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1.(2025·大连沙河口区期末)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是 (
A.$6x^2y=6xy· x$
B.$4x+8=4(x+2)$
C.$(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$
D.$x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
B
)A.$6x^2y=6xy· x$
B.$4x+8=4(x+2)$
C.$(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$
D.$x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题的核心是先牢记因式分解的定义，明确因式分解需要同时满足两个条件：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积的形式。接下来逐一验证四个选项是否满足这两个条件，即可筛选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这类变形叫做因式分解。我们对各选项逐一判断：
选项A：左边$6x^2y$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的变形对象要求，不属于因式分解。
选项B：左边$4x+8$是多项式，右边$4(x+2)$是整式4和整式$(x+2)$的乘积，完全符合因式分解的要求，属于因式分解。
选项C：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，该变形是整式乘法运算，属于因式分解的逆过程，不属于因式分解。
选项D：右边$(x-1)^2-4$是差的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的结果要求，不属于因式分解。
综上，符合要求的只有B选项。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解相关的基础常考题，解题关键是准确把握因式分解的两个核心特征，注意区分因式分解和整式乘法、普通恒等变形的差异。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先牢记因式分解的定义，明确因式分解需要同时满足两个条件：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积的形式。接下来逐一验证四个选项是否满足这两个条件，即可筛选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这类变形叫做因式分解。我们对各选项逐一判断：
选项A：左边$6x^2y$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的变形对象要求，不属于因式分解。
选项B：左边$4x+8$是多项式，右边$4(x+2)$是整式4和整式$(x+2)$的乘积，完全符合因式分解的要求，属于因式分解。
选项C：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，该变形是整式乘法运算，属于因式分解的逆过程，不属于因式分解。
选项D：右边$(x-1)^2-4$是差的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的结果要求，不属于因式分解。
综上，符合要求的只有B选项。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解相关的基础常考题，解题关键是准确把握因式分解的两个核心特征，注意区分因式分解和整式乘法、普通恒等变形的差异。
【难度系数】
0.8
2.在$(x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2$中，从左向右的变形是
整式的乘法
，从右向左的变形是因式分解
。答案
2.整式的乘法 因式分解
解析
【分析】
解题时先明确两个核心定义的区别：①整式乘法是把几个整式相乘的“积的形式”转化为一个多项式的“和差形式”；②因式分解是把一个多项式的“和差形式”转化为几个整式相乘的“积的形式”，二者是互逆的变形过程。接下来对应题目中两个变形方向，分别比对变形前后的形式即可得到结论。
【解析】
1. 判断从左向右的变形：左边$(x+2y)(x-2y)$是两个整式的乘积形式，右边$x^2-4y^2$是多项式的和差形式，符合“积化和差”的特征，属于整式的乘法。
2. 判断从右向左的变形：左边$x^2-4y^2$是多项式的和差形式，右边$(x+2y)(x-2y)$是两个整式的乘积形式，符合“和差化积”的特征，属于因式分解。
【答案】
整式的乘法；因式分解
【知识点】
整式乘法概念；因式分解概念
【点评】
本题是基础概念辨析题，重点考查整式乘法和因式分解的互逆关系，只要抓住两种变形的形式特征（是乘积形式还是多项式形式）就能快速作答，是对基础定义掌握情况的考查。
【难度系数】
0.9
解题时先明确两个核心定义的区别：①整式乘法是把几个整式相乘的“积的形式”转化为一个多项式的“和差形式”；②因式分解是把一个多项式的“和差形式”转化为几个整式相乘的“积的形式”，二者是互逆的变形过程。接下来对应题目中两个变形方向，分别比对变形前后的形式即可得到结论。
【解析】
1. 判断从左向右的变形：左边$(x+2y)(x-2y)$是两个整式的乘积形式，右边$x^2-4y^2$是多项式的和差形式，符合“积化和差”的特征，属于整式的乘法。
2. 判断从右向左的变形：左边$x^2-4y^2$是多项式的和差形式，右边$(x+2y)(x-2y)$是两个整式的乘积形式，符合“和差化积”的特征，属于因式分解。
【答案】
整式的乘法；因式分解
【知识点】
整式乘法概念；因式分解概念
【点评】
本题是基础概念辨析题，重点考查整式乘法和因式分解的互逆关系，只要抓住两种变形的形式特征（是乘积形式还是多项式形式）就能快速作答，是对基础定义掌握情况的考查。
【难度系数】
0.9
