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1. 在$Rt△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$∠ A=40°$，$BC=3$，则$AC$的长为（
A.$3\sin40°$
B.$3\sin50°$
C.$3\tan40°$
D.$3\tan50°$
D
）A.$3\sin40°$
B.$3\sin50°$
C.$3\tan40°$
D.$3\tan50°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合锐角正切函数的定义，找到已知边BC和未知边AC与对应锐角的边的关系，代入计算即可得到AC的表达式。思考时要先明确三角函数的定义：正切值等于锐角的对边与邻边的比值，避免对边和邻边混淆。
【解析】
解：
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=40°$
∴$∠B=90°-∠A=90°-40°=50°$
根据正切函数的定义：锐角的正切值等于其对边与邻边的比值，对于$∠B$，对边为$AC$，邻边为$BC$，因此：
$\tan B=\frac{AC}{BC}$
已知$BC=3$，$∠B=50°$，代入得：
$\tan50°=\frac{AC}{3}$
变形得$AC=3\tan50°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余；锐角三角函数（正切）的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确掌握锐角三角函数的定义，解题时要先明确所求边对应锐角的对边、邻边，再选择合适的三角函数列式计算，避免因边和角的对应关系出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合锐角正切函数的定义，找到已知边BC和未知边AC与对应锐角的边的关系，代入计算即可得到AC的表达式。思考时要先明确三角函数的定义：正切值等于锐角的对边与邻边的比值，避免对边和邻边混淆。
【解析】
解：
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=40°$
∴$∠B=90°-∠A=90°-40°=50°$
根据正切函数的定义：锐角的正切值等于其对边与邻边的比值，对于$∠B$，对边为$AC$，邻边为$BC$，因此：
$\tan B=\frac{AC}{BC}$
已知$BC=3$，$∠B=50°$，代入得：
$\tan50°=\frac{AC}{3}$
变形得$AC=3\tan50°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余；锐角三角函数（正切）的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确掌握锐角三角函数的定义，解题时要先明确所求边对应锐角的对边、邻边，再选择合适的三角函数列式计算，避免因边和角的对应关系出错。
【难度系数】
0.8
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$.
(1)已知$c=2\sqrt{3}$，$∠ A=30°$，求$∠ B,a,b$；
(2)已知$a=5\sqrt{6}$，$∠ A=45°$，求$∠ B,b,c$.
(1)已知$c=2\sqrt{3}$，$∠ A=30°$，求$∠ B,a,b$；
(2)已知$a=5\sqrt{6}$，$∠ A=45°$，求$∠ B,b,c$.
答案
2.解:(1)$\because ∠C=90°,∠A=30°,c=2\sqrt{3},\therefore ∠B=90°-∠A=60°,a=\frac{1}{2}c=\sqrt{3}.\because \sin B=\frac{b}{c},\therefore b=c· \sin B=3.$(2)$\because ∠C=90°,∠A=45°,\therefore ∠B=90°-∠A=45°. \therefore ∠B=∠A. \therefore b=a=5\sqrt{6}.\therefore c=\sqrt{a^2+b^2}=10\sqrt{3}.$
解析
【分析】
这是解直角三角形的基础题型，解题遵循“先求角、再求边”的思路：①首先利用直角三角形两锐角互余的性质，先算出未知锐角∠B的度数；②再结合特殊角对应的直角三角形边角规律，搭配三角函数或勾股定理求解未知边长即可。第(1)问含30°角，可直接用“30°角所对直角边是斜边一半”的性质求a，再求b；第(2)问含45°角，可判断为等腰直角三角形，先得b=a，再求斜边c。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$c=2\sqrt{3}$
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-30°=60°$
根据30°角所对直角边为斜边的一半，得$a=\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
由$\sin B=\frac{b}{c}$，得$b=c· \sin B=2\sqrt{3}×\sin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=5\sqrt{6}$，$∠ A=45°$
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-45°=45°$
$\therefore ∠B=∠A$，即$\mathrm{Rt}△ ABC$为等腰直角三角形
$\therefore b=a=5\sqrt{6}$
由勾股定理得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(5\sqrt{6})^2+(5\sqrt{6})^2}=\sqrt{150+150}=10\sqrt{3}$
【答案】
(1) $∠ B=60°,a=\sqrt{3},b=3$；
