于$F$；先计算出$BE$、$DE$的长度，再利用$\sin B$的定义求出$EF$的长，最后在$\mathrm{Rt}△DEF$中根据正弦的定义即可求出$\sin∠BDE$的值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，已知$AC=6$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，代入得$\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=10$。
由勾股定理可得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵$D$为$AB$边的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$∠ DCB=∠ B$，即$\cos∠ DCB=\cos B$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$∠ CDE=90°$，$\cos∠ DCB=\frac{CD}{CE}$；在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}$，因此$\frac{5}{CE}=\frac{8}{10}$，解得$CE=\frac{25}{4}$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ AB$于点$F$，则$∠ EFD=90°$。
由(1)知$CE=\frac{25}{4}$，
∴$BE=BC-CE=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{25}{4})^2-5^2}=\frac{15}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{EF}{BE}$，代入$\sin B=\frac{6}{10}$、$BE=\frac{7}{4}$得：$\frac{6}{10}=\frac{EF}{\frac{7}{4}}$，解得$EF=\frac{21}{20}$。
在$\mathrm{Rt}△DEF$中，$\sin∠ BDE=\frac{EF}{DE}=\frac{\frac{21}{20}}{\frac{15}{4}}=\frac{7}{25}$。
【答案】
(1) $CE=\frac{25}{4}$；(2) $\sin∠ BDE=\frac{7}{25}$
【知识点】
解直角三角形，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查直角三角形性质和锐角三角函数的应用，解题时要灵活运用角的等量关系转化三角函数值，求未知锐角的三角函数值时，可通过作垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算对应线段即可求解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先在$\mathrm{Rt}△ABC$中，利用余弦的定义结合已知的$\cos A$和$AC$的长度求出$AB$，再用勾股定理算出$BC$；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得$CD=BD$，进而推出$∠ DCB=∠ B$，两个角的余弦值相等，在$\mathrm{Rt}△CDE$中结合余弦的定义列比例式即可求出$CE$的长。
(2) 求$\sin∠BDE$需要将该角置于直角三角形中，因此过$E$作$EF⊥ AB$于$F$；先计算出$BE$、$DE$的长度，再利用$\sin B$的定义求出$EF$的长，最后在$\mathrm{Rt}△DEF$中根据正弦的定义即可求出$\sin∠BDE$的值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，已知$AC=6$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，代入得$\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=10$。
由勾股定理可得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵$D$为$AB$边的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$∠ DCB=∠ B$，即$\cos∠ DCB=\cos B$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$∠ CDE=90°$，$\cos∠ DCB=\frac{CD}{CE}$；在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}$，因此$\frac{5}{CE}=\frac{8}{10}$，解得$CE=\frac{25}{4}$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ AB$于点$F$，则$∠ EFD=90°$。
由(1)知$CE=\frac{25}{4}$，
∴$BE=BC-CE=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{25}{4})^2-5^2}=\frac{15}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{EF}{BE}$，代入$\sin B=\frac{6}{10}$、$BE=\frac{7}{4}$得：$\frac{6}{10}=\frac{EF}{\frac{7}{4}}$，解得$EF=\frac{21}{20}$。
在$\mathrm{Rt}△DEF$中，$\sin∠ BDE=\frac{EF}{DE}=\frac{\frac{21}{20}}{\frac{15}{4}}=\frac{7}{25}$。
【答案】
(1) $CE=\frac{25}{4}$；(2) $\sin∠ BDE=\frac{7}{25}$
【知识点】
解直角三角形，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查直角三角形性质和锐角三角函数的应用，解题时要灵活运用角的等量关系转化三角函数值，求未知锐角的三角函数值时，可通过作垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算对应线段即可求解。
【难度系数】
0.6
