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1.如图,这条抛物线的函数表达式是 (
A.$y=-x^2+4x-3$
B.$y=x^2+4x-3$
C.$y=-x^2-4x-3$
D.$y=x^2-4x-3$
A
)A.$y=-x^2+4x-3$
B.$y=x^2+4x-3$
C.$y=-x^2-4x-3$
D.$y=x^2-4x-3$
答案
1.A
解析
【分析】
解题可采用排除法逐步缩小选项范围：首先观察抛物线开口方向，确定二次项系数的正负，排除不符合的选项；再根据抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，对照剩余选项的对称轴是否匹配，最终确定正确答案；也可通过代入已知点坐标验证选项是否符合。
【解析】
步骤1：判断二次项系数符号：
由图可知抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$。选项B、D的二次项系数均为1（大于0），对应抛物线开口向上，排除B、D。
步骤2：计算抛物线对称轴：
抛物线与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$。
步骤3：验证剩余选项的对称轴：
选项A：$y=-x^2+4x-3$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=4$，得$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，符合对称轴特征；
选项C：$y=-x^2-4x-3$，代入$a=-1,b=-4$，得$x=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$，不符合对称轴特征，排除C。
也可将点$(1,0)$代入选项A验证：当$x=1$时，$y=-1^2+4×1-3=0$，符合图象特征，因此A正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数解析式的确定；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数解析式确定的基础题型，巧妙结合图象的开口方向、对称轴等特征用排除法解题，比直接设解析式求解效率更高，平时练习要注意培养数形结合的解题意识。
【难度系数】
0.8
解题可采用排除法逐步缩小选项范围：首先观察抛物线开口方向，确定二次项系数的正负，排除不符合的选项；再根据抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，对照剩余选项的对称轴是否匹配，最终确定正确答案；也可通过代入已知点坐标验证选项是否符合。
【解析】
步骤1：判断二次项系数符号：
由图可知抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$。选项B、D的二次项系数均为1（大于0），对应抛物线开口向上，排除B、D。
步骤2：计算抛物线对称轴：
抛物线与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$。
步骤3：验证剩余选项的对称轴：
选项A：$y=-x^2+4x-3$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=4$，得$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，符合对称轴特征；
选项C：$y=-x^2-4x-3$，代入$a=-1,b=-4$，得$x=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$，不符合对称轴特征，排除C。
也可将点$(1,0)$代入选项A验证：当$x=1$时，$y=-1^2+4×1-3=0$，符合图象特征，因此A正确。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数解析式的确定；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数解析式确定的基础题型，巧妙结合图象的开口方向、对称轴等特征用排除法解题，比直接设解析式求解效率更高，平时练习要注意培养数形结合的解题意识。
【难度系数】
0.8
2. 将抛物线$y=-2x^2$平移后，与$x$轴的两个交点的坐标分别为$(-1,0),(3,0)$，则平移后的抛物线的函数表达式为
$y=-2(x+1)(x-3)$
。答案
2.$y=-2(x+1)(x-3)$
解析
【分析】
解题思路如下：①首先明确抛物线平移的性质：平移只改变抛物线的位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数a保持不变，原抛物线a=-2，平移后a仍为-2；②已知平移后抛物线与x轴的两个交点坐标，选择交点式（两根式）求解解析式最为简便，交点式的形式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其中$x_1$、$x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标，代入已知条件即可求出表达式。
【解析】
∵抛物线平移不改变二次项系数，原抛物线$y=-2x^2$的二次项系数为-2，
∴平移后抛物线的二次项系数$a=-2$。
已知平移后抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，设平移后抛物线的交点式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，
将$a=-2$，$x_1=-1$，$x_2=3$代入得：
$y=-2[x-(-1)](x-3)=-2(x+1)(x-3)$
【答案】
$y=-2(x+1)(x-3)$
【知识点】
1.抛物线平移的性质