(2) $∠ B=45°,b=5\sqrt{6},c=10\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质，解直角三角形，特殊角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的入门题型，侧重考查对特殊直角三角形边角关系的掌握，牢记直角三角形内角规律、特殊角对应的边角关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这是解直角三角形的基础题型，解题遵循“先求角、再求边”的思路：①首先利用直角三角形两锐角互余的性质，先算出未知锐角∠B的度数；②再结合特殊角对应的直角三角形边角规律，搭配三角函数或勾股定理求解未知边长即可。第(1)问含30°角，可直接用“30°角所对直角边是斜边一半”的性质求a，再求b；第(2)问含45°角，可判断为等腰直角三角形，先得b=a，再求斜边c。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$c=2\sqrt{3}$
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-30°=60°$
根据30°角所对直角边为斜边的一半，得$a=\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
由$\sin B=\frac{b}{c}$，得$b=c· \sin B=2\sqrt{3}×\sin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=5\sqrt{6}$，$∠ A=45°$
$\therefore ∠B=90°-∠A=90°-45°=45°$
$\therefore ∠B=∠A$，即$\mathrm{Rt}△ ABC$为等腰直角三角形
$\therefore b=a=5\sqrt{6}$
由勾股定理得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(5\sqrt{6})^2+(5\sqrt{6})^2}=\sqrt{150+150}=10\sqrt{3}$
【答案】
(1) $∠ B=60°,a=\sqrt{3},b=3$；
(2) $∠ B=45°,b=5\sqrt{6},c=10\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质，解直角三角形，特殊角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的入门题型，侧重考查对特殊直角三角形边角关系的掌握，牢记直角三角形内角规律、特殊角对应的边角关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3.(教材P131例1变式)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=35°30'$，$c=25.6$，解这个直角三角形.(精确到0.1)
答案
3.解:由 $\sin A=\frac{a}{c}$,得 $a=c \sin A=25.6× 0.5807\approx 14.9$. 由 $\cos A=\frac{b}{c}$,得 $b=c \cos A=25.6× 0.8141\approx 20.8. ∠B=90°-∠A=54°30′.$
解析
【分析】
解直角三角形需要求出图形中所有未知的边和角，本题已知Rt△ABC的直角∠C、锐角∠A的度数和斜边c的长度，未知量为∠B、直角边a、直角边b。解题思路如下：①利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠A即可求出∠B的度数；②根据锐角三角函数的定义，∠A的正弦值等于对边a与斜边c的比值，因此$a = c·\sin A$，代入数值可求出a的长度；③∠A的余弦值等于邻边b与斜边c的比值，因此$b = c·\cos A$，代入数值可求出b的长度，计算时注意结果精确到0.1的要求。
【解析】
解：首先求∠B的度数：
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°
∴$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 35°30' = 54°30'$
再求直角边a的长度：
由锐角三角函数定义得$\sin A=\frac{a}{c}$，
∴$a = c · \sin A = 25.6 × \sin35°30' \approx 25.6 × 0.5807 \approx 14.9$
最后求直角边b的长度：
由锐角三角函数定义得$\cos A=\frac{b}{c}$，
∴$b = c · \cos A = 25.6 × \cos35°30' \approx 25.6 × 0.8141 \approx 20.8$
【答案】
$∠ B=54°30'$，$a\approx14.9$，$b\approx20.8$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查直角三角形的性质和锐角三角函数的应用，解题时要准确记忆三角函数的定义，同时注意计算时三角函数值的选取和结果的精确度要求。
【难度系数】
0.8
解直角三角形需要求出图形中所有未知的边和角，本题已知Rt△ABC的直角∠C、锐角∠A的度数和斜边c的长度，未知量为∠B、直角边a、直角边b。解题思路如下：①利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠A即可求出∠B的度数；②根据锐角三角函数的定义，∠A的正弦值等于对边a与斜边c的比值，因此$a = c·\sin A$，代入数值可求出a的长度；③∠A的余弦值等于邻边b与斜边c的比值，因此$b = c·\cos A$，代入数值可求出b的长度，计算时注意结果精确到0.1的要求。
【解析】
解：首先求∠B的度数：
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°
∴$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 35°30' = 54°30'$
再求直角边a的长度：
由锐角三角函数定义得$\sin A=\frac{a}{c}$，
∴$a = c · \sin A = 25.6 × \sin35°30' \approx 25.6 × 0.5807 \approx 14.9$
最后求直角边b的长度：
由锐角三角函数定义得$\cos A=\frac{b}{c}$，
∴$b = c · \cos A = 25.6 × \cos35°30' \approx 25.6 × 0.8141 \approx 20.8$
【答案】
