登录
9 将一张三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能
（
A.都是直角三角形
B.都是钝角三角形
C.都是锐角三角形
D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
（
C
）A.都是直角三角形
B.都是钝角三角形
C.都是锐角三角形
D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
答案
9. C
解析
【分析】
首先明确裁剪方式：要把1个三角形剪成2个三角形，必须沿过其中一个顶点且与对边相交的线段裁剪，裁剪后会在对边上形成一对邻补角，和为180°。接下来逐一判断选项：若两个三角形都是锐角三角形，那么这对邻补角都必须是锐角（锐角三角形所有内角都小于90°），两个锐角的和小于180°，和邻补角的性质矛盾，即可判断该情况不可能，其余选项可通过举实例验证是可能的。
【解析】
将一个三角形剪成两个三角形，需沿过三角形的一个顶点且与对边相交的线段裁剪，裁剪后在对边上形成的两个角互为邻补角，和为180°。
对各选项分析如下：
A. 沿直角三角形斜边上的高裁剪，可得到两个直角三角形，该情况可能；
B. 取钝角△ABC，∠BAC=100°，∠B=30°，∠C=50°，过A作线段AD交BC于D，使∠BAD=95°，则△ABD中∠BAD=95°是钝角，为钝角三角形；△ADC中∠ADC=180°-(180°-95°-30°)=125°是钝角，也为钝角三角形，该情况可能；
C. 若两个三角形都是锐角三角形，则裁剪得到的两个邻补角都必须是锐角，两个锐角的和小于180°，与邻补角和为180°的性质矛盾，该情况不可能；
D. 取Rt△ABC，∠C=90°，过A作线段AD交BC于D，使∠CAD=30°，则△ACD是直角三角形，△ABD中∠ADB=∠C+∠CAD=120°是钝角，为钝角三角形，该情况可能。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形按角分类；邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形的分类及内角相关性质，解题关键是抓住裁剪后形成的邻补角和为180°的核心特点，可通过举反例或反证法判断各情况的可能性，侧重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先明确裁剪方式：要把1个三角形剪成2个三角形，必须沿过其中一个顶点且与对边相交的线段裁剪，裁剪后会在对边上形成一对邻补角，和为180°。接下来逐一判断选项：若两个三角形都是锐角三角形，那么这对邻补角都必须是锐角（锐角三角形所有内角都小于90°），两个锐角的和小于180°，和邻补角的性质矛盾，即可判断该情况不可能，其余选项可通过举实例验证是可能的。
【解析】
将一个三角形剪成两个三角形，需沿过三角形的一个顶点且与对边相交的线段裁剪，裁剪后在对边上形成的两个角互为邻补角，和为180°。
对各选项分析如下：
A. 沿直角三角形斜边上的高裁剪，可得到两个直角三角形，该情况可能；
B. 取钝角△ABC，∠BAC=100°，∠B=30°，∠C=50°，过A作线段AD交BC于D，使∠BAD=95°，则△ABD中∠BAD=95°是钝角，为钝角三角形；△ADC中∠ADC=180°-(180°-95°-30°)=125°是钝角，也为钝角三角形，该情况可能；
C. 若两个三角形都是锐角三角形，则裁剪得到的两个邻补角都必须是锐角，两个锐角的和小于180°，与邻补角和为180°的性质矛盾，该情况不可能；
D. 取Rt△ABC，∠C=90°，过A作线段AD交BC于D，使∠CAD=30°，则△ACD是直角三角形，△ABD中∠ADB=∠C+∠CAD=120°是钝角，为钝角三角形，该情况可能。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形按角分类；邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形的分类及内角相关性质，解题关键是抓住裁剪后形成的邻补角和为180°的核心特点，可通过举反例或反证法判断各情况的可能性，侧重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
10（易错题）若M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四幅图中，能正确表示它们之间关系的是（
C
）答案
10. C
易错分析：不能正确认识直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形的定义致错。
易错分析：不能正确认识直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形的定义致错。
解析
【分析】
解题时先明确各类三角形的定义，再梳理它们的从属与相交关系：①等腰直角三角形（Q）同时具备等腰三角形和直角三角形的特征，因此是直角三角形（M）和等腰三角形（N）的公共部分（交集）；②等边三角形（P）是特殊的等腰三角形（三边相等满足等腰三角形“两边相等”的要求），但等边三角形内角均为60°，没有直角，因此属于等腰三角形（N）的范畴，不属于直角三角形（M），对应选项匹配上述关系即可。
