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1.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（
A.$a^2 + b^2$
B.$2a - b^2$
C.$a^2 - b^2$
D.$-a^2 - b^2$
C
）A.$a^2 + b^2$
B.$2a - b^2$
C.$a^2 - b^2$
D.$-a^2 - b^2$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个多项式能运用平方差公式分解因式，首先需牢记平方差公式分解因式的适用条件：①多项式包含两项；②两项都可以写成某个数（或整式）的平方的形式；③两项的符号相反。接下来只需将每个选项逐一对照以上三个条件排查即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，需满足两项、均为平方、异号的特征，逐一分析选项：
A选项：$a^2 + b^2$是两个平方的和，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解；
B选项：$2a - b^2$中第一项$2a$不是某个整式的平方形式，不符合条件，不能用平方差公式分解；
C选项：$a^2 - b^2$是$a$的平方减去$b$的平方，完全符合平方差公式的结构特征，可分解为$(a+b)(a-b)$，符合要求；
D选项：$-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，变形后仍是两个平方的和，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 因式分解的概念
【点评】
本题是因式分解部分的基础常考题，核心考查对平方差公式结构特征的理解与识别，只要牢记“两项、异号、均为平方”的判断要点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断哪个多项式能运用平方差公式分解因式，首先需牢记平方差公式分解因式的适用条件：①多项式包含两项；②两项都可以写成某个数（或整式）的平方的形式；③两项的符号相反。接下来只需将每个选项逐一对照以上三个条件排查即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，需满足两项、均为平方、异号的特征，逐一分析选项：
A选项：$a^2 + b^2$是两个平方的和，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解；
B选项：$2a - b^2$中第一项$2a$不是某个整式的平方形式，不符合条件，不能用平方差公式分解；
C选项：$a^2 - b^2$是$a$的平方减去$b$的平方，完全符合平方差公式的结构特征，可分解为$(a+b)(a-b)$，符合要求；
D选项：$-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，变形后仍是两个平方的和，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 因式分解的概念
【点评】
本题是因式分解部分的基础常考题，核心考查对平方差公式结构特征的理解与识别，只要牢记“两项、异号、均为平方”的判断要点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.因式分解$4a^2 -1$的结果为 （
A.$(2a-1)(2a+1)$
B.$(a-2)(a+2)$
C.$(a-4)(a+1)$
D.$(4a-1)(a+1)$
A
）A.$(2a-1)(2a+1)$
B.$(a-2)(a+2)$
C.$(a-4)(a+1)$
D.$(4a-1)(a+1)$
答案
2.A
解析
【分析】
拿到这道因式分解题，首先观察式子结构：原式是两个项的差，且两项都可以写成某个整式的平方形式，符合平方差公式分解因式的特征。我们先回忆平方差公式的结构：$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，接下来只需将原式的两项对应公式里的$x^2$和$y^2$，代入公式得到结果后匹配选项即可。
【解析】
先对原式变形：$4a^2=(2a)^2$，$1=1^2$，因此原式可写为：
$4a^2-1=(2a)^2-1^2$
根据平方差公式分解因式可得：
$(2a)^2-1^2=(2a-1)(2a+1)$
对应选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题，重点考查平方差公式分解因式的应用，解题关键是准确识别式子的平方差结构，熟记公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
拿到这道因式分解题，首先观察式子结构：原式是两个项的差，且两项都可以写成某个整式的平方形式，符合平方差公式分解因式的特征。我们先回忆平方差公式的结构：$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，接下来只需将原式的两项对应公式里的$x^2$和$y^2$，代入公式得到结果后匹配选项即可。
【解析】
先对原式变形：$4a^2=(2a)^2$，$1=1^2$，因此原式可写为：
$4a^2-1=(2a)^2-1^2$
根据平方差公式分解因式可得：
$(2a)^2-1^2=(2a-1)(2a+1)$