$∠ B=54°30'$，$a\approx14.9$，$b\approx20.8$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查直角三角形的性质和锐角三角函数的应用，解题时要准确记忆三角函数的定义，同时注意计算时三角函数值的选取和结果的精确度要求。
【难度系数】
0.8
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$，则$∠ B$的度数为（
A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
B
）A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
4.B
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知两条直角边求锐角度数的问题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，找到∠B的对边和邻边；其次选择正切函数（已知对边、邻边，适合用正切计算）求出∠B的三角函数值；最后结合特殊角的三角函数值，对应得到∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切函数的定义：锐角的正切值等于其对边与邻边的比值，可得$\tan B=\frac{AC}{BC}$，
将$BC=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$代入得：
$\tan B=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{3}$，
由特殊角的三角函数值可知$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$∠ B=60°$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用锐角三角函数求解直角三角形内角的方法，解题关键是准确选择对应三角函数，熟练记忆特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中已知两条直角边求锐角度数的问题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，找到∠B的对边和邻边；其次选择正切函数（已知对边、邻边，适合用正切计算）求出∠B的三角函数值；最后结合特殊角的三角函数值，对应得到∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切函数的定义：锐角的正切值等于其对边与邻边的比值，可得$\tan B=\frac{AC}{BC}$，
将$BC=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$代入得：
$\tan B=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{3}$，
由特殊角的三角函数值可知$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$∠ B=60°$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用锐角三角函数求解直角三角形内角的方法，解题关键是准确选择对应三角函数，熟练记忆特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
5.在$△ ABC$中,已知$∠ C=90°,∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$,其中$a=\sqrt{6},c=2\sqrt{2}$,解这个直角三角形.
答案
5.解:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠C=90°,a=\sqrt{6},c=2\sqrt{2},\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2}. \therefore \sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}. \therefore ∠B=30°. \therefore ∠A=90°-∠B=60°.$
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，已知直角三角形的直角、一条直角边和斜边，需要求解未知的直角边和两个锐角。解题思路可分为三步：第一步，利用勾股定理，结合已知的直角边a和斜边c，求出未知直角边b；第二步，利用锐角三角函数（如正弦函数，即角的对边与斜边的比值），代入边的长度求出其中一个锐角的三角函数值，结合特殊角的三角函数值得到该锐角的度数；第三步，利用直角三角形两锐角互余的性质，求出剩余锐角的度数即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=\sqrt{6}$，$c=2\sqrt{2}$，
由勾股定理可得：$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{8-6}=\sqrt{2}$；
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
因为$∠ B$是锐角，所以$∠ B=30°$；
由直角三角形两锐角互余可得：$∠ A=90°-∠ B=90°-30°=60°$。
【答案】
$b=\sqrt{2}$，$∠ A=60°$，$∠ B=30°$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，主要考察直角三角形边角关系的综合应用，熟练掌握勾股定理、特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的基础题，已知直角三角形的直角、一条直角边和斜边，需要求解未知的直角边和两个锐角。解题思路可分为三步：第一步，利用勾股定理，结合已知的直角边a和斜边c，求出未知直角边b；第二步，利用锐角三角函数（如正弦函数，即角的对边与斜边的比值），代入边的长度求出其中一个锐角的三角函数值，结合特殊角的三角函数值得到该锐角的度数；第三步，利用直角三角形两锐角互余的性质，求出剩余锐角的度数即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=\sqrt{6}$，$c=2\sqrt{2}$，