【解析】
首先明确各类三角形的定义与关系：
1. 直角三角形（M）：有一个内角为直角的三角形，包含普通直角三角形、等腰直角三角形；
2. 等腰三角形（N）：至少有两条边相等的三角形，包含普通等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形；
3. 等腰直角三角形（Q）：既是直角三角形又是等腰三角形，因此是M和N的交集；
4. 等边三角形（P）：属于特殊的等腰三角形，无直角，因此仅属于N，不属于M。
逐一判断选项：
A选项：P在M集合内，等边三角形不是直角三角形，不符合关系，错误；
B选项：M和N的交集为P，且Q在M非交集区域，不符合交集为等腰直角三角形的要求，错误；
C选项：M与N的交集为Q，P在N集合内且不在交集中，完全符合各类三角形的关系，正确；
D选项：M和N的交集为P，Q在N非交集区域，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类；特殊三角形的概念
【点评】
本题考查不同类型三角形的包含与交叉关系，解题核心是准确把握各类特殊三角形的定义特征，理清共性和特殊性的关联，避免混淆不同三角形的概念导致判断错误。
【难度系数】
0.6
解题时先明确各类三角形的定义，再梳理它们的从属与相交关系：①等腰直角三角形（Q）同时具备等腰三角形和直角三角形的特征，因此是直角三角形（M）和等腰三角形（N）的公共部分（交集）；②等边三角形（P）是特殊的等腰三角形（三边相等满足等腰三角形“两边相等”的要求），但等边三角形内角均为60°，没有直角，因此属于等腰三角形（N）的范畴，不属于直角三角形（M），对应选项匹配上述关系即可。
【解析】
首先明确各类三角形的定义与关系：
1. 直角三角形（M）：有一个内角为直角的三角形，包含普通直角三角形、等腰直角三角形；
2. 等腰三角形（N）：至少有两条边相等的三角形，包含普通等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形；
3. 等腰直角三角形（Q）：既是直角三角形又是等腰三角形，因此是M和N的交集；
4. 等边三角形（P）：属于特殊的等腰三角形，无直角，因此仅属于N，不属于M。
逐一判断选项：
A选项：P在M集合内，等边三角形不是直角三角形，不符合关系，错误；
B选项：M和N的交集为P，且Q在M非交集区域，不符合交集为等腰直角三角形的要求，错误；
C选项：M与N的交集为Q，P在N集合内且不在交集中，完全符合各类三角形的关系，正确；
D选项：M和N的交集为P，Q在N非交集区域，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类；特殊三角形的概念
【点评】
本题考查不同类型三角形的包含与交叉关系，解题核心是准确把握各类特殊三角形的定义特征，理清共性和特殊性的关联，避免混淆不同三角形的概念导致判断错误。
【难度系数】
0.6
11 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB$是钝角,点C在射线BD上由点B向右移动(不与点B重合),则$△ ABC$的形状依次变为 （
A.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形
B.钝角三角形→直角三角形
C.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形
D
）A.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形
B.钝角三角形→直角三角形
C.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形
答案
11. D
解析
【分析】
解题时先明确点C的运动轨迹：在射线BD上从B向D移动（不与B重合），我们只需分阶段判断△ABC中最大角的类型，就能确定三角形的形状变化：初始状态∠ACB是钝角，对应钝角三角形；随着C右移，∠ACB逐渐减小，先减小到90°变成直角三角形；继续移动∠ACB小于90°，此时三个角都为锐角，是锐角三角形；再继续移动，∠BAC会逐渐增大到90°，再次成为直角三角形；最后∠BAC超过90°，又变成钝角三角形，对应选项即可。
【解析】
我们按点C的移动顺序分阶段分析：
1. 初始时C靠近B，∠ACB为钝角，此时△ABC是钝角三角形；
2. C向右移动，∠ACB逐渐减小，当∠ACB=90°时，△ABC为直角三角形；
3. C继续右移，∠ACB＜90°，此时三个内角均小于90°，△ABC是锐角三角形；
4. C再向右移动，∠BAC逐渐增大，当∠BAC=90°时，△ABC再次为直角三角形；
5. C进一步向右移动，∠BAC＞90°，△ABC又变为钝角三角形。
因此△ABC的形状变化依次为：钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形按角分类；动点问题分析；三角形内角和
【点评】
本题属于动态几何的基础题，解题关键是分阶段分析动点移动过程中三角形内角的大小变化，判断每个阶段最大角的类型，注意不要遗漏后续∠BAC变为直角、钝角的过程。
【难度系数】
0.6