3.若把$x^2 +5x +c$分解因式，得$(x+2)(x+3)$，则c的值为
6
。答案
3.6
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆的运算过程，本题已知二次三项式分解因式的结果，要求常数项c，只需将因式分解得到的两个一次多项式的乘积展开，再和原式对比，利用两个多项式相等时对应项的系数、常数项均相等的规律，即可求出c的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则展开$(x+2)(x+3)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=x· x + x·3 + 2· x + 2×3\\&=x^2 +3x +2x +6\\&=x^2 +5x +6\end{aligned}$
由题意得$x^2 +5x +c = x^2 +5x +6$，两个多项式相等则常数项相等，因此$c=6$。
【答案】
6
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性、多项式乘多项式法则、多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，熟练掌握整式乘法的运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
因式分解与整式乘法是互逆的运算过程，本题已知二次三项式分解因式的结果，要求常数项c，只需将因式分解得到的两个一次多项式的乘积展开，再和原式对比，利用两个多项式相等时对应项的系数、常数项均相等的规律，即可求出c的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则展开$(x+2)(x+3)$：
$\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=x· x + x·3 + 2· x + 2×3\\&=x^2 +3x +2x +6\\&=x^2 +5x +6\end{aligned}$
由题意得$x^2 +5x +c = x^2 +5x +6$，两个多项式相等则常数项相等，因此$c=6$。
【答案】
6
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性、多项式乘多项式法则、多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，熟练掌握整式乘法的运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
4.下列多项式中,可以提取公因式的是 （
A.$x^2 + 2xy + y^2$
B.$x^2 -5x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 - y^2$
B
）A.$x^2 + 2xy + y^2$
B.$x^2 -5x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 - y^2$
答案
4.B
解析
【分析】
要判断哪个多项式可以提取公因式，首先明确公因式的定义：多项式中各项都含有的相同因式叫做公因式。解题时只需逐一分析每个选项的多项式各项是否存在公共的因式，存在即可提取公因式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项为$x^2$、$2xy$、$y^2$，三项没有公共的因式，不能提取公因式，该式可利用完全平方公式分解，不符合要求；
B. 多项式$x^2 -5x$的两项为$x^2$、$-5x$，两项都含有公因式$x$，提取公因式后可写为$x(x-5)$，可以提取公因式，符合要求；
C. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$、$-y$，没有公共的因式，不能提取公因式，不符合要求；
D. 多项式$x^2 - y^2$的两项为$x^2$、$-y^2$，没有公共的因式，不能提取公因式，该式可利用平方差公式分解，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的识别
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，主要考查对公因式概念的理解和识别能力，掌握公因式的判断方法是解题的关键，也为后续复杂的因式分解学习打下基础。
【难度系数】
0.9
要判断哪个多项式可以提取公因式，首先明确公因式的定义：多项式中各项都含有的相同因式叫做公因式。解题时只需逐一分析每个选项的多项式各项是否存在公共的因式，存在即可提取公因式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项为$x^2$、$2xy$、$y^2$，三项没有公共的因式，不能提取公因式，该式可利用完全平方公式分解，不符合要求；
B. 多项式$x^2 -5x$的两项为$x^2$、$-5x$，两项都含有公因式$x$，提取公因式后可写为$x(x-5)$，可以提取公因式，符合要求；
C. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$、$-y$，没有公共的因式，不能提取公因式，不符合要求；
D. 多项式$x^2 - y^2$的两项为$x^2$、$-y^2$，没有公共的因式，不能提取公因式，该式可利用平方差公式分解，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的识别
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，主要考查对公因式概念的理解和识别能力，掌握公因式的判断方法是解题的关键，也为后续复杂的因式分解学习打下基础。
【难度系数】
0.9
5.多项式 $3m^2 + 2mn$ 的公因式是
m
。答案
5.m
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照“先定系数，再定字母，最后定指数”的步骤思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。
【解析】
