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29 无论$a$，$b$为何值，代数式$a^2 + b^2 + 6b + 11 - 2a$的值总是 （
A.非负数
B.0
C.正数
D.负数
C
）A.非负数
B.0
C.正数
D.负数
答案
29.C
解析
【分析】
要判断代数式的取值情况，可通过配方法将原式变形为几个完全平方式与常数的和的形式，再结合完全平方的非负性判断整体的正负。首先将原式中含a的项、含b的项分别分组，再对每组进行配方，合并常数项后即可判断结果的符号。
【解析】
对代数式进行整理变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2-2a+b^2+6b+11\\&=(a^2-2a+1)-1+(b^2+6b+9)-9+11\\&=(a-1)^2+(b+3)^2+(-1-9+11)\\&=(a-1)^2+(b+3)^2+1\end{aligned}$
根据偶次方的非负性可知，$(a-1)^2≥0$，$(b+3)^2≥0$，因此：
$(a-1)^2+(b+3)^2+1≥0+0+1=1＞0$
即无论$a,b$为何值，代数式的值总是正数。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质：偶次方
【点评】
本题是判断代数式取值范围的典型题型，解题核心是熟练运用配方法对代数式变形，结合平方的非负性即可快速判断结果，配方法是代数变形中的常用基础技巧。
【难度系数】
0.7
要判断代数式的取值情况，可通过配方法将原式变形为几个完全平方式与常数的和的形式，再结合完全平方的非负性判断整体的正负。首先将原式中含a的项、含b的项分别分组，再对每组进行配方，合并常数项后即可判断结果的符号。
【解析】
对代数式进行整理变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2-2a+b^2+6b+11\\&=(a^2-2a+1)-1+(b^2+6b+9)-9+11\\&=(a-1)^2+(b+3)^2+(-1-9+11)\\&=(a-1)^2+(b+3)^2+1\end{aligned}$
根据偶次方的非负性可知，$(a-1)^2≥0$，$(b+3)^2≥0$，因此：
$(a-1)^2+(b+3)^2+1≥0+0+1=1＞0$
即无论$a,b$为何值，代数式的值总是正数。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质：偶次方
【点评】
本题是判断代数式取值范围的典型题型，解题核心是熟练运用配方法对代数式变形，结合平方的非负性即可快速判断结果，配方法是代数变形中的常用基础技巧。
【难度系数】
0.7
30 如果关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m^2 - m - 6)x + m = 0$的两个根互为相反数，那么$m$的值为
$-2$
。答案
30.$-2$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 由“两个根互为相反数”可知两根之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，可列出关于$m$的方程，求出$m$的候选值；2. 由于方程有两个实数根，需将候选值代入判别式$\Delta=b^2-4ac$验证，舍去使方程无实根的$m$值，即可得到正确结果。
【解析】
设该一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$。
∵ 两根互为相反数，
∴ $x_1 + x_2 = 0$。
对于方程$x^2 - (m^2 - m - 6)x + m = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m^2 - m - 6)$，常数项$c=m$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = m^2 - m - 6 = 0$
因式分解得：$(m - 3)(m + 2) = 0$，解得$m=3$或$m=-2$。
接下来验证方程是否有实数根：
① 当$m=3$时，原方程为$x^2 + 3 = 0$，判别式$\Delta=0^2 - 4×1×3 = -12 ＜ 0$，方程无实数根，不符合题意，舍去；
② 当$m=-2$时，原方程为$x^2 - 2 = 0$，判别式$\Delta=0^2 - 4×1×(-2) = 8 ＞ 0$，方程有两个实数根$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$，互为相反数，符合题意。
综上，$m$的值为$-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，相反数的性质
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的易错点是求出$m$的候选值后忽略代入判别式验证，直接保留不符合条件的$m=3$，导致结果错误，因此求解含参数的一元二次方程根的相关问题时，一定要注意验证根的存在性。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：1. 由“两个根互为相反数”可知两根之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，可列出关于$m$的方程，求出$m$的候选值；2. 由于方程有两个实数根，需将候选值代入判别式$\Delta=b^2-4ac$验证，舍去使方程无实根的$m$值，即可得到正确结果。
【解析】
设该一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$。
∵ 两根互为相反数，
∴ $x_1 + x_2 = 0$。
对于方程$x^2 - (m^2 - m - 6)x + m = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m^2 - m - 6)$，常数项$c=m$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = m^2 - m - 6 = 0$
因式分解得：$(m - 3)(m + 2) = 0$，解得$m=3$或$m=-2$。
接下来验证方程是否有实数根：
① 当$m=3$时，原方程为$x^2 + 3 = 0$，判别式$\Delta=0^2 - 4×1×3 = -12 ＜ 0$，方程无实数根，不符合题意，舍去；
② 当$m=-2$时，原方程为$x^2 - 2 = 0$，判别式$\Delta=0^2 - 4×1×(-2) = 8 ＞ 0$，方程有两个实数根$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$，互为相反数，符合题意。
综上，$m$的值为$-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，相反数的性质
