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1.多项式$8a^2b+2ab$中各项的公因式是 （
A.$ab$
B.$2ab$
C.$8a^2b$
D.$2$
B
）A.$ab$
B.$2ab$
C.$8a^2b$
D.$2$
答案
1.B
解析
【分析】
要确定多项式各项的公因式，需按两个步骤推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是该多项式的公因式，我们按这个思路对题中多项式分别分析系数和字母部分即可得到结果。
【解析】
第一步：分析系数部分，多项式$8a^2b+2ab$的两项系数分别为8和2，二者的最大公约数是2；
第二步：分析字母部分，两项都含有字母a和b，其中a的次数分别是2和1，取最低次幂为$a^1=a$；b的次数均为1，取最低次幂为$b$；
将系数和字母部分相乘，可得公因式为$2× a× b=2ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法
【点评】
本题属于基础题，主要考查公因式的确定方法，牢记“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定多项式各项的公因式，需按两个步骤推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是该多项式的公因式，我们按这个思路对题中多项式分别分析系数和字母部分即可得到结果。
【解析】
第一步：分析系数部分，多项式$8a^2b+2ab$的两项系数分别为8和2，二者的最大公约数是2；
第二步：分析字母部分，两项都含有字母a和b，其中a的次数分别是2和1，取最低次幂为$a^1=a$；b的次数均为1，取最低次幂为$b$；
将系数和字母部分相乘，可得公因式为$2× a× b=2ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法
【点评】
本题属于基础题，主要考查公因式的确定方法，牢记“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.将$3ab^{2}(x-y)^{3}-9ab(x-y)^{2}$因式分解，应提取的公因式是（
A.$3ab(x-y)^{2}$
B.$3ab^{2}(x-y)$
C.$9ab(x-y)^{2}$
D.$3ab(x-y)$
A
）A.$3ab(x-y)^{2}$
B.$3ab^{2}(x-y)$
C.$9ab(x-y)^{2}$
D.$3ab(x-y)$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定因式分解时提取的公因式，需按公因式的确定规则逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母或多项式，第三步取相同字母、多项式的最低次幂，最后将三部分组合就是要提取的公因式。
【解析】
1. 定系数：两个项的系数分别是3和-9，二者的最大公约数是3；
2. 定相同字母的最低次幂：两项都含有的字母为a和b，其中a的次数均为1次，b的次数分别为2次、1次，取最低次幂可得a¹、b¹；
3. 定相同多项式的最低次幂：两项都含有的多项式为$(x-y)$，它的次数分别为3次、2次，取最低次幂可得$(x-y)^2$；
4. 组合三部分可得公因式为$3ab(x-y)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题属于提公因式法的基础考查题型，熟练掌握“定系数、定因式、定次数”的公因式确定三步法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要确定因式分解时提取的公因式，需按公因式的确定规则逐步推导：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母或多项式，第三步取相同字母、多项式的最低次幂，最后将三部分组合就是要提取的公因式。
【解析】
1. 定系数：两个项的系数分别是3和-9，二者的最大公约数是3；
2. 定相同字母的最低次幂：两项都含有的字母为a和b，其中a的次数均为1次，b的次数分别为2次、1次，取最低次幂可得a¹、b¹；
3. 定相同多项式的最低次幂：两项都含有的多项式为$(x-y)$，它的次数分别为3次、2次，取最低次幂可得$(x-y)^2$；
4. 组合三部分可得公因式为$3ab(x-y)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解
【点评】
本题属于提公因式法的基础考查题型，熟练掌握“定系数、定因式、定次数”的公因式确定三步法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3.多项式$4x(m-n)+8y(n-m)^2$的公因式是
$4(m-n)$
。答案
3.$4(m-n)$
解析
【分析】
找多项式的公因式需遵循三步规则：①先找各项系数的最大公约数；②再找各项都含有的公共因式；③最后取公共因式的最低次幂。解题时首先要利用偶次幂的性质，将(n-m)²转化为和第一项一致的(m-n)²，统一公共因式的形式后，再按上述步骤查找公因式即可。
