13. 如图,已知$∠ EAC=∠ ADC=90°$,给出下列结论:①$∠1$是$∠ B$的余角;②图中互余的角共有4对;③$∠1$的补角只有$∠ ACF$;④与$∠ ADB$互补的角共有3个.其中正确的结论有.(填序号)

13. ①②④ 解析:因为∠EAC=90°,所以∠BAC=90°,所以∠B+∠1=90°,所以∠1是∠B的余角,故①正确.又因为∠ADC = ∠ADB = 90°,所以∠B + ∠BAD = 90°,∠1 + ∠DAC=90°.因为∠BAC=90°,所以∠BAD+∠CAD=90°.又因为∠B+∠1=90°,所以题图中互余的角共有4对,故②正确.因为∠1+∠ACF=180°,所以∠ACF是∠1的补角.因为∠1+∠DAC=90°,∠BAD+∠DAC=90°,所以∠1 = ∠BAD.因为∠BAD + ∠DAE = 180°,所以∠1 + ∠DAE = 180°,所以∠DAE 也是 ∠1 的补角,故 ③ 错误. 因为∠ADB = 90°,∠ADC = 90°,∠BAC = ∠CAE = 90°,所以∠ADB 的补角有∠ADC,∠BAC,∠CAE,共3个,故④正确.

【分析】
解决本题首先要明确余角（两个角的和为90°则两角互余）、补角（两个角的和为180°则两角互补）的定义，以及同角的余角相等的性质，再结合已知的直角条件逐个验证4个结论：
1. 先由∠EAC=90°推出∠BAC=90°，由∠ADC=90°推出∠ADB=90°，确定图中所有直角；
2. 验证①：利用直角三角形两锐角互余判断∠1和∠B的关系；
3. 验证②：逐一列出所有和为90°的角对，统计总对数；
4. 验证③：先找和∠1直接相加为180°的角，再利用同角的余角相等找与∠1相等的角，它的补角也属于∠1的补角，判断补角个数；
5. 验证④：∠ADB为90°，它的补角是所有度数为90°的角，统计个数即可。
【解析】
因为∠EAC=90°，所以∠BAC=180°-∠EAC=90°，可得∠B+∠1=90°，所以∠1是∠B的余角，故①正确。
又因为∠ADC = ∠ADB = 90°，所以∠B + ∠BAD = 90°，∠1 + ∠DAC=90°；结合∠BAC=90°可得∠BAD+∠CAD=90°，加上前面的∠B+∠1=90°，图中互余的角共有4对，故②正确。
因为∠1+∠ACF=180°，所以∠ACF是∠1的补角；又因为∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，根据同角的余角相等可得∠1 = ∠BAD，而∠BAD + ∠DAE = 180°，所以∠1 + ∠DAE = 180°，即∠DAE也是∠1的补角，故③错误。
因为∠ADB = 90°，它的补角是度数为90°的角，图中∠ADC = 90°、∠BAC = 90°、∠CAE = 90°，所以∠ADB的补角共有3个，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
余角与补角，同角的余角相等，直角的性质
【点评】
本题重点考查余角、补角的概念和性质，解题时需要先梳理清楚图中所有直角，再逐一推导角之间的数量关系，统计互余、互补的角时要注意避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.65

14.如图,数轴上的点O和点A分别表示0和10,点P是线段OA上一动点.点P沿O→A→O以每秒2个单位长度的速度往返运动1次,B是线段OA的中点,设点P运动时间为t秒(t不超过10).若点P在运动过程中,当PB=2时,则t的值为.

解：(1)每月应缴费用$y$(元)与通话时间$x$(min)之间的关系式为$\boldsymbol{y=0.2x+12\ (x≥0)}$；
(2)当$x = 120$时，
$y = \boldsymbol{0.2×120 + 12 = 36}$ (元)；
答：他应缴费$\boldsymbol{36}$元；
(3)当$y = 150$时，$\boldsymbol{0.2x + 12} = 150$，
解得$x = \boldsymbol{690}$。
答：该用户本月可通话$\boldsymbol{690}$分。

