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9 请选用合适的方法解下列一元二次方程：
(1) $2x^2 + 2x -1 =0$；
(2) $x^2 -3x -4=0$；
(3) $x^2 -4x=4$。
(1) $2x^2 + 2x -1 =0$；
(2) $x^2 -3x -4=0$；
(3) $x^2 -4x=4$。
答案
9.(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=4,x_2=-1$
(3) $x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=4,x_2=-1$
(3) $x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
解析
【分析】解一元二次方程常用方法有因式分解法、配方法、公式法，选择方法的原则是优先选计算简便的：若方程易分解为两个一次因式乘积，选因式分解法；若二次项系数为1、一次项系数为偶数，可选配方法；其余情况可选用通用的公式法。
(1)题方程不易因式分解，选用公式法，先确定a、b、c，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
(2)题左边可通过十字相乘法因式分解，选用因式分解法更简便；
(3)题二次项系数为1，一次项系数是偶数，选用配方法计算更快捷。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 2x -1 =0$，这里$a=2$，$b=2$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = 2^2 -4×2×(-1) = 4 + 8 =12 ＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×2}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$。
(2) 对于方程$x^2 -3x -4=0$，因式分解得：
$(x-4)(x+1)=0$
则$x-4=0$或$x+1=0$，解得对应根。
(3) 对于方程$x^2 -4x=4$，配方，两边同时加4得：
$x^2 -4x +4 =4 +4$，即$(x-2)^2=8$，
开平方得$x-2=\pm2\sqrt{2}$，解得对应根。
【答案】
9.(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=4,x_2=-1$
(3) $x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，不同形式的方程适配不同的解法，熟练掌握各解法的适用场景，可大幅简化计算，提升解题准确率和效率。
【难度系数】
0.8
(1)题方程不易因式分解，选用公式法，先确定a、b、c，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
(2)题左边可通过十字相乘法因式分解，选用因式分解法更简便；
(3)题二次项系数为1，一次项系数是偶数，选用配方法计算更快捷。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 2x -1 =0$，这里$a=2$，$b=2$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = 2^2 -4×2×(-1) = 4 + 8 =12 ＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×2}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$。
(2) 对于方程$x^2 -3x -4=0$，因式分解得：
$(x-4)(x+1)=0$
则$x-4=0$或$x+1=0$，解得对应根。
(3) 对于方程$x^2 -4x=4$，配方，两边同时加4得：
$x^2 -4x +4 =4 +4$，即$(x-2)^2=8$，
开平方得$x-2=\pm2\sqrt{2}$，解得对应根。
【答案】
9.(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=4,x_2=-1$
(3) $x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，不同形式的方程适配不同的解法，熟练掌握各解法的适用场景，可大幅简化计算，提升解题准确率和效率。
【难度系数】
0.8
10 [2025河南]一元二次方程$x^2 -2x=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
10.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，可通过根的判别式$\Delta =b^2-4ac$的取值判断，解题思路如下：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定对应系数$a$、$b$、$c$的值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根，也可直接解方程验证根的情况。
【解析】
方法一（判别式法）：
原方程$x^2-2x=0$符合一元二次方程一般形式，其中$a=1$，$b=-2$，$c=0$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×0 = 4＞0$
因此方程有两个不相等的实数根。
方法二（直接求解法）：
对原方程因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，可见方程有两个不相等的实数根。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式取值和根的情况的对应关系，准确计算即可得分。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，可通过根的判别式$\Delta =b^2-4ac$的取值判断，解题思路如下：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定对应系数$a$、$b$、$c$的值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步根据$\Delta$的正负对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根，也可直接解方程验证根的情况。
【解析】
方法一（判别式法）：
原方程$x^2-2x=0$符合一元二次方程一般形式，其中$a=1$，$b=-2$，$c=0$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×0 = 4＞0$
因此方程有两个不相等的实数根。
方法二（直接求解法）：
对原方程因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，可见方程有两个不相等的实数根。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式取值和根的情况的对应关系，准确计算即可得分。
【难度系数】
0.9
11 [2025潍坊]若一元二次方程$x^2 -2x +c=0$有两个相等的实数根，则c的值为（
A.$-1$
B.0
C.$\frac{1}{2}$
D.1
D
）A.$-1$
B.0
C.$\frac{1}{2}$
D.1
答案
11.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。我们先确定给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项的值，再代入判别式公式列方程求解即可得到c的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