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的易错点是求出$m$的候选值后忽略代入判别式验证，直接保留不符合条件的$m=3$，导致结果错误，因此求解含参数的一元二次方程根的相关问题时，一定要注意验证根的存在性。
【难度系数】
0.6
31 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$开始沿$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.若点$P$,$Q$分别从点$A$,$B$同时出发,则
2或4
s后,线段$PQ$将$△ ABC$分成面积$1:2$的两部分.答案
31.2或4
解析
【分析】
首先计算Rt△ABC的总面积，线段PQ将三角形分为面积比1:2的两部分，说明△PBQ的面积为总面积的$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$，需分情况讨论。设运动时间为$t$秒，根据点P、Q的运动速度，分别表示出PB、BQ的长度，再结合直角三角形面积公式列方程求解，最后验证解是否符合动点的运动范围。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，因此总面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24\mathrm{cm}^2$
设运动时间为$t$秒，由题意得：$AP=t\mathrm{cm}$，$BQ=2t\mathrm{cm}$，则$PB=(6-t)\mathrm{cm}$，且$t$的取值范围为$0＜t≤4$（点Q最多运动4秒到达C点）。
$△ PBQ$的面积为：$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(6-t)×2t=t(6-t)$
分两种情况讨论：
1. 当$S_{△ PBQ}:S_{四边形APQC}=1:2$时，$S_{△ PBQ}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=8\mathrm{cm}^2$，列方程：
$t(6-t)=8$
整理得$t^2-6t+8=0$，因式分解为$(t-2)(t-4)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$，均符合$0＜t≤4$的范围。
2. 当$S_{△ PBQ}:S_{四边形APQC}=2:1$时，$S_{△ PBQ}=\frac{2}{3}S_{△ ABC}=16\mathrm{cm}^2$，列方程：
$t(6-t)=16$
整理得$t^2-6t+16=0$，判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×16=-28＜0$，方程无实根，该情况不存在。
综上，运动时间为2s或4s。
【答案】
2或4
【知识点】
直角三角形面积计算，动点问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于动点与面积结合的常规题型，解题关键是结合运动过程分情况讨论，同时注意验证方程的解是否符合实际运动的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
首先计算Rt△ABC的总面积，线段PQ将三角形分为面积比1:2的两部分，说明△PBQ的面积为总面积的$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$，需分情况讨论。设运动时间为$t$秒，根据点P、Q的运动速度，分别表示出PB、BQ的长度，再结合直角三角形面积公式列方程求解，最后验证解是否符合动点的运动范围。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，因此总面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24\mathrm{cm}^2$
设运动时间为$t$秒，由题意得：$AP=t\mathrm{cm}$，$BQ=2t\mathrm{cm}$，则$PB=(6-t)\mathrm{cm}$，且$t$的取值范围为$0＜t≤4$（点Q最多运动4秒到达C点）。
$△ PBQ$的面积为：$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(6-t)×2t=t(6-t)$
分两种情况讨论：
1. 当$S_{△ PBQ}:S_{四边形APQC}=1:2$时，$S_{△ PBQ}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=8\mathrm{cm}^2$，列方程：
$t(6-t)=8$
整理得$t^2-6t+8=0$，因式分解为$(t-2)(t-4)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$，均符合$0＜t≤4$的范围。
2. 当$S_{△ PBQ}:S_{四边形APQC}=2:1$时，$S_{△ PBQ}=\frac{2}{3}S_{△ ABC}=16\mathrm{cm}^2$，列方程：
$t(6-t)=16$
整理得$t^2-6t+16=0$，判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×16=-28＜0$，方程无实根，该情况不存在。
综上，运动时间为2s或4s。
【答案】
2或4
【知识点】
直角三角形面积计算，动点问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于动点与面积结合的常规题型，解题关键是结合运动过程分情况讨论，同时注意验证方程的解是否符合实际运动的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
32 若关于$x$的方程$x^2 + bx + c = 0$有两个不相等的实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“隔根方程”。例如：方程$x^2 + 2x = 0$的两个根是$x_1 = 0, x_2 = -2$，则方程$x^2 + 2x = 0$是“隔根方程”。
（1）方程$x^2 - x - 20 = 0$是“隔根方程”吗？请说明理由。
（2）若关于$x$的方程$x^2 + (m - 1)x - m = 0$是“隔根方程”，求$m$的值。
（1）方程$x^2 - x - 20 = 0$是“隔根方程”吗？请说明理由。
（2）若关于$x$的方程$x^2 + (m - 1)x - m = 0$是“隔根方程”，求$m$的值。
答案
32. (1) 方程$x^2-x-20=0$不是“隔根方程” 理由:原方程因式分解，得$(x-5)(x+4)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-4$.$\because 5-(-4)=9≠2$，$\therefore$ 方程$x^2-x-20=0$不是“隔根方程”.
