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1.「2025四川凉山州中考」如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC=12，BD=16，则FG的长为
5
。答案
答案 5
解析 连接OE,如图所示：
∵ 四边形ABCD是菱形,且AC=12,BD=16,
∴ AC⊥BD,OC=1/2AC=6,OD=1/2BD=8,
∴ ∠COD=90°,在Rt△COD 中,由勾股定理得 CD = √(OC²+OD²) = √(6²+8²)=10,
∵ E是边 CD 的中点,
∴ OE 是 Rt△OCD斜边上的中线,
∴ OE=1/2CD=5,
∵ EF⊥BD,EG⊥AC,
∴ ∠OGE=∠OFE=∠COD=90°,
∴ 四边形 OGEF 是矩形,
∴ FG=OE=5.故答案为 5.
解析
【分析】
我们可以按以下思路解题：首先回忆菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以得到Rt△COD的两条直角边OC、OD的长度，用勾股定理求出CD的长度。接下来直接计算FG的长度较困难，可连接辅助线OE，由EF⊥BD、EG⊥AC、AC⊥BD可知四边形OGEF的三个内角都是直角，可判定它是矩形，根据矩形对角线相等的性质，FG=OE。最后结合E是CD的中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到OE等于CD的一半，即可求出FG的长度。
【解析】
连接OE，如图所示：
∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=12，BD=16，
∴ AC⊥BD，OC=1/2AC=6，OD=1/2BD=8，
∴ ∠COD=90°，在Rt△COD中，由勾股定理得 CD = √(OC²+OD²) = √(6²+8²)=10，
∵ E是边CD的中点，
∴ OE是Rt△OCD斜边上的中线，
∴ OE=1/2CD=5，
∵ EF⊥BD，EG⊥AC，
∴ ∠OGE=∠OFE=∠COD=90°，
∴ 四边形OGEF是矩形，
∴ FG=OE=5。
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将菱形、矩形的性质与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过作辅助线构造矩形，将未知线段转化为易求的线段，解题过程中用到的转化思想是几何题常用的思想方法。
【难度系数】
0.7
我们可以按以下思路解题：首先回忆菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以得到Rt△COD的两条直角边OC、OD的长度，用勾股定理求出CD的长度。接下来直接计算FG的长度较困难，可连接辅助线OE，由EF⊥BD、EG⊥AC、AC⊥BD可知四边形OGEF的三个内角都是直角，可判定它是矩形，根据矩形对角线相等的性质，FG=OE。最后结合E是CD的中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到OE等于CD的一半，即可求出FG的长度。
【解析】
连接OE，如图所示：
∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=12，BD=16，
∴ AC⊥BD，OC=1/2AC=6，OD=1/2BD=8，
∴ ∠COD=90°，在Rt△COD中，由勾股定理得 CD = √(OC²+OD²) = √(6²+8²)=10，
∵ E是边CD的中点，
∴ OE是Rt△OCD斜边上的中线，
∴ OE=1/2CD=5，
∵ EF⊥BD，EG⊥AC，
∴ ∠OGE=∠OFE=∠COD=90°，
∴ 四边形OGEF是矩形，
∴ FG=OE=5。
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将菱形、矩形的性质与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过作辅助线构造矩形，将未知线段转化为易求的线段，解题过程中用到的转化思想是几何题常用的思想方法。
【难度系数】
0.7
2.「2025北京中考」如图,在$△ ABC$中,D,E分别为AB,AC的中点,$DF ⊥ BC$,垂足为F,点G在DE的延长线上,$DG=FC$.
(1)求证:四边形DFCG是矩形.
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求BC和AC的长.
(1)求证:四边形DFCG是矩形.
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求BC和AC的长.
答案
解析 (1)证明:
∵ D,E分别为AB,AC的中点,
∴ DE 是△ABC 的中位线,
∴ DE//BC,
∵ DG=FC,
∴ 四边形 DFCG 是平行四边形,
又
∵ DF⊥BC,
∴ ∠DFC=90°,
∴ 平行四边形 DFCG 是矩形.
(2)
∵ DF⊥BC,
∴ ∠DFB=90°,
∵ ∠B=45°,
∴ △BDF 是等腰直角三角形,
∴ BF=DF=3,
∵ DG=FC=5,
∴ BC=BF+FC=3+5=8,
由(1)可知,DE 是△ABC 的中位线,四边形 DFCG 是矩形,
∴ DE=1/2BC=4,CG=DF=3,∠G=90°,
∴ EG=DG-DE=5-4=1,
∴ CE=√(CG²+EG²)=√(3²+1²)=√10,
∵ E 为 AC 的中点,
∴ AC=2CE=2√10.
∵ D,E分别为AB,AC的中点,
∴ DE 是△ABC 的中位线,
∴ DE//BC,
∵ DG=FC,
∴ 四边形 DFCG 是平行四边形,
又
∵ DF⊥BC,
∴ ∠DFC=90°,
∴ 平行四边形 DFCG 是矩形.