【分析】
首先确定点B对应的数：B是OA中点，O表示0，A表示10，所以B表示的数是5。接下来分点P的两个运动阶段讨论：①第一阶段是P从O向A运动，时间范围为$0≤ t≤5$，此时P的运动路程是$2t$，对应的数就是$2t$；②第二阶段是P从A返回O，时间范围为$5＜ t≤10$，此时P总路程为$2t$，减去OA总长10就是返回的路程，因此P对应的数为$10-(2t-10)=20-2t$。再根据$PB=2$，即两点对应数差的绝对值为2，分别列方程求解，最后验证解是否在对应时间范围内即可。
【解析】
∵B是线段OA的中点，$OA=10$，
∴点B表示的数为$5$。
分两种情况讨论：
①当$0≤ t≤5$时，点P从O向A运动，对应的数为$2t$。
∵$PB=2$，数轴上两点距离为两点对应数差的绝对值，
∴$\vert 2t - 5\vert = 2$，
即$2t - 5 = -2$或$2t - 5 = 2$，
解得$t=\frac{3}{2}$或$t=\frac{7}{2}$，均满足$0≤ t≤5$，符合题意。
②当$5＜ t≤10$时，点P从A向O返回，对应的数为$20-2t$。
∵$PB=2$，
∴$\vert 20 - 2t - 5\vert = 2$，即$\vert15 - 2t\vert=2$，
即$15 - 2t = 2$或$15 - 2t = -2$，
解得$t=\frac{13}{2}$或$t=\frac{17}{2}$，均满足$5＜ t≤10$，符合题意。
【答案】
$\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$或$\frac{13}{2}$或$\frac{17}{2}$
【知识点】
数轴两点距离，动点分类讨论，绝对值方程求解
【点评】
本题是数轴动点的典型考题，解题核心是根据动点的运动方向分阶段表示出动点对应的数，结合两点距离公式列方程，注意要验证解是否符合对应阶段的时间取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4

三、解答题(共58分)
15.（8分）新趋势 尺规作图 如图，已知线段DA与B，C两点，用圆规和无刻度的直尺按下列要求画图并计算：
(1)画直线AB，射线DC；
(2)延长线段DA至点E，使AE=AB(保留作图痕迹)；
(3)若AB=2 cm，AD=4 cm，求线段DE的长.

15. (1)如图,直线AB,射线 DC 为所作.
(2)如图,线段 AE 为所作.
(3)DE=DA+AE=DA+AB=4+2=6(cm),即线段 DE 的长为6 cm.

【分析】
解题思路如下：1. 解决第(1)问时，根据直线、射线的定义，直线无端点可向两端无限延伸，因此过A、B两点画两端延伸的线即可得到直线AB；射线有1个端点，因此以D为端点，向C点方向延伸即可得到射线DC。2. 解决第(2)问时，首先明确延长DA是从A点向远离D的方向延伸，再用尺规作相等线段的方法：圆规截取AB的长度，以A为圆心画弧，与DA延长线的交点即为E，保证AE=AB。3. 解决第(3)问时，先分析线段DE的组成，DE由DA和AE两段拼接而成，已知AE=AB，代入对应长度求和即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 将直尺边缘对齐A、B两点，过两点画向两端无限延伸的直线，得到直线AB；将直尺边缘对齐D、C两点，以D为端点，沿D到C的方向画仅向C侧延伸的射线，得到射线DC。
(2) 将直尺对齐D、A两点，从A点出发向远离D的方向画出DA的延长线；把圆规两脚张开至与AB长度相等，以A为圆心，AB长为半径画弧，弧与DA延长线的交点即为点E，此时AE=AB。
(3) 由题意得：AE=AB=2cm，AD=4cm，
∵E在DA的延长线上，
∴DE = DA + AE = DA + AB，
代入数值计算：DE = 4 + 2 = 6(cm)。
【答案】
(1)如图,直线AB,射线 DC 为所作.
(2)如图,线段 AE 为所作.
(3)线段 DE 的长为6 cm.
【知识点】
直线射线的画法；尺规作等线段；线段和差计算
【点评】
本题属于几何入门的基础题型，考查对直线、射线、线段概念的区分理解，尺规作图的基本操作能力，以及线段和差关系的分析计算能力，作图时要注意各类线的延伸特点，计算时要找准线段的组成关系。
【难度系数】
0.85

16. (10分)(2025·宿迁期末)如图，C为线段AD上一点，B为CD的中点，且AD=15 cm，BC=4 cm.

(1)求AC的长；
(2)若点E在直线AD上，且EA=4 cm，求BE的长.

