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1 下列是由三条线段组成的图形，其中，是三角形的是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个图形是三角形，首先要明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。解题时我们只需用三角形的构成条件逐一比对每个选项，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形的定义，构成三角形需同时满足：①三条线段不在同一直线上；②三条线段首尾顺次相接；③是封闭图形。
选项A：线段存在交叉，没有做到首尾顺次相接，不符合三角形定义，排除；
选项B：线段的交点并非都是线段首尾的端点，不是三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形，不符合要求，排除；
选项C：线段AB、BC、CA是不在同一直线上的三条线段，且首尾顺次相接组成封闭图形，完全符合三角形的定义；
选项D：图形不是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对三角形构成要素的理解，解题的关键是准确掌握“首尾顺次相接”这个核心特征，避免误选线段交叉的错误图形。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形是三角形，首先要明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。解题时我们只需用三角形的构成条件逐一比对每个选项，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形的定义，构成三角形需同时满足：①三条线段不在同一直线上；②三条线段首尾顺次相接；③是封闭图形。
选项A：线段存在交叉，没有做到首尾顺次相接，不符合三角形定义，排除；
选项B：线段的交点并非都是线段首尾的端点，不是三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形，不符合要求，排除；
选项C：线段AB、BC、CA是不在同一直线上的三条线段，且首尾顺次相接组成封闭图形，完全符合三角形的定义；
选项D：图形不是由三条线段首尾顺次相接构成的封闭图形，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对三角形构成要素的理解，解题的关键是准确掌握“首尾顺次相接”这个核心特征，避免误选线段交叉的错误图形。
【难度系数】
0.9
2 如图，在$△ BCE$中，$∠ CBE$所对的边是
CE
；在$△ AEC$中，边$AE$所对的角是∠ACE
；以$CD$为边的三角形是△BCD,△CDF
。答案
2. CE；∠ACE；△BCD,△CDF
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要明确三角形中边和角的对应规则，以及如何识别以某条边为边的三角形：
1. 找三角形中一个角所对的边：角的对边是不包含该角顶点的那条边；
2. 找三角形中一条边所对的角：边的对角是顶点不在这条边上的那个角；
3. 找以某条线段为边的三角形：只要三角形的三条边中包含这条线段即可，按顺序排查避免遗漏。
【解析】
1. 在$△ BCE$中，$∠ CBE$的顶点是B，$△ BCE$的边有BC、CE、BE，其中不经过点B的边是CE，因此$∠ CBE$所对的边是CE；
2. 在$△ AEC$中，边AE的两个端点是A和E，$△ AEC$的角有$∠ A$、$∠ ACE$、$∠ AEC$，其中顶点不在AE上的角是$∠ ACE$，因此边AE所对的角是$∠ ACE$；
3. 观察图形，包含边CD的三角形有$△ BCD$和$△ CDF$，因此以CD为边的三角形是$△ BCD$、$△ CDF$。
【答案】
CE；$∠ ACE$；$△ BCD$,$△ CDF$
【知识点】
三角形边与角的对应；三角形的识别
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三角形边、角对应关系的理解和三角形的识别能力，熟练掌握三角形的相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们需要明确三角形中边和角的对应规则，以及如何识别以某条边为边的三角形：
1. 找三角形中一个角所对的边：角的对边是不包含该角顶点的那条边；
2. 找三角形中一条边所对的角：边的对角是顶点不在这条边上的那个角；
3. 找以某条线段为边的三角形：只要三角形的三条边中包含这条线段即可，按顺序排查避免遗漏。
【解析】
1. 在$△ BCE$中，$∠ CBE$的顶点是B，$△ BCE$的边有BC、CE、BE，其中不经过点B的边是CE，因此$∠ CBE$所对的边是CE；
2. 在$△ AEC$中，边AE的两个端点是A和E，$△ AEC$的角有$∠ A$、$∠ ACE$、$∠ AEC$，其中顶点不在AE上的角是$∠ ACE$，因此边AE所对的角是$∠ ACE$；
3. 观察图形，包含边CD的三角形有$△ BCD$和$△ CDF$，因此以CD为边的三角形是$△ BCD$、$△ CDF$。
【答案】
CE；$∠ ACE$；$△ BCD$,$△ CDF$
【知识点】
三角形边与角的对应；三角形的识别
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三角形边、角对应关系的理解和三角形的识别能力，熟练掌握三角形的相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3 如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）以AB为一边可以画出
（2）以C为顶点可以画出
（1）以AB为一边可以画出
3
个三角形；（2）以C为顶点可以画出
6
个三角形，分别是△CDE,△ABC,△CBD,△CAD,△BCE,△ACE
.答案
3.（1）3 （2）6，分别是△CDE,△ABC,△CBD,△CAD,△BCE,△ACE
