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22 关于x的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3 = 0$有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）如果$x_1, x_2$是方程的两个实数根，且满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 33$，求m的值.
（1）求m的取值范围；
（2）如果$x_1, x_2$是方程的两个实数根，且满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 33$，求m的值.
答案
22. (1) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m+1)x+m^2-3=0$有实数根，$\therefore \Delta=[-2(m+1)]^2-4(m^2-3)≥0$.$\therefore m≥-2$
(2) 由根与系数关系，得$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2-3$.$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=33$，$\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2=33$.$\therefore 4(m+1)^2-3(m^2-3)=33$. 整理，得$m^2+8m-20=0$，解得$m_1=-10$，$m_2=2$.$\because m≥-2$，$\therefore m=2$
(2) 由根与系数关系，得$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2-3$.$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=33$，$\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2=33$.$\therefore 4(m+1)^2-3(m^2-3)=33$. 整理，得$m^2+8m-20=0$，解得$m_1=-10$，$m_2=2$.$\because m≥-2$，$\therefore m=2$
解析
【分析】
（1）一元二次方程有实数根的判定依据是判别式$\Delta ≥ 0$，本题方程为标准一元二次方程，二次项系数为1不等于0，因此直接列出判别式的不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
（2）已知两根的代数式关系，首先通过根与系数的关系（韦达定理）写出两根和、两根积关于$m$的表达式，再将所求代数式$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$利用完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$，代入两根和、两根积的表达式得到关于$m$的方程，求解后结合第一问的$m$取值范围取舍，即可得到符合条件的$m$值。
【解析】
（1）$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m+1)x+m^2-3=0$有实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = [-2(m+1)]^2-4(m^2-3) ≥ 0$，
展开化简得：$4(m^2+2m+1)-4m^2+12 ≥ 0$，即$8m+16 ≥ 0$，
解得：$m ≥ -2$。
（2）由根与系数的关系，得$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2-3$，
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=33$，结合完全平方公式变形得$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=33$，
代入两根和与两根积得：$4(m+1)^2-3(m^2-3)=33$，
整理得$m^2+8m-20=0$，解得$m_1=-10$，$m_2=2$，
$\because$ 由（1）知$m ≥ -2$，$\therefore m=-10$不符合要求，舍去，
即$m=2$。
【答案】
（1）$m ≥ -2$；（2）$m=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查判别式和韦达定理的应用，解题时需注意：求出参数值后一定要结合判别式的取值范围验证，舍去不符合条件的参数，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）一元二次方程有实数根的判定依据是判别式$\Delta ≥ 0$，本题方程为标准一元二次方程，二次项系数为1不等于0，因此直接列出判别式的不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
（2）已知两根的代数式关系，首先通过根与系数的关系（韦达定理）写出两根和、两根积关于$m$的表达式，再将所求代数式$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$利用完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$，代入两根和、两根积的表达式得到关于$m$的方程，求解后结合第一问的$m$取值范围取舍，即可得到符合条件的$m$值。
