19. (10分)(2025·铜仁期末)数学活动课上,老师以直线AB上一点O为端点作射线OC, OD, OM, ON,使OM平分∠AOC, ON平分∠BOD.
(1)如图①,“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处,即∠COD = 90°,则∠MOC+∠DON的度数为;
(2)受“兴趣小组”的启发,如图②,“智慧小组”将三角尺60°角的顶点放在点O处,即∠COD=60°,求∠MOC+∠DON的度数;
(3)如图③,已知∠COD = α,求∠MOC+∠DON的度数(用含α的式子表示).

19. (1)45° 解析:根据题意,得∠DOC=90°,所以∠COA+∠DOB=180°-∠DOC=90°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOD,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{2}$∠DOB,所以∠MOC+∠DON = $\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠DOB = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠DOB)=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
(2)根据题意,得∠DOC=60°,所以∠COA+∠DOB=180°-∠DOC=120°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOD,所以∠MOC= $\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON = $\frac{1}{2}$∠DOB,所以 ∠MOC + ∠DON=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠DOB=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠DOB)=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
(3)根据题意,得∠DOC=α,所以∠COA+∠DOB=180°-∠DOC=180°-α.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOD,所以∠MOC= $\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON = $\frac{1}{2}$∠DOB,所以 ∠MOC + ∠DON=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠DOB=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠DOB)=$\frac{180°-α}{2}$.

【分析】
这道题的三个小问解题思路一致：首先AB为直线，根据平角的定义可得∠AOB=180°，因此∠AOC+∠BOD=180°-∠COD；再结合角平分线的定义，可知∠MOC是∠AOC的一半，∠DON是∠BOD的一半，因此将∠MOC+∠DON转化为$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)，代入对应∠COD的数值即可求出结果。
【解析】
(1) 已知∠COD=90°，且A、O、B在同一直线上，∠AOB=180°，
所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=180°-90°=90°，
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
因此∠MOC+∠DON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=$\frac{1}{2}$×90°=45°。
(2) 已知∠COD=60°，且∠AOB=180°，
所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
因此∠MOC+∠DON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
(3) 已知∠COD=α，且∠AOB=180°，
所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=180°-α，
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
因此∠MOC+∠DON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=$\frac{180°-α}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；(2) $\boldsymbol{60°}$；(3) $\boldsymbol{\frac{180°-α}{2}}$
【知识点】
平角的性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型题型，通过从特殊角度到一般角度的设问，考查对基础几何性质的运用能力，解题关键是掌握整体代入计算角度和的思路，无需单独求解每个角的度数即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7

20. (10分)如图,已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧的一点,且AB=20,动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向向左匀速运动,设运动时间为t(t＞0)秒.
(1)数轴上点B表示的数是;点P表示的数是(用含t的式子表示).
(2)动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向向左匀速运动,若点P,Q同时出发,点P运动多少秒时追上点Q?
(3)动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向向右匀速运动,若点P,Q同时出发,多少秒时点P,Q之间的距离恰好等于4?
(4)若点A表示的数为a(a＞0),点B表示的数为b(b＜0),M,N分别把AO,BO分成两段,且较短的线段长度分别是AO,BO的$\frac{1}{4}$,请直接写出线段MN的长度(用含有a,b的式子表示).

20. (1)-12 8-5t 解析:数轴上点 B 表示的数是 8-20=-12;点 P 表示的数是 8-5t.
(2)由题意得 AP=AB+BQ,即 5t=20+3t,解得 t=10,即若点 P,Q 同时出发,点 P 运动 10 秒时追上点 Q.
(3)若点 P,Q 同时出发,设 t 秒时点 P,Q 之间的距离恰好等于 4. 分两种情况:①当点 Q 在点 P 的左边时,BQ+4+AP=20,即 3t+4+5t=20,解得 t=2;②当点 Q 在点 P 的右边时,BQ+AP=20+4,即 3t+5t=20+4,解得 t=3.综上,若点 P,Q 同时出发,2 秒或 3 秒时点 P,Q 之间的距离恰好等于 4.
(4)MN=$\frac{a-b}{4}$或$\frac{a-3b}{4}$或$\frac{3a-b}{4}$或$\frac{3(a-b)}{4}$. 解析:分4种情况:①当 OM＜AM,ON＜BN 时,如图①, OM=$\frac{1}{4}$ OA = $\frac{a}{4}$, ON=$\frac{1}{4}$ OB = $-\frac{b}{4}$,所以 MN=OM+ON = $\frac{a}{4} - \frac{b}{4}$ = $\frac{a-b}{4}$;
②当 OM＜AM,ON＞BN 时,如图②,,OM=$\frac{1}{4}$ OA = $\frac{a}{4}$, ON=$\frac{3}{4}$ OB = $-\frac{3b}{4}$,所以 MN=OM+ON = $\frac{a}{4} + \frac{-3b}{4}$ = $\frac{a-3b}{4}$;
③当 OM＞AM,ON＜BN 时,如图③,,OM=$\frac{3}{4}$ OA = $\frac{3a}{4}$, ON=$\frac{1}{4}$ OB = $-\frac{b}{4}$,所以 MN=OM+ON = $\frac{3a}{4} - \frac{b}{4}$ = $\frac{3a-b}{4}$;
④当 OM＞AM,ON＞BN 时,如图④,,OM=$\frac{3}{4}$ OA = $\frac{3a}{4}$, ON=$\frac{3}{4}$ OB = $-\frac{3b}{4}$,所以 MN=OM+ON = $\frac{3a}{4} - \frac{3b}{4}$ = $\frac{3(a-b)}{4}$.

