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1 若$\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$，则$ab=$（
A.6
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.6
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{2}{3}$
答案
1. A 【解析】
∵ $\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$,
∴ $ab=6$. 故选 A.
∵ $\frac{a}{2}=\frac{3}{b}$,
∴ $ab=6$. 故选 A.
2 已知$3x=4y(y≠0)$，则 （
A.$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$
B.$\frac{x}{3}=\frac{4}{y}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$
D.$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$
D
）A.$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$
B.$\frac{x}{3}=\frac{4}{y}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$
D.$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$
答案
关键点拨
根据内项之积等于外项之积逐项判断即可.
A 选项,由比例的性质得 $4x=3y$,与 $3x=4y$ 不一致,故此选项不符合题意; B 选项,由比例的性质得 $xy=12$,与 $3x=4y$ 不一致,故此选项不符合题意; C 选项,由比例的性质得 $4x=3y$,与 $3x=4y$ 不一致,故此选项不符合题意; D 选项,由比例的性质得 $3x=4y$,与 $3x=4y$ 一致,故此选项符合题意. 故选 D.
根据内项之积等于外项之积逐项判断即可.
A 选项,由比例的性质得 $4x=3y$,与 $3x=4y$ 不一致,故此选项不符合题意; B 选项,由比例的性质得 $xy=12$,与 $3x=4y$ 不一致,故此选项不符合题意; C 选项,由比例的性质得 $4x=3y$,与 $3x=4y$ 不一致,故此选项不符合题意; D 选项,由比例的性质得 $3x=4y$,与 $3x=4y$ 一致,故此选项符合题意. 故选 D.
3 [2025 浙江杭州期中]若$\frac{m}{7}=\frac{n}{3}$（$m,n$均不为零），则$\frac{m}{m-n}$的值为（
A.$-\frac{7}{4}$
B.$-\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{7}{4}$
D
）A.$-\frac{7}{4}$
B.$-\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{7}{4}$
答案
3. D 【解析】
∵ $\frac{m}{7} = \frac{n}{3}$,
∴ $\frac{m}{n} = \frac{7}{3}$,
∴ $\frac{m}{m-n} = \frac{m-n+n}{m-n} =1+ \frac{n}{m-n} =1+ \frac{1}{\frac{m}{n}-1} =1+ \frac{1}{\frac{7}{3}-1} =1+ \frac{1}{\frac{4}{3}} = 1+\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$. 故选 D.
∵ $\frac{m}{7} = \frac{n}{3}$,
∴ $\frac{m}{n} = \frac{7}{3}$,
∴ $\frac{m}{m-n} = \frac{m-n+n}{m-n} =1+ \frac{n}{m-n} =1+ \frac{1}{\frac{m}{n}-1} =1+ \frac{1}{\frac{7}{3}-1} =1+ \frac{1}{\frac{4}{3}} = 1+\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$. 故选 D.
4 已知$a,b,c$是非零实数，且$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=k$，则$k$的值为
2或-1
。答案
4. 2 或-1 【解析】分为两种情况:①当 $a+b+c=0$ 时, $b+c=-a$,
∴ $k=\frac{b+c}{a}=\frac{-a}{a}=-1$. ②当 $a+b+c≠0$ 时,
∵ $\frac{b+c}{a} = \frac{a+c}{b} = \frac{a+b}{c} = k$,
∴ $k = \frac{b+c+a+c+a+b}{a+b+c} = \frac{2a+2b+2c}{a+b+c} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$. 综上所述,$k=2$ 或-1,故答案为 2 或-1.
易错警示
本题易忽略$a+b+c=0$这种情况,注意要考虑全面.
∴ $k=\frac{b+c}{a}=\frac{-a}{a}=-1$. ②当 $a+b+c≠0$ 时,
∵ $\frac{b+c}{a} = \frac{a+c}{b} = \frac{a+b}{c} = k$,
∴ $k = \frac{b+c+a+c+a+b}{a+b+c} = \frac{2a+2b+2c}{a+b+c} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$. 综上所述,$k=2$ 或-1,故答案为 2 或-1.
易错警示
本题易忽略$a+b+c=0$这种情况,注意要考虑全面.
5[2025上海浦东新区质检]已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}≠0$.
(1)求$\frac{4a+2b}{5c-6a}$的值.
(2)若$△ ABC$的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状.
(1)求$\frac{4a+2b}{5c-6a}$的值.
(2)若$△ ABC$的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状.
答案
5.【解】(1)
∵ $\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}≠0$,
∴ 设 $a=3x,b=5x,c=4x(x≠0)$,
∴ $\frac{4a+2b}{5c-6a}=\frac{12x+10x}{20x-18x}=11$.
(2)
∵ $△ ABC$ 的周长为 24,
∴ 由(1)得 $3x+5x+4x=24$,解得 $x=2$,
∴ $a=6,b=10,c=8$.
∵ $a^2+c^2=b^2$,
∴ $△ ABC$ 是直角三角形.
∵ $\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}≠0$,
∴ 设 $a=3x,b=5x,c=4x(x≠0)$,
∴ $\frac{4a+2b}{5c-6a}=\frac{12x+10x}{20x-18x}=11$.
(2)
∵ $△ ABC$ 的周长为 24,
∴ 由(1)得 $3x+5x+4x=24$,解得 $x=2$,
∴ $a=6,b=10,c=8$.
∵ $a^2+c^2=b^2$,
∴ $△ ABC$ 是直角三角形.