已知方程$x^2 -2x +c=0$有两个相等的实数根，其中$a=1$，$b=-2$，常数项为$c$，因此：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× c = 0$
计算得：$4 - 4c = 0$
移项求解：$4c=4$，解得$c=1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，熟练掌握判别式的三种取值对应的根的情况是解题的核心。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。我们先确定给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项的值，再代入判别式公式列方程求解即可得到c的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
已知方程$x^2 -2x +c=0$有两个相等的实数根，其中$a=1$，$b=-2$，常数项为$c$，因此：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× c = 0$
计算得：$4 - 4c = 0$
移项求解：$4c=4$，解得$c=1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，熟练掌握判别式的三种取值对应的根的情况是解题的核心。
【难度系数】
0.9
12 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$有两个相等的实数根，则$\frac{1}{a} + c$的值为（
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
12.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心条件：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数$a≠0$；二是方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta=0$。我们先代入系数写出判别式的等式，再通过代数变形，将等式转化为含$\frac{1}{a} + c$的形式，即可求出结果。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × a × (2 - c) = 0$
整理得：$4 - 4a(2 - c) = 0$
两边同时除以4，得：$1 - a(2 - c) = 0$
展开括号：$1 - 2a + ac = 0$
移项得：$ac + 1 = 2a$
∵ $a ≠ 0$，等式两边同时除以$a$，得：$c + \frac{1}{a} = 2$
即$\frac{1}{a} + c = 2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式化简
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，通过判别式建立等式后合理变形即可得到目标代数式的值，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确两个核心条件：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数$a≠0$；二是方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta=0$。我们先代入系数写出判别式的等式，再通过代数变形，将等式转化为含$\frac{1}{a} + c$的形式，即可求出结果。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × a × (2 - c) = 0$
整理得：$4 - 4a(2 - c) = 0$
两边同时除以4，得：$1 - a(2 - c) = 0$
展开括号：$1 - 2a + ac = 0$
移项得：$ac + 1 = 2a$
∵ $a ≠ 0$，等式两边同时除以$a$，得：$c + \frac{1}{a} = 2$
即$\frac{1}{a} + c = 2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式化简
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，通过判别式建立等式后合理变形即可得到目标代数式的值，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
13 一元二次方程$2x^2 + x = 3$的根的判别式的值为，方程根的情况是。。
答案
13.25 有两个不相等的实数根
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程根的判别式的使用前提是方程为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。解题思路如下：第一步，先将给定的方程移项化为一般形式，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意移项要变号；第二步，将$a、b、c$代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出判别式的值；第三步，根据判别式的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
首先将方程$2x^2 + x = 3$化为一元二次方程的一般形式：
移项得 $2x^2 + x - 3 = 0$
由此可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-3) = 1 + 24 = 25$
因为$\Delta=25＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
25；有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
3. 判别式与根的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的易错点是移项时常数项的符号容易出错，只要准确确定各项系数，代入公式计算即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程根的判别式的使用前提是方程为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。解题思路如下：第一步，先将给定的方程移项化为一般形式，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意移项要变号；第二步，将$a、b、c$代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算出判别式的值；第三步，根据判别式的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
首先将方程$2x^2 + x = 3$化为一元二次方程的一般形式：
移项得 $2x^2 + x - 3 = 0$
由此可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-3) = 1 + 24 = 25$
因为$\Delta=25＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
25；有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