【分析】
(1) 求点B表示的数时，已知点A表示的数为8，B在A左侧且AB=20，数轴上向左数值减小，直接用A的数减去AB长度即可；点P从A向左运动，t秒运动路程为5t，因此P表示的数为A的数减去运动路程。
(2) 本问为追及问题，P、Q同时向左运动，P速度更快，追上Q时P运动的总路程等于初始AB距离加上Q运动的路程，据此列一元一次方程求解即可。
(3) P向左、Q向右运动属于相向运动，两点距离为4分两种情况：相遇前相距4、相遇后错开相距4，分别根据路程关系列方程求解即可。
(4) M分AO较短段为AO的$\frac{1}{4}$，有两种情况：靠近O的线段为$\frac{1}{4}$AO、靠近A的线段为$\frac{1}{4}$AO（即靠近O的为$\frac{3}{4}$AO）；同理N分BO也有两种情况，四种组合分别计算OM、ON的长度，求和即可得到MN的长度。
【解析】
(1) 点B在A左侧，AB=20，点A表示的数为8，因此点B表示的数为$8-20=-12$；动点P向左运动t秒的路程为$5t$，因此点P表示的数为$8-5t$。
(2) 设点P运动t秒时追上点Q，此时P运动路程为$5t$，Q运动路程为$3t$，追及时P比Q多走了AB的距离20，可列方程：
$5t = 3t + 20$
解得$t=10$。
(3) 设t秒时点P、Q之间的距离恰好等于4，分两种情况：
① 相遇前Q在P左侧，此时两者路程和加4等于AB长度，即：
$3t + 4 + 5t = 20$
解得$t=2$；
② 相遇后Q在P右侧，此时两者路程和等于AB长度加4，即：
$3t + 5t = 20 + 4$
解得$t=3$。
(4) 分4种情况讨论：
① 当$OM＜AM$，$ON＜BN$时，如图①， $OM=\frac{1}{4}OA=\frac{a}{4}$，$ON=\frac{1}{4}OB=-\frac{b}{4}$，因此$MN=OM+ON=\frac{a}{4}-\frac{b}{4}=\frac{a-b}{4}$；
② 当$OM＜AM$，$ON＞BN$时，如图②， $OM=\frac{1}{4}OA=\frac{a}{4}$，$ON=\frac{3}{4}OB=-\frac{3b}{4}$，因此$MN=OM+ON=\frac{a}{4}+\frac{-3b}{4}=\frac{a-3b}{4}$；
③ 当$OM＞AM$，$ON＜BN$时，如图③， $OM=\frac{3}{4}OA=\frac{3a}{4}$，$ON=\frac{1}{4}OB=-\frac{b}{4}$，因此$MN=OM+ON=\frac{3a}{4}-\frac{b}{4}=\frac{3a-b}{4}$；
④ 当$OM＞AM$，$ON＞BN$时，如图④， $OM=\frac{3}{4}OA=\frac{3a}{4}$，$ON=\frac{3}{4}OB=-\frac{3b}{4}$，因此$MN=OM+ON=\frac{3a}{4}-\frac{3b}{4}=\frac{3(a-b)}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12}$；$\boldsymbol{8-5t}$
(2) 点P运动$\boldsymbol{10}$秒时追上点Q。
(3) $\boldsymbol{2}$秒或$\boldsymbol{3}$秒时点P、Q之间的距离恰好等于4。
(4) MN的长度为$\boldsymbol{\frac{a-b}{4}}$或$\boldsymbol{\frac{a-3b}{4}}$或$\boldsymbol{\frac{3a-b}{4}}$或$\boldsymbol{\frac{3(a-b)}{4}}$，对应情况如下：
① 当OM＜AM，ON＜BN时，如图①， $MN=\frac{a-b}{4}$；
② 当OM＜AM，ON＞BN时，如图②， $MN=\frac{a-3b}{4}$；
③ 当OM＞AM，ON＜BN时，如图③， $MN=\frac{3a-b}{4}$；
④ 当OM＞AM，ON＞BN时，如图④， $MN=\frac{3(a-b)}{4}$。
【知识点】
数轴上点的表示，一元一次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题是数轴相关的综合题型，结合了行程中的追及、相遇模型，既考查了数轴上点的表示、两点距离计算的基础能力，又要求学生掌握分类讨论的方法处理多解情况，能够有效考查学生的逻辑思维和知识综合应用能力，是数轴章节的典型提升题。
【难度系数】
0.6