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1.下列多项式是完全平方式的是 （
A.$a^2 -4a +4$
B.$1+4a^2$
C.$4b^2 +4b -1$
D.$a^2 +ab +b^2$
A
）A.$a^2 -4a +4$
B.$1+4a^2$
C.$4b^2 +4b -1$
D.$a^2 +ab +b^2$
答案
1.A
解析
【分析】
首先明确完全平方式的结构特征：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个同号的平方项，以及一个等于两个平方项底数乘积2倍的交叉项（交叉项符号可正可负）。解题时只需将每个选项的结构和完全平方式的标准形式逐一对照，即可判断正误。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $a^2 -4a +4$中，$a^2$是$a$的平方，$4=2^2$是2的平方，中间项$-4a=-2× a×2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，是完全平方式，可分解为$(a-2)^2$。
B. $1+4a^2$仅包含$1^2$和$(2a)^2$两个平方项，缺少交叉项$\pm4a$，不符合完全平方式的结构。
C. $4b^2 +4b -1$的常数项为$-1$，平方项需为非负数，若构成完全平方式常数项应为$+1$，不符合要求。
D. $a^2 +ab +b^2$中两个平方项的底数为$a$和$b$，对应交叉项应为$\pm2ab$，此处仅为$ab$，不符合完全平方式的结构。
综上只有A选项是完全平方式。
【答案】
A
【知识点】
完全平方式的判定、完全平方公式
【点评】
本题是完全平方式识别的基础题型，牢记“首平方，尾平方，积的两倍在中央”的口诀，对照结构特征即可快速判断。
【难度系数】
0.8
首先明确完全平方式的结构特征：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个同号的平方项，以及一个等于两个平方项底数乘积2倍的交叉项（交叉项符号可正可负）。解题时只需将每个选项的结构和完全平方式的标准形式逐一对照，即可判断正误。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $a^2 -4a +4$中，$a^2$是$a$的平方，$4=2^2$是2的平方，中间项$-4a=-2× a×2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，是完全平方式，可分解为$(a-2)^2$。
B. $1+4a^2$仅包含$1^2$和$(2a)^2$两个平方项，缺少交叉项$\pm4a$，不符合完全平方式的结构。
C. $4b^2 +4b -1$的常数项为$-1$，平方项需为非负数，若构成完全平方式常数项应为$+1$，不符合要求。
D. $a^2 +ab +b^2$中两个平方项的底数为$a$和$b$，对应交叉项应为$\pm2ab$，此处仅为$ab$，不符合完全平方式的结构。
综上只有A选项是完全平方式。
【答案】
A
【知识点】
完全平方式的判定、完全平方公式
【点评】
本题是完全平方式识别的基础题型，牢记“首平方，尾平方，积的两倍在中央”的口诀，对照结构特征即可快速判断。
【难度系数】
0.8
2.(教材P132习题T8变式)若多项式$x^2 -12x +k$是一个完全平方式，则k的值为
36
.答案
2.36
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，对应三项分别是两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍。我们先把给定多项式的项和完全平方式的结构一一对应：首项$x^2$对应$a^2$，可确定$a=x$；再通过中间项$-12x$对应$\pm2ab$，求出$b$的值，最后第三项$k$就是$b^2$，代入计算即可得到$k$的值。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式的三项满足“平方项、二倍项、平方项”的结构。
已知多项式$x^2 -12x +k$是完全平方式：
1. 首项$x^2=(x)^2$，因此对应公式里的$a=x$；
2. 中间项$-12x=-2× x×6$，对应公式里的$-2ab$，因此可得$b=6$；
3. 第三项$k$对应公式里的$b^2$，所以$k=b^2=6^2=36$。
【答案】
36
【知识点】