【解析】
（1）$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m+1)x+m^2-3=0$有实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = [-2(m+1)]^2-4(m^2-3) ≥ 0$，
展开化简得：$4(m^2+2m+1)-4m^2+12 ≥ 0$，即$8m+16 ≥ 0$，
解得：$m ≥ -2$。
（2）由根与系数的关系，得$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2-3$，
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=33$，结合完全平方公式变形得$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=33$，
代入两根和与两根积得：$4(m+1)^2-3(m^2-3)=33$，
整理得$m^2+8m-20=0$，解得$m_1=-10$，$m_2=2$，
$\because$ 由（1）知$m ≥ -2$，$\therefore m=-10$不符合要求，舍去，
即$m=2$。
【答案】
（1）$m ≥ -2$；（2）$m=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查判别式和韦达定理的应用，解题时需注意：求出参数值后一定要结合判别式的取值范围验证，舍去不符合条件的参数，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
23 [2025清远连州期末]随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由6月的9000辆增加到8月的12960辆，则该汽车6月至8月的销售量平均每月增长率为 (
A.44%
B.25%
C.22%
D.20%
D
)A.44%
B.25%
C.22%
D.20%
答案
23.D
解析
【分析】
这是一道典型的增长率类应用题，解题思路如下：首先明确增长率问题的核心数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+月平均增长率)ⁿ，其中n为增长的次数。本题中6月销量是初始量9000辆，从6月到8月共增长2次，8月销量是最终量12960辆，我们可以设月平均增长率为x，代入数量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到正确增长率。
【解析】
设该汽车6月至8月的销售量平均每月增长率为$ x $，
根据题意，6月销量为9000辆，8月销量为12960辆，从6月到8月共经过2个月的增长，可列方程：
$ 9000(1+x)^2 = 12960 $
方程两边同时除以9000，得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：
$ 1+x = \pm 1.2 $
因为销售量增长率为正数，所以$ 1+x ＞ 0 $，舍去$ 1+x = -1.2 $的情况，
则$ 1+x = 1.2 $，解得$ x = 0.2 = 20\% $。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是熟练掌握增长率的等量关系，正确列出一元二次方程，求解后要注意验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的增长率类应用题，解题思路如下：首先明确增长率问题的核心数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+月平均增长率)ⁿ，其中n为增长的次数。本题中6月销量是初始量9000辆，从6月到8月共增长2次，8月销量是最终量12960辆，我们可以设月平均增长率为x，代入数量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到正确增长率。
【解析】
设该汽车6月至8月的销售量平均每月增长率为$ x $，
根据题意，6月销量为9000辆，8月销量为12960辆，从6月到8月共经过2个月的增长，可列方程：
$ 9000(1+x)^2 = 12960 $
方程两边同时除以9000，得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：
$ 1+x = \pm 1.2 $
因为销售量增长率为正数，所以$ 1+x ＞ 0 $，舍去$ 1+x = -1.2 $的情况，
则$ 1+x = 1.2 $，解得$ x = 0.2 = 20\% $。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是熟练掌握增长率的等量关系，正确列出一元二次方程，求解后要注意验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
24 某市计划举办一次青少年篮球俱乐部邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），若计划安排21场比赛，则应邀请的俱乐部个数为（
A.6
B.7
C.8
D.9
B
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
24.B
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确单循环赛制的比赛场数计算逻辑：若有$x$个参赛俱乐部，每个俱乐部要和其余$x-1$个俱乐部各赛1场，但每场比赛会被两个参赛方各统计1次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场数为21，我们可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到应邀请的俱乐部个数。