解：
(1) 先计算单个工艺品的质量：
当工艺品数为15个时，工艺品总质量为 $8.9 - 2 = 6.9\ \mathrm{kg}$，
则每个工艺品的质量为 $6.9 ÷ 15 = 0.46\ \mathrm{kg}$。
工艺品数为5个时，总质量为 $2 + 5×0.46 = 4.3\ \mathrm{kg}$；
工艺品数为10个时，总质量为 $2 + 10×0.46 = 6.6\ \mathrm{kg}$；
工艺品数为25个时，总质量为 $2 + 25×0.46 = 13.5\ \mathrm{kg}$。
表格空缺处从左到右依次填：$\boldsymbol{4.3}$，$\boldsymbol{6.6}$，$\boldsymbol{13.5}$。
(2) 由题意，总质量等于木框质量与所有工艺品质量之和，可得函数关系式：
$y = 0.46x + 2$（$x$为非负整数）
(3) 当总质量 $y=25$ 时，代入函数关系式：
$\begin{aligned}25 &= 0.46x + 2\\0.46x &= 23\\x &= 50\end{aligned}$
答：这只木制料框内装了50个工艺品。

【分析】
(1) 要求AC的长度，已知AD的总长度，只需要先求出CD的长度即可。根据B是CD中点、BC=4cm的条件，利用线段中点的性质可得出CD是BC的2倍，算出CD长度后，用AD减去CD就能得到AC的长。
(2) 点E在直线AD上，直线可向两端无限延伸，因此E的位置有两种可能：①点E在线段CA的延长线上（A的左侧）；②点E在线段AC上（A和C之间）。分别结合两种情况的线段位置关系，用线段和差公式计算BE的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 因为B为CD的中点，BC=4 cm，根据线段中点的定义，可得CD=2BC=2×4=8(cm)。
已知AD=15 cm，所以AC=AD-CD=15-8=7(cm)。
(2) 由于点E在直线AD上，分两种情况讨论：
①当点E在线段CA的延长线上时，如图①所示：

已知EA=4 cm，AC=7 cm，BC=4 cm，因此BE=EA+AC+BC=4+7+4=15(cm)。
②当点E在线段AC上时，如图②所示：

已知EA=4 cm，AC=7 cm，因此CE=AC-EA=7-4=3(cm)，又BC=4 cm，所以BE=CE+BC=3+4=7(cm)。
【答案】
(1) AC的长为7 cm；
(2) BE的长为15 cm或7 cm。
对应图示：① ②
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型题型，第一问难度较低，直接运用中点性质和线段和差关系即可求解；第二问需要注意“直线上的点”的条件，需分情况讨论E的位置，容易因漏解失分，能很好地考察思维的严谨性。
【难度系数】
0.7

17. (10分)如图是某个几何体从前面、左面和上面看到的形状图.
(1)说出这个几何体的名称.
(2)画出它的表面展开图.
(3)若从前面看的宽为4 cm,长为15 cm,从左面看的宽为3 cm,从上面看图中的斜边为5 cm,这个几何体的所有棱的长度和为多少?它的表面积为多大?

解：
(1) 设$y_1 = k_1 x + b$，将点$(0,240)$、$(60,480)$代入得：
$\begin{cases} b=240 \\ 60k_1 + b = 480 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k_1=4 \\ b=240 \end{cases}$
因此$y_1$与$x$的函数关系式为 $\boldsymbol{y_1 = 4x + 240 \ (x≥0)}$。
设$y_2 = k_2 x$，将点$(60,720)$代入得：
$60k_2 = 720$
解得$k_2=12$，因此$y_2$与$x$的函数关系式为 $\boldsymbol{y_2 = 12x \ (x≥0)}$。
(2) 计算一天的总产量：
$16×10 = 160$（千克）
利润表达式为：
$W = y_2 - y_1 = 12x - (4x + 240) = 8x - 240$
将$x=160$代入得：
$W = 8×160 - 240 = 1040$（元）
答：一天可获利润为1040元。