(2) 将$x^2+(m-1)x-m=0$因式分解，得$(x+m)(x-1)=0$，解得$x_1=-m$，$x_2=1$. 当$-m-1=2$时，解得$m=-3$；当$1-(-m)=2$时，解得$m=1$. 综上所述，$m$的值为$-3$或1
(2) 将$x^2+(m-1)x-m=0$因式分解，得$(x+m)(x-1)=0$，解得$x_1=-m$，$x_2=1$. 当$-m-1=2$时，解得$m=-3$；当$1-(-m)=2$时，解得$m=1$. 综上所述，$m$的值为$-3$或1
解析
【分析】
（1）判断方程是否为“隔根方程”，首先要明确新定义核心：方程有两个不等实根，且两根相差2。解题时先求解方程得到两个根，计算两根的差值，判断是否等于2即可。
（2）先求解含参数m的一元二次方程，得到两个用m表示的根，再根据“隔根方程”的定义，分两种情况讨论两根的大小关系，列等式求解m的值，注意不要漏解。
【解析】
（1）对$x^2 - x - 20 = 0$因式分解得：
$(x-5)(x+4)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-4$。
两根差值为$5 - (-4) = 9 ≠ 2$，不符合“隔根方程”的定义，因此该方程不是“隔根方程”。
（2）对$x^2 + (m-1)x - m = 0$因式分解得：
$(x+m)(x-1)=0$
解得$x_1=-m$，$x_2=1$。
根据“隔根方程”两根差为2的要求，分两种情况讨论：
① 当$-m＞1$时，$-m - 1 = 2$，解得$m=-3$；
② 当$1＞-m$时，$1 - (-m) = 2$，解得$m=1$。
【答案】
（1）方程$x^2 - x - 20 = 0$不是“隔根方程”；
（2）$m$的值为$-3$或$1$。
【知识点】
一元二次方程求解，新定义应用，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的解法，解题关键是准确理解“隔根方程”的含义，求解出方程根后结合定义列式计算，第二问要注意分情况讨论两根的大小关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）判断方程是否为“隔根方程”，首先要明确新定义核心：方程有两个不等实根，且两根相差2。解题时先求解方程得到两个根，计算两根的差值，判断是否等于2即可。
（2）先求解含参数m的一元二次方程，得到两个用m表示的根，再根据“隔根方程”的定义，分两种情况讨论两根的大小关系，列等式求解m的值，注意不要漏解。
【解析】
（1）对$x^2 - x - 20 = 0$因式分解得：
$(x-5)(x+4)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-4$。
两根差值为$5 - (-4) = 9 ≠ 2$，不符合“隔根方程”的定义，因此该方程不是“隔根方程”。
（2）对$x^2 + (m-1)x - m = 0$因式分解得：
$(x+m)(x-1)=0$
解得$x_1=-m$，$x_2=1$。
根据“隔根方程”两根差为2的要求，分两种情况讨论：
① 当$-m＞1$时，$-m - 1 = 2$，解得$m=-3$；
② 当$1＞-m$时，$1 - (-m) = 2$，解得$m=1$。
【答案】
（1）方程$x^2 - x - 20 = 0$不是“隔根方程”；
（2）$m$的值为$-3$或$1$。
【知识点】
一元二次方程求解，新定义应用，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的解法，解题关键是准确理解“隔根方程”的含义，求解出方程根后结合定义列式计算，第二问要注意分情况讨论两根的大小关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
33 [2025唐山玉田期末]已知关于x的一元二次方程$x^2 -2x +m -1=0$有两个实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足$(p^2 -2p +4)(m +4)=14$，求m的值.
