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1.「2026广东清远期中」正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列说法不正确的是（
A.$AC⊥BD$
B.$AD=AO$
C.$DO=CO$
D.$∠DAO=∠BAC$
B
）A.$AC⊥BD$
B.$AD=AO$
C.$DO=CO$
D.$∠DAO=∠BAC$
答案
1.B
∵ 正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,
∴ AC ⊥ BD, OA = OC = OB = OD, ∠DAO = ∠BAC = 45°,
易知 $AD=\sqrt{2}AO$.故 A,C,D 正确,不符合题意;B 错误,符合题意.故选 B.
∵ 正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,
∴ AC ⊥ BD, OA = OC = OB = OD, ∠DAO = ∠BAC = 45°,
易知 $AD=\sqrt{2}AO$.故 A,C,D 正确,不符合题意;B 错误,符合题意.故选 B.
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆正方形的相关性质，我们可以从对角线、角、边三个维度梳理已知条件：①正方形对角线互相垂直、平分且长度相等；②正方形的每条对角线平分一组内角，将90°内角分为两个45°的角；③正方形的边长与对角线长度满足勾股定理的关系。接下来我们逐一验证每个选项是否符合上述性质，即可找出错误的说法。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴根据正方形性质可得：
AC⊥BD，故A选项说法正确，不符合题意；
对角线互相平分且相等，因此DO=CO，故C选项说法正确，不符合题意；
对角线平分内角，∠BAD=90°，因此∠DAO=∠BAC=45°，故D选项说法正确，不符合题意；
设AO=x，则对角线AC=2AO=2x，在等腰直角△ADC中，AD=DC，由勾股定理得$AD^2+DC^2=AC^2$，即$2AD^2=(2x)^2$，解得$AD=\sqrt{2}x=\sqrt{2}AO$，因此AD≠AO，故B选项说法错误，符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握正方形对角线、内角、边的相关特征，是正方形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆正方形的相关性质，我们可以从对角线、角、边三个维度梳理已知条件：①正方形对角线互相垂直、平分且长度相等；②正方形的每条对角线平分一组内角，将90°内角分为两个45°的角；③正方形的边长与对角线长度满足勾股定理的关系。接下来我们逐一验证每个选项是否符合上述性质，即可找出错误的说法。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴根据正方形性质可得：
AC⊥BD，故A选项说法正确，不符合题意；
对角线互相平分且相等，因此DO=CO，故C选项说法正确，不符合题意；
对角线平分内角，∠BAD=90°，因此∠DAO=∠BAC=45°，故D选项说法正确，不符合题意；
设AO=x，则对角线AC=2AO=2x，在等腰直角△ADC中，AD=DC，由勾股定理得$AD^2+DC^2=AC^2$，即$2AD^2=(2x)^2$，解得$AD=\sqrt{2}x=\sqrt{2}AO$，因此AD≠AO，故B选项说法错误，符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握正方形对角线、内角、边的相关特征，是正方形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
2.「2026内蒙古包头期末」如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O的坐标为(0,0),B的坐标为(4,0),则顶点C的坐标是 (
A.(2,2)
B.(2,-2)
C.(-2,2)
$D.(2\sqrt{2},-2)$
B
)A.(2,2)
B.(2,-2)
C.(-2,2)
$D.(2\sqrt{2},-2)$
答案
2.B 如图,连接AC,交OB于点D,
∵ B(4,0),
∴ OB=4,
∵ 四边形 OABC 是正方形,
∴ OB=4=AC,AC,OB 互相垂直平分,
∴ OD ⊥ DC,OD=DB=DA=DC=2,
∴ C(2,-2).故选 B.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，OB是正方形OABC的对角线且在x轴上，我们可以借助正方形对角线的性质求解：首先作辅助线连接另一条对角线AC，利用正方形对角线相等、互相垂直平分的性质，先求出OB的长度，进而得到两条对角线交点的坐标以及C点到x轴的距离，最后结合C点所在的第四象限的坐标符号特征，即可得出C点的坐标。
【解析】
如图，连接AC，交OB于点D，
∵ 点B的坐标为(4,0)，
∴ OB = 4，
∵ 四边形OABC是正方形，
∴ 正方形的对角线相等且互相垂直平分，因此OB=AC=4，AC⊥OB，D为OB和AC的中点，
∴ OD = DB = DC = $\frac{1}{2}$OB = 2，
可得交点D的坐标为(2,0)，
又
∵ 点C位于第四象限，横坐标为正、纵坐标为负，且AC垂直于x轴，