【分析】
(1) 判断几何体时，可结合三视图特征分析：若俯视图为多边形，主视图、左视图为矩形，则对应几何体为棱柱，俯视图是几边形就对应几棱柱，本题俯视图是三角形，即可判断几何体类型。
(2) 三棱柱的表面展开图由2个全等的底面三角形和3个侧面长方形组成，据此绘制即可。
(3) 计算棱长和时，先明确三棱柱的棱的组成：3条侧棱长度相等，上下2个底面是全等的三角形，分别计算侧棱总长度和两个底面的周长之和即可。计算表面积时，表面积为3个侧面长方形的面积加2个底面三角形的面积，对应代入题目给出的各边长计算即可。
【解析】
(1) 由三视图可知，该几何体的上下底面是三角形，侧面是3个长方形，符合三棱柱的特征，因此这个几何体是三棱柱。
(2) 三棱柱的表面展开图包含2个全等的直角三角形和3个长方形，绘制结果如下：（画法不唯一）
(3) 计算棱长和：
该三棱柱共有3条侧棱，每条侧棱长15cm；上下底面均为直角三角形，三边长分别为3cm、4cm、5cm。
棱长和=侧棱总长度+2个底面的周长和=$15×3+(3+4+5)×2=69(\mathrm{cm})$
计算表面积：
表面积=3个侧面长方形的面积和+2个底面直角三角形的面积和=$15×3+15×4+15×5+\frac{1}{2}×3×4×2=192(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)这个几何体是三棱柱。
(2)如图:(画法不唯一)
(3)所有棱的长度和为 $15×3+(3+4+5)×2=69(\mathrm{cm})$,表面积为 $15×3+15×4+15×5+\frac{1}{2}×3×4×2=192(\mathrm{cm}^2)$。
【知识点】
三视图识别几何体，几何体展开图，棱长与表面积计算
【点评】
本题综合考查了三视图识别、立体图形展开图以及几何体棱长、表面积的计算，需要熟练掌握常见棱柱的结构特征，计算时注意不要遗漏棱和面的数量即可。
【难度系数】
0.7

18. (10分)(2025·吕梁月考)定义:如果两个角有一条边重合,且一个角是另一个角的4倍,我们称这两个角是“友好关系角”.如图,点O是直线AB上一点,作射线OC,且∠AOC＞∠BOC.
(1)若∠AOC和∠BOC是“友好关系角”,求∠AOC的度数.
(2)若OD平分∠BOC,且∠AOC和∠COD是“友好关系角”,求∠BOC的度数.

解：
(1) 设$y_1 = k_1 x$，将点$(10, 600)$代入得：
$10k_1 = 600$，解得$k_1=60$，
因此$y_1 = 60x\ (0≤ x≤ 10)$。
设$y_2 = k_2 x + b$，将点$(0,600)$、$(6,0)$代入得：
$\begin{cases} b=600 \\ 6k_2 + b = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2=-100 \\ b=600 \end{cases}$，
因此$y_2 = -100x + 600\ (0≤ x≤ 6)$。
(2) 两车的距离可表示为$|y_2 - y_1|$，令$|y_2 - y_1|=120$，代入函数表达式得：
$|-100x + 600 - 60x| = 120$
即$| -160x + 600 | = 120$。
分两种情况求解：
① 当$-160x + 600 = 120$时，
$-160x = -480$，解得$x=3$；
② 当$-160x + 600 = -120$时，
$-160x = -720$，解得$x=4.5$。
两个解均满足$0≤ x≤ 6$，符合题意。
答：经过3小时或4.5小时，两车相距120 km。

【分析】
（1）首先点O在直线AB上，根据平角的性质可得∠AOC与∠BOC的和为180°；结合题目给出的“友好关系角”定义，以及∠AOC＞∠BOC的条件，可知∠AOC是∠BOC的4倍，设未知数列一元一次方程即可求解∠AOC的度数。
（2）先根据角平分线的定义，得到∠COD是∠BOC的一半；再结合∠AOC和∠COD是“友好关系角”，且∠AOC＞∠BOC＞∠COD的大小关系，可知∠AOC是∠COD的4倍，结合平角的和为180°的性质设未知数列方程，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
(1) 设$∠ AOC=x$，
$\because$ 点O在直线AB上，$∠ AOC+∠ BOC=180°$，
$\therefore ∠ BOC=180° -x$。
$\because ∠ AOC$和$∠ BOC$是“友好关系角”，且$∠ AOC＞∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOC=4∠ BOC$，即$x=4(180° -x)$，
解得$x=144°$。
(2) $\because$ OD平分$∠ BOC$，
$\therefore ∠ COD=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC$。
设$∠ COD=y$，则$∠ BOC=2y$，$∠ AOC=180° -2y$，
$\because ∠ AOC$和$∠ COD$是“友好关系角”，且$∠ AOC＞∠ BOC＞∠ COD$，
$\therefore ∠ AOC=4∠ COD$，即$180° -2y=4y$，
解得$y=30°$，
$\therefore ∠ BOC=2y=2×30°=60°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{144°}$；(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查角度的计算，解题核心是准确理解“友好关系角”的含义，梳理清楚角之间的和差、倍分关系，结合方程思想求解，能有效考查学生对新定义的理解能力和数量关系梳理能力。
【难度系数】
0.7