解题时先明确点C的运动轨迹：在射线BD上从B向D移动（不与B重合），我们只需分阶段判断△ABC中最大角的类型，就能确定三角形的形状变化：初始状态∠ACB是钝角，对应钝角三角形；随着C右移，∠ACB逐渐减小，先减小到90°变成直角三角形；继续移动∠ACB小于90°，此时三个角都为锐角，是锐角三角形；再继续移动，∠BAC会逐渐增大到90°，再次成为直角三角形；最后∠BAC超过90°，又变成钝角三角形，对应选项即可。
【解析】
我们按点C的移动顺序分阶段分析：
1. 初始时C靠近B，∠ACB为钝角，此时△ABC是钝角三角形；
2. C向右移动，∠ACB逐渐减小，当∠ACB=90°时，△ABC为直角三角形；
3. C继续右移，∠ACB＜90°，此时三个内角均小于90°，△ABC是锐角三角形；
4. C再向右移动，∠BAC逐渐增大，当∠BAC=90°时，△ABC再次为直角三角形；
5. C进一步向右移动，∠BAC＞90°，△ABC又变为钝角三角形。
因此△ABC的形状变化依次为：钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形按角分类；动点问题分析；三角形内角和
【点评】
本题属于动态几何的基础题，解题关键是分阶段分析动点移动过程中三角形内角的大小变化，判断每个阶段最大角的类型，注意不要遗漏后续∠BAC变为直角、钝角的过程。
【难度系数】
0.6
12 新考向 新定义题 已知有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”.如图,在$△ ABC$中,以BC为公共边的“共边三角形”有
3
对.答案
12. 3
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的“共边三角形”的新定义，本题指定公共边为BC，我们可以分两步思考：第一步先找出图中所有以BC为边的三角形，第二步对找到的三角形进行两两配对，有序计数得到共边三角形的对数，计数时要注意不重复、不遗漏。
【解析】
首先找出图中以BC为边的所有三角形，分别为△ABC、△EBC、△DBC，共3个。
根据“共边三角形”的定义，每两个以BC为边的三角形构成一对符合要求的共边三角形，可得到以下3组：
1. △ABC和△DBC
2. △ABC和△EBC
3. △DBC和△EBC
综上，以BC为公共边的“共边三角形”有3对。
【答案】
3
【知识点】
新定义理解、三角形识别、有序计数
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心考查审题能力和有序思考的习惯，解题的关键是先明确共边的要求，找全所有含公共边的三角形再计数，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解题目给出的“共边三角形”的新定义，本题指定公共边为BC，我们可以分两步思考：第一步先找出图中所有以BC为边的三角形，第二步对找到的三角形进行两两配对，有序计数得到共边三角形的对数，计数时要注意不重复、不遗漏。
【解析】
首先找出图中以BC为边的所有三角形，分别为△ABC、△EBC、△DBC，共3个。
根据“共边三角形”的定义，每两个以BC为边的三角形构成一对符合要求的共边三角形，可得到以下3组：
1. △ABC和△DBC
2. △ABC和△EBC
3. △DBC和△EBC
综上，以BC为公共边的“共边三角形”有3对。
【答案】
3
【知识点】
新定义理解、三角形识别、有序计数
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心考查审题能力和有序思考的习惯，解题的关键是先明确共边的要求，找全所有含公共边的三角形再计数，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.8
13 如图，$AB=OA=OB=OC=OD=CD$，找出图中的等腰三角形和等边三角形.
答案
13. 等腰三角形是△AOB,△AOD,△BOC,△COD;等边三角形是△AOB,△COD
解析
【分析】
解题时首先明确等腰三角形和等边三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形。接下来先找出图中所有的三角形，再结合题目给出的AB=OA=OB=OC=OD=CD的相等线段条件，逐个判断每个三角形的边的相等情况，分别归类即可。
【解析】
首先明确判定规则：
①等腰三角形：至少有两边相等的三角形；
②等边三角形：三边均相等的三角形，且等边三角形属于特殊的等腰三角形。
已知AB=OA=OB=OC=OD=CD，对图中4个三角形逐一判断：
1. △AOB：OA=OB=AB，三边相等，既是等边三角形，也是等腰三角形；
2. △COD：OC=OD=CD，三边相等，既是等边三角形，也是等腰三角形；
3. △AOD：由已知得OA=OD，两边相等，是等腰三角形；
4. △BOC：由已知得OB=OC，两边相等，是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形是△AOB,△AOD,△BOC,△COD;等边三角形是△AOB,△COD
【知识点】
等腰三角形的判定、等边三角形的判定
【点评】
本题是基础的三角形判定题，解题的核心是熟练掌握等腰和等边三角形的判定定义，结合题目给出的线段相等条件逐一分析即可，要注意等边三角形是特殊的等腰三角形，判定时不要遗漏。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确等腰三角形和等边三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形。接下来先找出图中所有的三角形，再结合题目给出的AB=OA=OB=OC=OD=CD的相等线段条件，逐个判断每个三角形的边的相等情况，分别归类即可。