完全平方式的特征；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方式结构的理解，解题关键是准确匹配完全平方式中的两个对应项，避免漏算平方导致出错。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，对应三项分别是两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍。我们先把给定多项式的项和完全平方式的结构一一对应：首项$x^2$对应$a^2$，可确定$a=x$；再通过中间项$-12x$对应$\pm2ab$，求出$b$的值，最后第三项$k$就是$b^2$，代入计算即可得到$k$的值。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式的三项满足“平方项、二倍项、平方项”的结构。
已知多项式$x^2 -12x +k$是完全平方式：
1. 首项$x^2=(x)^2$，因此对应公式里的$a=x$；
2. 中间项$-12x=-2× x×6$，对应公式里的$-2ab$，因此可得$b=6$；
3. 第三项$k$对应公式里的$b^2$，所以$k=b^2=6^2=36$。
【答案】
36
【知识点】
完全平方式的特征；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方式结构的理解，解题关键是准确匹配完全平方式中的两个对应项，避免漏算平方导致出错。
【难度系数】
0.85
[变式] 若多项式$x^2 + 2ax + 9$是一个完全平方式，则a的值为
±3
。答案
±3
解析
【分析】
解决这道题首先要明确完全平方式的结构特征，完全平方式对应完全平方公式$(m±n)^2=m^2±2mn+n^2$，特点是“首平方、尾平方，两倍乘积放中央，符号可正可负”。我们先定位给定多项式的两个平方项：$x^2$对应公式里的首平方项，$9=3^2$对应尾平方项，再根据中间项的对应关系，结合系数相等列等式求解即可，注意要考虑中间项正负两种情况，避免漏解。
【解析】
根据完全平方公式，形如$x^2+2ax+9$的完全平方式有两种可能：
1. 对应$(x+3)^2=x^2+6x+9$，此时一次项系数$2a=6$，解得$a=3$；
2. 对应$(x-3)^2=x^2-6x+9$，此时一次项系数$2a=-6$，解得$a=-3$。
综上可得$a=±3$。
【答案】
±3
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方式的基础考查题，解题核心是熟记完全平方公式的两种结构，做题时容易忽略中间项为负的情况，需要特别注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确完全平方式的结构特征，完全平方式对应完全平方公式$(m±n)^2=m^2±2mn+n^2$，特点是“首平方、尾平方，两倍乘积放中央，符号可正可负”。我们先定位给定多项式的两个平方项：$x^2$对应公式里的首平方项，$9=3^2$对应尾平方项，再根据中间项的对应关系，结合系数相等列等式求解即可，注意要考虑中间项正负两种情况，避免漏解。
【解析】
根据完全平方公式，形如$x^2+2ax+9$的完全平方式有两种可能：
1. 对应$(x+3)^2=x^2+6x+9$，此时一次项系数$2a=6$，解得$a=3$；
2. 对应$(x-3)^2=x^2-6x+9$，此时一次项系数$2a=-6$，解得$a=-3$。
综上可得$a=±3$。
【答案】
±3
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方式的基础考查题，解题核心是熟记完全平方公式的两种结构，做题时容易忽略中间项为负的情况，需要特别注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
3.下列多项式中,能用完全平方公式分解因式的是 （
A.$a^2+4$
B.$a^2+ab+b^2$
C.$a^2+4ab+b^2$
D.$x^2+2x+1$
D
）A.$a^2+4$
B.$a^2+ab+b^2$
C.$a^2+4ab+b^2$
D.$x^2+2x+1$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先需明确完全平方式的结构特征：完全平方式是三项式，其中有两项是同号的平方项（均可写成某个数或整式的平方形式），第三项是这两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负），符合$a^2\pm2ab+b^2$的结构就能用完全平方公式分解为$(a\pm b)^2$。解题时只需逐一核对每个选项是否符合上述特征即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$\boldsymbol{a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2}$，我们据此逐一分析选项：
选项A：$a^2+4$是二项式，不符合完全平方式是三项式的要求，不能用完全平方公式分解；