【解析】
1. 统一公共因式形式：
根据互为相反数的两个数的偶次幂相等，可得$(n-m)^2=(m-n)^2$，因此原式可变形为：
$4x(m-n)+8y(m-n)^2$
2. 确定系数的最大公约数：
两项的系数分别为4和8，二者的最大公约数是4。
3. 确定公共因式及最低次幂：
两项都含有因式$(m-n)$，第一项中$(m-n)$的次数是1，第二项中$(m-n)$的次数是2，取最低次幂1次，即公共因式为$(m-n)$。
综上，该多项式的公因式为$4(m-n)$。
【答案】
$4(m-n)$
【知识点】
公因式的确定、偶次幂的符号性质
【点评】
本题属于公因式确定的基础题，核心考查公因式的查找规则，解题时需注意偶次幂的符号特性，避免因形式差异搞错公共因式。
【难度系数】
0.8
找多项式的公因式需遵循三步规则：①先找各项系数的最大公约数；②再找各项都含有的公共因式；③最后取公共因式的最低次幂。解题时首先要利用偶次幂的性质，将(n-m)²转化为和第一项一致的(m-n)²，统一公共因式的形式后，再按上述步骤查找公因式即可。
【解析】
1. 统一公共因式形式：
根据互为相反数的两个数的偶次幂相等，可得$(n-m)^2=(m-n)^2$，因此原式可变形为：
$4x(m-n)+8y(m-n)^2$
2. 确定系数的最大公约数：
两项的系数分别为4和8，二者的最大公约数是4。
3. 确定公共因式及最低次幂：
两项都含有因式$(m-n)$，第一项中$(m-n)$的次数是1，第二项中$(m-n)$的次数是2，取最低次幂1次，即公共因式为$(m-n)$。
综上，该多项式的公因式为$4(m-n)$。
【答案】
$4(m-n)$
【知识点】
公因式的确定、偶次幂的符号性质
【点评】
本题属于公因式确定的基础题，核心考查公因式的查找规则，解题时需注意偶次幂的符号特性，避免因形式差异搞错公共因式。
【难度系数】
0.8
4.(2025·丹东期中)把$5(a-b)+m(b-a)$提公因式后，其中一个因式是$a-b$，则另一个因式是（
A.$5-m$
B.$5+m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
A
）A.$5-m$
B.$5+m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先观察式子的结构，发现两个项中分别含有因式(a-b)和(b-a)，二者互为相反数，因此先将(b-a)转化为-(a-b)，使原式中出现公因式(a-b)，再提取公因式，合并剩余部分即可得到另一个因式，变形过程要重点注意符号变化。
【解析】
先对原式进行变形：
∵ $ b-a=-(a-b) $
∴ 原式 $ =5(a-b)-m(a-b) $
提取公因式$ (a-b) $，可得：
$ 5(a-b)-m(a-b)=(a-b)(5-m) $
已知其中一个因式是$ a-b $，因此另一个因式为$ 5-m $。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，易错点是对互为相反数的因式变形时符号出错，解题时要牢记提取公因式后，剩余的项是原式每一项除以公因式得到的结果，注意逐项核对符号。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察式子的结构，发现两个项中分别含有因式(a-b)和(b-a)，二者互为相反数，因此先将(b-a)转化为-(a-b)，使原式中出现公因式(a-b)，再提取公因式，合并剩余部分即可得到另一个因式，变形过程要重点注意符号变化。
【解析】
先对原式进行变形：
∵ $ b-a=-(a-b) $
∴ 原式 $ =5(a-b)-m(a-b) $
提取公因式$ (a-b) $，可得：
$ 5(a-b)-m(a-b)=(a-b)(5-m) $
已知其中一个因式是$ a-b $，因此另一个因式为$ 5-m $。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，易错点是对互为相反数的因式变形时符号出错，解题时要牢记提取公因式后，剩余的项是原式每一项除以公因式得到的结果，注意逐项核对符号。
【难度系数】
0.8
5.分解因式：
(1)$x^3y + 2xy =$
(2)$4a(x + 7) - 3(x + 7) =$
(1)$x^3y + 2xy =$
$xy(x^2+2)$
；(2)$4a(x + 7) - 3(x + 7) =$
$(x+7)(4a-3)$
。答案
5.(1)$xy(x^2+2)$ (2)$(x+7)(4a-3)$
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路为：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步提取公因式，将原式转化为公因式与剩余因式乘积的形式。
(1)观察多项式$x^3y + 2xy$，两项都含有字母x、y，x的最低次幂是1次，y的最低次幂是1次，系数的最大公约数为1，因此公因式为$xy$，提取公因式后即可得到分解结果。