解析
【分析】
（1）要确定以AB为一边的三角形个数，只需找到除A、B外，不与A、B共线的点作为第三个顶点即可，符合条件的点有几个就能画出几个三角形；
（2）要确定以C为顶点的三角形个数，只需从剩余的A、B、D、E四个点中任选2个，与C组合构成三角形，按顺序枚举即可，注意不重复、不遗漏。
【解析】
（1）以AB为一边时，第三个顶点可选取C、D、E，均不与A、B共线，可画出△ABC、△ABD、△ABE，共3个三角形；
（2）以C为顶点时，从剩余4个点中选2个，两两组合为：D和E、A和B、B和D、A和D、B和E、A和E，对应得到△CDE、△ABC、△CBD、△CAD、△BCE、△ACE，共6个三角形。
【答案】
（1）3；（2）6，分别是△CDE,△ABC,△CBD,△CAD,△BCE,△ACE
【知识点】
三角形的定义、枚举法计数
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握三角形的构成条件，计数时按照固定顺序枚举即可有效避免重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
（1）要确定以AB为一边的三角形个数，只需找到除A、B外，不与A、B共线的点作为第三个顶点即可，符合条件的点有几个就能画出几个三角形；
（2）要确定以C为顶点的三角形个数，只需从剩余的A、B、D、E四个点中任选2个，与C组合构成三角形，按顺序枚举即可，注意不重复、不遗漏。
【解析】
（1）以AB为一边时，第三个顶点可选取C、D、E，均不与A、B共线，可画出△ABC、△ABD、△ABE，共3个三角形；
（2）以C为顶点时，从剩余4个点中选2个，两两组合为：D和E、A和B、B和D、A和D、B和E、A和E，对应得到△CDE、△ABC、△CBD、△CAD、△BCE、△ACE，共6个三角形。
【答案】
（1）3；（2）6，分别是△CDE,△ABC,△CBD,△CAD,△BCE,△ACE
【知识点】
三角形的定义、枚举法计数
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握三角形的构成条件，计数时按照固定顺序枚举即可有效避免重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
4（易错题）有下列说法:① 等腰三角形是等边三角形;② 三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;③ 等腰三角形至少有两条边相等.其中,正确的是（
A.①②③
B.②③
C.①③
D.③
D
）A.①②③
B.②③
C.①③
D.③
答案
4. D
易错分析：对三角形分类中“不重复、不遗漏”的标准理解不透彻而出错。
易错分析：对三角形分类中“不重复、不遗漏”的标准理解不透彻而出错。
解析
【分析】
解题时先回忆等腰三角形、等边三角形的定义，以及三角形按边分类的标准，逐一判断3个说法的正误即可：首先明确等边三角形是特殊的等腰三角形，三角形分类要遵循“不重复、不遗漏”的原则，再对应每个说法验证即可。
【解析】
我们逐一分析三个说法：
1. 分析说法①：等腰三角形的定义是至少有两条边相等的三角形，等边三角形要求三条边都相等，是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形不一定是等边三角形，①错误。
2. 分析说法②：三角形按边分类时，应分为不等边三角形（三条边都不相等）和等腰三角形两类，其中等边三角形属于等腰三角形的子类别，若直接分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，会出现分类重复的问题，不符合分类标准，②错误。
3. 分析说法③：这是等腰三角形的基本定义，即至少有两条边相等的三角形为等腰三角形，③正确。
综上，只有③正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形定义；三角形按边分类；等边三角形定义
【点评】
本题属于易错题，出错原因多为混淆等腰三角形和等边三角形的从属关系，或是对三角形分类的“不重复、不遗漏”原则理解不到位，解题时要明确各类三角形的定义边界，分类时避免出现重复或遗漏的情况。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆等腰三角形、等边三角形的定义，以及三角形按边分类的标准，逐一判断3个说法的正误即可：首先明确等边三角形是特殊的等腰三角形，三角形分类要遵循“不重复、不遗漏”的原则，再对应每个说法验证即可。
【解析】
我们逐一分析三个说法：
1. 分析说法①：等腰三角形的定义是至少有两条边相等的三角形，等边三角形要求三条边都相等，是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形不一定是等边三角形，①错误。
2. 分析说法②：三角形按边分类时，应分为不等边三角形（三条边都不相等）和等腰三角形两类，其中等边三角形属于等腰三角形的子类别，若直接分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，会出现分类重复的问题，不符合分类标准，②错误。
3. 分析说法③：这是等腰三角形的基本定义，即至少有两条边相等的三角形为等腰三角形，③正确。
综上，只有③正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形定义；三角形按边分类；等边三角形定义
【点评】
本题属于易错题，出错原因多为混淆等腰三角形和等边三角形的从属关系，或是对三角形分类的“不重复、不遗漏”原则理解不到位，解题时要明确各类三角形的定义边界，分类时避免出现重复或遗漏的情况。
【难度系数】
0.6
5 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,AD=BD=BC$,则图中等腰三角形共有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的判定依据：有两条边相等的三角形是等腰三角形。接下来结合题目给出的边相等的条件，逐一找出图中的所有三角形，再分别判断每个三角形是否满足等腰三角形的条件即可，注意不要遗漏三角形。