对应选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题，重点考查平方差公式分解因式的应用，解题关键是准确识别式子的平方差结构，熟记公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.分解因式：
(1)$a^2 - 9 =$
(2)$x^2 - \dfrac{1}{16} =$
(3)$-16x^2 + 25 =$
(1)$a^2 - 9 =$
$(a+3)(a-3)$
；(2)$x^2 - \dfrac{1}{16} =$
$(x+\dfrac{1}{4})(x-\dfrac{1}{4})$
；(3)$-16x^2 + 25 =$
$(5-4x)(5+4x)$
。答案
3.(1)$(a+3)(a-3)$ (2)$(x+\dfrac{1}{4})(x-\dfrac{1}{4})$ (3)$(5-4x)(5+4x)$
解析
【分析】
这三道因式分解题均考查平方差公式的应用，平方差公式分解因式的结构为$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，解题时先判断式子是否为两个数的平方差形式，若不符合可先调整式子结构，再对应找到公式中的$m$和$n$，代入公式即可完成分解：
(1) $a^2-9$可直接看作$a$的平方与3的平方的差，直接套用公式；
(2) $x^2-\frac{1}{16}$是$x$的平方与$\frac{1}{4}$的平方的差，直接套用公式；
(3) $-16x^2+25$先调整顺序为$25-16x^2$，可看作5的平方与$4x$的平方的差，再套用公式。
【解析】
利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$逐一分解：
(1) $a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a+3)(a-3)$
(2) $x^2 - \frac{1}{16} = x^2 - (\frac{1}{4})^2 = (x+\frac{1}{4})(x-\frac{1}{4})$
(3) 先调整式子顺序得$-16x^2 +25 = 25 - 16x^2$，再变形为平方差形式：$25 - 16x^2 = 5^2 - (4x)^2 = (5+4x)(5-4x)$
【答案】
(1)$(a+3)(a-3)$ (2)$(x+\dfrac{1}{4})(x-\dfrac{1}{4})$ (3)$(5-4x)(5+4x)$
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的结构特征，解题关键是准确识别式子中对应的两个平方项，遇到含负号的平方项可先调整式子顺序再分解，熟练掌握公式结构是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.85
这三道因式分解题均考查平方差公式的应用，平方差公式分解因式的结构为$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，解题时先判断式子是否为两个数的平方差形式，若不符合可先调整式子结构，再对应找到公式中的$m$和$n$，代入公式即可完成分解：
(1) $a^2-9$可直接看作$a$的平方与3的平方的差，直接套用公式；
(2) $x^2-\frac{1}{16}$是$x$的平方与$\frac{1}{4}$的平方的差，直接套用公式；
(3) $-16x^2+25$先调整顺序为$25-16x^2$，可看作5的平方与$4x$的平方的差，再套用公式。
【解析】
利用平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$逐一分解：
(1) $a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a+3)(a-3)$
(2) $x^2 - \frac{1}{16} = x^2 - (\frac{1}{4})^2 = (x+\frac{1}{4})(x-\frac{1}{4})$
(3) 先调整式子顺序得$-16x^2 +25 = 25 - 16x^2$，再变形为平方差形式：$25 - 16x^2 = 5^2 - (4x)^2 = (5+4x)(5-4x)$
【答案】
(1)$(a+3)(a-3)$ (2)$(x+\dfrac{1}{4})(x-\dfrac{1}{4})$ (3)$(5-4x)(5+4x)$
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的结构特征，解题关键是准确识别式子中对应的两个平方项，遇到含负号的平方项可先调整式子顺序再分解，熟练掌握公式结构是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.85
4.计算：$2024^2 - 2023^2 =$
4047
。答案
4.4047
解析
【分析】
本题属于平方差的计算类题目，首先观察算式结构，发现是两个数的平方相减，刚好符合平方差公式的逆用形式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，不需要分别计算两个大数的平方再相减，直接套用公式拆分计算即可，既简便又能降低计算出错的概率。首先确定公式中的$a$对应2024，$b$对应2023，代入公式后分别计算两个括号的结果，再相乘就能得到最终答案。
【解析】
根据平方差公式的逆用$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，令$a=2024$，$b=2023$，代入原式得：
$\begin{aligned}2024^2 - 2023^2&=(2024-2023)×(2024+2023)\\&=1×4047\\&=4047\end{aligned}$