6 下列各组长度的线段中,是成比例线段的是（
A.1,2,3,5
B.2,4,2,8
C.5,6,2,3
D.$\sqrt{2},\sqrt{6},1,\sqrt{3}$
D
）A.1,2,3,5
B.2,4,2,8
C.5,6,2,3
D.$\sqrt{2},\sqrt{6},1,\sqrt{3}$
答案
6. D 【解析】
A $2×3≠1×5$,不符合题意
B $4×2≠2×8$,不符合题意
C $6×2≠5×3$,不符合题意
D $\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}×1$,符合题意
A $2×3≠1×5$,不符合题意
B $4×2≠2×8$,不符合题意
C $6×2≠5×3$,不符合题意
D $\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}×1$,符合题意
7 AI DPSK原创 已知2,3,m三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则m的值为
$\frac{4}{3}$或$\frac{9}{2}$或$\sqrt{6}$或-$\sqrt{6}$
。答案
7. $\frac{4}{3}$或$\frac{9}{2}$或$\sqrt{6}$或-$\sqrt{6}$ 【解析】①当 2 为 3 和 m 的比例中项时,$2^2=3m$,$m=\frac{4}{3}$;②当 3 为 2 和 m 的比例中项时,$3^2=2m$,$m=\frac{9}{2}$;③当 m 为 2 和 3 的比例中项时,$m^2=2×3$,$m=±\sqrt{6}$. 所以 m 的值为 $\frac{4}{3}$或$\frac{9}{2}$或$\sqrt{6}$或-$\sqrt{6}$.
易错警示
题中没有指明哪一个数是另外两个数的比例中项,所以需分类讨论.
易错警示
题中没有指明哪一个数是另外两个数的比例中项,所以需分类讨论.
8 已知线段$a,b$满足$\frac{a}{b}=2$，且$a+2b=28$。
(1)求$a,b$的值；
(2)若线段$x$是线段$a,b$的比例中项线段，求$x$的值。
刷题超酷鸭
(1)求$a,b$的值；
(2)若线段$x$是线段$a,b$的比例中项线段，求$x$的值。
刷题超酷鸭
答案
8.【解】(1)
∵ $\frac{a}{b}=2$,
∴ $a=2b$.
∵ $a+2b=28$,
∴ $2b+2b=28$,解得 $b=7$,则 $a=2×7=14$.
(2)
∵ 线段 $x$ 是线段 $a,b$ 的比例中项线段,
∴ $x^2=ab$,即 $x^2=14×7$,解得 $x=7\sqrt{2}$ 或 $x=-7\sqrt{2}$(不符合题意,舍去),则 $x$ 的值为 $7\sqrt{2}$.
∵ $\frac{a}{b}=2$,
∴ $a=2b$.
∵ $a+2b=28$,
∴ $2b+2b=28$,解得 $b=7$,则 $a=2×7=14$.
(2)
∵ 线段 $x$ 是线段 $a,b$ 的比例中项线段,
∴ $x^2=ab$,即 $x^2=14×7$,解得 $x=7\sqrt{2}$ 或 $x=-7\sqrt{2}$(不符合题意,舍去),则 $x$ 的值为 $7\sqrt{2}$.
9[2026浙江温州期末]如图,点B是线段AC的黄金分割点(AB＞BC),则下列结论中正确的是 (
A.$AC^2 = AB^2 + BC^2$
B.$BC^2 = AC · AB$
C.$\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
D.$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
C
)A.$AC^2 = AB^2 + BC^2$
B.$BC^2 = AC · AB$
C.$\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
D.$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
答案
9. C 【解析】因为点 B 是线段 AC 的黄金分割点$(AB＞BC)$,所以 $\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以 $AB^2 = AC · BC$,故只有 C 选项正确. 故选 C.
10[2026浙江宁波调研]如图,已知线段$AB=2$,点P是线段AB的黄金分割点$(AP＞BP)$.
(1)求线段AP的长;
(2)以AB为一边作$△ ABQ$,使得$BQ=AP$,连结QP,若QP平分$∠ AQB$,求AQ的长.
(1)求线段AP的长;
(2)以AB为一边作$△ ABQ$,使得$BQ=AP$,连结QP,若QP平分$∠ AQB$,求AQ的长.
答案
10.【解】(1)
∵ 点 P 是线段 AB 的黄金分割点$(AP＞BP)$,
∴ $\frac{AP}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ $AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ×AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ×2 = \sqrt{5}-1$.
(2)
∵ QP 平分 $∠ AQB$,
∴ 点 P 到线段 AQ,BQ 的距离相等,
∴ $\frac{S_{△PAQ}}{S_{△PBQ}} = \frac{AQ}{BQ} = \frac{AP}{PB}$. 由 (1) 可得 $AP = BQ = \sqrt{5}-1$.
∵ $AB=2$,
∴ $PB = AB - AP = 2-(\sqrt{5}-1) = 3-\sqrt{5}$,
∴ $AQ = \frac{AP · BQ}{PB} = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{3-\sqrt{5}} = 2$.
∵ 点 P 是线段 AB 的黄金分割点$(AP＞BP)$,
∴ $\frac{AP}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ $AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ×AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ×2 = \sqrt{5}-1$.
(2)
∵ QP 平分 $∠ AQB$,
∴ 点 P 到线段 AQ,BQ 的距离相等,
∴ $\frac{S_{△PAQ}}{S_{△PBQ}} = \frac{AQ}{BQ} = \frac{AP}{PB}$. 由 (1) 可得 $AP = BQ = \sqrt{5}-1$.
∵ $AB=2$,
∴ $PB = AB - AP = 2-(\sqrt{5}-1) = 3-\sqrt{5}$,
∴ $AQ = \frac{AP · BQ}{PB} = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{3-\sqrt{5}} = 2$.