【解析】
首先明确判定规则：
①等腰三角形：至少有两边相等的三角形；
②等边三角形：三边均相等的三角形，且等边三角形属于特殊的等腰三角形。
已知AB=OA=OB=OC=OD=CD，对图中4个三角形逐一判断：
1. △AOB：OA=OB=AB，三边相等，既是等边三角形，也是等腰三角形；
2. △COD：OC=OD=CD，三边相等，既是等边三角形，也是等腰三角形；
3. △AOD：由已知得OA=OD，两边相等，是等腰三角形；
4. △BOC：由已知得OB=OC，两边相等，是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形是△AOB,△AOD,△BOC,△COD;等边三角形是△AOB,△COD
【知识点】
等腰三角形的判定、等边三角形的判定
【点评】
本题是基础的三角形判定题，解题的核心是熟练掌握等腰和等边三角形的判定定义，结合题目给出的线段相等条件逐一分析即可，要注意等边三角形是特殊的等腰三角形，判定时不要遗漏。
【难度系数】
0.8
14 新考向 探究题 如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的3个顶点得到图②，图②中共有
4
个三角形。若在图②中的△OBC内部（不含边界）取一点D，连接该点与△OBC的3个顶点得到另一个图形，则这个图形中共有多少个三角形？分别表示出这些三角形。答案
14. 4 如图①,当点A,O,D不在同一直线上时,共有7个三角形,分别是△ABC,△AOB,△AOC,△OBC,△OBD,△OCD,△BCD;如图②,当点A,O,D在同一直线上时,共有9个三角形,分别是△AOB,△AOC,△ABC,△OBC,△OBD,△OCD,△BCD,△ABD,△ACD
解析
【分析】
解决三角形计数问题要遵循有序计数、不重不漏的原则。计算图②的三角形个数时，可先数单个小三角形，再数组合形成的大三角形，求和即可得到结果。在△OBC内部取点D时，需分两种情况讨论：若A、O、D三点不共线，在原有三角形基础上加上新增的3个小三角形即可；若A、O、D三点共线，共线的边会额外分割出新的三角形，需额外统计这部分新三角形，最后分别列出所有三角形即可。
【解析】
1. 求图②的三角形个数：
图②中，单个小三角形有△AOB、△AOC、△OBC，共3个；3个小三角形组合形成的大三角形有△ABC，共1个，总个数为$3+1=4$个。
2. 求△OBC内部取点D后的三角形个数：
情况1：点A、O、D不在同一直线上时
原有图②的4个三角形基础上，新增△OBD、△OCD、△BCD共3个三角形，总个数为$4+3=7$个。
情况2：点A、O、D在同一直线上时
除上述7个三角形外，直线AD还将△ABC分割出△ABD、△ACD共2个新三角形，总个数为$7+2=9$个。
【答案】
4 如图①,当点A,O,D不在同一直线上时,共有7个三角形,分别是△ABC,△AOB,△AOC,△OBC,△OBD,△OCD,△BCD;如图②,当点A,O,D在同一直线上时,共有9个三角形,分别是△AOB,△AOC,△ABC,△OBC,△OBD,△OCD,△BCD,△ABD,△ACD
【知识点】
三角形识别，图形计数，分类讨论
【点评】
本题重点考查三角形的计数方法，解题时需要有序分类统计，避免重复计数或漏计，同时要关注三点共线的特殊情况，能够锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
解决三角形计数问题要遵循有序计数、不重不漏的原则。计算图②的三角形个数时，可先数单个小三角形，再数组合形成的大三角形，求和即可得到结果。在△OBC内部取点D时，需分两种情况讨论：若A、O、D三点不共线，在原有三角形基础上加上新增的3个小三角形即可；若A、O、D三点共线，共线的边会额外分割出新的三角形，需额外统计这部分新三角形，最后分别列出所有三角形即可。
【解析】
1. 求图②的三角形个数：
图②中，单个小三角形有△AOB、△AOC、△OBC，共3个；3个小三角形组合形成的大三角形有△ABC，共1个，总个数为$3+1=4$个。
2. 求△OBC内部取点D后的三角形个数：
情况1：点A、O、D不在同一直线上时
原有图②的4个三角形基础上，新增△OBD、△OCD、△BCD共3个三角形，总个数为$4+3=7$个。
情况2：点A、O、D在同一直线上时
除上述7个三角形外，直线AD还将△ABC分割出△ABD、△ACD共2个新三角形，总个数为$7+2=9$个。
【答案】
4 如图①,当点A,O,D不在同一直线上时,共有7个三角形,分别是△ABC,△AOB,△AOC,△OBC,△OBD,△OCD,△BCD;如图②,当点A,O,D在同一直线上时,共有9个三角形,分别是△AOB,△AOC,△ABC,△OBC,△OBD,△OCD,△BCD,△ABD,△ACD
【知识点】
三角形识别，图形计数，分类讨论
【点评】
本题重点考查三角形的计数方法，解题时需要有序分类统计，避免重复计数或漏计，同时要关注三点共线的特殊情况，能够锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