【解析】
根据等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形为等腰三角形）分析：
1. 已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形；
2. 已知$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形；
3. 已知$BD=BC$，因此$△ BCD$是等腰三角形。
综上，图中共有3个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形的识别
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的识别，只要熟练掌握等腰三角形的定义，结合题干给出的边相等的条件逐一排查即可得到答案，解题时要注意数全图中的三角形，避免漏数。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆等腰三角形的判定依据：有两条边相等的三角形是等腰三角形。接下来结合题目给出的边相等的条件，逐一找出图中的所有三角形，再分别判断每个三角形是否满足等腰三角形的条件即可，注意不要遗漏三角形。
【解析】
根据等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形为等腰三角形）分析：
1. 已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形；
2. 已知$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形；
3. 已知$BD=BC$，因此$△ BCD$是等腰三角形。
综上，图中共有3个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形的识别
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的识别，只要熟练掌握等腰三角形的定义，结合题干给出的边相等的条件逐一排查即可得到答案，解题时要注意数全图中的三角形，避免漏数。
【难度系数】
0.9
6 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$于点D，则图中有
3
个直角三角形。答案
6. 3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确直角三角形的判定标准：有一个内角是直角的三角形即为直角三角形。我们先从已知条件入手找图中的所有直角：首先题干给出∠ACB=90°，其次CD⊥AB可得两个直角∠ADC、∠CDB，每个直角都对应一个直角三角形，逐个统计即可得到总数。
【解析】
根据直角三角形的定义：
1. 已知∠ACB=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. 由CD⊥AB可得∠ADC=90°，因此△ADC是直角三角形；
3. 由CD⊥AB可得∠CDB=90°，因此△CDB是直角三角形。
综上，图中共有3个直角三角形。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形的定义、垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记直角三角形的判定标准，结合图形中给出的垂直关系逐个梳理，避免漏数即可得分。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先明确直角三角形的判定标准：有一个内角是直角的三角形即为直角三角形。我们先从已知条件入手找图中的所有直角：首先题干给出∠ACB=90°，其次CD⊥AB可得两个直角∠ADC、∠CDB，每个直角都对应一个直角三角形，逐个统计即可得到总数。
【解析】
根据直角三角形的定义：
1. 已知∠ACB=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. 由CD⊥AB可得∠ADC=90°，因此△ADC是直角三角形；
3. 由CD⊥AB可得∠CDB=90°，因此△CDB是直角三角形。
综上，图中共有3个直角三角形。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形的定义、垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记直角三角形的判定标准，结合图形中给出的垂直关系逐个梳理，避免漏数即可得分。
【难度系数】
0.9
7 如图，$AB=AC$，$AD=BD=DE=CE=AE$，则图中共有
4
个等腰三角形，有1
个等边三角形。答案
7. 4 1
解析
【分析】
解题时首先明确等腰三角形、等边三角形的判定定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。接下来先梳理图中所有的三角形，再结合题目给出的边相等的条件逐个判断，避免漏数或多数。
【解析】
根据等腰、等边三角形的判定逐一分析：
1. 已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形；
2. 已知$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形；
3. 已知$AD=DE=AE$，三条边均相等，因此$△ ADE$是等边三角形，同时也属于等腰三角形；
4. 已知$CE=AE$，因此$△ AEC$是等腰三角形；
其余三角形（如$△ ABE$、$△ ACD$）不满足两边相等的条件，不是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有4个，等边三角形共有1个。
【答案】
4；1
【知识点】