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足$(p^2 -2p +4)(m +4)=14$，求m的值.
答案
33. (1) 由题意，得$\Delta=(-2)^2-4×1×(m-1)≥0$，解得$m≤2$
(2) $\because p$是方程的一个实数根，$\therefore p^2-2p+m-1=0$.$\therefore p^2-2p=1-m$.$\because (p^2-2p+4)(m+4)=14$，$\therefore (1-m+4)(m+4)=14$，整理，得$m^2-m-6=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=3$. 由(1)可知，$m≤2$，$\therefore m=-2$
(2) $\because p$是方程的一个实数根，$\therefore p^2-2p+m-1=0$.$\therefore p^2-2p=1-m$.$\because (p^2-2p+4)(m+4)=14$，$\therefore (1-m+4)(m+4)=14$，整理，得$m^2-m-6=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=3$. 由(1)可知，$m≤2$，$\therefore m=-2$
解析
【分析】
（1）遇到一元二次方程有两个实数根的问题，优先利用根的判别式解题：一元二次方程有两个实数根时，判别式Δ≥0，我们只需确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式列不等式，即可求解m的取值范围。
（2）已知p是方程的实数根，根据方程根的定义，将p代入原方程等式成立，由此可得到p²-2p的含m的表达式，再将其整体代入给定的等式，就能得到关于m的一元二次方程，求解后结合第一问得到的m的取值范围进行取舍，即可得到符合条件的m值。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 -2x +m -1=0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(m-1) ≥ 0$，
整理得$4 - 4m + 4 ≥ 0$，
解得$m ≤ 2$。
（2）
∵ p是方程的一个实数根，
∴ 将$x=p$代入原方程得：$p^2 - 2p + m - 1 = 0$，
即$p^2 - 2p = 1 - m$。
把$p^2 - 2p = 1 - m$代入$(p^2 - 2p + 4)(m + 4) = 14$，
得$(1 - m + 4)(m + 4) = 14$，
整理得$m^2 - m - 6 = 0$，
解得$m_1 = 3$，$m_2 = -2$。
结合（1）中$m ≤ 2$的条件，舍去$m=3$，
∴ $m=-2$。
【答案】
（1）$m ≤ 2$；（2）$m=-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的相关性质，第二问使用整体代入的方法可简化计算，求解后要注意结合前提条件对结果进行检验，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
（1）遇到一元二次方程有两个实数根的问题，优先利用根的判别式解题：一元二次方程有两个实数根时，判别式Δ≥0，我们只需确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式列不等式，即可求解m的取值范围。
（2）已知p是方程的实数根，根据方程根的定义，将p代入原方程等式成立，由此可得到p²-2p的含m的表达式，再将其整体代入给定的等式，就能得到关于m的一元二次方程，求解后结合第一问得到的m的取值范围进行取舍，即可得到符合条件的m值。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 -2x +m -1=0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(m-1) ≥ 0$，
整理得$4 - 4m + 4 ≥ 0$，
解得$m ≤ 2$。
（2）
∵ p是方程的一个实数根，
∴ 将$x=p$代入原方程得：$p^2 - 2p + m - 1 = 0$，
即$p^2 - 2p = 1 - m$。
把$p^2 - 2p = 1 - m$代入$(p^2 - 2p + 4)(m + 4) = 14$，
得$(1 - m + 4)(m + 4) = 14$，
整理得$m^2 - m - 6 = 0$，
解得$m_1 = 3$，$m_2 = -2$。
结合（1）中$m ≤ 2$的条件，舍去$m=3$，
∴ $m=-2$。
【答案】
（1）$m ≤ 2$；（2）$m=-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的相关性质，第二问使用整体代入的方法可简化计算，求解后要注意结合前提条件对结果进行检验，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
34 某校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动. 已知跳绳的进价为20元/根，商场确定其售价为40元/根.
（1）若商场现在需进行降价促销活动，预备从原来的40元/根进行两次调价，跳绳的现价为32.4元/根，该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率.
（2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根. 已知当售价为40元/根时，每月可销售500根. 若该商场希望该商品每月能盈利10 800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳的定价应为多少元？
（1）若商场现在需进行降价促销活动，预备从原来的40元/根进行两次调价，跳绳的现价为32.4元/根，该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率.