(2)观察多项式$4a(x + 7) - 3(x + 7)$，两项都含有相同的多项式因式$(x+7)$，将其作为整体公因式提取，即可得到分解结果，注意提取后第二项的符号不要出错。
【解析】
(1) 确定公因式为$xy$，提取公因式：
$x^3y + 2xy = xy · x^2 + xy · 2 = xy(x^2 + 2)$
(2) 确定公因式为多项式$(x+7)$，整体提取公因式：
$4a(x + 7) - 3(x + 7) = (x+7) · 4a - (x+7) · 3 = (x+7)(4a - 3)$
【答案】
(1)$xy(x^2+2)$；(2)$(x+7)(4a-3)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别公因式，当公因式是多项式时要将其看作整体提取，提取公因式后需检查剩余项是否存在漏项、符号错误等问题，熟练掌握方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法分解因式，解题思路为：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步提取公因式，将原式转化为公因式与剩余因式乘积的形式。
(1)观察多项式$x^3y + 2xy$，两项都含有字母x、y，x的最低次幂是1次，y的最低次幂是1次，系数的最大公约数为1，因此公因式为$xy$，提取公因式后即可得到分解结果。
(2)观察多项式$4a(x + 7) - 3(x + 7)$，两项都含有相同的多项式因式$(x+7)$，将其作为整体公因式提取，即可得到分解结果，注意提取后第二项的符号不要出错。
【解析】
(1) 确定公因式为$xy$，提取公因式：
$x^3y + 2xy = xy · x^2 + xy · 2 = xy(x^2 + 2)$
(2) 确定公因式为多项式$(x+7)$，整体提取公因式：
$4a(x + 7) - 3(x + 7) = (x+7) · 4a - (x+7) · 3 = (x+7)(4a - 3)$
【答案】
(1)$xy(x^2+2)$；(2)$(x+7)(4a-3)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别公因式，当公因式是多项式时要将其看作整体提取，提取公因式后需检查剩余项是否存在漏项、符号错误等问题，熟练掌握方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
6.分解因式：
(1)$6p(p+q)-4q(p+q)$；
(2)$12(x-y)^3+15x(y-x)^2$。
(1)$6p(p+q)-4q(p+q)$；
(2)$12(x-y)^3+15x(y-x)^2$。
答案
6.(1)$2(p+q)(3p-2q)$ (2)$3(x-y)^2(9x-4y)$
解析
【分析】
这两道题均考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：1. 先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式，取其最低次幂，二者的乘积就是公因式；2. 若多项式中存在互为相反数的因式，可利用偶次幂的性质将其转化为相同因式；3. 提取公因式后，将各项剩余的部分相加合并同类项，最终结果要保证不能再继续分解。
【解析】
(1) 观察多项式$6p(p+q)-4q(p+q)$，各项系数6和4的最大公约数是2，共同含有的因式是$(p+q)$，次数为1，因此公因式为$2(p+q)$。
提取公因式可得：
$6p(p+q)-4q(p+q)=2(p+q)(3p-2q)$
(2) 首先利用偶次幂的性质：$(y-x)^2=(x-y)^2$，将原式转化为：
$12(x-y)^3+15x(x-y)^2$
观察各项系数12和15的最大公约数是3，共同含有的因式是$(x-y)$，最低次幂为2，因此公因式为$3(x-y)^2$。
提取公因式并合并剩余项：
$\begin{aligned}原式&=3(x-y)^2[4(x-y)+5x]\\&=3(x-y)^2(4x-4y+5x)\\&=3(x-y)^2(9x-4y)\end{aligned}$
【答案】
(1)$2(p+q)(3p-2q)$；(2)$3(x-y)^2(9x-4y)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定；幂的符号转化
【点评】
本题属于提公因式法分解因式的常规题型，解题的核心是准确识别公因式，当出现形如$(x-y)$和$(y-x)$的对偶因式时，注意利用偶数次幂相等的性质统一因式形式，提取公因式后要注意合并同类项，保证分解结果最简。
【难度系数】
0.75
这两道题均考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：1. 先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式，取其最低次幂，二者的乘积就是公因式；2. 若多项式中存在互为相反数的因式，可利用偶次幂的性质将其转化为相同因式；3. 提取公因式后，将各项剩余的部分相加合并同类项，最终结果要保证不能再继续分解。
