7. 如图，点C在线段AB上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称C是线段AB的“巧分点”.已知AB=6，C是线段AB的“巧分点”，则AC=.

当 C 是线段 AB 的“巧分点”时,分三种情况讨论:
① 当 $BC=2AC$ 时,$AC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×6=2$;
② 当 $AC=2BC$ 时,$AC=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×6=4$;
③ 当 $AB=2AC=2BC$ 时,$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$.

8. 已知线段$AB=20$，在直线$AB$上有一点$C$，且$BC=6$，若$M$，$N$分别是线段$AB$，$BC$的中点，则线段$MN$的长为。

分两种情况:当点 C 在线段 AB 上时,如图①.因为 M,N 分别是线段 AB,BC 的中点,$AB=20$,$BC=6$,所以 $BM=\frac{1}{2}AB=10$,$BN=\frac{1}{2}BC=3$. 所以 $MN=BM-BN=10-3=7$. 当点 C 在线段 AB 的延长线上时,如图②.因为 M,N 分别是线段 AB,BC 的中点,$AB=20$,$BC=6$,所以 $BM=\frac{1}{2}AB=10$,$BN=\frac{1}{2}BC=3$. 所以 $MN=BM+BN=10+3=13$. 综上所述,线段 MN 的长为 7 或 13.

9. 如图，线段$AB=12$，$C$为线段$AB$上一动点，点$D$在线段$CB$上，且满足$CD:DB=1:2$.
（1）当$C$为$AB$的中点时，求$CD$的长.
（2）若$E$为$AD$的中点，当$DE=2CE$时，求$AC$的长.
（第9题）

(1) 因为 C 为 AB 的中点,$AB=12$,所以 $BC=\frac{1}{2}AB=6$. 因为 $CD:DB=1:2$,所以 $CD=\frac{1}{3}BC=2$.
(2) 如图①,因为 E 为 AD 的中点,所以 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$. 因为 $DE=2CE$,所以 $CD=CE$. 因为 $CD:DB=1:2$,所以 $DB=2CD=2CE=DE$. 所以 $AE=DE=BD=\frac{1}{3}AB=4$. 所以 $CE=\frac{1}{2}DE=2$. 所以 $AC=AE+CE=4+2=6$. 如图②,因为 E 为 AD 的中点,所以 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$. 因为 $DE=2CE$,所以 $CD=3CE$. 因为 $CD:DB=1:2$,所以 $BD=2CD=6CE=3DE$. 所以 $AE=DE=\frac{1}{3}BD$. 所以 $AB=\frac{5}{3}BD=12$. 所以 $BD=7.2$. 所以 $AE=DE=2.4$,$CE=\frac{1}{2}DE=1.2$. 所以 $AC=AE-CE=1.2$. 综上所述,AC 的长为 6 或 1.2.

10. 已知点$A,B,C$在数轴上，点$C$表示的数为$5$，点$A,B$均在点$C$的左边，且$AC=10$，$BC=3$.
（1）求点$A,B$在数轴上表示的数.
（2）点$P$在数轴上表示的数为$m$.
① 若$AP=2BP$，求$m$的值.
② 若$P$是线段$BC$上一点，是否存在有理数$k$，使得$kPB-PC$的值为定值？如果存在，请求出$k$的值；如果不存在，请说明理由.

(1) 设点 A,B 在数轴上表示的数分别为 a,b. 因为点 C 表示的数为 5,$AC=10$,$BC=3$,点 A,B 均在点 C 的左边,所以 $5-a=10$,$5-b=3$,解得 $a=-5$,$b=2$. 所以点 A 在数轴上表示的数为-5,点 B 在数轴上表示的数为 2.
(2) ① 由(1)可知,点 A 在数轴上表示的数为-5,点 B 在数轴上表示的数为 2. 因为 $AP=2BP$,所以点 P 在点 A 的右边. 所以 $AP=m-(-5)=m+5$. 当点 P 在点 B 的左边时,因为点 P 在数轴上表示的数为 m,所以 $BP=2-m$. 因为 $AP=2BP$,所以 $m+5=2(2-m)$,解得 $m=-\frac{1}{3}$. 当点 P 在点 B 的右边时,因为点 P 在数轴上表示的数为 m,所以 $BP=m-2$. 因为 $AP=2BP$,所以 $m+5=2(m-2)$,解得 $m=9$. 综上所述,m 的值为 9 或 $-\frac{1}{3}$.
② 存在.因为 P 是线段 BC 上一点,所以 $PB=m-2$,$PC=5-m$. 所以 $kPB-PC=k(m-2)-(5-m)=km-2k+m-5=(k+1)m-2k-5$. 所以当 $k+1=0$,即 $k=-1$ 时,$kPB-PC=-2×(-1)-5=-3$,为定值. 所以当 $k=-1$ 时,$kPB-PC$ 的值为定值.