3. 判别式与根的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的易错点是移项时常数项的符号容易出错，只要准确确定各项系数，代入公式计算即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
14 如果关于x的一元二次方程$mx^2 - 3mx + x + 2m - 1 = 0$的根的判别式的值为1，那么m的值为
2
。答案
14.2
解析
【分析】
首先，题目明确该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的隐含条件；接下来需将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，再根据根的判别式$\Delta=b^2-4ac=1$列等式求解，最后结合二次项系数不为0的条件筛选出符合要求的m值。
【解析】
1. 整理原方程为标准一元二次方程形式：
$mx^2 - 3mx + x + 2m - 1 = 0$合并同类项得：
$mx^2 + (1-3m)x + (2m-1) = 0$
2. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数$m≠0$。
3. 根据根的判别式$\Delta=1$列等式：
其中$a=m$，$b=1-3m$，$c=2m-1$，代入$\Delta=b^2-4ac=1$得：
$(1-3m)^2 - 4× m×(2m-1) = 1$
4. 展开并化简方程：
$1 - 6m + 9m^2 - 8m^2 + 4m = 1$
合并同类项得：$m^2 - 2m + 1 = 1$
移项得：$m^2 - 2m = 0$
因式分解得：$m(m-2)=0$
解得$m=0$或$m=2$
5. 结合$m≠0$的条件，舍去$m=0$，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的常规题型，解题时需注意不要遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的隐含条件；接下来需将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，再根据根的判别式$\Delta=b^2-4ac=1$列等式求解，最后结合二次项系数不为0的条件筛选出符合要求的m值。
【解析】
1. 整理原方程为标准一元二次方程形式：
$mx^2 - 3mx + x + 2m - 1 = 0$合并同类项得：
$mx^2 + (1-3m)x + (2m-1) = 0$
2. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数$m≠0$。
3. 根据根的判别式$\Delta=1$列等式：
其中$a=m$，$b=1-3m$，$c=2m-1$，代入$\Delta=b^2-4ac=1$得：
$(1-3m)^2 - 4× m×(2m-1) = 1$
4. 展开并化简方程：
$1 - 6m + 9m^2 - 8m^2 + 4m = 1$
合并同类项得：$m^2 - 2m + 1 = 1$
移项得：$m^2 - 2m = 0$
因式分解得：$m(m-2)=0$
解得$m=0$或$m=2$
5. 结合$m≠0$的条件，舍去$m=0$，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程的常规题型，解题时需注意不要遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
15 若关于$x$的方程$(k-5)x^2 + 2kx + k + 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是
$k＞-\frac{10}{3}$且$k≠5$
.答案
15.$k＞-\frac{10}{3}$且$k≠5$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，否则方程为一元一次方程，最多只有1个实数根；其次根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，有两个不相等的实数根时判别式$\Delta＞0$。接下来分别列出两个条件对应的不等式，求解后取两个解集的公共部分，即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 关于x的方程$(k-5)x^2 + 2kx + k + 2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 首先该方程为一元二次方程，二次项系数不为0，即：
$k-5≠0$，解得$k≠5$
其次，一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，其中$a=k-5$，$b=2k$，$c=k+2$，代入得：
$\Delta=(2k)^2 - 4×(k-5)×(k+2) ＞ 0$
展开计算：
$4k^2 - 4(k^2 - 3k - 10) ＞ 0$
$4k^2 - 4k^2 + 12k + 40 ＞ 0$
化简得：$12k + 40 ＞ 0$
解得：$k ＞ -\frac{10}{3}$
结合$k≠5$的条件，最终k的取值范围是$k ＞ -\frac{10}{3}$且$k≠5$
【答案】
$k＞-\frac{10}{3}$且$k≠5$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，一元一次不等式求解
【点评】
本题是典型的易错题，解题时容易忽略“方程有两个实根的前提是方程为一元二次方程”，即漏掉二次项系数不为0的条件，仅通过判别式大于0求解，导致取值范围出错。求解此类问题时要先判断方程类型，再结合根的判别式条件综合求解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，否则方程为一元一次方程，最多只有1个实数根；其次根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，有两个不相等的实数根时判别式$\Delta＞0$。接下来分别列出两个条件对应的不等式，求解后取两个解集的公共部分，即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 关于x的方程$(k-5)x^2 + 2kx + k + 2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 首先该方程为一元二次方程，二次项系数不为0，即：
$k-5≠0$，解得$k≠5$
其次，一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，其中$a=k-5$，$b=2k$，$c=k+2$，代入得：
$\Delta=(2k)^2 - 4×(k-5)×(k+2) ＞ 0$
展开计算：
$4k^2 - 4(k^2 - 3k - 10) ＞ 0$
$4k^2 - 4k^2 + 12k + 40 ＞ 0$
化简得：$12k + 40 ＞ 0$
解得：$k ＞ -\frac{10}{3}$
结合$k≠5$的条件，最终k的取值范围是$k ＞ -\frac{10}{3}$且$k≠5$
【答案】
$k＞-\frac{10}{3}$且$k≠5$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，一元一次不等式求解
【点评】
本题是典型的易错题，解题时容易忽略“方程有两个实根的前提是方程为一元二次方程”，即漏掉二次项系数不为0的条件，仅通过判别式大于0求解，导致取值范围出错。求解此类问题时要先判断方程类型，再结合根的判别式条件综合求解。
【难度系数】
0.6
16 [2025北京门头沟期末]已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0$.