选项B：$a^2+ab+b^2$中，两个平方项为$a^2$、$b^2$，对应底数乘积的2倍应为$2ab$，但中间项是$ab$，不符合结构要求，不能用完全平方公式分解；
选项C：$a^2+4ab+b^2$中，两个平方项为$a^2$、$b^2$，对应底数乘积的2倍应为$2ab$，但中间项是$4ab$，不符合结构要求，不能用完全平方公式分解；
选项D：$x^2+2x+1$中，$x^2$是$x$的平方，$1$是$1$的平方，中间项$2x=2· x·1$，完全符合完全平方式的结构，可分解为$(x+1)^2$，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式 2.公式法分解因式
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的理解，解题关键是牢记完全平方式“两项平方同号、中间项为两底数乘积2倍”的特点，注意不要忽略中间项的系数要求，避免误选B、C选项。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先需明确完全平方式的结构特征：完全平方式是三项式，其中有两项是同号的平方项（均可写成某个数或整式的平方形式），第三项是这两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负），符合$a^2\pm2ab+b^2$的结构就能用完全平方公式分解为$(a\pm b)^2$。解题时只需逐一核对每个选项是否符合上述特征即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$\boldsymbol{a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2}$，我们据此逐一分析选项：
选项A：$a^2+4$是二项式，不符合完全平方式是三项式的要求，不能用完全平方公式分解；
选项B：$a^2+ab+b^2$中，两个平方项为$a^2$、$b^2$，对应底数乘积的2倍应为$2ab$，但中间项是$ab$，不符合结构要求，不能用完全平方公式分解；
选项C：$a^2+4ab+b^2$中，两个平方项为$a^2$、$b^2$，对应底数乘积的2倍应为$2ab$，但中间项是$4ab$，不符合结构要求，不能用完全平方公式分解；
选项D：$x^2+2x+1$中，$x^2$是$x$的平方，$1$是$1$的平方，中间项$2x=2· x·1$，完全符合完全平方式的结构，可分解为$(x+1)^2$，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式 2.公式法分解因式
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的理解，解题关键是牢记完全平方式“两项平方同号、中间项为两底数乘积2倍”的特点，注意不要忽略中间项的系数要求，避免误选B、C选项。
【难度系数】
0.8
4.将多项式$x^2 -4x +4$分解因式的结果是（
A.$x(x-4)+4$
B.$(x+2)(x-2)$
C.$(x+2)^2$
D.$(x-2)^2$
D
）A.$x(x-4)+4$
B.$(x+2)(x-2)$
C.$(x+2)^2$
D.$(x-2)^2$
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确因式分解的核心要求：结果必须是几个整式乘积的形式，其次要熟练掌握完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子可以分解为$(a\pm b)^2$。第一步先排除不符合因式分解形式的选项，再将剩余选项展开对比原式，或者直接套用完全平方公式判断原式的结构，最终得到正确结果。
【解析】
首先，因式分解的结果需为整式乘积的形式，选项A的右侧是$x(x-4)+4$，属于和的形式，不符合因式分解要求，直接排除。
再回忆完全平方差公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
观察多项式$x^2-4x+4$：首项$x^2=(x)^2$，对应公式中的$a^2$，即$a=x$；末项$4=2^2$，对应公式中的$b^2$，即$b=2$；中间项$-4x=-2× x×2$，对应公式中的$-2ab$，完全符合完全平方差公式的结构，因此$x^2-4x+4=(x-2)^2$。
验证剩余选项：
选项B：$(x+2)(x-2)=x^2-4$，与原式不符，排除；
选项C：$(x+2)^2=x^2+4x+4$，与原式不符，排除。