∴ 点C的横坐标与D点一致为2，纵坐标为-2，即C(2,-2)。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；坐标与图形性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查正方形性质在平面直角坐标系中的应用，解题核心是熟练运用正方形对角线的特殊性质，结合象限的坐标符号特征快速确定点的坐标，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，OB是正方形OABC的对角线且在x轴上，我们可以借助正方形对角线的性质求解：首先作辅助线连接另一条对角线AC，利用正方形对角线相等、互相垂直平分的性质，先求出OB的长度，进而得到两条对角线交点的坐标以及C点到x轴的距离，最后结合C点所在的第四象限的坐标符号特征，即可得出C点的坐标。
【解析】
如图，连接AC，交OB于点D，
∵ 点B的坐标为(4,0)，
∴ OB = 4，
∵ 四边形OABC是正方形，
∴ 正方形的对角线相等且互相垂直平分，因此OB=AC=4，AC⊥OB，D为OB和AC的中点，
∴ OD = DB = DC = $\frac{1}{2}$OB = 2，
可得交点D的坐标为(2,0)，
又
∵ 点C位于第四象限，横坐标为正、纵坐标为负，且AC垂直于x轴，
∴ 点C的横坐标与D点一致为2，纵坐标为-2，即C(2,-2)。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；坐标与图形性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查正方形性质在平面直角坐标系中的应用，解题核心是熟练运用正方形对角线的特殊性质，结合象限的坐标符号特征快速确定点的坐标，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠BAE=∠DAF.求证:CE=CF.
答案
3.证明
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB=BC=DC=AD,∠B=∠D,
在△ABE 与△ADF 中,$\begin{cases} ∠B=∠D, \\ AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADF(ASA),
∴ BE=DF,
∴ BC-BE=DC-DF,即 CE=CF.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB=BC=DC=AD,∠B=∠D,
在△ABE 与△ADF 中,$\begin{cases} ∠B=∠D, \\ AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADF(ASA),
∴ BE=DF,
∴ BC-BE=DC-DF,即 CE=CF.
解析
【分析】
要证明CE=CF，结合正方形的性质可知BC=CD，因此只需证明BE=DF即可。观察图形可得BE、DF分别在△ABE和△ADF中，已知∠BAE=∠DAF，再结合正方形的边、角特性可得到AB=AD、∠B=∠D，满足ASA全等判定条件，可证△ABE≌△ADF得到BE=DF，最后通过线段作差即可推出CE=CF。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=DC=AD，∠B=∠D，
在△ABE与△ADF中，
$\begin{cases}∠B=∠D, \\AB=AD, \\∠BAE=∠DAF,\end{cases}$
∴ △ABE≌△ADF(ASA)，
∴ BE=DF，
∴ BC-BE=DC-DF，即CE=CF。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=DC=AD，∠B=∠D，
在△ABE与△ADF中，
$\begin{cases}∠B=∠D, \\AB=AD, \\∠BAE=∠DAF,\end{cases}$
∴ △ABE≌△ADF(ASA)，
∴ BE=DF，
∴ BC-BE=DC-DF，即CE=CF。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用正方形的边、角特性构造全等三角形，通过全等转化线段相等关系，再结合线段和差推导待证结论，有助于巩固正方形性质和全等证明的基本思路。
【难度系数】
0.85
要证明CE=CF，结合正方形的性质可知BC=CD，因此只需证明BE=DF即可。观察图形可得BE、DF分别在△ABE和△ADF中，已知∠BAE=∠DAF，再结合正方形的边、角特性可得到AB=AD、∠B=∠D，满足ASA全等判定条件，可证△ABE≌△ADF得到BE=DF，最后通过线段作差即可推出CE=CF。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=DC=AD，∠B=∠D，
在△ABE与△ADF中，
$\begin{cases}∠B=∠D, \\AB=AD, \\∠BAE=∠DAF,\end{cases}$
∴ △ABE≌△ADF(ASA)，
∴ BE=DF，
∴ BC-BE=DC-DF，即CE=CF。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=DC=AD，∠B=∠D，
在△ABE与△ADF中，
$\begin{cases}∠B=∠D, \\AB=AD, \\∠BAE=∠DAF,\end{cases}$
∴ △ABE≌△ADF(ASA)，
∴ BE=DF，
∴ BC-BE=DC-DF，即CE=CF。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用正方形的边、角特性构造全等三角形，通过全等转化线段相等关系，再结合线段和差推导待证结论，有助于巩固正方形性质和全等证明的基本思路。
【难度系数】
0.85
4.「2026甘肃张掖一中期中」如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,连接BE,CE.