（2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根. 已知当售价为40元/根时，每月可销售500根. 若该商场希望该商品每月能盈利10 800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳的定价应为多少元？
答案
34. (1) 设这个降价率为$x$. 根据题意，得$40(1-x)^2=32.4$，解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$(不符合题意，舍去). $\therefore$ 这个降价率为10%
(2) 设每根跳绳的定价应为$y$元，则每根跳绳的销售利润为$(y-20)$元，每月跳绳可销售$500+\frac{40-y}{0.2}×10=(2500-50y)$根. 根据题意，得$(y-20)(2500-50y)=10800$. 整理，得$y^2-70y+1216=0$，解得$y_1=32$，$y_2=38$. 又$\because$ 要尽可能扩大销售量，$\therefore y=32$.$\therefore$ 每根跳绳的定价应为32元
(2) 设每根跳绳的定价应为$y$元，则每根跳绳的销售利润为$(y-20)$元，每月跳绳可销售$500+\frac{40-y}{0.2}×10=(2500-50y)$根. 根据题意，得$(y-20)(2500-50y)=10800$. 整理，得$y^2-70y+1216=0$，解得$y_1=32$，$y_2=38$. 又$\because$ 要尽可能扩大销售量，$\therefore y=32$.$\therefore$ 每根跳绳的定价应为32元
解析
【分析】
（1）第一问为两次相同降价率的实际问题，可套用变化率通用模型：原价×(1-降价率)ⁿ=现价，其中n为调价次数，本题调价2次，因此n=2。设降价率为x，代入已知数据列方程求解即可，注意降价率的取值范围为0＜x＜1，需舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问为销售利润问题，核心等量关系为：总利润=单根利润×销售总量。首先设定价为y元，先表示出单根利润为(y-进价)，再根据“每降价0.2元多销售10根”的条件，计算出相比原价40元降价后的总销售量，代入等量关系列一元二次方程求解，最后根据“尽可能扩大销售量”的要求，选择售价更低的根即可，售价越低对应销量越高。
【解析】
（1）设这个降价率为$x$，根据题意得：
$40(1-x)^2=32.4$
方程两边同时除以40，得$(1-x)^2=0.81$
开平方得$1-x=\pm0.9$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于降价率不能大于1，$x_2=1.9$不符合实际，舍去。
（2）设每根跳绳的定价应为$y$元，
则每根跳绳的销售利润为$(y-20)$元，
每月总销售量为$500+\frac{40-y}{0.2}×10=(2500-50y)$根，
根据总盈利10800元列方程：
$(y-20)(2500-50y)=10800$
整理得$y^2-70y+1216=0$
解得$y_1=32$，$y_2=38$
因为要尽可能扩大销售量，售价越低销量越大，因此选取$y=32$。
【答案】
（1）10%；（2）32元
【知识点】
一元二次方程的应用，降价率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的典型题型，既考查了变化率类问题的模型应用，也考查了销售问题中各数量的逻辑关系，解题时需注意结合实际情境对根进行筛选，满足题目限定要求。
【难度系数】
0.65
（1）第一问为两次相同降价率的实际问题，可套用变化率通用模型：原价×(1-降价率)ⁿ=现价，其中n为调价次数，本题调价2次，因此n=2。设降价率为x，代入已知数据列方程求解即可，注意降价率的取值范围为0＜x＜1，需舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问为销售利润问题，核心等量关系为：总利润=单根利润×销售总量。首先设定价为y元，先表示出单根利润为(y-进价)，再根据“每降价0.2元多销售10根”的条件，计算出相比原价40元降价后的总销售量，代入等量关系列一元二次方程求解，最后根据“尽可能扩大销售量”的要求，选择售价更低的根即可，售价越低对应销量越高。
【解析】
（1）设这个降价率为$x$，根据题意得：
$40(1-x)^2=32.4$
方程两边同时除以40，得$(1-x)^2=0.81$
开平方得$1-x=\pm0.9$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于降价率不能大于1，$x_2=1.9$不符合实际，舍去。
（2）设每根跳绳的定价应为$y$元，
则每根跳绳的销售利润为$(y-20)$元，
每月总销售量为$500+\frac{40-y}{0.2}×10=(2500-50y)$根，
根据总盈利10800元列方程：
$(y-20)(2500-50y)=10800$
整理得$y^2-70y+1216=0$
解得$y_1=32$，$y_2=38$
因为要尽可能扩大销售量，售价越低销量越大，因此选取$y=32$。
【答案】
（1）10%；（2）32元
【知识点】
一元二次方程的应用，降价率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的典型题型，既考查了变化率类问题的模型应用，也考查了销售问题中各数量的逻辑关系，解题时需注意结合实际情境对根进行筛选，满足题目限定要求。
【难度系数】
0.65
