15[2025浙江杭州期中]如图,在半径为2的半圆O中,半径OA垂直于直径BC,点E与点F分别在弦AB,AC上滑动并保持$AE=CF$,但点F不与A,C重合,点E不与A,B重合.
(1)求证:$△ BOE ≌ △ AOF$.
(2)求四边形AEOF的面积.
(3)连结EF,设$AE=x$,$S_{△ OEF}=y$,求出$y$与$x$之间的函数关系式,并写出$x$的取值范围.

15. (1)【证明】
∵ BC 为半圆 O 的直径,OA 为半径,且OA⊥BC,
∴ 易得 OA=OB,∠B=∠OAF=45°,AB=AC.又
∵ AE=CF,
∴ BE=AF,
∴ △BOE≅△AOF.
(2)【解】
∵ △BOE≅△AOF,
∴ $S_{△BOE}=S_{△AOF}$,
∴ $S_{四边形AEOF}=S_{△AOE}+S_{△AOF}=S_{△AOE}+S_{△BOE}=S_{△AOB}=$$\frac{1}{2}OB·OA=2$.
(3)
∵ BC 为半圆 O 的直径,半圆 O 的半径为 2,AO⊥BC,
∴ ∠BAC=90°, 且 AB=AC=$2\sqrt{2}$,
∴ y=$S_{△OEF}=S_{四边形AEOF}-S_{△AEF}=2-\frac{1}{2}AE·AF=2-\frac{1}{2}x·$$(2\sqrt{2}-x)$,
∴ $y=\frac{1}{2}x^2-\sqrt{2}x+2(0＜x＜2\sqrt{2})$.

16 如图(1),矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E,F都在直线l上,且AB=7,EF=10,BC＞5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发,沿射线EF方向运动,矩形ABCD随之运动,运动时间为t秒.
(1)如图(2),当$t=2.5$时,求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度;
(2)在点B运动的过程中,当AD,BC都与半圆O相交时,设这两个交点为G,H.连结OG,OH,若$∠ GOH$为直角,求此时t的值.

16.【解】(1)如图(1),设 BC 与半圆 O 交于点 M,连结 ME,MO. 当 t=2.5 时,BE=2.5.
∵ EF=10,
∴ OE=$\frac{1}{2}EF=5$,
∴ OB=2.5,
∴ EB=OB.在矩形 ABCD 中,∠ABC=90°,
∴ ME=MO.又
∵ MO=EO,
∴ ME=EO=MO,
∴ △MOE 是等边三角形,
∴ ∠EOM=60°,
∴ $l_{\overset{\frown}{ME}}=\frac{60π×5}{180}=\frac{5π}{3}$, 即半圆 O 在矩形 ABCD 内的弧的长度为 $\frac{5π}{3}$.
(2)如图(2),
∵ ∠GOH = 90°,
∴ ∠AOG +∠BOH=90°.
∵ ∠AGO+∠AOG=90°,
∴ ∠AGO=∠BOH.在△AGO 和△BOH 中,$\begin{cases}∠GAO=∠HBO=90°,\\∠AGO=∠BOH,\\OG=OH,\end{cases}$
∴ △AGO≅△BOH(AAS),
∴ OB=AG=t-5.
∵ AB=7,
∴ AE=t-7,
∴ AO=5-(t-7)=12-t.在 Rt△AGO 中,$AG^2+AO^2=OG^2$,
∴ $(t-5)^2+(12-t)^2=5^2$, 解得 $t_1=8$,$t_2=9$, 即此时 t 的值为 8 或 9.

17[2026江苏连云港调研]如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、点B的坐标分别为(-2,0),(0,4),过点M的直线与⊙M的公共点是D,E(点D在点E右侧),与x轴交于点F,连结AE,OD,BD.已知∠ODF=45°.
(1)⊙M的直径为,点M的坐标为;
(2)求直线DF所对应的函数表达式;
(3)已知点P是x轴上的一个动点,当∠PEA=∠OBD时,求线段OP的长度.

17. (1)$2\sqrt{5}$ (-1,2) 【解】(1)连结 AB,如图(1).
∵ ∠AOB=90°,
∴ AB 为⊙M 的直径.
∵ 点 A、点 B的坐标分别为(-2,0),(0,4),
∴ OA=2,OB=4,
∴ AB=$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,
∴ ⊙M 的直径为 $2\sqrt{5}$.
∵ M为 AB 中点,
∴ M(-1,2), 故答案为 $2\sqrt{5}$,(-1,2).
(2)连结 OM,如图(2).
∵ ∠ODF=45°,
∴ ∠OMF=2∠ODF=90°,
∴ $OM^2+FM^2=OF^2$. 设 F(t,0).
∵ O(0,0),M(-1,2),
∴ $OM^2=1^2+2^2=5$,$MF^2=(t+1)^2+4$,
∴ $5+(t+1)^2+4=t^2$, 解得 t=-5,
∴ F(-5,0). 设直线 DF 所对应的函数表达式为 y=kx+b, 将 M(-1,2),F(-5,0)代入,得 $\begin{cases}-k+b=2,\\-5k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=\frac{5}{2},\end{cases}$
∴ 直线 DF 所对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.
(3)设直线 DF 与⊙M 的交点坐标为$(m,\frac{1}{2}m+\frac{5}{2})$.
∵ M(-1,2), ⊙M 半径为 $\sqrt{5}$,
∴ $(m+1)^2+(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2}-2)^2=5$, 即 $m^2+2m-3=0$,解得 m=1 或 m=-3,
∴ E(-3,1), D(1,3). 连结OE.
∵ ∠FDO=45°, DE 为⊙M 直径,
∴ ∠EOD=90°,
∴ ∠DEO=45°.
∵ $\overset{\frown}{OD}=\overset{\frown}{OD}$,
∴ ∠OBD=45°.
∵ ∠PEA = ∠OBD,
∴ ∠PEA = 45°.
∵ ∠PAE =180° - ∠EAO, ∠EAO + ∠ODF = 180°,
∴ ∠PAE=45°.
①当点 P 在点 A 左侧时,如图(3),
∴ ∠EPA=90°,
∴ 点 E 和点 P 横坐标相同,
∴ P(-3,0),
∴ OP=3.
②当点 P 在点 A 右侧时.
∵ ∠PEA=45°, ∠EAO=135°,
∴ ∠PEA+∠EAO=180°,
∴ PE//x 轴,与点 P在 x 轴上矛盾,不存在该种情况.
综上所述,OP 的长度为 3.