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个实数根为2，求m的值.
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个实数根为2，求m的值.
答案
16. (1) $\because \Delta=(2m)^2-4(m^2-1)=4m^2-4m^2+4=4＞0$，$\therefore$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2-1=0$总有两个不相等的实数根
(2) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2-1=0$的一个实数根为2，$\therefore 2^2+4m+m^2-1=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=-3$.$\therefore m$的值为$-1$或$-3$
(2) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2-1=0$的一个实数根为2，$\therefore 2^2+4m+m^2-1=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=-3$.$\therefore m$的值为$-1$或$-3$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需用到根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时先确定方程中对应$a、b、c$的取值，代入判别式计算，证明计算结果恒大于0即可。
（2）已知方程的一个实数根，根据一元二次方程根的定义，将$x=2$代入原方程，可得到关于$m$的一元二次方程，解方程即可求出$m$的取值。
【解析】
（1）在一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0$中，$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-1$，
∴根的判别式$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - 1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4$，
∵$4＞0$，
∴关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2-1=0$总有两个不相等的实数根。
（2）
∵该方程的一个实数根为2，将$x=2$代入原方程得：
$2^2 + 2m×2 + m^2 - 1 = 0$，
整理得$m^2+4m+3=0$，
因式分解得$(m+1)(m+3)=0$，
解得$m_1=-1$，$m_2=-3$，
∴$m$的值为$-1$或$-3$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$m$的值为$-1$或$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程根的定义 3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，围绕根的相关性质设置问题，熟练掌握根的判别式用法以及根的定义即可顺利解答，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需用到根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时先确定方程中对应$a、b、c$的取值，代入判别式计算，证明计算结果恒大于0即可。
（2）已知方程的一个实数根，根据一元二次方程根的定义，将$x=2$代入原方程，可得到关于$m$的一元二次方程，解方程即可求出$m$的取值。
【解析】
（1）在一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0$中，$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-1$，
∴根的判别式$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - 1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4$，
∵$4＞0$，
∴关于$x$的一元二次方程$x^2+2mx+m^2-1=0$总有两个不相等的实数根。
（2）
∵该方程的一个实数根为2，将$x=2$代入原方程得：
$2^2 + 2m×2 + m^2 - 1 = 0$，
整理得$m^2+4m+3=0$，
因式分解得$(m+1)(m+3)=0$，
解得$m_1=-1$，$m_2=-3$，
∴$m$的值为$-1$或$-3$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$m$的值为$-1$或$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程根的定义 3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，围绕根的相关性质设置问题，熟练掌握根的判别式用法以及根的定义即可顺利解答，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
17 [2025广西]已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -20x -25=0$的两个实数根，则$x_1+x_2$的值为（
A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
C
）A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
答案
17.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用。解题时首先回忆相关定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。接下来只需从给定方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$，代入公式计算即可得到结果，计算时要注意符号的处理。
【解析】
给定方程为$x^2 -20x -25=0$，对应一元二次方程的一般形式，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-20$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入系数计算：
$x_1+x_2=-\frac{-20}{1}=20$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，是根与系数关系的直接应用，解题关键是准确识别方程各项系数，代入计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用。解题时首先回忆相关定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。接下来只需从给定方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$，代入公式计算即可得到结果，计算时要注意符号的处理。
【解析】
给定方程为$x^2 -20x -25=0$，对应一元二次方程的一般形式，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-20$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入系数计算：
$x_1+x_2=-\frac{-20}{1}=20$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，是根与系数关系的直接应用，解题关键是准确识别方程各项系数，代入计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.85
18 若关于$x$的一元二次方程$x^2 -8x +m=0$的两个根为$x_1,x_2$，且$x_1=3x_2$，则$m$的值为（
A.4
B.8
C.12
D.16
C
）A.4
B.8
C.12
D.16
答案
18.C
解析
【分析】
本题已知一元二次方程及两根的倍数关系，求参数m的值，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：首先根据方程系数求出两根之和，再结合题目给出的两根倍数关系联立求出两个根的具体值，最后通过两根之积的关系计算得到m的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$。
根据韦达定理可得：
两根之和 $\boldsymbol{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8}$，