2.二次函数交点式求解析式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记抛物线平移时二次项系数不变的性质，同时掌握当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，选用交点式求解解析式会大大简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：①首先明确抛物线平移的性质：平移只改变抛物线的位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数a保持不变，原抛物线a=-2，平移后a仍为-2；②已知平移后抛物线与x轴的两个交点坐标，选择交点式（两根式）求解解析式最为简便，交点式的形式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其中$x_1$、$x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标，代入已知条件即可求出表达式。
【解析】
∵抛物线平移不改变二次项系数，原抛物线$y=-2x^2$的二次项系数为-2，
∴平移后抛物线的二次项系数$a=-2$。
已知平移后抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，设平移后抛物线的交点式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，
将$a=-2$，$x_1=-1$，$x_2=3$代入得：
$y=-2[x-(-1)](x-3)=-2(x+1)(x-3)$
【答案】
$y=-2(x+1)(x-3)$
【知识点】
1.抛物线平移的性质
2.二次函数交点式求解析式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记抛物线平移时二次项系数不变的性质，同时掌握当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，选用交点式求解解析式会大大简化计算过程。
【难度系数】
0.8
3.已知抛物线与x轴交于(1,0),(5,0)两点，与y轴交点的纵坐标为5，求抛物线的函数表达式。
答案
3.解:
∵抛物线与 $ x $ 轴的交点是 $ (1,0),(5,0) $,
∴可设 $ y=a(x-1)(x-5) $. 由题意,得抛物线 $ y=a(x-1)(x-5) $ 与 $ y $ 轴的交点是 $ (0,5) $. 将 $ (0,5) $ 代入,得 $ 5=a(0-1)×(0-5) $,解得 $ a=1 $.
∴抛物线的函数表达式为 $ y=(x-1)(x-5)=x^2-6x+5 $.
∵抛物线与 $ x $ 轴的交点是 $ (1,0),(5,0) $,
∴可设 $ y=a(x-1)(x-5) $. 由题意,得抛物线 $ y=a(x-1)(x-5) $ 与 $ y $ 轴的交点是 $ (0,5) $. 将 $ (0,5) $ 代入,得 $ 5=a(0-1)×(0-5) $,解得 $ a=1 $.
∴抛物线的函数表达式为 $ y=(x-1)(x-5)=x^2-6x+5 $.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知抛物线与x轴的两个交点坐标、与y轴的交点坐标。当已知二次函数与x轴的两个交点$(x_1,0)$、$(x_2,0)$时，优先选用交点式设函数解析式，仅需求1个未知参数$a$，可简化计算。首先设交点式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，代入两个x轴交点的横坐标，再将y轴交点坐标代入式子求出$a$的值，最后整理为标准的函数表达式即可。
【解析】
∵抛物线与$x$轴的交点是$(1,0)$、$(5,0)$，
∴设抛物线的函数表达式为$y=a(x-1)(x-5)$（$a≠0$）。
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为5，即抛物线过点$(0,5)$，
将$(0,5)$代入$y=a(x-1)(x-5)$，得：
$5 = a×(0-1)×(0-5)$
解得$a=1$。
∴抛物线的函数表达式为$y=(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$。
【答案】
$y=x^2-6x+5$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数交点式；二次函数与坐标轴交点特征
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据已知条件选择最简便的解析式形式，已知与x轴的两个交点时选用交点式可大幅降低计算量，熟练掌握二次函数不同形式解析式的适用场景是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知抛物线与x轴的两个交点坐标、与y轴的交点坐标。当已知二次函数与x轴的两个交点$(x_1,0)$、$(x_2,0)$时，优先选用交点式设函数解析式，仅需求1个未知参数$a$，可简化计算。首先设交点式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，代入两个x轴交点的横坐标，再将y轴交点坐标代入式子求出$a$的值，最后整理为标准的函数表达式即可。
【解析】
∵抛物线与$x$轴的交点是$(1,0)$、$(5,0)$，
∴设抛物线的函数表达式为$y=a(x-1)(x-5)$（$a≠0$）。
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为5，即抛物线过点$(0,5)$，
将$(0,5)$代入$y=a(x-1)(x-5)$，得：
$5 = a×(0-1)×(0-5)$
解得$a=1$。
∴抛物线的函数表达式为$y=(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$。
【答案】
$y=x^2-6x+5$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数交点式；二次函数与坐标轴交点特征