所以正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的识别及完全平方公式的应用，解题关键是牢记完全平方公式的结构特征，同时注意因式分解的结果必须是整式乘积的形式，避免误选非乘积形式的错误选项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确因式分解的核心要求：结果必须是几个整式乘积的形式，其次要熟练掌握完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子可以分解为$(a\pm b)^2$。第一步先排除不符合因式分解形式的选项，再将剩余选项展开对比原式，或者直接套用完全平方公式判断原式的结构，最终得到正确结果。
【解析】
首先，因式分解的结果需为整式乘积的形式，选项A的右侧是$x(x-4)+4$，属于和的形式，不符合因式分解要求，直接排除。
再回忆完全平方差公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
观察多项式$x^2-4x+4$：首项$x^2=(x)^2$，对应公式中的$a^2$，即$a=x$；末项$4=2^2$，对应公式中的$b^2$，即$b=2$；中间项$-4x=-2× x×2$，对应公式中的$-2ab$，完全符合完全平方差公式的结构，因此$x^2-4x+4=(x-2)^2$。
验证剩余选项：
选项B：$(x+2)(x-2)=x^2-4$，与原式不符，排除；
选项C：$(x+2)^2=x^2+4x+4$，与原式不符，排除。
所以正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的识别及完全平方公式的应用，解题关键是牢记完全平方公式的结构特征，同时注意因式分解的结果必须是整式乘积的形式，避免误选非乘积形式的错误选项。
【难度系数】
0.8
5.分解因式:
(1)$x^2 + 8x + 16$;
(2)$a^2b^2 - 10ab + 25$;
(3)$(x - y)^2 - 6(x - y) + 9$.
(1)$x^2 + 8x + 16$;
(2)$a^2b^2 - 10ab + 25$;
(3)$(x - y)^2 - 6(x - y) + 9$.
答案
5.(1)$(x+4)^2$ (2)$(ab-5)^2$ (3)$(x-y-3)^2$
解析
【分析】
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的逆用形式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，分解前先判断多项式是否符合完全平方式的特征：①共有三项；②有两项是两个数（或式子）的平方，且平方项符号相同；③第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍。再分别对每个小题找到对应的“a”和“b”，套入公式即可，注意第三小题可将$(x-y)$看作整体简化运算。
【解析】
(1) 观察式子$x^2 + 8x + 16$：
$x^2$是$x$的平方，$16=4^2$，中间项$8x=2× x×4$，符合完全平方和公式，其中$a=x$，$b=4$，因此：
$x^2 + 8x + 16=(x+4)^2$
(2) 观察式子$a^2b^2 - 10ab + 25$：
$a^2b^2=(ab)^2$，$25=5^2$，中间项$-10ab=-2× ab×5$，符合完全平方差公式，其中$a=ab$，$b=5$，因此：
$a^2b^2 - 10ab + 25=(ab-5)^2$
(3) 观察式子$(x - y)^2 - 6(x - y) + 9$，将$(x-y)$看作一个整体，设$m=x-y$，则原式变为$m^2-6m+9$：
$m^2$是$m$的平方，$9=3^2$，中间项$-6m=-2× m×3$，符合完全平方差公式，分解得$m^2-6m+9=(m-3)^2$，将$m=x-y$代回得：
$(x - y)^2 - 6(x - y) + 9=(x-y-3)^2$
【答案】
(1)$(x+4)^2$ (2)$(ab-5)^2$ (3)$(x-y-3)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解 2. 整体代换思想 3. 完全平方式识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式的掌握，解题的关键是准确判断完全平方式，遇到含多项式的项时灵活运用整体思想可降低解题难度。
【难度系数】
0.8
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的逆用形式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，分解前先判断多项式是否符合完全平方式的特征：①共有三项；②有两项是两个数（或式子）的平方，且平方项符号相同；③第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍。再分别对每个小题找到对应的“a”和“b”，套入公式即可，注意第三小题可将$(x-y)$看作整体简化运算。
【解析】
(1) 观察式子$x^2 + 8x + 16$：