【答案】
4047
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，识别出算式的平方差结构是解题的切入点，利用公式计算可以避免大数的平方运算，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
本题属于平方差的计算类题目，首先观察算式结构，发现是两个数的平方相减，刚好符合平方差公式的逆用形式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，不需要分别计算两个大数的平方再相减，直接套用公式拆分计算即可，既简便又能降低计算出错的概率。首先确定公式中的$a$对应2024，$b$对应2023，代入公式后分别计算两个括号的结果，再相乘就能得到最终答案。
【解析】
根据平方差公式的逆用$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，令$a=2024$，$b=2023$，代入原式得：
$\begin{aligned}2024^2 - 2023^2&=(2024-2023)×(2024+2023)\\&=1×4047\\&=4047\end{aligned}$
【答案】
4047
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，识别出算式的平方差结构是解题的切入点，利用公式计算可以避免大数的平方运算，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
5.分解因式：
(1)$4x^2 - 25y^2$；
(2)$81a^2 - \frac{1}{36}b^2$；
(3)$-9x^2y^2 + 49$；
(4)$(s + t)^2 - 64t^2$。
(1)$4x^2 - 25y^2$；
(2)$81a^2 - \frac{1}{36}b^2$；
(3)$-9x^2y^2 + 49$；
(4)$(s + t)^2 - 64t^2$。
答案
5.(1)$(2x+5y)(2x-5y)$
(2)$(9a-\dfrac{1}{6}b)(9a+\dfrac{1}{6}b)$
(3)$(7-3xy)(7+3xy)$
(4)$(s+9t)(s-7t)$
(2)$(9a-\dfrac{1}{6}b)(9a+\dfrac{1}{6}b)$
(3)$(7-3xy)(7+3xy)$
(4)$(s+9t)(s-7t)$
解析
【分析】
这4道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，解题思路为：第一步先观察式子是否满足“两项、符号相反、每一项都能写成某个整式的平方”的特征；第二步将原式变形为$a^2-b^2$的结构，准确确定对应的$a$和$b$；第三步套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开；若展开后存在同类项，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先将两项改写为平方形式：$4x^2=(2x)^2$，$25y^2=(5y)^2$，
原式$=(2x)^2-(5y)^2=(2x+5y)(2x-5y)$；
(2) 改写为平方形式：$81a^2=(9a)^2$，$\frac{1}{36}b^2=(\frac{1}{6}b)^2$，
原式$=(9a)^2-(\frac{1}{6}b)^2=(9a+\frac{1}{6}b)(9a-\frac{1}{6}b)$；
(3) 先调整两项顺序得：$49-9x^2y^2$，改写为平方形式：$49=7^2$，$9x^2y^2=(3xy)^2$，
原式$=7^2-(3xy)^2=(7+3xy)(7-3xy)$；
(4) 改写为平方形式：$64t^2=(8t)^2$，把$(s+t)$看作整体$a$，$8t$看作$b$，
原式$=(s+t)^2-(8t)^2=(s+t+8t)(s+t-8t)=(s+9t)(s-7t)$。
【答案】
(1)$(2x+5y)(2x-5y)$
(2)$(9a-\dfrac{1}{6}b)(9a+\dfrac{1}{6}b)$
(3)$(7-3xy)(7+3xy)$
(4)$(s+9t)(s-7t)$
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方项识别，合并同类项
【点评】
本组题属于因式分解的基础题型，核心是熟练掌握平方差公式的结构特点，解题时需准确识别完全平方项，套用公式后注意检查是否需要合并同类项，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这4道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，解题思路为：第一步先观察式子是否满足“两项、符号相反、每一项都能写成某个整式的平方”的特征；第二步将原式变形为$a^2-b^2$的结构，准确确定对应的$a$和$b$；第三步套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开；若展开后存在同类项，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先将两项改写为平方形式：$4x^2=(2x)^2$，$25y^2=(5y)^2$，
原式$=(2x)^2-(5y)^2=(2x+5y)(2x-5y)$；
(2) 改写为平方形式：$81a^2=(9a)^2$，$\frac{1}{36}b^2=(\frac{1}{6}b)^2$，
