二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
9 如图,扇形AOB的半径为1,分别以点A,B为圆心、大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点P,$∠ BOP=35°$,则$\overset{\frown}{AB}$的长为.


(第9题图)
(第10题图)

9.$\frac{7}{18}π$ 【解析】由作图知 OP 垂直平分 AB.
∵ OA =OB,
∴ ∠AOB=2∠BOP=2×35°=70°.
∵ 扇形的半径是 1,
∴ $\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{70π×1}{180}=\frac{7}{18}π$. 故答案为 $\frac{7}{18}π$.

10[2025江苏南京期中]如图,在扇形AOB中,点D在OA上,点C在$\overset{\frown}{AB}$上,∠AOB=∠BCD=90°.若CD=3,BC=4,则扇形AOB所在圆的半径为.

10.$2\sqrt{5}$ 【解析】如图,过点 O 作OE⊥BC 于点 E,连结 BD 交 OE于点 F,连结 CF.
∵ ∠BCD=90°, CD = 3, BC = 4,
∴ BD =$\sqrt{CD^2+BC^2}=5$.
∵ OE ⊥ BC,
∴ BE=CE, 即 OE 垂直平分 BC,
∴ BF = CF,
∴ ∠FBC = ∠FCB. 又
∵ ∠BCD=90°,
∴ ∠FBC + ∠FDC = ∠FCB +∠FCD=90°,
∴ ∠FDC=∠FCD,
∴ CF=DF=BF,
∴ F 是 BD 的中点,
∴ OF=$\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$. 又
∵ BE=CE,
∴ EF=$\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}$, BE=$\frac{1}{2}BC=2$,
∴ OE=OF+EF=$\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$,
∴ OB=$\sqrt{OE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$, 即扇形 AOB 所在圆的半径为 $2\sqrt{5}$. 故答案为$2\sqrt{5}$.

11[2025浙江宁波质检]如图,在正方形ABCD中,AB=2,M,N分别为边AD,CD的中点,E为AB边上一动点,以点E为圆心,AB的长为半径画弧,交BC于点F,P为EF的中点,Q为线段MN上任意一点,则PQ的最小值为.

(第11题图)
(第12题图)

11.$\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$ 【解析】如图,连结 PB,DQ.
∵ 正方形 ABCD 中,AB=2,
∴ AB=BC=CD=AD=EF=2, ∠ABC=∠ADC=90°.
∵ M,N 分别为 AD,CD 的中点,
∴ DM = DN = 1,
∴ MN =$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
∵ P 为 EF 的中点,
∴ PB=$\frac{1}{2}EF=1$,
∴ P 在以 B 为圆心,1 为半径的圆上运动. 当 B,P,D 四点共线时,PQ 的值最小,此时 QD⊥MN,则 MQ=NQ.
∵ BD=$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$, ∠ADC=90°,
∴ QD=$\frac{1}{2}MN=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ PQ=$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1=\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$,即 PQ 的最小值为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$. 故答案为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$.

12 如图,以$G(0,1)$为圆心,半径为2的圆与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于$C,D$两点,点$E$为$\odot G$上一动点,$CF ⊥ AE$于$F$,则弦$AB$的长度为________;点$E$的运动过程中,线段$FG$的长度的最小值为________.

12.$2\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ 【解析】如图,连结 AC,作 GM⊥AC于 M,连结 AG.
∵ GO⊥AB,
∴ OA = OB. 在 Rt△AGO中,
∵ AG = 2, OG = 1,
∴ AG = 2OG, OA =$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴ ∠GAO =30°, AB = 2AO = $2\sqrt{3}$,
∴ ∠AGO = 60°.
∵ GC = GA,
∴ ∠GCA = ∠GAC.
∵ ∠AGO = ∠GCA + ∠GAC,
∴ ∠GCA = ∠GAC =30°,
∴ AC=2OA=$2\sqrt{3}$, MG=$\frac{1}{2}CG=1$.
∵ ∠AFC=90°,
∴ 点 F 在以 AC 为直径的⊙M 上运动,
∴ FM=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$. 当点 F 在 MG 的延长线上时,FG 的长最小,最小值为 FM-GM=$\sqrt{3}-1$. 故答案为$2\sqrt{3}$,$\sqrt{3}-1$.

三、解答题(本大题共5小题,共52分)
13[2026浙江温州期中]如图,三角板ABC的30°,90°角顶点A,C在圆形纸片上.请你利用无刻度的直尺和圆规求作该圆形纸片的直径CE.
(1)小实的作法如下:如图(1),分别以C,D两点为圆心,CD长为半径作弧,交圆内于点O,连结CO并延长,交圆于点E,则CE就是所求作的直径.请说明理由.
(2)请你在图(2)中作出圆形纸片的直径CE,要求与小实作法不同(保留作图痕迹,不写作法).

13.【解】(1)连结 CD,OD,DE,如图(1). 由题意可知,∠A = 30°. 由作图步骤可知 CO = DO = CD,
∴ △OCD 是等边三角形,
∴ ∠OCD=60°.
∵ ∠E = ∠A = 30°,
∴ ∠EDC = 180°-∠E-∠OCD =90°,
∴ EC 是直径.
(2)如图(2),线段 CE 即为所求.

14[2026河南驻马店期末]如图,两个圆都以O为圆心,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.(1)求证:AC=BD;(2)若AB=8,BD=1,小圆的半径为5,求大圆的半径.

14. (1)【证明】如图,作 OE⊥AB 于 E.由垂径定理,得 AE=BE,CE=DE,
∴ AE-CE=BE-DE,
∴ AC=BD.
(2)【解】如图,连结 OD,OB.
∵ AB=8,
∴ BE=AE=4,
∴ DE=BE-BD=4-1=3.由勾股定理,得 $OE^2=OD^2-DE^2$,$OE^2=OB^2-BE^2$,
∴ $OD^2-DE^2=OB^2-BE^2$, 即 $5^2-3^2=OB^2-4^2$,
∴ OB=$4\sqrt{2}$,
∴ 大圆的半径为 $4\sqrt{2}$.