(1)求证:BE=CE.
(2)求∠BEC的度数.
(1)求证:BE=CE.
(2)求∠BEC的度数.
答案
4.解析 (1)证明:
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°,
∵ 三角形 ADE 为等边三角形,
∴ AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60°,
∴ ∠BAE=∠CDE=90°+60°=150°,
在△BAE 和△CDE 中,$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠BAE=∠CDE, \\ AE=DE, \end{cases}$
∴ △BAE≌△CDE(SAS),
∴ BE=CE.
(2)
∵ AB=AD,AD=AE,
∴ AB=AE,
∴ ∠ABE=∠AEB,
又
∵ ∠BAE=150°,
∴ ∠ABE=∠AEB=15°,
同理可得∠CED=15°
∴ ∠BEC=60°-15°×2=30°.
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°,
∵ 三角形 ADE 为等边三角形,
∴ AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60°,
∴ ∠BAE=∠CDE=90°+60°=150°,
在△BAE 和△CDE 中,$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠BAE=∠CDE, \\ AE=DE, \end{cases}$
∴ △BAE≌△CDE(SAS),
∴ BE=CE.
(2)
∵ AB=AD,AD=AE,
∴ AB=AE,
∴ ∠ABE=∠AEB,
又
∵ ∠BAE=150°,
∴ ∠ABE=∠AEB=15°,
同理可得∠CED=15°
∴ ∠BEC=60°-15°×2=30°.
解析
【分析】
（1）要证明BE=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先利用正方形和等边三角形的性质，得到两组对应边相等，再推导两边的夹角相等，即可用SAS判定△BAE≌△CDE，从而得到BE=CE。
（2）求∠BEC的度数，首先根据等边三角形性质得∠AED=60°，再利用AB=AE得到△ABE为等腰三角形，结合顶角∠BAE=150°算出底角∠AEB的度数，同理可得∠CED的度数，最后用∠AED减去两个底角的度数即可得到∠BEC的大小。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵ △ADE为等边三角形，
∴ AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，
∴ ∠BAE=∠CDE=90°+60°=150°，
在△BAE和△CDE中，
$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠BAE=∠CDE, \\ AE=DE, \end{cases}$
∴ △BAE≌△CDE（SAS），
∴ BE=CE。
(2)解：
∵ AB=AD，AD=AE，
∴ AB=AE，
∴ ∠ABE=∠AEB，
又
∵ ∠BAE=150°，
∴ ∠ABE=∠AEB=(180°-150°)÷2=15°，
同理可得∠CED=15°，
∵ △ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴ ∠BEC=∠AED - ∠AEB - ∠CED=60°-15°×2=30°。
【答案】
(1) BE=CE，证明成立；
(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形与等边三角形结合的基础综合题，解题核心是利用两类特殊图形的边角性质推导全等条件和等腰三角形的边角关系，掌握特殊几何图形的性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）要证明BE=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先利用正方形和等边三角形的性质，得到两组对应边相等，再推导两边的夹角相等，即可用SAS判定△BAE≌△CDE，从而得到BE=CE。
（2）求∠BEC的度数，首先根据等边三角形性质得∠AED=60°，再利用AB=AE得到△ABE为等腰三角形，结合顶角∠BAE=150°算出底角∠AEB的度数，同理可得∠CED的度数，最后用∠AED减去两个底角的度数即可得到∠BEC的大小。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵ △ADE为等边三角形，
∴ AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，
∴ ∠BAE=∠CDE=90°+60°=150°，
在△BAE和△CDE中，
$\begin{cases} AB=DC, \\ ∠BAE=∠CDE, \\ AE=DE, \end{cases}$
∴ △BAE≌△CDE（SAS），
∴ BE=CE。
(2)解：
∵ AB=AD，AD=AE，
∴ AB=AE，
∴ ∠ABE=∠AEB，
又
∵ ∠BAE=150°，
∴ ∠ABE=∠AEB=(180°-150°)÷2=15°，
同理可得∠CED=15°，
∵ △ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴ ∠BEC=∠AED - ∠AEB - ∠CED=60°-15°×2=30°。
【答案】
(1) BE=CE，证明成立；
(2) $\boxed{30°}$
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是正方形与等边三角形结合的基础综合题，解题核心是利用两类特殊图形的边角性质推导全等条件和等腰三角形的边角关系，掌握特殊几何图形的性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
5.「2025浙江中考」【问题背景】
如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成,请写出证明$△ ABE≌△ CBE$的过程.