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据已知条件选择最简便的解析式形式，已知与x轴的两个交点时选用交点式可大幅降低计算量，熟练掌握二次函数不同形式解析式的适用场景是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 在一次函数$y=kx+b(k≠0)$中，$y$随$x$的增大而减小，则二次函数$y=k(x-1)^2$的图象大致是（
B
）答案
4.B
解析
【分析】
解题时先从已知的一次函数性质入手：一次函数y随x增大而减小，可推出一次项系数k＜0；再分析二次函数$y=k(x-1)^2$的特征：它是顶点式，开口方向由k决定，对称轴为x=1，顶点坐标为$(1,0)$，根据这几个特征逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 分析一次函数性质确定k的符号：
∵ 一次函数$y=kx+b(k≠0)$中，$y$随$x$的增大而减小，
∴ $k＜0$。
2. 判断二次函数的开口方向：
对于二次函数$y=k(x-1)^2$，二次项系数为$k＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的A、C选项。
3. 判断二次函数的对称轴和顶点位置：
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，因此$y=k(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
D选项对称轴为$x=-1$，顶点在$(-1,0)$，不符合要求，排除D。
综上，只有B选项符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的增减性；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是一次函数和二次函数性质的综合基础题，解题的核心是先通过一次函数的增减性得到参数k的符号，再结合二次函数顶点式的开口、对称轴、顶点位置筛选图象，掌握两类基本函数的性质是解这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的一次函数性质入手：一次函数y随x增大而减小，可推出一次项系数k＜0；再分析二次函数$y=k(x-1)^2$的特征：它是顶点式，开口方向由k决定，对称轴为x=1，顶点坐标为$(1,0)$，根据这几个特征逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 分析一次函数性质确定k的符号：
∵ 一次函数$y=kx+b(k≠0)$中，$y$随$x$的增大而减小，
∴ $k＜0$。
2. 判断二次函数的开口方向：
对于二次函数$y=k(x-1)^2$，二次项系数为$k＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的A、C选项。
3. 判断二次函数的对称轴和顶点位置：
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，因此$y=k(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
D选项对称轴为$x=-1$，顶点在$(-1,0)$，不符合要求，排除D。
综上，只有B选项符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的增减性；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是一次函数和二次函数性质的综合基础题，解题的核心是先通过一次函数的增减性得到参数k的符号，再结合二次函数顶点式的开口、对称轴、顶点位置筛选图象，掌握两类基本函数的性质是解这类题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图,已知抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$ 与直线 $y=x-2$,P是抛物线的顶点,过点P作y轴的平行线交直线 $y=x-2$ 于点Q,则线段PQ的长为
(
A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.$\frac{7}{2}$
(
B
)A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.$\frac{7}{2}$
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路分为三步：首先，根据给出的抛物线顶点式，直接确定顶点P的坐标；其次，因为PQ平行于y轴，可知Q点的横坐标与P点横坐标相同，将该横坐标代入直线表达式求出Q点的纵坐标，得到Q点坐标；最后，因为两点横坐标相同，线段PQ的长度等于两点纵坐标的差（较大值减较小值），计算即可得到结果。
【解析】
1. 求顶点P的坐标：
抛物线的表达式为顶点式$y=\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$，对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，因此P点坐标为$(1,\frac{3}{2})$。
2. 求Q点坐标：
PQ平行于y轴，因此Q点横坐标与P点相同，即$x=1$，将$x=1$代入直线表达式$y=x-2$，得$y=1-2=-1$，因此Q点坐标为$(1,-1)$。
3. 计算PQ的长度：
两点横坐标相同，线段长度为纵坐标的差，即$PQ=\frac{3}{2}-(-1)=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、一次函数求值、竖直线段长度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式的特征，以及平行于y轴的线段长度的计算方法，理清两点坐标的关系后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：首先，根据给出的抛物线顶点式，直接确定顶点P的坐标；其次，因为PQ平行于y轴，可知Q点的横坐标与P点横坐标相同，将该横坐标代入直线表达式求出Q点的纵坐标，得到Q点坐标；最后，因为两点横坐标相同，线段PQ的长度等于两点纵坐标的差（较大值减较小值），计算即可得到结果。
