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1. 如图，O为直线AC上一点，OD是$∠ AOB$的平分线，OE在$∠ BOC$的内部，$∠ BOE=\frac{1}{3}∠ BOC$，$∠ DOE=72°$，则$∠ EOC$的度数为（
A.$70°$
B.$72°$
C.$75°$
D.$80°$
B
）A.$70°$
B.$72°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
因为 OD 是 $∠AOB$ 的平分线,所以 $∠AOD = ∠BOD = \frac{1}{2}∠AOB$. 因为 $∠BOE = \frac{1}{3}∠BOC$, 所以 $∠EOC = 2∠BOE$. 设 $∠BOE = α$, 则 $∠EOC = 2α$. 因为 $∠DOE = 72°$, 所以 $∠AOD = ∠BOD = ∠DOE - ∠BOE = 72° - α$. 因为 $∠AOD + ∠BOD + ∠BOE + ∠EOC = 180°$, 所以 $72° - α + 72° - α + α + 2α = 180°$. 所以 $α = 36°$. 所以 $∠EOC = 2α = 72°$.
2. 如图，$∠ AOB=140°,∠ COD=40°,OM$ 平分$∠ AOD,ON$ 平分$∠ BOC$,则$∠ MON$ 的度数为（
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
（第2题）
B
）A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
（第2题）答案
因为 OM 平分 $∠AOD$, ON 平分 $∠BOC$, 所以 $∠AOD = 2∠DOM$, $∠BOC = 2∠NOC$. 又因为 $∠AOB = ∠AOD + ∠BOC - ∠COD$, 所以 $∠AOB = 2∠DOM + 2∠NOC - ∠COD = 2(∠DOM + ∠NOC) - ∠COD$. 因为 $∠AOB = 140°$, $∠COD = 40°$, 所以 $∠DOM + ∠NOC = 90°$. 所以 $∠MON = ∠DOM + ∠NOC - ∠COD = 50°$.
3. 如图,将一副三角尺$60°$角和$90°$角的顶点叠放在一起,将三角尺$ADE$绕点$A$旋转,在旋转过程中三角尺$ADE$的边$AD$始终在$∠ BAC$的内部,则$∠ BAE - ∠ CAD$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$15°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$15°$
答案
因为 $∠BAE + ∠BAD = 90°$, $∠CAD + ∠BAD = 60°$, 所以 $∠BAE + ∠BAD - (∠CAD + ∠BAD) = 90° - 60°$, 即 $∠BAE - ∠CAD = 30°$.
4. 如图，$∠ AOB=126°$，射线OC在$∠ AOB$外.若OM平分$∠ BOC$，ON平分$∠ AOC$，则$∠ MON=$
117
°答案
因为 $∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360°$, $∠AOB = 126°$, 所以 $∠BOC + ∠AOC = 360° - ∠AOB = 234°$. 因为 OM 平分 $∠BOC$, ON 平分 $∠AOC$, 所以 $∠MOC = \frac{1}{2}∠BOC$, $∠CON = \frac{1}{2}∠AOC$. 所以 $∠MON = ∠MOC + ∠CON = \frac{1}{2}∠BOC + \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}(∠BOC + ∠AOC) = \frac{1}{2} × 234° = 117°$.
5. 将一副三角尺按如图①所示的方式摆放，$∠ AOB=60°$，$∠ COD=45°$，$OM$，$ON$分别平分$∠ AOD$，$∠ COB$.
（1）求$∠ MON$的度数.
（2）将图①中的三角尺$OCD$绕点$O$旋转到如图②所示的位置，求$∠ MON$的度数.
（3）将图①中的三角尺$OCD$绕点$O$旋转到如图③所示的位置，猜想$∠ MON$的度数，并说明理由.
（1）求$∠ MON$的度数.
（2）将图①中的三角尺$OCD$绕点$O$旋转到如图②所示的位置，求$∠ MON$的度数.
（3）将图①中的三角尺$OCD$绕点$O$旋转到如图③所示的位置，猜想$∠ MON$的度数，并说明理由.
答案
（1）因为 OM 平分 $∠AOD$, ON 平分 $∠COB$, 所以 $∠MOB = \frac{1}{2}∠AOD = 30°$, $∠NOB = \frac{1}{2}∠COB = 22.5°$. 所以 $∠MON = ∠NOB + ∠MOB = 22.5° + 30° = 52.5°$.
（2）因为 OM 平分 $∠AOD$, ON 平分 $∠COB$, 所以 $∠MOD = \frac{1}{2}∠AOD$, $∠NOB = \frac{1}{2}∠COB$. 所以 $∠MON = ∠MOD + ∠NOB + ∠BOD = \frac{1}{2}∠AOD + \frac{1}{2}∠COB + ∠BOD = \frac{1}{2}(∠AOD + ∠COB + 2∠BOD) = \frac{1}{2}(∠AOD + ∠BOD + ∠COB + ∠BOD) = \frac{1}{2}(∠AOB + ∠COD) = \frac{1}{2} × (60° + 45°) = 52.5°$.
（3）$∠MON = 52.5°$. 理由: 因为 OM 平分 $∠AOD$, ON 平分 $∠COB$, 所以 $∠MOD = \frac{1}{2}∠AOD$, $∠NOB = \frac{1}{2}∠COB$. 所以 $∠MON = ∠MOD + ∠NOB - ∠BOD = \frac{1}{2}∠AOD + \frac{1}{2}∠COB - ∠BOD = \frac{1}{2}(∠AOD + ∠COB - 2∠BOD) = \frac{1}{2}(∠AOD - ∠BOD + ∠COB - ∠BOD) = \frac{1}{2}(∠AOB + ∠COD) = \frac{1}{2} × (60° + 45°) = 52.5°$.
（2）因为 OM 平分 $∠AOD$, ON 平分 $∠COB$, 所以 $∠MOD = \frac{1}{2}∠AOD$, $∠NOB = \frac{1}{2}∠COB$. 所以 $∠MON = ∠MOD + ∠NOB + ∠BOD = \frac{1}{2}∠AOD + \frac{1}{2}∠COB + ∠BOD = \frac{1}{2}(∠AOD + ∠COB + 2∠BOD) = \frac{1}{2}(∠AOD + ∠BOD + ∠COB + ∠BOD) = \frac{1}{2}(∠AOB + ∠COD) = \frac{1}{2} × (60° + 45°) = 52.5°$.
（3）$∠MON = 52.5°$. 理由: 因为 OM 平分 $∠AOD$, ON 平分 $∠COB$, 所以 $∠MOD = \frac{1}{2}∠AOD$, $∠NOB = \frac{1}{2}∠COB$. 所以 $∠MON = ∠MOD + ∠NOB - ∠BOD = \frac{1}{2}∠AOD + \frac{1}{2}∠COB - ∠BOD = \frac{1}{2}(∠AOD + ∠COB - 2∠BOD) = \frac{1}{2}(∠AOD - ∠BOD + ∠COB - ∠BOD) = \frac{1}{2}(∠AOB + ∠COD) = \frac{1}{2} × (60° + 45°) = 52.5°$.