由勾股定理可得：$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{8-6}=\sqrt{2}$；
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
因为$∠ B$是锐角，所以$∠ B=30°$；
由直角三角形两锐角互余可得：$∠ A=90°-∠ B=90°-30°=60°$。
【答案】
$b=\sqrt{2}$，$∠ A=60°$，$∠ B=30°$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，主要考察直角三角形边角关系的综合应用，熟练掌握勾股定理、特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ A = 120°$, $AB = 4$, $AC=2$, 则 $BC$ 的长是 (
A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{7}$
D
)A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{7}$
答案
6.D
解析
【分析】
要求BC的长度，已知△ABC中∠A为120°的钝角，无法直接在原三角形中用直角三角形性质求解，因此考虑作辅助线构造直角三角形：过点C作CD垂直于BA的延长线于点D，先利用邻补角的性质求出∠CAD的度数，再在Rt△ACD中利用特殊角的三角函数值求出AD、CD的长度，最后在Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D。
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=60°。
在Rt△ACD中，AC=2，
∴AD=AC·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，
CD=AC·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
又
∵AB=4，
∴BD=AB+AD=4+1=5。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BC=$\sqrt{BD^2 + CD^2}$=$\sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{25+3}$=$\sqrt{28}$=$2\sqrt{7}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解三角形的典型基础题，通过作高将钝角三角形问题转化为直角三角形问题求解，既考查了对解直角三角形相关知识的掌握，也体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
要求BC的长度，已知△ABC中∠A为120°的钝角，无法直接在原三角形中用直角三角形性质求解，因此考虑作辅助线构造直角三角形：过点C作CD垂直于BA的延长线于点D，先利用邻补角的性质求出∠CAD的度数，再在Rt△ACD中利用特殊角的三角函数值求出AD、CD的长度，最后在Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D。
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=60°。
在Rt△ACD中，AC=2，
∴AD=AC·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，
CD=AC·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
又
∵AB=4，
∴BD=AB+AD=4+1=5。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
BC=$\sqrt{BD^2 + CD^2}$=$\sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{25+3}$=$\sqrt{28}$=$2\sqrt{7}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解三角形的典型基础题，通过作高将钝角三角形问题转化为直角三角形问题求解，既考查了对解直角三角形相关知识的掌握，也体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 30°$，$∠ B = 45°$，$AC=2\sqrt{3}$，求$AB$的长。
答案
7.解:过点 $C$ 作 $CD⊥AB$ 于点 $D$,则$∠BCD=∠B=45°,\therefore CD=BD.$ 在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中,$∠A=30°,AC=2\sqrt{3},\therefore AD=AC· \cos A=3$,$CD=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}. \therefore BD=\sqrt{3}. \therefore AB=AD+BD=3+\sqrt{3}.$
解析
【分析】
本题给出的是斜三角形，已知两个特殊角和一条边的长度，无法直接求解AB，因此需要通过作高构造直角三角形，将原三角形拆分为两个含特殊角的直角三角形，分别在两个直角三角形中利用特殊角的性质和三角函数求出AD、BD的长度，相加即可得到AB的长度。第一步先作CD⊥AB，把△ABC分成Rt△ADC和Rt△CDB；第二步在Rt△ADC中利用30°角的性质和余弦函数求出CD、AD的长；第三步利用∠B=45°得出Rt△CDB是等腰直角三角形，得到BD=CD；最后将AD和BD相加得到AB。
【解析】
解：过点 $C$ 作 $CD⊥AB$ 于点 $D$，则 $∠ ADC = ∠ BDC = 90°$。
$\because ∠ B = 45°$，$\therefore ∠ BCD = 90° - ∠ B = 45° = ∠ B$，$\therefore CD = BD$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，$∠ A = 30°$，$AC=2\sqrt{3}$，
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$，