多项式$3m^2 + 2mn$包含两项：$3m^2$和$2mn$。
1. 定系数：两项系数3和2的最大公约数是1；
2. 定字母：两项都含有的相同字母是m，n仅在第二项出现，不属于共有字母；
3. 定指数：相同字母m的最低次幂是1次。
因此该多项式的公因式是$m$。
【答案】
$m$
【知识点】
公因式的确定、提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的找法，熟练掌握确定公因式的三个步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需按照“先定系数，再定字母，最后定指数”的步骤思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。
【解析】
多项式$3m^2 + 2mn$包含两项：$3m^2$和$2mn$。
1. 定系数：两项系数3和2的最大公约数是1；
2. 定字母：两项都含有的相同字母是m，n仅在第二项出现，不属于共有字母；
3. 定指数：相同字母m的最低次幂是1次。
因此该多项式的公因式是$m$。
【答案】
$m$
【知识点】
公因式的确定、提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的找法，熟练掌握确定公因式的三个步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.(2024·陕西)分解因式:$a^2 - ab =$
$a(a-b)$
.答案
6.$a(a-b)$
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先观察多项式结构，该多项式共有两项，首先判断是否存在公因式；第二步确定公因式：先找各项系数的最大公约数，两项系数为1和-1，最大公约数是1，再找各项共有的相同字母，两项都含字母a，相同字母的最低次幂是1次，因此公因式为a；第三步提取公因式，用多项式的每一项分别除以公因式，将所得的商作为括号内的因式，公因式写在括号外即可得到分解结果。
【解析】
解：先确定多项式$a^2 - ab$各项的公因式为$a$，
提取公因式$a$可得：
$a^2 - ab = a· a - a· b = a(a - b)$
【答案】
$a(a - b)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是分解因式的基础题型，核心是掌握提公因式法的操作步骤，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，属于因式分解的常考基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先观察多项式结构，该多项式共有两项，首先判断是否存在公因式；第二步确定公因式：先找各项系数的最大公约数，两项系数为1和-1，最大公约数是1，再找各项共有的相同字母，两项都含字母a，相同字母的最低次幂是1次，因此公因式为a；第三步提取公因式，用多项式的每一项分别除以公因式，将所得的商作为括号内的因式，公因式写在括号外即可得到分解结果。
【解析】
解：先确定多项式$a^2 - ab$各项的公因式为$a$，
提取公因式$a$可得：
$a^2 - ab = a· a - a· b = a(a - b)$
【答案】
$a(a - b)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是分解因式的基础题型，核心是掌握提公因式法的操作步骤，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，属于因式分解的常考基础题。
【难度系数】
0.9
7.分解因式：
(1)$a^2 + 5a$；
(2)$5xy - 12x^2$；
(3)$2x^2 - 4x + 8y$；
(4)$3a^2m + 2am - 5m$。
(1)$a^2 + 5a$；
(2)$5xy - 12x^2$；
(3)$2x^2 - 4x + 8y$；
(4)$3a^2m + 2am - 5m$。
答案
7.(1)$a(a+5)$ (2)$x(5y-12x)$ (3)$2(x^2-2x+4y)$ (4)$m(3a^2+2a-5)$
解析
【分析】
这几道题均采用提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者乘积即为公因式；第二步提取公因式，用原多项式除以公因式得到的商作为括号内的因式，注意括号内项数要和原多项式项数一致，避免漏项。
【解析】
(1) 多项式$a^2+5a$的公因式为$a$，提取公因式可得：
$a^2+5a=a· a + a·5=a(a+5)$
(2) 多项式$5xy-12x^2$的公因式为$x$，提取公因式可得：
$5xy-12x^2=x·5y - x·12x=x(5y-12x)$
(3) 多项式$2x^2-4x+8y$的公因式为$2$，提取公因式可得：
$2x^2-4x+8y=2· x^2 - 2·2x + 2·4y=2(x^2-2x+4y)$
(4) 多项式$3a^2m+2am-5m$的公因式为$m$，提取公因式可得：
$3a^2m+2am-5m=m·3a^2 + m·2a - m·5=m(3a^2+2a-5)$
【答案】
(1)$a(a+5)$；(2)$x(5y-12x)$；(3)$2(x^2-2x+4y)$；(4)$m(3a^2+2a-5)$
【知识点】
1.公因式的确定 2.提公因式法分解因式
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后要注意检查括号内的因式是否还有可提取的公因式，同时避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
这几道题均采用提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者乘积即为公因式；第二步提取公因式，用原多项式除以公因式得到的商作为括号内的因式，注意括号内项数要和原多项式项数一致，避免漏项。
【解析】
(1) 多项式$a^2+5a$的公因式为$a$，提取公因式可得：
$a^2+5a=a· a + a·5=a(a+5)$
(2) 多项式$5xy-12x^2$的公因式为$x$，提取公因式可得：