原式$=(9a)^2-(\frac{1}{6}b)^2=(9a+\frac{1}{6}b)(9a-\frac{1}{6}b)$；
(3) 先调整两项顺序得：$49-9x^2y^2$，改写为平方形式：$49=7^2$，$9x^2y^2=(3xy)^2$，
原式$=7^2-(3xy)^2=(7+3xy)(7-3xy)$；
(4) 改写为平方形式：$64t^2=(8t)^2$，把$(s+t)$看作整体$a$，$8t$看作$b$，
原式$=(s+t)^2-(8t)^2=(s+t+8t)(s+t-8t)=(s+9t)(s-7t)$。
【答案】
(1)$(2x+5y)(2x-5y)$
(2)$(9a-\dfrac{1}{6}b)(9a+\dfrac{1}{6}b)$
(3)$(7-3xy)(7+3xy)$
(4)$(s+9t)(s-7t)$
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方项识别，合并同类项
【点评】
本组题属于因式分解的基础题型，核心是熟练掌握平方差公式的结构特点，解题时需准确识别完全平方项，套用公式后注意检查是否需要合并同类项，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
6.若k为任意整数，则$(k+5)^2 -k^2$的值总能（
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
C
）A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
答案
6.C
解析
【分析】
本题需要判断多项式的值的整除特性，观察式子为两个平方项作差的结构，符合平方差公式的特征，既可以用平方差公式因式分解化简，也可以直接展开合并同类项化简，化简后结合k是整数的条件，就能判断式子的常数因数，进而确定其能被哪个数整除。
【解析】
方法一：利用平方差公式因式分解
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=k+5$，$b=k$，代入得：
$\begin{aligned}(k+5)^2 -k^2&=[(k+5)+k][(k+5)-k]\\&=(2k+5)×5\\&=5(2k+5)\end{aligned}$
方法二：直接展开化简
$\begin{aligned}(k+5)^2 -k^2&=k^2+10k+25 -k^2\\&=10k+25\\&=5(2k+5)\end{aligned}$
因为k为整数，所以$2k+5$也是整数，因此$5(2k+5)$是5的整数倍，即原式的值总能被5整除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，解题核心是准确识别式子的结构特征，灵活选用化简方法，再结合整数性质判断整除情况，熟练掌握平方差公式可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题需要判断多项式的值的整除特性，观察式子为两个平方项作差的结构，符合平方差公式的特征，既可以用平方差公式因式分解化简，也可以直接展开合并同类项化简，化简后结合k是整数的条件，就能判断式子的常数因数，进而确定其能被哪个数整除。
【解析】
方法一：利用平方差公式因式分解
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=k+5$，$b=k$，代入得：
$\begin{aligned}(k+5)^2 -k^2&=[(k+5)+k][(k+5)-k]\\&=(2k+5)×5\\&=5(2k+5)\end{aligned}$
方法二：直接展开化简
$\begin{aligned}(k+5)^2 -k^2&=k^2+10k+25 -k^2\\&=10k+25\\&=5(2k+5)\end{aligned}$
因为k为整数，所以$2k+5$也是整数，因此$5(2k+5)$是5的整数倍，即原式的值总能被5整除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，解题核心是准确识别式子的结构特征，灵活选用化简方法，再结合整数性质判断整除情况，熟练掌握平方差公式可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7.若$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，则$a^2 - (b - c)^2$的结果（
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
A
）A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
答案
7.A
解析
【分析】
首先观察所给代数式的结构，是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的特征，因此第一步可以利用平方差公式对代数式进行因式分解；再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，分别判断分解后两个因式的正负性，最后根据乘法符号法则就能判断原式的结果符号。
【解析】
解：首先利用平方差公式分解因式：
$a^2 - (b - c)^2 = [a + (b - c)][a - (b - c)] = (a + b - c)(a + c - b)$
∵$a、b、c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$；
同时$a + c ＞ b$，即$a + c - b ＞ 0$。