$x^2$是$x$的平方，$16=4^2$，中间项$8x=2× x×4$，符合完全平方和公式，其中$a=x$，$b=4$，因此：
$x^2 + 8x + 16=(x+4)^2$
(2) 观察式子$a^2b^2 - 10ab + 25$：
$a^2b^2=(ab)^2$，$25=5^2$，中间项$-10ab=-2× ab×5$，符合完全平方差公式，其中$a=ab$，$b=5$，因此：
$a^2b^2 - 10ab + 25=(ab-5)^2$
(3) 观察式子$(x - y)^2 - 6(x - y) + 9$，将$(x-y)$看作一个整体，设$m=x-y$，则原式变为$m^2-6m+9$：
$m^2$是$m$的平方，$9=3^2$，中间项$-6m=-2× m×3$，符合完全平方差公式，分解得$m^2-6m+9=(m-3)^2$，将$m=x-y$代回得：
$(x - y)^2 - 6(x - y) + 9=(x-y-3)^2$
【答案】
(1)$(x+4)^2$ (2)$(ab-5)^2$ (3)$(x-y-3)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解 2. 整体代换思想 3. 完全平方式识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式的掌握，解题的关键是准确判断完全平方式，遇到含多项式的项时灵活运用整体思想可降低解题难度。
【难度系数】
0.8
6.若$4x^2 + kx + 25 = (2x + a)^2$，则$k + a$的值可以是（
A.－25
B.－15
C.15
D.20
A
）A.－25
B.－15
C.15
D.20
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的展开形式，将等式右侧的完全平方式展开，再根据等式两边多项式对应项的系数相等，分别求出参数a和k的可能取值，最后计算k+a的结果，与选项对比即可得到答案。
【解析】
首先根据完全平方公式展开等式右侧：
$(2x+a)^2=4x^2+4ax+a^2$
已知$4x^2 + kx + 25 = (2x + a)^2$，两个多项式恒等时对应项系数相等，可得：
1. 常数项：$a^2=25$，解得$a=5$或$a=-5$
2. 一次项系数：$k=4a$
分情况计算$k+a$：
① 当$a=5$时，$k=4×5=20$，$k+a=20+5=25$，无对应选项；
② 当$a=-5$时，$k=4×(-5)=-20$，$k+a=-20+(-5)=-25$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；多项式恒等条件
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，解题时需注意完全平方公式有和、差两种形式，避免漏解，通过对应系数相等求参数是此类题型的常用解法。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆完全平方公式的展开形式，将等式右侧的完全平方式展开，再根据等式两边多项式对应项的系数相等，分别求出参数a和k的可能取值，最后计算k+a的结果，与选项对比即可得到答案。
【解析】
首先根据完全平方公式展开等式右侧：
$(2x+a)^2=4x^2+4ax+a^2$
已知$4x^2 + kx + 25 = (2x + a)^2$，两个多项式恒等时对应项系数相等，可得：
1. 常数项：$a^2=25$，解得$a=5$或$a=-5$
2. 一次项系数：$k=4a$
分情况计算$k+a$：
① 当$a=5$时，$k=4×5=20$，$k+a=20+5=25$，无对应选项；
② 当$a=-5$时，$k=4×(-5)=-20$，$k+a=-20+(-5)=-25$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；多项式恒等条件
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，解题时需注意完全平方公式有和、差两种形式，避免漏解，通过对应系数相等求参数是此类题型的常用解法。
【难度系数】
0.7
7.【整体思想】(2024·鞍山开学)已知$4a=7-b$，则代数式$16a^2+8ab+b^2$的值为
49
。答案
7.49
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现其符合完全平方和公式的展开形式，因此先利用完全平方公式对代数式因式分解，再对已知条件进行变形，得到因式分解后式子中整体的数值，最后整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的值，运用整体思想简化计算。
【解析】
首先对代数式$16a^2+8ab+b^2$因式分解：