$AD = AC · \cos A = 2\sqrt{3} × \cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
$\therefore BD = CD = \sqrt{3}$，
$\therefore AB = AD + BD = 3 + \sqrt{3}$。
【答案】
$3+\sqrt{3}$
【知识点】
构造直角三角形，特殊角三角函数，直角三角形性质
【点评】
本题是解三角形的常规基础题，关键在于通过作高将斜三角形转化为熟悉的直角三角形，利用特殊角的性质简化计算，这种转化思想是解斜三角形问题的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题给出的是斜三角形，已知两个特殊角和一条边的长度，无法直接求解AB，因此需要通过作高构造直角三角形，将原三角形拆分为两个含特殊角的直角三角形，分别在两个直角三角形中利用特殊角的性质和三角函数求出AD、BD的长度，相加即可得到AB的长度。第一步先作CD⊥AB，把△ABC分成Rt△ADC和Rt△CDB；第二步在Rt△ADC中利用30°角的性质和余弦函数求出CD、AD的长；第三步利用∠B=45°得出Rt△CDB是等腰直角三角形，得到BD=CD；最后将AD和BD相加得到AB。
【解析】
解：过点 $C$ 作 $CD⊥AB$ 于点 $D$，则 $∠ ADC = ∠ BDC = 90°$。
$\because ∠ B = 45°$，$\therefore ∠ BCD = 90° - ∠ B = 45° = ∠ B$，$\therefore CD = BD$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，$∠ A = 30°$，$AC=2\sqrt{3}$，
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$，
$AD = AC · \cos A = 2\sqrt{3} × \cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
$\therefore BD = CD = \sqrt{3}$，
$\therefore AB = AD + BD = 3 + \sqrt{3}$。
【答案】
$3+\sqrt{3}$
【知识点】
构造直角三角形，特殊角三角函数，直角三角形性质
【点评】
本题是解三角形的常规基础题，关键在于通过作高将斜三角形转化为熟悉的直角三角形，利用特殊角的性质简化计算，这种转化思想是解斜三角形问题的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
8. 在$△ ABC$中，$AB=4$，$AC=\sqrt{13}$，$∠ B=60°$，则$BC$的长是________.
答案
8.1或3
解析
【分析】
题目给出△ABC的两边AB、AC长度和∠B的度数，求BC的长，由于已知角不是已知两边的夹角，需通过作高构造直角三角形求解。首先过A作AD垂直于BC所在直线，先在含60°角的Rt△ABD中求出BD、AD的长度，再在Rt△ACD中用勾股定理求出CD的长度，最后分高在三角形内部、高在三角形外部两种情况讨论点C的位置，计算BC的长即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于D，分两种情况讨论：
情况1：点D在线段BC上
在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=4
∴∠BAD=30°，则$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
$AD=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
在Rt△ACD中，$AC=\sqrt{13}$，$AD=2\sqrt{3}$
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{13-12}=1$
∴$BC=BD+CD=2+1=3$
情况2：点D在线段BC的延长线上（点C在B、D之间）
同理可得$BD=2$，$CD=1$
此时$BC=BD-CD=2-1=1$
综上，BC的长为1或3。
【答案】
1或3
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外的情况导致漏解，遇到已知两边及其中一边的对角求第三边的问题时，要注意结合图形分类讨论，结合直角三角形性质和勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.6
题目给出△ABC的两边AB、AC长度和∠B的度数，求BC的长，由于已知角不是已知两边的夹角，需通过作高构造直角三角形求解。首先过A作AD垂直于BC所在直线，先在含60°角的Rt△ABD中求出BD、AD的长度，再在Rt△ACD中用勾股定理求出CD的长度，最后分高在三角形内部、高在三角形外部两种情况讨论点C的位置，计算BC的长即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于D，分两种情况讨论：
情况1：点D在线段BC上
在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=4
∴∠BAD=30°，则$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
$AD=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
在Rt△ACD中，$AC=\sqrt{13}$，$AD=2\sqrt{3}$
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{13-12}=1$
∴$BC=BD+CD=2+1=3$
情况2：点D在线段BC的延长线上（点C在B、D之间）
同理可得$BD=2$，$CD=1$
此时$BC=BD-CD=2-1=1$
综上，BC的长为1或3。
【答案】
1或3
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外的情况导致漏解，遇到已知两边及其中一边的对角求第三边的问题时，要注意结合图形分类讨论，结合直角三角形性质和勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.6