两个正数的乘积为正，因此$(a + b - c)(a + c - b) ＞ 0$，即$a^2 - (b - c)^2 ＞ 0$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式；三角形三边关系
【点评】
本题将因式分解的知识与三角形三边关系相结合，考查对基础公式的应用能力和知识融合运用的能力，解题的关键是先对代数式正确因式分解，再结合几何性质判断符号。
【难度系数】
0.7
首先观察所给代数式的结构，是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的特征，因此第一步可以利用平方差公式对代数式进行因式分解；再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，分别判断分解后两个因式的正负性，最后根据乘法符号法则就能判断原式的结果符号。
【解析】
解：首先利用平方差公式分解因式：
$a^2 - (b - c)^2 = [a + (b - c)][a - (b - c)] = (a + b - c)(a + c - b)$
∵$a、b、c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$；
同时$a + c ＞ b$，即$a + c - b ＞ 0$。
两个正数的乘积为正，因此$(a + b - c)(a + c - b) ＞ 0$，即$a^2 - (b - c)^2 ＞ 0$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式；三角形三边关系
【点评】
本题将因式分解的知识与三角形三边关系相结合，考查对基础公式的应用能力和知识融合运用的能力，解题的关键是先对代数式正确因式分解，再结合几何性质判断符号。
【难度系数】
0.7
8.计算：$535^2 - 465^2 =$
70000
.答案
8.70000
解析
【分析】
观察算式是两个数的平方差的形式，符合平方差公式的结构特征，若直接计算两个数的平方计算量较大，因此可以逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解，简化计算过程。首先确定公式中的$a=535$，$b=465$，分别计算$a+b$和$a-b$的值，再将两个结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$计算：
$\begin{aligned}535^2 - 465^2 &= (535 + 465) × (535 - 465) \\&= 1000 × 70 \\&= 70000\end{aligned}$
【答案】
70000
【知识点】
平方差公式；因式分解简便计算
【点评】
本题考查平方差公式的逆用，通过因式分解可将复杂的平方运算转化为简单的加减法和整十、整千数的乘法运算，大幅降低计算量，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
观察算式是两个数的平方差的形式，符合平方差公式的结构特征，若直接计算两个数的平方计算量较大，因此可以逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解，简化计算过程。首先确定公式中的$a=535$，$b=465$，分别计算$a+b$和$a-b$的值，再将两个结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$计算：
$\begin{aligned}535^2 - 465^2 &= (535 + 465) × (535 - 465) \\&= 1000 × 70 \\&= 70000\end{aligned}$
【答案】
70000
【知识点】
平方差公式；因式分解简便计算
【点评】
本题考查平方差公式的逆用，通过因式分解可将复杂的平方运算转化为简单的加减法和整十、整千数的乘法运算，大幅降低计算量，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
9.已知两个正方形的周长之差是96 cm，面积之差是960 cm²，则这两个正方形的边长分别是
32 cm,8 cm
。答案
9.32 cm,8 cm
解析
【分析】
解题时可以先设两个正方形的边长分别为较大的x cm和较小的y cm，首先根据正方形周长公式，由周长差推导出两个边长的差；再根据正方形面积公式得到面积差的表达式，利用平方差公式对面积差的代数式因式分解，将边长差代入即可求出边长的和，最后联立边长和与边长差的关系式，解二元一次方程组就能求出两个边长。
【解析】
设较大正方形的边长为x cm，较小正方形的边长为y cm（x＞y＞0），根据题意可得：
1. 由周长之差为96 cm，得：
$4x - 4y = 96$
化简得：$x - y = 24$ ①
2. 由面积之差为960 cm²，得：
$x^2 - y^2 = 960$
利用平方差公式分解因式得：$(x - y)(x + y) = 960$ ②
将①代入②，得：$24(x + y) = 960$
解得：$x + y = 40$ ③
联立①③，将两个方程相加：$x - y + x + y = 24 + 40$
即$2x = 64$，解得$x = 32$
把$x=32$代入①，得$32 - y = 24$，解得$y = 8$
【答案】
32 cm，8 cm
【知识点】
正方形周长与面积公式，平方差公式分解因式，二元一次方程组解法