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得：
$16a^2+8ab+b^2=(4a)^2+2×4a× b + b^2=(4a+b)^2$
已知$4a=7-b$，将等式移项可得：$4a+b=7$
把$4a+b=7$整体代入$(4a+b)^2$得：
$(4a+b)^2=7^2=49$
【答案】
49
【知识点】
完全平方公式；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题重点考查因式分解的实际应用与整体代入的数学思想，解题的核心是先识别出所求代数式符合完全平方公式的结构，完成因式分解后再结合已知条件整体代入计算，规避了单独求解未知数的复杂步骤，提升了计算效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察所求代数式的结构，发现其符合完全平方和公式的展开形式，因此先利用完全平方公式对代数式因式分解，再对已知条件进行变形，得到因式分解后式子中整体的数值，最后整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的值，运用整体思想简化计算。
【解析】
首先对代数式$16a^2+8ab+b^2$因式分解：
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得：
$16a^2+8ab+b^2=(4a)^2+2×4a× b + b^2=(4a+b)^2$
已知$4a=7-b$，将等式移项可得：$4a+b=7$
把$4a+b=7$整体代入$(4a+b)^2$得：
$(4a+b)^2=7^2=49$
【答案】
49
【知识点】
完全平方公式；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题重点考查因式分解的实际应用与整体代入的数学思想，解题的核心是先识别出所求代数式符合完全平方公式的结构，完成因式分解后再结合已知条件整体代入计算，规避了单独求解未知数的复杂步骤，提升了计算效率。
【难度系数】
0.7
8.已知$P=m^2 - m$，$Q=m - 1$（$m$为任意实数），则$P$，$Q$的大小关系为
$P≥ Q(或Q≤ P)$
。答案
8.$P≥ Q(或Q≤ P)$
解析
【分析】
比较两个代数式的大小常用作差法：首先计算两个代数式的差，再通过化简、因式分解判断差的符号，若差≥0则被减数≥减数，若差≤0则被减数≤减数。本题先求出P与Q的差，再利用完全平方公式将差分解因式，结合平方的非负性判断差的取值范围，即可得出P、Q的大小关系。
【解析】
计算P与Q的差：
$P - Q = (m^2 - m) - (m - 1)$
去括号得：
$P - Q = m^2 - m - m + 1$
合并同类项得：
$P - Q = m^2 - 2m + 1$
利用完全平方公式分解因式得：
$P - Q = (m - 1)^2$
∵m为任意实数，任意实数的平方均为非负数，
∴$(m - 1)^2 ≥ 0$，即$P - Q ≥ 0$，
∴$P ≥ Q$（也可写为$Q ≤ P$）。
【答案】
$P≥ Q(或Q≤ P)$
【知识点】
1. 作差法比较大小 2. 完全平方公式因式分解 3. 平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础题型，解题核心是掌握作差法的应用，同时需要熟练运用完全平方公式进行因式分解，理解偶次幂的非负性，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
比较两个代数式的大小常用作差法：首先计算两个代数式的差，再通过化简、因式分解判断差的符号，若差≥0则被减数≥减数，若差≤0则被减数≤减数。本题先求出P与Q的差，再利用完全平方公式将差分解因式，结合平方的非负性判断差的取值范围，即可得出P、Q的大小关系。
【解析】
计算P与Q的差：
$P - Q = (m^2 - m) - (m - 1)$
去括号得：
$P - Q = m^2 - m - m + 1$
合并同类项得：
$P - Q = m^2 - 2m + 1$
利用完全平方公式分解因式得：
$P - Q = (m - 1)^2$
∵m为任意实数，任意实数的平方均为非负数，
∴$(m - 1)^2 ≥ 0$，即$P - Q ≥ 0$，
∴$P ≥ Q$（也可写为$Q ≤ P$）。
【答案】
$P≥ Q(或Q≤ P)$
【知识点】
1. 作差法比较大小 2. 完全平方公式因式分解 3. 平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础题型，解题核心是掌握作差法的应用，同时需要熟练运用完全平方公式进行因式分解，理解偶次幂的非负性，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.分解因式：