【解析】
(1) 观察多项式$6p(p+q)-4q(p+q)$，各项系数6和4的最大公约数是2，共同含有的因式是$(p+q)$，次数为1，因此公因式为$2(p+q)$。
提取公因式可得：
$6p(p+q)-4q(p+q)=2(p+q)(3p-2q)$
(2) 首先利用偶次幂的性质：$(y-x)^2=(x-y)^2$，将原式转化为：
$12(x-y)^3+15x(x-y)^2$
观察各项系数12和15的最大公约数是3，共同含有的因式是$(x-y)$，最低次幂为2，因此公因式为$3(x-y)^2$。
提取公因式并合并剩余项：
$\begin{aligned}原式&=3(x-y)^2[4(x-y)+5x]\\&=3(x-y)^2(4x-4y+5x)\\&=3(x-y)^2(9x-4y)\end{aligned}$
【答案】
(1)$2(p+q)(3p-2q)$；(2)$3(x-y)^2(9x-4y)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定；幂的符号转化
【点评】
本题属于提公因式法分解因式的常规题型，解题的核心是准确识别公因式，当出现形如$(x-y)$和$(y-x)$的对偶因式时，注意利用偶数次幂相等的性质统一因式形式，提取公因式后要注意合并同类项，保证分解结果最简。
【难度系数】
0.75
7.分解因式：
(1)$12a^{3}-15a^{2}+3a=$
(2)$a(m-n)+4b(n-m)=$
(1)$12a^{3}-15a^{2}+3a=$
$3a(4a^2-5a+1)$
；(2)$a(m-n)+4b(n-m)=$
$(m-n)(a-4b)$
.答案
7.(1)$3a(4a^2-5a+1)$ (2)$(m-n)(a-4b)$
解析
【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①对于(1)，先确定多项式各项的公因式：先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，组合得到公因式后，将各项除以公因式，把剩余部分写在括号内即可。②对于(2)，观察发现(m-n)和(n-m)互为相反数，先将(n-m)变形为-(m-n)，即可找到公因式(m-n)，再提取公因式完成分解。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数12、-15、3的最大公约数是3，相同字母为a，最低次幂是$a^1$，因此公因式为$3a$。
提取公因式$3a$：
$12a^{3}-15a^{2}+3a = 3a · 4a^2 - 3a · 5a + 3a · 1 = 3a(4a^2 - 5a + 1)$
(2) 先对式子变形，将$(n-m)$转化为$-(m-n)$：
$a(m-n)+4b(n-m) = a(m-n) - 4b(m-n)$
确定公因式为$(m-n)$，提取公因式：
原式$=(m-n)(a - 4b)$
【答案】
(1)$3a(4a^2-5a+1)$；(2)$(m-n)(a-4b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，相反数式变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规题型，解题关键是准确找到公因式，遇到互为相反数的因式时可通过变号统一公因式，提取公因式时注意不要漏写常数项，同时要注意符号变化避免出错。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①对于(1)，先确定多项式各项的公因式：先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，组合得到公因式后，将各项除以公因式，把剩余部分写在括号内即可。②对于(2)，观察发现(m-n)和(n-m)互为相反数，先将(n-m)变形为-(m-n)，即可找到公因式(m-n)，再提取公因式完成分解。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数12、-15、3的最大公约数是3，相同字母为a，最低次幂是$a^1$，因此公因式为$3a$。
提取公因式$3a$：
$12a^{3}-15a^{2}+3a = 3a · 4a^2 - 3a · 5a + 3a · 1 = 3a(4a^2 - 5a + 1)$
(2) 先对式子变形，将$(n-m)$转化为$-(m-n)$：
$a(m-n)+4b(n-m) = a(m-n) - 4b(m-n)$
确定公因式为$(m-n)$，提取公因式：
原式$=(m-n)(a - 4b)$
【答案】
(1)$3a(4a^2-5a+1)$；(2)$(m-n)(a-4b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，相反数式变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规题型，解题关键是准确找到公因式，遇到互为相反数的因式时可通过变号统一公因式，提取公因式时注意不要漏写常数项，同时要注意符号变化避免出错。