【解析】
1. 求顶点P的坐标：
抛物线的表达式为顶点式$y=\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$，对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，因此P点坐标为$(1,\frac{3}{2})$。
2. 求Q点坐标：
PQ平行于y轴，因此Q点横坐标与P点相同，即$x=1$，将$x=1$代入直线表达式$y=x-2$，得$y=1-2=-1$，因此Q点坐标为$(1,-1)$。
3. 计算PQ的长度：
两点横坐标相同，线段长度为纵坐标的差，即$PQ=\frac{3}{2}-(-1)=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、一次函数求值、竖直线段长度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式的特征，以及平行于y轴的线段长度的计算方法，理清两点坐标的关系后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 已知一次函数$y_1=2x-2$，二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象交于点$(3,m),(n,-6)$，则二次函数的表达式为
$y=-x^2+3x+4$
。答案
6.$y=-x^2+3x+4$
解析
【分析】
要确定二次函数的表达式，需先求出两个交点的完整坐标：首先交点同时在一次函数和二次函数的图象上，因此交点坐标满足一次函数解析式，可先代入一次函数求出m、n的值，得到两个交点的完整坐标；再将两个交点坐标代入二次函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
∵ 点$(3,m)$在一次函数$y_1=2x-2$的图象上
∴ 将$x=3$代入$y_1=2x-2$，得：
$m=2×3 -2=4$，即第一个交点为$(3,4)$
∵ 点$(n,-6)$在一次函数$y_1=2x-2$的图象上
∴ 将$y=-6$代入$y_1=2x-2$，得：
$-6=2n-2$，解得$n=-2$，即第二个交点为$(-2,-6)$
将$(3,4)$和$(-2,-6)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}-3^2 + 3b + c =4 \\-(-2)^2 -2b + c =-6\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3b + c =13 \ \ \ \ ① \\-2b + c =-2 \ \ ②\end{cases}$
用①$-$②消去$c$，得：$5b=15$，解得$b=3$
将$b=3$代入②，得：$-6 + c =-2$，解得$c=4$
∴ 二次函数的表达式为$y=-x^2+3x+4$
【答案】
$y=-x^2+3x+4$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于二次函数解析式确定的常规基础题，解题关键是理解函数交点的坐标同时满足所交的两个函数的解析式，通过一次函数求出完整交点坐标后，再用待定系数法求解即可，主要考察学生的基础运算能力和对函数交点概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数的表达式，需先求出两个交点的完整坐标：首先交点同时在一次函数和二次函数的图象上，因此交点坐标满足一次函数解析式，可先代入一次函数求出m、n的值，得到两个交点的完整坐标；再将两个交点坐标代入二次函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
∵ 点$(3,m)$在一次函数$y_1=2x-2$的图象上
∴ 将$x=3$代入$y_1=2x-2$，得：
$m=2×3 -2=4$，即第一个交点为$(3,4)$
∵ 点$(n,-6)$在一次函数$y_1=2x-2$的图象上
∴ 将$y=-6$代入$y_1=2x-2$，得：
$-6=2n-2$，解得$n=-2$，即第二个交点为$(-2,-6)$
将$(3,4)$和$(-2,-6)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}-3^2 + 3b + c =4 \\-(-2)^2 -2b + c =-6\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3b + c =13 \ \ \ \ ① \\-2b + c =-2 \ \ ②\end{cases}$
用①$-$②消去$c$，得：$5b=15$，解得$b=3$
将$b=3$代入②，得：$-6 + c =-2$，解得$c=4$
∴ 二次函数的表达式为$y=-x^2+3x+4$
【答案】
$y=-x^2+3x+4$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于二次函数解析式确定的常规基础题，解题关键是理解函数交点的坐标同时满足所交的两个函数的解析式，通过一次函数求出完整交点坐标后，再用待定系数法求解即可，主要考察学生的基础运算能力和对函数交点概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
7.(教材P24练习T2变式)如图,一次函数$y=kx+b$的图象与二次函数$y=ax^2$的图象交于点$A(1,m)$和$B(-2,4)$,与$y$轴交于点$C$.
(1)求两个函数的表达式;
(2)求$△ AOB$的面积.
(1)求两个函数的表达式;
(2)求$△ AOB$的面积.