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，将几何图形的性质与代数运算结合，解题核心是利用平方差公式对面积差的表达式变形，通过边长差快速求出边长和，简化了计算过程，能很好地考查学生对平方差公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可以先设两个正方形的边长分别为较大的x cm和较小的y cm，首先根据正方形周长公式，由周长差推导出两个边长的差；再根据正方形面积公式得到面积差的表达式，利用平方差公式对面积差的代数式因式分解，将边长差代入即可求出边长的和，最后联立边长和与边长差的关系式，解二元一次方程组就能求出两个边长。
【解析】
设较大正方形的边长为x cm，较小正方形的边长为y cm（x＞y＞0），根据题意可得：
1. 由周长之差为96 cm，得：
$4x - 4y = 96$
化简得：$x - y = 24$ ①
2. 由面积之差为960 cm²，得：
$x^2 - y^2 = 960$
利用平方差公式分解因式得：$(x - y)(x + y) = 960$ ②
将①代入②，得：$24(x + y) = 960$
解得：$x + y = 40$ ③
联立①③，将两个方程相加：$x - y + x + y = 24 + 40$
即$2x = 64$，解得$x = 32$
把$x=32$代入①，得$32 - y = 24$，解得$y = 8$
【答案】
32 cm，8 cm
【知识点】
正方形周长与面积公式，平方差公式分解因式，二元一次方程组解法
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，将几何图形的性质与代数运算结合，解题核心是利用平方差公式对面积差的表达式变形，通过边长差快速求出边长和，简化了计算过程，能很好地考查学生对平方差公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10.分解因式：
(1)$(x+3)^2 -16y^2$；
(2)$16(m-n)^2 -9(m+n)^2$。
(1)$(x+3)^2 -16y^2$；
(2)$16(m-n)^2 -9(m+n)^2$。
答案
10.(1)$(x+4y+3)(x-4y+3)$
(2)$(7m-n)(m-7n)$
(2)$(7m-n)(m-7n)$
解析
【分析】
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，即两个整式的平方作差，可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$求解。解题时先将原式变形为“平方减平方”的形式，准确识别公式中对应的$a$和$b$，代入公式后再化简合并同类项，得到最简分解结果即可。
【解析】
(1) 先将$16y^2$改写为$(4y)^2$，再代入平方差公式化简：
$\begin{aligned}(x+3)^2 -16y^2&=(x+3)^2 - (4y)^2\\&=[(x+3)+4y][(x+3)-4y]\\&=(x+4y+3)(x-4y+3)\end{aligned}$
(2) 先将$16(m-n)^2$改写为$[4(m-n)]^2$，$9(m+n)^2$改写为$[3(m+n)]^2$，代入平方差公式后去括号合并同类项：
$\begin{aligned}16(m-n)^2 -9(m+n)^2&=[4(m-n)]^2 - [3(m+n)]^2\\&=[4(m-n)+3(m+n)][4(m-n)-3(m+n)]\\&=(4m-4n+3m+3n)(4m-4n-3m-3n)\\&=(7m-n)(m-7n)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x+4y+3)(x-4y+3)$
(2)$(7m-n)(m-7n)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 合并同类项
【点评】
本题考查平方差公式在因式分解中的应用，解题核心是准确判断式子的结构特征，找准公式对应的两个项，分解完成后要注意化简整式，确保结果无法再分解。
【难度系数】
0.8
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，即两个整式的平方作差，可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$求解。解题时先将原式变形为“平方减平方”的形式，准确识别公式中对应的$a$和$b$，代入公式后再化简合并同类项，得到最简分解结果即可。
【解析】
(1) 先将$16y^2$改写为$(4y)^2$，再代入平方差公式化简：
$\begin{aligned}(x+3)^2 -16y^2&=(x+3)^2 - (4y)^2\\&=[(x+3)+4y][(x+3)-4y]\\&=(x+4y+3)(x-4y+3)\end{aligned}$
(2) 先将$16(m-n)^2$改写为$[4(m-n)]^2$，$9(m+n)^2$改写为$[3(m+n)]^2$，代入平方差公式后去括号合并同类项：
$\begin{aligned}16(m-n)^2 -9(m+n)^2&=[4(m-n)]^2 - [3(m+n)]^2\\&=[4(m-n)+3(m+n)][4(m-n)-3(m+n)]\\&=(4m-4n+3m+3n)(4m-4n-3m-3n)\\&=(7m-n)(m-7n)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x+4y+3)(x-4y+3)$
(2)$(7m-n)(m-7n)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 合并同类项
【点评】
本题考查平方差公式在因式分解中的应用，解题核心是准确判断式子的结构特征，找准公式对应的两个项，分解完成后要注意化简整式，确保结果无法再分解。