$5xy-12x^2=x·5y - x·12x=x(5y-12x)$
(3) 多项式$2x^2-4x+8y$的公因式为$2$，提取公因式可得：
$2x^2-4x+8y=2· x^2 - 2·2x + 2·4y=2(x^2-2x+4y)$
(4) 多项式$3a^2m+2am-5m$的公因式为$m$，提取公因式可得：
$3a^2m+2am-5m=m·3a^2 + m·2a - m·5=m(3a^2+2a-5)$
【答案】
(1)$a(a+5)$；(2)$x(5y-12x)$；(3)$2(x^2-2x+4y)$；(4)$m(3a^2+2a-5)$
【知识点】
1.公因式的确定 2.提公因式法分解因式
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后要注意检查括号内的因式是否还有可提取的公因式，同时避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9
8.利用因式分解计算：
(1)$2^{100} - 2^{99}$；
(2)$21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14$。
(1)$2^{100} - 2^{99}$；
(2)$21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14$。
答案
8.(1)$2^{99}$ (2)314
解析
【分析】
这两道题均考查利用提公因式法简化计算，解题思路如下：
(1) 观察式子$2^{100}-2^{99}$，两项均含有公因式$2^{99}$（同底数幂中取次数更低的作为公因式），提取公因式后计算剩余部分的差即可得到结果；
(2) 观察式子$21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14$，三项均含有公因式3.14，提取公因式后先计算括号内整数的和，再与3.14相乘即可快速得出结果，避免多次小数乘法运算。
【解析】
(1) $\begin{split}2^{100} - 2^{99}&=2^{99} × 2 - 2^{99} × 1\\&=2^{99} × (2-1)\\&=2^{99} × 1\\&=2^{99}\end{split}$
(2) $\begin{split}21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14&=3.14×(21+62+17)\\&=3.14×100\\&=314\end{split}$
【答案】
(1)$2^{99}$；(2)$314$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解用于简便计算的基础题型，解题关键是准确找出式子中的公因式，通过提取公因式可大幅降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查利用提公因式法简化计算，解题思路如下：
(1) 观察式子$2^{100}-2^{99}$，两项均含有公因式$2^{99}$（同底数幂中取次数更低的作为公因式），提取公因式后计算剩余部分的差即可得到结果；
(2) 观察式子$21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14$，三项均含有公因式3.14，提取公因式后先计算括号内整数的和，再与3.14相乘即可快速得出结果，避免多次小数乘法运算。
【解析】
(1) $\begin{split}2^{100} - 2^{99}&=2^{99} × 2 - 2^{99} × 1\\&=2^{99} × (2-1)\\&=2^{99} × 1\\&=2^{99}\end{split}$
(2) $\begin{split}21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14&=3.14×(21+62+17)\\&=3.14×100\\&=314\end{split}$
【答案】
(1)$2^{99}$；(2)$314$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解用于简便计算的基础题型，解题关键是准确找出式子中的公因式，通过提取公因式可大幅降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.9
9.【推理能力】已知整式$A=x-1,B=x^2-x$,有下列结论:
结论一:$A· x=B$;
结论二:$A,B$的公因式为$x$.
下列判断正确的是（
A.结论一正确,结论二不正确
B.结论一不正确,结论二正确
C.结论一、结论二都正确
D.结论一、结论二都不正确
结论一:$A· x=B$;
结论二:$A,B$的公因式为$x$.
下列判断正确的是（
A
）A.结论一正确,结论二不正确
B.结论一不正确,结论二正确
C.结论一、结论二都正确
D.结论一、结论二都不正确
答案
9.A
解析
【分析】
解题时需分别验证两个结论的正误：第一步先计算A与x的乘积，将结果和B对比，判断结论一是否成立；第二步先对A、B分别因式分解，再找出两个整式共同含有的公共因式（即公因式），和结论二的描述对比判断正误，最后根据两个结论的正误选择对应选项。
【解析】
1. 验证结论一：
已知$A=x-1$，则$A·x=(x-1)·x=x^2-x$，又已知$B=x^2-x$，因此$A·x=B$，结论一正确。
2. 验证结论二：
对A、B分别因式分解：$A=x-1$，已经是最简整式，无法再分解；$B=x^2-x=x(x-1)$。因此A和B都含有的公共因式是$x-1$，即公因式为$x-1$，不是$x$，结论二错误。
综上，结论一正确，结论二不正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
整式乘法运算，公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题，主要考查整式乘法计算和公因式的识别，判断公因式时需要先将多项式分解为最简整式乘积的形式，再提取公共因式，避免直接看多项式中的单个字母误判公因式。
【难度系数】
0.8