两根之积 $\boldsymbol{x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m}$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1 + x_2 = 8$得：
$3x_2 + x_2 = 8$，
即$4x_2=8$，解得$x_2=2$，
则$x_1=3x_2=3×2=6$，
因此$m=x_1x_2=6×2=12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理、代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是灵活运用韦达定理，结合两根的数量关系求出根的具体值，进而得到参数，熟练掌握韦达定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程及两根的倍数关系，求参数m的值，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：首先根据方程系数求出两根之和，再结合题目给出的两根倍数关系联立求出两个根的具体值，最后通过两根之积的关系计算得到m的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$。
根据韦达定理可得：
两根之和 $\boldsymbol{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8}$，
两根之积 $\boldsymbol{x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m}$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1 + x_2 = 8$得：
$3x_2 + x_2 = 8$，
即$4x_2=8$，解得$x_2=2$，
则$x_1=3x_2=3×2=6$，
因此$m=x_1x_2=6×2=12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理、代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是灵活运用韦达定理，结合两根的数量关系求出根的具体值，进而得到参数，熟练掌握韦达定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
19 若关于x的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$的两根为$x_1, x_2$（$x_1, x_2$均不为0），且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则p的值为
$-\frac{2}{3}$
。答案
19.$-\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两根满足的分式关系，求参数p的值，解题思路如下：第一步，见到一元二次方程两根的数量关系，优先考虑一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和与两根之积的表达式；第二步，将所给的分式代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形，转化为用两根之和、两根之积表示的形式；第三步，将韦达定理得到的结果代入变形后的等式，得到关于p的方程，解方程即可求出p的值，最后验证结果是否符合方程有两个实根、两根均不为0的条件。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=p$，
根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = p$。
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$。
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，将上述两根和、两根积代入得：
$\frac{-2}{p} = 3$，
解方程：两边同乘$p$得$3p = -2$，解得$p = -\frac{2}{3}$。
验证：当$p=-\frac{2}{3}$时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-\frac{2}{3}) = 4 + \frac{8}{3} = \frac{20}{3} ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，且$x_1x_2 = -\frac{2}{3} ≠ 0$，符合题目条件。
【答案】
$-\frac{2}{3}$
【知识点】
韦达定理，分式化简，解分式方程
【点评】
本题是基础题，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是将所求的分式代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，再代入计算，同时要注意验证所求参数是否满足方程有实根、题目给定的限制条件。
【难度系数】
0.7
本题已知一元二次方程的两根满足的分式关系，求参数p的值，解题思路如下：第一步，见到一元二次方程两根的数量关系，优先考虑一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先求出两根之和与两根之积的表达式；第二步，将所给的分式代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形，转化为用两根之和、两根之积表示的形式；第三步，将韦达定理得到的结果代入变形后的等式，得到关于p的方程，解方程即可求出p的值，最后验证结果是否符合方程有两个实根、两根均不为0的条件。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=p$，
根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = p$。
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$。
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，将上述两根和、两根积代入得：
$\frac{-2}{p} = 3$，
解方程：两边同乘$p$得$3p = -2$，解得$p = -\frac{2}{3}$。
验证：当$p=-\frac{2}{3}$时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-\frac{2}{3}) = 4 + \frac{8}{3} = \frac{20}{3} ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，且$x_1x_2 = -\frac{2}{3} ≠ 0$，符合题目条件。
【答案】
$-\frac{2}{3}$
【知识点】
韦达定理，分式化简，解分式方程
【点评】
本题是基础题，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是将所求的分式代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，再代入计算，同时要注意验证所求参数是否满足方程有实根、题目给定的限制条件。
【难度系数】
0.7
20 已知$a$，$b$是方程$x^2 + 3x = 4$的两个根，则$a^2 + 4a + b - 3 =$
$-2$
。答案
20.$-2$
解析
【分析】
求解本题的核心思路是先降次再整体代入：首先，a是已知方程的根，可根据一元二次方程根的定义将高次项$a^2$转化为含a的一次式，代入所求代数式化简，化简后会出现两根之和$a+b$的形式，再利用根与系数的关系求出$a+b$的值，整体代入即可得到结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
先将原方程整理为标准形式：$x^2 + 3x - 4 = 0$
1. 由一元二次方程根的定义可知，a满足方程，因此：
$a^2 + 3a - 4 = 0$，变形得$a^2 = 4 - 3a$
2. 将$a^2 = 4 - 3a$代入所求代数式$a^2 + 4a + b - 3$：
原式$= (4 - 3a) + 4a + b - 3 = a + b + 1$
3. 因为a、b是方程$x^2 + 3x - 4 = 0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{3}{1} = -3$
4. 将$a + b = -3$代入化简后的式子：
原式$= -3 + 1 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数关系，整式化简
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型题型，解题关键是灵活运用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，能有效避免直接求根带来的繁琐计算。
【难度系数】
0.7
