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14.一个长、宽分别为$ a,b $的长方形的周长为20，面积为24，则$ a^2b + ab^2 $的值为________。
答案
14.240
15. 如图，两面镜子AB，BC的夹角为α，一束与AB平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为β。若β=32°，则α的度数是________。
答案
15.$74°$ 解析:如图,与 AB 平行的光线GD 经过第一次镜面反射后得到线段DF,经过第二次镜面反射后得到射线FH,交 GD 于点 E,因为经过两次镜面反射后,与原光线夹角为 $β=32°$,所以$β=∠ GEH=32°$。因为 AB 与光线 GD平行,所以 $β=∠ GEH=∠ AFH=32°,∠ B = ∠ GDC=α$,$∠ DFB=∠ GDF$。由镜面反射可得$∠ DFB=∠ AFH=β=32°,∠ FDB=∠ GDC=α$。因为$∠ GDF+∠ FDB+∠ GDC=180°$,所以根据题意可得 $32°+α+α=180°$,整理得 $2α=148°$,解得 $α=74°$,即 $α$ 的度数为 $74°$。故答案为 $74°$。
16.为了激发学生的数学兴趣,某学校七年级举办了“数学挑战”大赛,现有小吴、小兴、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐,决赛共分为六轮,规定:每轮分别决出第1,2,3名(没有并列),对应名次的得分都分别为$a,b,c(a＞b＞c$且$a,b,c$均为正整数)。选手最后得分为各轮得分之和,得分最高者为冠军。如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况($m$为正整数)。根据题中所给信息,$m=$
2
,小奕第六轮的得分为2
分。答案
16.2 2 解析:根据题意得 $6(a + b + c) = 30 + m + 12 + 12 - m$,所以 $a + b + c = 9$,若 $a = 5$,则 $6a = 30 ＜ 30 + m$,所以 $a ＞ 5$,由条件可知 $b + c$ 的最小值为 3,所以 $a = 6, b = 2, c = 1$,由条件可知小兴剩下 4 轮的总分数为 $12 - 6 - 2 = 4$(分),所以 4 次第三,因为小吴最后得分为 $30 + m$,所以小吴得 5 次第一,1 次第二,即第三轮得第二,所以 $30 + m = 5×6 + 2$,解得 $m = 2$,所以小奕第六轮的得分为 2 分。故答案为 2;2。
三、解答题(本大题有8个小题,共46分)
17.(4分)计算:
(1)$3x(2-x)$;
(2)$(\sqrt{3}-1)^0 - (\frac{1}{2})^{-1}$。
17.(4分)计算:
(1)$3x(2-x)$;
(2)$(\sqrt{3}-1)^0 - (\frac{1}{2})^{-1}$。
答案
17.(1)$原式=3x·2-3x·x=6x-3x^2$。
(2)$原式=1-2=-1$。
(2)$原式=1-2=-1$。
18.(4分)解方程(组):
(1)$\dfrac{2-x}{x-1}=\dfrac{1}{1-x}+1$;
(2)$\begin{cases} x=3y-1, \\ 4y=x+1。 \end{cases}$
(1)$\dfrac{2-x}{x-1}=\dfrac{1}{1-x}+1$;
(2)$\begin{cases} x=3y-1, \\ 4y=x+1。 \end{cases}$
答案
18.(1)方程两边同时乘$(x-1)$,得 $2 - x = -1 + x - 1$,整理得$2x=4$,解得 $x=2$,经检验,$x=2$ 是原方程的解。
(2)$\begin{cases} x=3y-1 \quad ①,\\4y=x+1 \quad ②,\end{cases}$把①代入②得 $y=0$,把$y=0$ 代入①,解得 $x=-1$,所以 $\begin{cases} x=-1,\\y=0。\end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=3y-1 \quad ①,\\4y=x+1 \quad ②,\end{cases}$把①代入②得 $y=0$,把$y=0$ 代入①,解得 $x=-1$,所以 $\begin{cases} x=-1,\\y=0。\end{cases}$
19.(4分)先化简$\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} ÷ (1 - \dfrac{3}{x + 3})$，再从$-3,0,3$这三个数中取一个合适的数作为$x$的值代入求值。
答案
19.$原式=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} ÷ \dfrac{x+3-3}{x+3} = \dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} · \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x-3}{x}$。
因为 $x+3≠0,x≠0$,所以 $x≠-3$ 且 $x≠0$,所以当 $x=3$ 时,原式$=\dfrac{x-3}{x}=\dfrac{3-3}{3}=0$。
因为 $x+3≠0,x≠0$,所以 $x≠-3$ 且 $x≠0$,所以当 $x=3$ 时,原式$=\dfrac{x-3}{x}=\dfrac{3-3}{3}=0$。