【解析】
解：设应邀请$x$个俱乐部参赛。
根据单循环赛制总场数的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理方程得：
$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解得：
$(x-7)(x+6)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-6$
由于俱乐部个数不能为负数，因此舍去$x_2=-6$，即应邀请7个俱乐部参赛。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环计数规则
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，避免出现重复计数的错误，求解方程后要注意检验根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确单循环赛制的比赛场数计算逻辑：若有$x$个参赛俱乐部，每个俱乐部要和其余$x-1$个俱乐部各赛1场，但每场比赛会被两个参赛方各统计1次，因此总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场数为21，我们可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到应邀请的俱乐部个数。
【解析】
解：设应邀请$x$个俱乐部参赛。
根据单循环赛制总场数的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理方程得：
$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解得：
$(x-7)(x+6)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-6$
由于俱乐部个数不能为负数，因此舍去$x_2=-6$，即应邀请7个俱乐部参赛。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环计数规则
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题核心是准确理解单循环赛制的计数逻辑，避免出现重复计数的错误，求解方程后要注意检验根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
25 美术绘画小组在中秋节这一天每人相互送一个月饼，共送出72个月饼，则美术绘画小组有
9
人。答案
25.9
解析
【分析】
这是一元二次方程在实际生活中的应用问题，解题思路如下：1. 先设定未知量，设小组共有x人；2. 理清数量关系：每人要给除自己之外的其他成员各送1个月饼，因此每人送出(x-1)个月饼，x人总共送出的月饼数就是人数乘以每人送出的数量，注意互送月饼时，两人之间的赠送是双向的，不需要除以2；3. 根据总月饼数列出方程求解，最后要检验根是否符合实际意义（人数为正整数）。
【解析】
设美术绘画小组共有$ x $人。
由题意可知，每个人需要向除自己以外的$ (x-1) $人各送1个月饼，因此总送出月饼数为$ x(x-1) $个。
根据共送出72个月饼，列方程：
$x(x-1) = 72$
整理得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8) = 0$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -8 $。
因为人数不能为负数，所以舍去$ x=-8 $，即$ x=9 $。
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程应用的经典题型，解题的关键是准确理解“相互赠送”的数量关系，区分该类问题和握手问题（单向计数）的差异，同时求解后要注意验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程在实际生活中的应用问题，解题思路如下：1. 先设定未知量，设小组共有x人；2. 理清数量关系：每人要给除自己之外的其他成员各送1个月饼，因此每人送出(x-1)个月饼，x人总共送出的月饼数就是人数乘以每人送出的数量，注意互送月饼时，两人之间的赠送是双向的，不需要除以2；3. 根据总月饼数列出方程求解，最后要检验根是否符合实际意义（人数为正整数）。
【解析】
设美术绘画小组共有$ x $人。
由题意可知，每个人需要向除自己以外的$ (x-1) $人各送1个月饼，因此总送出月饼数为$ x(x-1) $个。
根据共送出72个月饼，列方程：
$x(x-1) = 72$
整理得：
$x^2 - x - 72 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+8) = 0$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -8 $。
因为人数不能为负数，所以舍去$ x=-8 $，即$ x=9 $。
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程应用的经典题型，解题的关键是准确理解“相互赠送”的数量关系，区分该类问题和握手问题（单向计数）的差异，同时求解后要注意验证根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