等腰三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题考查基础的三角形分类判定，解题时需先明确判定标准，逐一排查所有三角形，注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，计数等腰三角形时需要包含在内，避免漏算。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确等腰三角形、等边三角形的判定定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。接下来先梳理图中所有的三角形，再结合题目给出的边相等的条件逐个判断，避免漏数或多数。
【解析】
根据等腰、等边三角形的判定逐一分析：
1. 已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形；
2. 已知$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形；
3. 已知$AD=DE=AE$，三条边均相等，因此$△ ADE$是等边三角形，同时也属于等腰三角形；
4. 已知$CE=AE$，因此$△ AEC$是等腰三角形；
其余三角形（如$△ ABE$、$△ ACD$）不满足两边相等的条件，不是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有4个，等边三角形共有1个。
【答案】
4；1
【知识点】
等腰三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题考查基础的三角形分类判定，解题时需先明确判定标准，逐一排查所有三角形，注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，计数等腰三角形时需要包含在内，避免漏算。
【难度系数】
0.8
8 教材P3练习T2变式 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$是锐角,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,$BE⊥ AC$,垂足为$E$,$CD$交$BE$于点$F$.找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
答案
8. 锐角三角形:△ABC;直角三角形:△ACD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDF,△CEF;钝角三角形:△BCF
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形按角分类的标准：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形。先有序找出图中所有的三角形，再结合CD⊥AB、BE⊥AC的垂直条件，逐个判断每个三角形的内角类型，最后按要求归类即可，注意不要漏数三角形。
【解析】
第一步：明确三角形按角分类的定义
① 锐角三角形：三个内角均为锐角的三角形；
② 直角三角形：有一个内角为直角的三角形；
③ 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。
第二步：逐个判断三角形类型
1. 锐角三角形：已知△ABC中∠BAC是锐角，剩余两个内角∠ABC、∠ACB也均为锐角，符合锐角三角形的定义。
2. 直角三角形：
由CD⊥AB得∠ADC=∠BDC=90°，因此含这两个直角的△ACD、△BCD、△BDF都是直角三角形；
由BE⊥AC得∠AEB=∠CEB=90°，因此含这两个直角的△ABE、△BCE、△CEF都是直角三角形。
3. 钝角三角形：△BCF中，∠BFC是△BDF的外角，根据三角形外角性质，∠BFC=∠BDF+∠DBF=90°+∠DBF＞90°，即∠BFC是钝角，因此△BCF是钝角三角形。
【答案】
锐角三角形:△ABC;直角三角形:△ACD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDF,△CEF;钝角三角形:△BCF
【知识点】
三角形的分类，垂直的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查不同类型三角形的识别，解题的关键是熟练掌握各类三角形的定义，结合垂直条件和角的性质判断内角类型，注意有序枚举所有三角形，避免漏数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三角形按角分类的标准：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形。先有序找出图中所有的三角形，再结合CD⊥AB、BE⊥AC的垂直条件，逐个判断每个三角形的内角类型，最后按要求归类即可，注意不要漏数三角形。
【解析】
第一步：明确三角形按角分类的定义
① 锐角三角形：三个内角均为锐角的三角形；
② 直角三角形：有一个内角为直角的三角形；
③ 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。
第二步：逐个判断三角形类型
1. 锐角三角形：已知△ABC中∠BAC是锐角，剩余两个内角∠ABC、∠ACB也均为锐角，符合锐角三角形的定义。
2. 直角三角形：
由CD⊥AB得∠ADC=∠BDC=90°，因此含这两个直角的△ACD、△BCD、△BDF都是直角三角形；
由BE⊥AC得∠AEB=∠CEB=90°，因此含这两个直角的△ABE、△BCE、△CEF都是直角三角形。
3. 钝角三角形：△BCF中，∠BFC是△BDF的外角，根据三角形外角性质，∠BFC=∠BDF+∠DBF=90°+∠DBF＞90°，即∠BFC是钝角，因此△BCF是钝角三角形。
【答案】
锐角三角形:△ABC;直角三角形:△ACD,△ABE,△BCD,△BCE,△BDF,△CEF;钝角三角形:△BCF
【知识点】
三角形的分类，垂直的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查不同类型三角形的识别，解题的关键是熟练掌握各类三角形的定义，结合垂直条件和角的性质判断内角类型，注意有序枚举所有三角形，避免漏数。
【难度系数】
0.8