(1)$m^2+m+\dfrac{1}{4}$；
(2)$-9x^2-4y^2+12xy$；
(3)$-4(x+y)^2-25-20(x+y)$。
(1)$m^2+m+\dfrac{1}{4}$；
(2)$-9x^2-4y^2+12xy$；
(3)$-4(x+y)^2-25-20(x+y)$。
答案
9.(1)$(m+\dfrac{1}{2})^2$ (2)$-(3x-2y)^2$ (3)$-(2x+2y+5)^2$
解析
【分析】
这三道题均考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：①先牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即多项式需为三项式，其中两项是两个数（或整式）的平方且符号相同，第三项是这两个数乘积的2倍；②若多项式首项为负，先提取负号，将括号内的多项式调整为平方项为正的形式；③对于含有多项式整体的式子，可先将公共部分看作一个整体，再套用公式化简。
(1)式直接符合完全平方公式的结构，可直接套用公式；(2)式先提取负号后，括号内的三项满足完全平方公式特征；(3)式先提取负号，再把$(x+y)$看作整体，套用完全平方公式后再化简即可。
【解析】
(1) 观察多项式$m^2+m+\dfrac{1}{4}$，其中$m^2$是$m$的平方，$\dfrac{1}{4}=(\dfrac{1}{2})^2$，中间项$m=2× m× \dfrac{1}{2}$，符合完全平方和公式，因此：
$m^2+m+\dfrac{1}{4}=(m+\dfrac{1}{2})^2$
(2) 先提取公因式$-1$，将平方项调整为正：
$-9x^2-4y^2+12xy=-(9x^2-12xy+4y^2)$
观察括号内的多项式：$9x^2=(3x)^2$，$4y^2=(2y)^2$，$12xy=2×3x×2y$，符合完全平方差公式，因此：
$9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2$
原式$=-(3x-2y)^2$
(3) 先整理式子，提取公因式$-1$：
$-4(x+y)^2-25-20(x+y)=-[4(x+y)^2+20(x+y)+25]$
把$(x+y)$看作整体，观察括号内的多项式：$4(x+y)^2=[2(x+y)]^2$，$25=5^2$，$20(x+y)=2×2(x+y)×5$，符合完全平方和公式，因此：
$4(x+y)^2+20(x+y)+25=[2(x+y)+5]^2=(2x+2y+5)^2$
原式$=-(2x+2y+5)^2$
【答案】
(1)$(m+\dfrac{1}{2})^2$；(2)$-(3x-2y)^2$；(3)$-(2x+2y+5)^2$
【知识点】
完全平方公式分解因式，提公因式法，整体代换
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的识别能力，解题时需注意先处理符号问题，遇到重复出现的多项式可将其看作整体简化运算，套用公式后注意检查是否还能继续化简。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：①先牢记完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即多项式需为三项式，其中两项是两个数（或整式）的平方且符号相同，第三项是这两个数乘积的2倍；②若多项式首项为负，先提取负号，将括号内的多项式调整为平方项为正的形式；③对于含有多项式整体的式子，可先将公共部分看作一个整体，再套用公式化简。
(1)式直接符合完全平方公式的结构，可直接套用公式；(2)式先提取负号后，括号内的三项满足完全平方公式特征；(3)式先提取负号，再把$(x+y)$看作整体，套用完全平方公式后再化简即可。
【解析】
(1) 观察多项式$m^2+m+\dfrac{1}{4}$，其中$m^2$是$m$的平方，$\dfrac{1}{4}=(\dfrac{1}{2})^2$，中间项$m=2× m× \dfrac{1}{2}$，符合完全平方和公式，因此：
$m^2+m+\dfrac{1}{4}=(m+\dfrac{1}{2})^2$
(2) 先提取公因式$-1$，将平方项调整为正：
$-9x^2-4y^2+12xy=-(9x^2-12xy+4y^2)$
观察括号内的多项式：$9x^2=(3x)^2$，$4y^2=(2y)^2$，$12xy=2×3x×2y$，符合完全平方差公式，因此：
$9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2$
原式$=-(3x-2y)^2$
(3) 先整理式子，提取公因式$-1$：
$-4(x+y)^2-25-20(x+y)=-[4(x+y)^2+20(x+y)+25]$
把$(x+y)$看作整体，观察括号内的多项式：$4(x+y)^2=[2(x+y)]^2$，$25=5^2$，$20(x+y)=2×2(x+y)×5$，符合完全平方和公式，因此：