26 暑假期间,某商场购进一批单价为40元的文化衫,根据市场预测,每件文化衫售价为60元时,每周可售出150件,售价每上涨10元,销售量将减少5件,为了维护消费者的利益,物价部门规定,该文化衫的售价不能超过进价的2倍.若该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为5 600元,则每件文化衫应定价为
80
元.答案
26.80
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心要抓住等量关系：总销售利润=单件商品利润×销售数量。首先先根据物价部门的规定算出售价的最高上限，避免后续出现不符合要求的解。我们可以设售价上涨的10元的个数为未知数，分别表示出涨价后的单件利润和对应的销售量，再根据总利润为5600元列方程求解，最后检验解出的结果是否符合售价的限制条件，保留符合要求的解即可。
【解析】
首先计算售价上限：根据规定，售价不能超过进价的2倍，因此最高售价为$40×2=80$元，即最终定价$≤80$元。
设每件文化衫的售价上涨了$x$个10元，则此时定价为$(60+10x)$元，单件利润为$60+10x-40=(20+10x)$元，销售量为$(150-5x)$件。
根据总利润为5600元列方程：
$(20+10x)(150-5x)=5600$
展开整理方程：
$3000-100x+1500x-50x^2=5600$
$x^2-28x+52=0$
因式分解得：
$(x-2)(x-26)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=26$。
检验：
当$x=2$时，定价为$60+10×2=80$元，符合售价限制要求；
当$x=26$时，定价为$60+10×26=320$元，远高于最高售价80元，不符合规定，舍去。
【答案】
80
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，实际问题验根
【点评】
本题属于常见的销售类实际应用题，重点考查一元二次方程的解法和实际问题的取值限制，解题时要注意不要忽略题目给出的售价上限条件，解出方程后必须检验根是否符合实际意义，否则容易出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心要抓住等量关系：总销售利润=单件商品利润×销售数量。首先先根据物价部门的规定算出售价的最高上限，避免后续出现不符合要求的解。我们可以设售价上涨的10元的个数为未知数，分别表示出涨价后的单件利润和对应的销售量，再根据总利润为5600元列方程求解，最后检验解出的结果是否符合售价的限制条件，保留符合要求的解即可。
【解析】
首先计算售价上限：根据规定，售价不能超过进价的2倍，因此最高售价为$40×2=80$元，即最终定价$≤80$元。
设每件文化衫的售价上涨了$x$个10元，则此时定价为$(60+10x)$元，单件利润为$60+10x-40=(20+10x)$元，销售量为$(150-5x)$件。
根据总利润为5600元列方程：
$(20+10x)(150-5x)=5600$
展开整理方程：
$3000-100x+1500x-50x^2=5600$
$x^2-28x+52=0$
因式分解得：
$(x-2)(x-26)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=26$。
检验：
当$x=2$时，定价为$60+10×2=80$元，符合售价限制要求；
当$x=26$时，定价为$60+10×26=320$元，远高于最高售价80元，不符合规定，舍去。
【答案】
80
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，实际问题验根
【点评】
本题属于常见的销售类实际应用题，重点考查一元二次方程的解法和实际问题的取值限制，解题时要注意不要忽略题目给出的售价上限条件，解出方程后必须检验根是否符合实际意义，否则容易出现多解错误。
【难度系数】
0.7
27 某地新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽为20米，涂色部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米.
（1）求通道的宽.
（2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元.当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，现在要求既能优惠大众，又能使对外出租的月租金总收入为14560元，则每个车位的月租金应定价为多少元？
（1）求通道的宽.
（2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元.当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，现在要求既能优惠大众，又能使对外出租的月租金总收入为14560元，则每个车位的月租金应定价为多少元？
答案
27. (1) 设通道的宽为$x$米. 根据题意，得$(50-2x)(20-2x)=616$. 整理，得$x^2-35x+96=0$，解得$x_1=3$，$x_2=32$(不符合题意，舍去). $\therefore$ 通道的宽为3米
(2) 设每个车位的月租金上涨$y$元，则每个车位的月租金为$(200+y)$元，租出的车位个数为$(60-\frac{y}{10})$. 依题意，得$(200+y)(60-\frac{y}{10})=14560$. 整理，得$y^2-400y+25600=0$，解得$y_1=80$，$y_2=320$. 又$\because$ 要优惠大众，$\therefore y=80$，此时每个车位的月租金为$200+80=280$(元). $\therefore$ 每个车位的月租金应定价为280元