【难度系数】
0.8
8.已知$a-b=5$，$b-c=-6$，则代数式$a^2 - ac - b(a - c)$的值为 （
A.$-30$
B.$30$
C.$-5$
D.$-6$
C
）A.$-30$
B.$30$
C.$-5$
D.$-6$
答案
8.C
解析
【分析】
本题无法直接代入a、b、c的具体值计算，因此需先对待求代数式进行因式分解化简。首先观察代数式结构，先对前两项提取公因式a，可发现整体存在公因式(a-c)，提取后即可将代数式化简为两个整式乘积的形式；再结合已知的a-b和b-c的值，通过整式加法求出a-c的整体值，最后代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简待求代数式
$\begin{aligned}a^2 - ac - b(a - c)&=a(a - c) - b(a - c)\\&=(a - c)(a - b)\end{aligned}$
第二步：求$a-c$的值
已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，将两个等式左右两边分别相加：
$(a - b)+(b - c)=5+(-6)$
化简得：$a - c = -1$
第三步：代入计算
将$a - b = 5$，$a - c = -1$代入化简后的式子：
原式$=(-1)×5=-5$
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值，整式加减运算
【点评】
本题属于基础的因式分解应用类题目，核心是通过提公因式将复杂的待求式转化为可利用已知条件计算的形式，运用整体代入的思想可以大幅降低计算量，无需单独求解每个未知数的值。
【难度系数】
0.7
本题无法直接代入a、b、c的具体值计算，因此需先对待求代数式进行因式分解化简。首先观察代数式结构，先对前两项提取公因式a，可发现整体存在公因式(a-c)，提取后即可将代数式化简为两个整式乘积的形式；再结合已知的a-b和b-c的值，通过整式加法求出a-c的整体值，最后代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简待求代数式
$\begin{aligned}a^2 - ac - b(a - c)&=a(a - c) - b(a - c)\\&=(a - c)(a - b)\end{aligned}$
第二步：求$a-c$的值
已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，将两个等式左右两边分别相加：
$(a - b)+(b - c)=5+(-6)$
化简得：$a - c = -1$
第三步：代入计算
将$a - b = 5$，$a - c = -1$代入化简后的式子：
原式$=(-1)×5=-5$
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值，整式加减运算
【点评】
本题属于基础的因式分解应用类题目，核心是通过提公因式将复杂的待求式转化为可利用已知条件计算的形式，运用整体代入的思想可以大幅降低计算量，无需单独求解每个未知数的值。
【难度系数】
0.7
9.(2024·沈阳和平区期末)一个长为a、宽为b的长方形的周长为12，面积为7，则$a^2b + ab^2$的值为
$42$
。答案
9.42
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件和待求式的关系：首先根据长方形的周长和面积公式，可以直接得到a+b和ab的数值；再观察待求代数式$a^2b + ab^2$的结构，发现两项都含有公因式ab，用提公因式法分解因式后，待求式可转化为含有a+b和ab的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，能大幅简化计算过程。
【解析】
1. 根据长方形周长公式计算$a+b$的值：
长方形周长$=2(a+b)=12$，解得$a+b=6$；
2. 根据长方形面积公式得$ab$的值：
长方形面积$=ab=7$；
3. 对待求式提公因式分解因式：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$；
4. 整体代入数值计算：
将$a+b=6$，$ab=7$代入得：原式$=7×6=42$。
【答案】
42
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值，长方形周长与面积计算
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是通过因式分解将待求式转化为可直接代入已知条件的形式，巧妙运用整体思想规避了求解a、b具体值的复杂运算，是整式运算中非常典型的简算考法。
【难度系数】
0.7
拿到题目先梳理已知条件和待求式的关系：首先根据长方形的周长和面积公式，可以直接得到a+b和ab的数值；再观察待求代数式$a^2b + ab^2$的结构，发现两项都含有公因式ab，用提公因式法分解因式后，待求式可转化为含有a+b和ab的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，能大幅简化计算过程。