解题时需分别验证两个结论的正误：第一步先计算A与x的乘积，将结果和B对比，判断结论一是否成立；第二步先对A、B分别因式分解，再找出两个整式共同含有的公共因式（即公因式），和结论二的描述对比判断正误，最后根据两个结论的正误选择对应选项。
【解析】
1. 验证结论一：
已知$A=x-1$，则$A·x=(x-1)·x=x^2-x$，又已知$B=x^2-x$，因此$A·x=B$，结论一正确。
2. 验证结论二：
对A、B分别因式分解：$A=x-1$，已经是最简整式，无法再分解；$B=x^2-x=x(x-1)$。因此A和B都含有的公共因式是$x-1$，即公因式为$x-1$，不是$x$，结论二错误。
综上，结论一正确，结论二不正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
整式乘法运算，公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题，主要考查整式乘法计算和公因式的识别，判断公因式时需要先将多项式分解为最简整式乘积的形式，再提取公共因式，避免直接看多项式中的单个字母误判公因式。
【难度系数】
0.8
10.利用因式分解计算：$3^{2025} + 6×3^{2024} - 3^{2026} =$
0
.答案
10.0
解析
【分析】
观察算式可知，各项均含有3的整数次幂，可通过提公因式法进行简便计算。首先确定各项中3的最低次幂为$3^{2024}$，即公因式为$3^{2024}$，再将每一项转化为公因式与另一个因数相乘的形式，提取公因式后计算括号内的加减运算，即可快速得到结果。
【解析】
解：先将各项变形为含公因式$3^{2024}$的形式：
$3^{2025}=3×3^{2024}$，$3^{2026}=3^2×3^{2024}=9×3^{2024}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=3×3^{2024} + 6×3^{2024} - 9×3^{2024}\\&=3^{2024}×(3 + 6 - 9)\\&=3^{2024}×0\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂的乘法
【点评】
本题考查利用因式分解进行简便运算，解题核心是准确找出各项的公因式，将高次幂统一转化为含公因式的形式后合并计算，熟练掌握提公因式的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，各项均含有3的整数次幂，可通过提公因式法进行简便计算。首先确定各项中3的最低次幂为$3^{2024}$，即公因式为$3^{2024}$，再将每一项转化为公因式与另一个因数相乘的形式，提取公因式后计算括号内的加减运算，即可快速得到结果。
【解析】
解：先将各项变形为含公因式$3^{2024}$的形式：
$3^{2025}=3×3^{2024}$，$3^{2026}=3^2×3^{2024}=9×3^{2024}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=3×3^{2024} + 6×3^{2024} - 9×3^{2024}\\&=3^{2024}×(3 + 6 - 9)\\&=3^{2024}×0\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂的乘法
【点评】
本题考查利用因式分解进行简便运算，解题核心是准确找出各项的公因式，将高次幂统一转化为含公因式的形式后合并计算，熟练掌握提公因式的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11.父亲今年$x$岁，儿子今年$y$岁，父亲比儿子大26岁，并且$x^2 - xy = 1040$，请你求出父亲和儿子今年各多少岁。
答案
11.父亲和儿子今年分别是40岁、14岁
解析
【分析】
本题已知父子年龄差为26岁，即$x-y=26$，观察给出的等式$x^2 - xy = 1040$，可先利用提公因式法对等式左边分解因式，得到含有$(x-y)$的形式，再将$x-y=26$代入即可快速求出$x$的值，最后根据年龄差求出$y$的值，验证结果符合实际年龄即可。
【解析】
解：由父亲比儿子大26岁，可得：
$x - y = 26$
对等式$x^2 - xy = 1040$左边提公因式$x$，得：
$x(x - y) = 1040$
把$x - y = 26$代入上式，得：
$26x = 1040$
解得：$x = 40$
则儿子年龄$y = x - 26 = 40 - 26 = 14$
经检验，所得年龄均为正整数，符合实际情况。
【答案】
父亲和儿子今年分别是40岁、14岁
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式代入求值，年龄问题应用
【点评】
本题结合生活中的年龄场景考查因式分解的实际应用，解题的核心是通过因式分解将已知代数式转化为含有已知条件的形式，避免了复杂的方程组计算，同时需注意计算结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题已知父子年龄差为26岁，即$x-y=26$，观察给出的等式$x^2 - xy = 1040$，可先利用提公因式法对等式左边分解因式，得到含有$(x-y)$的形式，再将$x-y=26$代入即可快速求出$x$的值，最后根据年龄差求出$y$的值，验证结果符合实际年龄即可。
【解析】
解：由父亲比儿子大26岁，可得：
$x - y = 26$
对等式$x^2 - xy = 1040$左边提公因式$x$，得：
$x(x - y) = 1040$
把$x - y = 26$代入上式，得：
$26x = 1040$
解得：$x = 40$
则儿子年龄$y = x - 26 = 40 - 26 = 14$
经检验，所得年龄均为正整数，符合实际情况。
【答案】
父亲和儿子今年分别是40岁、14岁
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式代入求值，年龄问题应用
【点评】
本题结合生活中的年龄场景考查因式分解的实际应用，解题的核心是通过因式分解将已知代数式转化为含有已知条件的形式，避免了复杂的方程组计算，同时需注意计算结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