【难度系数】
0.8
11.【推理能力】张老师在黑板上写了下列三个式子：
①$3^2 - 1^2 = 8×1$；
②$5^2 - 3^2 = 8×2$；
③$7^2 - 5^2 = 8×3$。
(1)请结合上述三个式子的规律，写出式子④______；⑤______。
(2)用含$n$($n$为正整数)的式子表示上述规律：______。
(3)试证明(2)中的规律的正确性。
①$3^2 - 1^2 = 8×1$；
②$5^2 - 3^2 = 8×2$；
③$7^2 - 5^2 = 8×3$。
(1)请结合上述三个式子的规律，写出式子④______；⑤______。
(2)用含$n$($n$为正整数)的式子表示上述规律：______。
(3)试证明(2)中的规律的正确性。
答案
11.解:(1)$9^2-7^2=8×4$ $11^2-9^2=8×5$
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
(3)证明:$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)·[2n+1-(2n-1)]=4n·2=8n.$
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
(3)证明:$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)·[2n+1-(2n-1)]=4n·2=8n.$
解析
【分析】
首先观察已知的三个式子，左边均为两个相邻奇数的平方差，右边是8与正整数的乘积，且右边乘的正整数和式子的序号完全对应。解决第(1)问时，按序号顺延写出第4、第5组相邻奇数的平方差即可；第(2)问需要把相邻奇数用含n的代数式表示，结合规律写出通用等式；第(3)问利用平方差公式对等式左边展开化简，验证化简结果和右边相等即可完成证明。
【解析】
(1) 观察式子①②③可知，第k个式子的左边是第(k+1)个奇数和第k个奇数的平方差，右边为$8×k$。
式子④对应k=4，两个奇数为9和7，因此式子为$9^2 - 7^2 = 8×4$；
式子⑤对应k=5，两个奇数为11和9，因此式子为$11^2 - 9^2 = 8×5$。
(2) 设n为正整数，两个相邻奇数可分别表示为$2n+1$和$2n-1$，结合规律可得通用等式：$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$。
(3) 证明：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将等式左边展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2 &= [(2n+1)+(2n-1)]·[(2n+1)-(2n-1)] \\&= 4n·2 \\&= 8n\end{aligned}$
左边化简结果和右边相等，因此规律成立。
【答案】
(1) $9^2-7^2=8×4$；$11^2-9^2=8×5$
(2) $(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
(3) 证明过程见解析
【知识点】
数字规律探究；平方差公式；整式运算
【点评】
本题是规律探究类题型与整式公式应用的典型结合题，需要先观察已知等式的结构特征，提炼出数字变化的通用规律，再通过平方差公式进行整式运算验证规律，掌握平方差公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
首先观察已知的三个式子，左边均为两个相邻奇数的平方差，右边是8与正整数的乘积，且右边乘的正整数和式子的序号完全对应。解决第(1)问时，按序号顺延写出第4、第5组相邻奇数的平方差即可；第(2)问需要把相邻奇数用含n的代数式表示，结合规律写出通用等式；第(3)问利用平方差公式对等式左边展开化简，验证化简结果和右边相等即可完成证明。
【解析】
(1) 观察式子①②③可知，第k个式子的左边是第(k+1)个奇数和第k个奇数的平方差，右边为$8×k$。
式子④对应k=4，两个奇数为9和7，因此式子为$9^2 - 7^2 = 8×4$；
式子⑤对应k=5，两个奇数为11和9，因此式子为$11^2 - 9^2 = 8×5$。
(2) 设n为正整数，两个相邻奇数可分别表示为$2n+1$和$2n-1$，结合规律可得通用等式：$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$。
(3) 证明：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将等式左边展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2 &= [(2n+1)+(2n-1)]·[(2n+1)-(2n-1)] \\&= 4n·2 \\&= 8n\end{aligned}$
左边化简结果和右边相等，因此规律成立。
【答案】
(1) $9^2-7^2=8×4$；$11^2-9^2=8×5$
(2) $(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
(3) 证明过程见解析
【知识点】
数字规律探究；平方差公式；整式运算
【点评】
本题是规律探究类题型与整式公式应用的典型结合题，需要先观察已知等式的结构特征，提炼出数字变化的通用规律，再通过平方差公式进行整式运算验证规律，掌握平方差公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