【解析】
1. 根据长方形周长公式计算$a+b$的值：
长方形周长$=2(a+b)=12$，解得$a+b=6$；
2. 根据长方形面积公式得$ab$的值：
长方形面积$=ab=7$；
3. 对待求式提公因式分解因式：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$；
4. 整体代入数值计算：
将$a+b=6$，$ab=7$代入得：原式$=7×6=42$。
【答案】
42
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值，长方形周长与面积计算
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是通过因式分解将待求式转化为可直接代入已知条件的形式，巧妙运用整体思想规避了求解a、b具体值的复杂运算，是整式运算中非常典型的简算考法。
【难度系数】
0.7
10.分解因式：
(1)$9(m+n)^2 - 3(m-n)(m+n)$；
(2)$y^2(3m-6)+y(6-3m)$。
(1)$9(m+n)^2 - 3(m-n)(m+n)$；
(2)$y^2(3m-6)+y(6-3m)$。
答案
10.(1)$6(m+n)(m+2n)$ (2)$3y(m-2)(y-1)$
解析
【分析】
这两道题都考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：(1)先观察式子的两项，确定公因式：系数的最大公约数是3，相同的多项式因式是$(m+n)$，最低次幂为1，因此公因式为$3(m+n)$，提取公因式后，对剩余的整式部分去括号、合并同类项化简，最后整理结果即可。(2)首先观察到式子中$(3m-6)$和$(6-3m)$互为相反数，先统一因式的形式，把$3m-6$变形为$3(m-2)$，$6-3m$变形为$-3(m-2)$，再确定公因式为$3y(m-2)$，提取公因式后整理剩余部分即可，注意运算时符号不要出错。
【解析】
(1) 原式$=3(m+n)[3(m+n)-(m-n)]$
$=3(m+n)(3m+3n-m+n)$
$=3(m+n)(2m+4n)$
$=3(m+n)× 2(m+2n)$
$=6(m+n)(m+2n)$
(2) 先对原式中因式变形：$3m-6=3(m-2)$，$6-3m=-3(m-2)$
原式$=y^2× 3(m-2)+y×[-3(m-2)]$
$=3y(m-2)· y - 3y(m-2)· 1$
$=3y(m-2)(y-1)$
【答案】
(1)$6(m+n)(m+2n)$ (2)$3y(m-2)(y-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式化简
【点评】
这两道题是提公因式法分解因式的常见题型，核心是准确识别公因式，当出现互为相反数的因式时要先统一符号，提取公因式后需检查剩余部分是否还能化简，确保分解彻底，解题时要注意避免符号错误。
【难度系数】
0.75
这两道题都考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：(1)先观察式子的两项，确定公因式：系数的最大公约数是3，相同的多项式因式是$(m+n)$，最低次幂为1，因此公因式为$3(m+n)$，提取公因式后，对剩余的整式部分去括号、合并同类项化简，最后整理结果即可。(2)首先观察到式子中$(3m-6)$和$(6-3m)$互为相反数，先统一因式的形式，把$3m-6$变形为$3(m-2)$，$6-3m$变形为$-3(m-2)$，再确定公因式为$3y(m-2)$，提取公因式后整理剩余部分即可，注意运算时符号不要出错。
【解析】
(1) 原式$=3(m+n)[3(m+n)-(m-n)]$
$=3(m+n)(3m+3n-m+n)$
$=3(m+n)(2m+4n)$
$=3(m+n)× 2(m+2n)$
$=6(m+n)(m+2n)$
(2) 先对原式中因式变形：$3m-6=3(m-2)$，$6-3m=-3(m-2)$
原式$=y^2× 3(m-2)+y×[-3(m-2)]$
$=3y(m-2)· y - 3y(m-2)· 1$
$=3y(m-2)(y-1)$
【答案】
(1)$6(m+n)(m+2n)$ (2)$3y(m-2)(y-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式化简
【点评】
这两道题是提公因式法分解因式的常见题型，核心是准确识别公因式，当出现互为相反数的因式时要先统一符号，提取公因式后需检查剩余部分是否还能化简，确保分解彻底，解题时要注意避免符号错误。
【难度系数】
0.75
11.先分解因式，再求值：$5x^2(y+4)-10x(y+4)^2$，其中$x=2,y=-2$。
答案
11.化简的结果为 $5x(y+4)(x-2y-8)$，值为$-40$
解析
【分析】