$4(x+y)^2+20(x+y)+25=[2(x+y)+5]^2=(2x+2y+5)^2$
原式$=-(2x+2y+5)^2$
【答案】
(1)$(m+\dfrac{1}{2})^2$；(2)$-(3x-2y)^2$；(3)$-(2x+2y+5)^2$
【知识点】
完全平方公式分解因式，提公因式法，整体代换
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的识别能力，解题时需注意先处理符号问题，遇到重复出现的多项式可将其看作整体简化运算，套用公式后注意检查是否还能继续化简。
【难度系数】
0.8
10.利用因式分解计算：
(1)$99^2 + 202 × 99 + 101^2$；
(2)$3.15^2 - 3.15 × 0.3 + 0.0225$。
(1)$99^2 + 202 × 99 + 101^2$；
(2)$3.15^2 - 3.15 × 0.3 + 0.0225$。
答案
10.(1)40 000 (2)9
解析
【分析】
拿到用因式分解简便计算的题目，首先观察式子结构，判断是否符合完全平方公式的特征：式子含两个平方项，且剩余项是两个平方项底数乘积的2倍，符号对应即可套用完全平方公式简化计算。
(1) 观察第一问式子，有两个平方项$99^2$、$101^2$，剩余项$202×99$可变形为$2×99×101$，刚好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2$的结构，确定$a=99$，$b=101$即可套用公式。
(2) 观察第二问式子，平方项$3.15^2$是已知的，$0.0225$可变形为$0.15^2$，剩余项$-3.15×0.3$可变形为$-2×3.15×0.15$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的结构，确定$a=3.15$，$b=0.15$即可套用公式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=99^2 + 2×99×101 + 101^2 \\&=(99+101)^2 \\&=200^2 \\&=40000\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=3.15^2 - 2×3.15×0.15 + 0.15^2 \\&=(3.15 - 0.15)^2 \\&=3^2 \\&=9\end{aligned}$
【答案】
(1) $40000$；(2) $9$
【知识点】
完全平方公式因式分解、因式分解简便运算
【点评】
本题考查利用完全平方公式因式分解实现简便运算，解题核心是准确识别式子的结构特征，将式子变形为完全平方公式的标准形式，找到对应底数后代入计算，可大幅降低计算量，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
拿到用因式分解简便计算的题目，首先观察式子结构，判断是否符合完全平方公式的特征：式子含两个平方项，且剩余项是两个平方项底数乘积的2倍，符号对应即可套用完全平方公式简化计算。
(1) 观察第一问式子，有两个平方项$99^2$、$101^2$，剩余项$202×99$可变形为$2×99×101$，刚好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2$的结构，确定$a=99$，$b=101$即可套用公式。
(2) 观察第二问式子，平方项$3.15^2$是已知的，$0.0225$可变形为$0.15^2$，剩余项$-3.15×0.3$可变形为$-2×3.15×0.15$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的结构，确定$a=3.15$，$b=0.15$即可套用公式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=99^2 + 2×99×101 + 101^2 \\&=(99+101)^2 \\&=200^2 \\&=40000\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=3.15^2 - 2×3.15×0.15 + 0.15^2 \\&=(3.15 - 0.15)^2 \\&=3^2 \\&=9\end{aligned}$
【答案】
(1) $40000$；(2) $9$
【知识点】
完全平方公式因式分解、因式分解简便运算
【点评】
本题考查利用完全平方公式因式分解实现简便运算，解题核心是准确识别式子的结构特征，将式子变形为完全平方公式的标准形式，找到对应底数后代入计算，可大幅降低计算量，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