求解本题的核心思路是先降次再整体代入：首先，a是已知方程的根，可根据一元二次方程根的定义将高次项$a^2$转化为含a的一次式，代入所求代数式化简，化简后会出现两根之和$a+b$的形式，再利用根与系数的关系求出$a+b$的值，整体代入即可得到结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
先将原方程整理为标准形式：$x^2 + 3x - 4 = 0$
1. 由一元二次方程根的定义可知，a满足方程，因此：
$a^2 + 3a - 4 = 0$，变形得$a^2 = 4 - 3a$
2. 将$a^2 = 4 - 3a$代入所求代数式$a^2 + 4a + b - 3$：
原式$= (4 - 3a) + 4a + b - 3 = a + b + 1$
3. 因为a、b是方程$x^2 + 3x - 4 = 0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{3}{1} = -3$
4. 将$a + b = -3$代入化简后的式子：
原式$= -3 + 1 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数关系，整式化简
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型题型，解题关键是灵活运用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，能有效避免直接求根带来的繁琐计算。
【难度系数】
0.7
21 [2025 南充]设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2,m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2,m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
答案
21. (1) 把$x=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$.$\therefore (x-1)(x-2)=6$，即$x^2-3x-4=0$.$\therefore x_1+x_2=3$.$\because x_1=-1$，$\therefore x_2=4$
(2) 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$，$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.$\because$ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$，即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$，$\therefore x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$.$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$
(2) 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$，$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.$\because$ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$，即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$，$\therefore x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$.$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$
解析
【分析】
(1) 第一问已知方程的一个根$x_1=-1$，首先根据方程的根的定义，将$x=-1$代入原方程求出$m^2$，即可得到$m$的取值；再将原方程整理为一元二次方程一般形式，利用根与系数的关系（两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数），代入已知根就能快速求出另一根$x_2$。
(2) 第二问要证明$(x_1-1)(x_2-1)\le0$，首先把原方程整理为一元二次方程一般形式，先通过判别式确认方程有两个实根，再用根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式；之后将待证的代数式展开，把两根和、两根积整体代入化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程化为$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=3$，已知$x_1=-1$，因此$x_2=3-(-1)=4$。
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2-3x+2-m^2=0$。
计算判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1$，
$\because 4m^2\ge0$，$\therefore \Delta=4m^2+1＞0$，即方程总有两个不相等的实数根。
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1$
代入$x_1+x_2=3$、$x_1x_2=2-m^2$，得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$。
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2\ge0$，
$\therefore -m^2\le0$，即$(x_1-1)(x_2-1)\le0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，$(x_1-1)(x_2-1)\le0$。
【知识点】
一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程核心知识点命题，第一问侧重基础应用，代入根即可求解；第二问需要熟练掌握代数式展开、根与系数关系的整体代入方法，结合平方的性质完成证明，是一元二次方程章节的典型综合题，对知识的灵活应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知方程的一个根$x_1=-1$，首先根据方程的根的定义，将$x=-1$代入原方程求出$m^2$，即可得到$m$的取值；再将原方程整理为一元二次方程一般形式，利用根与系数的关系（两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数），代入已知根就能快速求出另一根$x_2$。
(2) 第二问要证明$(x_1-1)(x_2-1)\le0$，首先把原方程整理为一元二次方程一般形式，先通过判别式确认方程有两个实根，再用根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式；之后将待证的代数式展开，把两根和、两根积整体代入化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程化为$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=3$，已知$x_1=-1$，因此$x_2=3-(-1)=4$。
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2-3x+2-m^2=0$。
计算判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1$，
$\because 4m^2\ge0$，$\therefore \Delta=4m^2+1＞0$，即方程总有两个不相等的实数根。
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1$
代入$x_1+x_2=3$、$x_1x_2=2-m^2$，得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$。
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2\ge0$，
$\therefore -m^2\le0$，即$(x_1-1)(x_2-1)\le0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，$(x_1-1)(x_2-1)\le0$。
【知识点】
一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程核心知识点命题，第一问侧重基础应用，代入根即可求解；第二问需要熟练掌握代数式展开、根与系数关系的整体代入方法，结合平方的性质完成证明，是一元二次方程章节的典型综合题，对知识的灵活应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