(2) 设每个车位的月租金上涨$y$元，则每个车位的月租金为$(200+y)$元，租出的车位个数为$(60-\frac{y}{10})$. 依题意，得$(200+y)(60-\frac{y}{10})=14560$. 整理，得$y^2-400y+25600=0$，解得$y_1=80$，$y_2=320$. 又$\because$ 要优惠大众，$\therefore y=80$，此时每个车位的月租金为$200+80=280$(元). $\therefore$ 每个车位的月租金应定价为280元
解析
【分析】
（1）求解通道宽度时，可采用平移法将三处停车位拼接为一个完整长方形，设通道宽为x米，拼接后长方形的长为原场地长减去左右两侧通道宽度，即(50-2x)米，拼接后长方形的宽为原场地宽减去上下通道总宽度，即(20-2x)米，该长方形面积等于停车位总面积616平方米，据此列一元二次方程求解，再结合实际意义舍去不符合要求的解即可。
（2）求解租金定价属于销售类方程应用，核心等量关系为：月租金总收入=单个车位租金×租出车位数量。设租金上涨y元，则单个车位租金为(200+y)元；每涨10元少租1个车位，上涨y元就少租$\frac{y}{10}$个，因此租出车位数量为$(60-\frac{y}{10})$个，结合总租金14560元列方程求解，再根据“优惠大众”的要求选择涨幅更小的解，即可得到最终定价。
【解析】
(1) 设通道的宽为$x$米。
根据题意列方程：
$(50-2x)(20-2x)=616$
整理得：
$x^2-35x+96=0$
解得$x_1=3$，$x_2=32$。
因为通道宽度不可能超过场地总宽20米，$x_2=32$不符合题意，舍去。
$\therefore$ 通道的宽为3米。
(2) 设每个车位的月租金上涨$y$元，则每个车位的月租金为$(200+y)$元，租出的车位个数为$(60-\frac{y}{10})$。
依题意列方程：
$(200+y)(60-\frac{y}{10})=14560$
整理得：
$y^2-400y+25600=0$
解得$y_1=80$，$y_2=320$。
$\because$ 要优惠大众，即租金涨幅尽可能小，$\therefore y=80$，此时每个车位的月租金为$200+80=280$（元）。
$\therefore$ 每个车位的月租金应定价为280元。
【答案】
(1) 通道的宽为3米；
(2) 每个车位的月租金应定价为280元。
【知识点】
一元二次方程的应用，面积计算，销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的停车场景，考查了一元二次方程的实际应用，解题时需先梳理题意找到等量关系列方程，还要注意结合实际要求对解进行取舍，实用性较强。
【难度系数】
0.7
（1）求解通道宽度时，可采用平移法将三处停车位拼接为一个完整长方形，设通道宽为x米，拼接后长方形的长为原场地长减去左右两侧通道宽度，即(50-2x)米，拼接后长方形的宽为原场地宽减去上下通道总宽度，即(20-2x)米，该长方形面积等于停车位总面积616平方米，据此列一元二次方程求解，再结合实际意义舍去不符合要求的解即可。
（2）求解租金定价属于销售类方程应用，核心等量关系为：月租金总收入=单个车位租金×租出车位数量。设租金上涨y元，则单个车位租金为(200+y)元；每涨10元少租1个车位，上涨y元就少租$\frac{y}{10}$个，因此租出车位数量为$(60-\frac{y}{10})$个，结合总租金14560元列方程求解，再根据“优惠大众”的要求选择涨幅更小的解，即可得到最终定价。
【解析】
(1) 设通道的宽为$x$米。
根据题意列方程：
$(50-2x)(20-2x)=616$
整理得：
$x^2-35x+96=0$
解得$x_1=3$，$x_2=32$。
因为通道宽度不可能超过场地总宽20米，$x_2=32$不符合题意，舍去。
$\therefore$ 通道的宽为3米。
(2) 设每个车位的月租金上涨$y$元，则每个车位的月租金为$(200+y)$元，租出的车位个数为$(60-\frac{y}{10})$。
依题意列方程：
$(200+y)(60-\frac{y}{10})=14560$
整理得：
$y^2-400y+25600=0$
解得$y_1=80$，$y_2=320$。
$\because$ 要优惠大众，即租金涨幅尽可能小，$\therefore y=80$，此时每个车位的月租金为$200+80=280$（元）。
$\therefore$ 每个车位的月租金应定价为280元。
【答案】
(1) 通道的宽为3米；
(2) 每个车位的月租金应定价为280元。
【知识点】
一元二次方程的应用，面积计算，销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的停车场景，考查了一元二次方程的实际应用，解题时需先梳理题意找到等量关系列方程，还要注意结合实际要求对解进行取舍，实用性较强。
【难度系数】
0.7
28 某商场某种商品的进价为每件30元，当售价为每件40元时，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销。经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件。
（1）每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？
（2）能否一天获得520元的利润？请说明理由。
（1）每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？
（2）能否一天获得520元的利润？请说明理由。
答案