(2)若裁剪过程中满足$DE=DA$,求“机翼角”$∠ BAE$的度数.
如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成,请写出证明$△ ABE≌△ CBE$的过程.
(2)若裁剪过程中满足$DE=DA$,求“机翼角”$∠ BAE$的度数.
答案
5.解析 (1)证明:在正方形 ABCD 中,
BA=BC,∠ABD=∠CBD=45°,
在△ABE 和△CBE 中,$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABE=∠CBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
所以△ABE≌△CBE(SAS).
(2)在正方形 ABCD 中,
∠BAD=90°,∠ADB=45°.
因为 DE=DA,
所以∠DAE=∠DEA=(180°-45°)÷2=67.5°,
所以∠BAE=90°-67.5°=22.5°.
BA=BC,∠ABD=∠CBD=45°,
在△ABE 和△CBE 中,$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABE=∠CBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
所以△ABE≌△CBE(SAS).
(2)在正方形 ABCD 中,
∠BAD=90°,∠ADB=45°.
因为 DE=DA,
所以∠DAE=∠DEA=(180°-45°)÷2=67.5°,
所以∠BAE=90°-67.5°=22.5°.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CBE，可结合正方形的性质推导全等所需条件：正方形四边相等可得BA=BC，正方形对角线平分内角可得∠ABE=∠CBE，再加上公共边BE，即可用SAS判定两三角形全等。
(2) 求∠BAE的度数，先根据正方形性质得到∠BAD=90°、∠ADB=45°；已知DE=DA，可知△ADE为等腰三角形，利用三角形内角和先算出∠DAE的度数，再用∠BAD减去∠DAE即可得到∠BAE的度数。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，
BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABE和△CBE中，
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABE=∠CBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
所以△ABE≌△CBE（SAS）。
(2) 解：在正方形ABCD中，
∠BAD=90°，∠ADB=45°。
因为DE=DA，
所以∠DAE=∠DEA=(180°-45°)÷2=67.5°，
所以∠BAE=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
(1) △ABE≌△CBE，证明过程如上；
(2) ∠BAE的度数为22.5°
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考察正方形性质与三角形相关定理的结合运用，解题时需熟练掌握正方形边、角、对角线的特征，灵活选用全等判定定理、等腰三角形等边对等角的性质解决问题。
【难度系数】
0.85
(1) 要证明△ABE≌△CBE，可结合正方形的性质推导全等所需条件：正方形四边相等可得BA=BC，正方形对角线平分内角可得∠ABE=∠CBE，再加上公共边BE，即可用SAS判定两三角形全等。
(2) 求∠BAE的度数，先根据正方形性质得到∠BAD=90°、∠ADB=45°；已知DE=DA，可知△ADE为等腰三角形，利用三角形内角和先算出∠DAE的度数，再用∠BAD减去∠DAE即可得到∠BAE的度数。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，
BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABE和△CBE中，
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABE=∠CBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
所以△ABE≌△CBE（SAS）。
(2) 解：在正方形ABCD中，
∠BAD=90°，∠ADB=45°。
因为DE=DA，
所以∠DAE=∠DEA=(180°-45°)÷2=67.5°，
所以∠BAE=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
(1) △ABE≌△CBE，证明过程如上；
(2) ∠BAE的度数为22.5°
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考察正方形性质与三角形相关定理的结合运用，解题时需熟练掌握正方形边、角、对角线的特征，灵活选用全等判定定理、等腰三角形等边对等角的性质解决问题。
【难度系数】
0.85