答案
7.解:(1)把 $ B(-2,4) $ 代入 $ y=ax^2 $,得 $ 4a=4 $,解得 $ a=1 $.
∴二次函数的表达式为 $ y=x^2 $. 把 $ A(1,m) $ 代入 $ y=x^2 $,得 $ m=1 $,
∴$ A(1,1) $. 把 $ A(1,1),B(-2,4) $ 代入 $ y=kx+b $,得$\begin{cases}1=k+b,\\4=-2k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2.\end{cases}$
∴一次函数的表达式为 $ y=-x+2 $.(2)当 $ x=0 $ 时, $ y=-x+2=2 $,
∴$ C(0,2) $.
∴$ OC=2 $.
∴$ S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC·|x_A|+\frac{1}{2}OC·|x_B|=3 $.
∴二次函数的表达式为 $ y=x^2 $. 把 $ A(1,m) $ 代入 $ y=x^2 $,得 $ m=1 $,
∴$ A(1,1) $. 把 $ A(1,1),B(-2,4) $ 代入 $ y=kx+b $,得$\begin{cases}1=k+b,\\4=-2k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2.\end{cases}$
∴一次函数的表达式为 $ y=-x+2 $.(2)当 $ x=0 $ 时, $ y=-x+2=2 $,
∴$ C(0,2) $.
∴$ OC=2 $.
∴$ S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC·|x_A|+\frac{1}{2}OC·|x_B|=3 $.
解析
【分析】
第(1)问求函数表达式：①二次函数$y=ax^2$仅含未知参数$a$，已知点$B$在二次函数图象上，代入点$B$坐标即可求出$a$，得到二次函数解析式；②点$A$在二次函数图象上，代入$A$的横坐标即可求出$m$，得到$A$的完整坐标；③一次函数$y=kx+b$含两个未知参数，将$A、B$两点坐标代入得到二元一次方程组，解方程组即可求出$k、b$，得到一次函数解析式。
第(2)问求$△ AOB$的面积：可利用分割法，将$△ AOB$拆分为以$OC$为公共底的$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形的高分别为$A、B$横坐标的绝对值，分别计算面积后相加即可得到结果。
【解析】
(1) 求两个函数的表达式：
将$B(-2,4)$代入$y=ax^2$，得$4a=4$，解得$a=1$，
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2$。
将$A(1,m)$代入$y=x^2$，得$m=1^2=1$，即$A(1,1)$。
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=1\\-2k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 求$△ AOB$的面积：
对于一次函数$y=-x+2$，当$x=0$时，$y=2$，即$C(0,2)$，$\therefore OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}· OC· |x_A|+\frac{1}{2}· OC· |x_B|$
$=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×2=3$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，核心考查待定系数法的应用和坐标系内三角形面积的求解技巧，掌握割补法拆分三角形能大幅简化计算，是函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
第(1)问求函数表达式：①二次函数$y=ax^2$仅含未知参数$a$，已知点$B$在二次函数图象上，代入点$B$坐标即可求出$a$，得到二次函数解析式；②点$A$在二次函数图象上，代入$A$的横坐标即可求出$m$，得到$A$的完整坐标；③一次函数$y=kx+b$含两个未知参数，将$A、B$两点坐标代入得到二元一次方程组，解方程组即可求出$k、b$，得到一次函数解析式。
第(2)问求$△ AOB$的面积：可利用分割法，将$△ AOB$拆分为以$OC$为公共底的$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形的高分别为$A、B$横坐标的绝对值，分别计算面积后相加即可得到结果。
【解析】
(1) 求两个函数的表达式：
将$B(-2,4)$代入$y=ax^2$，得$4a=4$，解得$a=1$，
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=x^2$。
将$A(1,m)$代入$y=x^2$，得$m=1^2=1$，即$A(1,1)$。
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=1\\-2k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 求$△ AOB$的面积：
对于一次函数$y=-x+2$，当$x=0$时，$y=2$，即$C(0,2)$，$\therefore OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}· OC· |x_A|+\frac{1}{2}· OC· |x_B|$
$=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×2=3$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，核心考查待定系数法的应用和坐标系内三角形面积的求解技巧，掌握割补法拆分三角形能大幅简化计算，是函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