28. (1) 设每件应降价$y$元. 由题意，得$(40-y-30)·(48+4×\frac{y}{0.5})=504$. 整理，得$y^2-4y+3=0$，解得$y_1=3$，$y_2=1$.$\because$ 要尽快减少库存，$\therefore$ 每件应降价3元
(2) 不能 理由:设每件降价$z$元时，一天能获得520元的利润. 由题意，得$(40-z-30)(48+4×\frac{z}{0.5})=520$. 整理，得$z^2-4z+5=0$.$\because \Delta=(-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，$\therefore$ 方程没有实数根.$\therefore$ 不能一天获得520元的利润
(2) 不能 理由:设每件降价$z$元时，一天能获得520元的利润. 由题意，得$(40-z-30)(48+4×\frac{z}{0.5})=520$. 整理，得$z^2-4z+5=0$.$\because \Delta=(-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，$\therefore$ 方程没有实数根.$\therefore$ 不能一天获得520元的利润
解析
【分析】
这是销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售总量”的等量关系。（1）问求解时，先设降价金额为未知数，先表示出降价后的单件利润：原售价减进价再减去降价金额；再表示出降价后的销售量：基础销量加上降价带来的新增销量，每降价0.5元多卖4件，降价y元时新增销量为$\frac{y}{0.5}×4$件，二者相乘等于目标利润即可列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多销量越高，去库存越快）。（2）问判断能否达到目标利润，同样按照上述等量关系列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明无法达到该利润。
【解析】
（1）设每件应降价$y$元。
由题意列方程：
$(40-y-30)·(48+4×\frac{y}{0.5})=504$
整理得：$y^2-4y+3=0$
因式分解得：$(y-1)(y-3)=0$
解得：$y_1=3$，$y_2=1$
$\because$ 要尽快减少库存，降价越多销量越高，库存减少速度越快，
$\therefore$ 选择$y=3$，即每件应降价3元。
（2）不能，理由如下：
设每件降价$z$元时，一天能获得520元的利润。
由题意列方程：
$(40-z-30)(48+4×\frac{z}{0.5})=520$
整理得：$z^2-4z+5=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$
$\therefore$ 该方程没有实数根，不存在符合条件的降价金额，因此不能一天获得520元的利润。
【答案】
（1）每件应降价3元；
（2）不能，对应的一元二次方程无实数根，不存在满足条件的降价金额。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题属于常规的销售类实际应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示出单件利润和销售量，同时要注意结合题目的实际限制条件对所得的解进行合理取舍，判断利润能否达到时可通过一元二次方程根的判别式快速判断。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售总量”的等量关系。（1）问求解时，先设降价金额为未知数，先表示出降价后的单件利润：原售价减进价再减去降价金额；再表示出降价后的销售量：基础销量加上降价带来的新增销量，每降价0.5元多卖4件，降价y元时新增销量为$\frac{y}{0.5}×4$件，二者相乘等于目标利润即可列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多销量越高，去库存越快）。（2）问判断能否达到目标利润，同样按照上述等量关系列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明无法达到该利润。
【解析】
（1）设每件应降价$y$元。
由题意列方程：
$(40-y-30)·(48+4×\frac{y}{0.5})=504$
整理得：$y^2-4y+3=0$
因式分解得：$(y-1)(y-3)=0$
解得：$y_1=3$，$y_2=1$
$\because$ 要尽快减少库存，降价越多销量越高，库存减少速度越快，
$\therefore$ 选择$y=3$，即每件应降价3元。
（2）不能，理由如下：
设每件降价$z$元时，一天能获得520元的利润。
由题意列方程：
$(40-z-30)(48+4×\frac{z}{0.5})=520$
整理得：$z^2-4z+5=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$
$\therefore$ 该方程没有实数根，不存在符合条件的降价金额，因此不能一天获得520元的利润。
【答案】
（1）每件应降价3元；
（2）不能，对应的一元二次方程无实数根，不存在满足条件的降价金额。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，根的判别式的应用
【点评】
本题属于常规的销售类实际应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示出单件利润和销售量，同时要注意结合题目的实际限制条件对所得的解进行合理取舍，判断利润能否达到时可通过一元二次方程根的判别式快速判断。
【难度系数】
0.7