本题属于因式分解化简求值类题目，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找系数的最大公约数，5和10的最大公约数是5；再找相同因式的最低次幂，两项都含有的字母因式是x，最低次为1次，都含有的多项式因式是(y+4)，最低次为1次，因此公因式为5x(y+4)。第二步提取公因式后化简多项式，第三步将x、y的值代入化简后的式子计算，比直接代入原式计算更简便，且不易出错。
【解析】
解：先对多项式分解因式：
$5x^2(y+4)-10x(y+4)^2$
提取公因式$5x(y+4)$，得：
$=5x(y+4)[x - 2(y+4)]$
去括号整理括号内的式子：
$=5x(y+4)(x-2y-8)$
再将$x=2,y=-2$代入化简后的式子：
原式$=5×2×(-2+4)×[2 - 2×(-2) -8]$
$=10×2×(2+4-8)$
$=20×(-2)$
$=-40$
【答案】
化简的结果为 $5x(y+4)(x-2y-8)$，值为$-40$
【知识点】
提公因式法分解因式；代数式求值
【点评】
本题主要考查提公因式法的实际应用，先分解因式再代入求值能大幅降低计算量，解题时要注意公因式需提取彻底，去括号、代值计算时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
本题属于因式分解化简求值类题目，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找系数的最大公约数，5和10的最大公约数是5；再找相同因式的最低次幂，两项都含有的字母因式是x，最低次为1次，都含有的多项式因式是(y+4)，最低次为1次，因此公因式为5x(y+4)。第二步提取公因式后化简多项式，第三步将x、y的值代入化简后的式子计算，比直接代入原式计算更简便，且不易出错。
【解析】
解：先对多项式分解因式：
$5x^2(y+4)-10x(y+4)^2$
提取公因式$5x(y+4)$，得：
$=5x(y+4)[x - 2(y+4)]$
去括号整理括号内的式子：
$=5x(y+4)(x-2y-8)$
再将$x=2,y=-2$代入化简后的式子：
原式$=5×2×(-2+4)×[2 - 2×(-2) -8]$
$=10×2×(2+4-8)$
$=20×(-2)$
$=-40$
【答案】
化简的结果为 $5x(y+4)(x-2y-8)$，值为$-40$
【知识点】
提公因式法分解因式；代数式求值
【点评】
本题主要考查提公因式法的实际应用，先分解因式再代入求值能大幅降低计算量，解题时要注意公因式需提取彻底，去括号、代值计算时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
12.已知$xy=15$，且满足$x^2y - xy^2 - x + y = 28$，求$x - y$的值。
答案
12.2
解析
【分析】
首先观察所求为$x-y$的值，已知$xy=15$和含$x$、$y$的多项式等式，解题思路是先对等式左边的多项式进行因式分解：先将多项式合理分组，前两项为一组、后两项为一组，分别提取公因式后，可得到含有公因式$(x-y)$的式子，再代入$xy=15$的条件，即可得到关于$x-y$的一元一次方程，解方程就能求出结果。
【解析】
对等式$x^2y - xy^2 - x + y = 28$左边因式分解：
第一步，分组：
$x^2y - xy^2 - x + y=(x^2y - xy^2)+(-x + y)$
第二步，分别提取每组的公因式：
$=xy(x - y) - 1(x - y)$
第三步，提取公因式$(x - y)$：
$=(xy - 1)(x - y)$
将$xy=15$代入上式，可得：
$(15 - 1)(x - y)=28$
即$14(x - y)=28$
解得：$x - y=2$
【答案】
2
【知识点】
分组分解法，提公因式法，代数式求值
【点评】
本题主要考查因式分解在代数式求值中的应用，解题的核心是对多项式合理分组，通过两次提取公因式将原式转化为含已知条件和所求代数式的形式，代入计算即可，解题时要注意分组后需保证能继续提取公因式。
【难度系数】
0.7
首先观察所求为$x-y$的值，已知$xy=15$和含$x$、$y$的多项式等式，解题思路是先对等式左边的多项式进行因式分解：先将多项式合理分组，前两项为一组、后两项为一组，分别提取公因式后，可得到含有公因式$(x-y)$的式子，再代入$xy=15$的条件，即可得到关于$x-y$的一元一次方程，解方程就能求出结果。
【解析】
对等式$x^2y - xy^2 - x + y = 28$左边因式分解：
第一步，分组：
$x^2y - xy^2 - x + y=(x^2y - xy^2)+(-x + y)$
第二步，分别提取每组的公因式：
$=xy(x - y) - 1(x - y)$
第三步，提取公因式$(x - y)$：
$=(xy - 1)(x - y)$
将$xy=15$代入上式，可得：
$(15 - 1)(x - y)=28$
即$14(x - y)=28$
解得：$x - y=2$
【答案】
2
【知识点】
分组分解法，提公因式法，代数式求值
【点评】
本题主要考查因式分解在代数式求值中的应用，解题的核心是对多项式合理分组，通过两次提取公因式将原式转化为含已知条件和所求代数式的形式，代入计算即可，解题时要注意分组后需保证能继续提取公因式。
【难度系数】
0.7