(2)
∵ DF⊥BC,
∴ ∠DFB=90°,
∵ ∠B=45°,
∴ △BDF 是等腰直角三角形,
∴ BF=DF=3,
∵ DG=FC=5,
∴ BC=BF+FC=3+5=8,
由(1)可知,DE 是△ABC 的中位线,四边形 DFCG 是矩形,
∴ DE=1/2BC=4,CG=DF=3,∠G=90°,
∴ EG=DG-DE=5-4=1,
∴ CE=√(CG²+EG²)=√(3²+1²)=√10,
∵ E 为 AC 的中点,
∴ AC=2CE=2√10.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形DFCG是矩形，可先证它是平行四边形，再证明存在一个直角。首先由D、E是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得DE//BC，即DG//FC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形；再结合DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可判定该平行四边形为矩形。
(2) 求BC的长：先在Rt△BDF中，由∠B=45°可知△BDF是等腰直角三角形，得到BF=DF=3，再结合FC=DG=5，二者相加即可得到BC的长度。求AC的长：先利用三角形中位线定理求出DE的长度，进而得到EG的长度，再结合矩形的性质得到CG的长度和∠G=90°，用勾股定理求出CE的长度，最后根据E是AC中点，即可得到AC=2CE。
【解析】
(1) 证明：
∵ D,E分别为AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，
∵ DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形，
又
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC=90°，
∴ 平行四边形DFCG是矩形。
(2) 解：
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFB=90°，
∵ ∠B=45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形，
∴ BF=DF=3，
∵ DG=FC=5，
∴ BC=BF+FC=3+5=8，
由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ $DE=\frac{1}{2}BC=4$，$CG=DF=3$，$∠G=90°$，
∴ $EG=DG-DE=5-4=1$，
∴ $CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵ E为AC的中点，
∴ $AC=2CE=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形DFCG是矩形；
(2) $BC=8$，$AC=2\sqrt{10}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查基础几何定理的应用能力，解题时需要理清逻辑顺序，先判定特殊四边形，再结合等腰直角三角形特征和勾股定理计算边长，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形DFCG是矩形，可先证它是平行四边形，再证明存在一个直角。首先由D、E是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得DE//BC，即DG//FC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形；再结合DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可判定该平行四边形为矩形。
(2) 求BC的长：先在Rt△BDF中，由∠B=45°可知△BDF是等腰直角三角形，得到BF=DF=3，再结合FC=DG=5，二者相加即可得到BC的长度。求AC的长：先利用三角形中位线定理求出DE的长度，进而得到EG的长度，再结合矩形的性质得到CG的长度和∠G=90°，用勾股定理求出CE的长度，最后根据E是AC中点，即可得到AC=2CE。
【解析】
(1) 证明：
∵ D,E分别为AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，
∵ DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形，
又
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC=90°，
∴ 平行四边形DFCG是矩形。
(2) 解：
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFB=90°，
∵ ∠B=45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形，
∴ BF=DF=3，
∵ DG=FC=5，
∴ BC=BF+FC=3+5=8，
由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ $DE=\frac{1}{2}BC=4$，$CG=DF=3$，$∠G=90°$，
∴ $EG=DG-DE=5-4=1$，
∴ $CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵ E为AC的中点，
∴ $AC=2CE=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形DFCG是矩形；
(2) $BC=8$，$AC=2\sqrt{10}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查基础几何定理的应用能力，解题时需要理清逻辑顺序，先判定特殊四边形，再结合等腰直角三角形特征和勾股定理计算边长，难度适中。
【难度系数】
0.7
3. 学科特色「★☆」如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=3,AC=4$,点$P$为斜边$BC$上的一个动点,过$P$分别作$PE⊥ AB$于点$E,PF⊥ AC$于点$F$,连接$EF$,则线段$EF$的最小值为
12/5
。答案
答案 12/5
解析 在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,则BC=√(3²+4²)=5,
如图,连接AP,
∵ ∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,
∴ 四边形 AEPF 是矩形,
∴ EF=AP,
∴ 线段 AP 的最小值就是线段 EF 的最小值,
易知当AP⊥BC时,AP的值最小,
此时由等面积法可得AP=(AB·AC)/BC=12/5.
∴ 线段 EF 的最小值为12/5.
解析
【分析】
要解决EF的最小值问题，先观察图形特征：已知∠BAC、∠AEP、∠AFP都是直角，可先判定四边形AEPF的形状；根据矩形对角线相等的性质，可得EF和AP长度相等，因此可以把求EF的最小值转化为求AP的最小值；AP是点A到BC上动点P的线段，根据“垂线段最短”，当AP垂直BC时AP最短，最后用勾股定理和等面积法计算这个最短长度即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
如图，连接AP，
∵ ∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ 四边形AEPF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
∴ EF=AP（矩形的对角线相等），
因此线段AP的最小值就是线段EF的最小值，
根据“垂线段最短”，当AP⊥BC时，AP的值最小，
此时由三角形等面积法：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AP$，
代入数值可得：$AP=\frac{AB·AC}{BC}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴ 线段EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题是典型的动点最值问题，核心解题思路是利用矩形的性质实现线段的转化，将陌生的动线段EF的最值问题转化为熟悉的点到直线的最短距离问题，解题过程中用到的等面积法是计算直角三角形斜边上高的常用方法，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
要解决EF的最小值问题，先观察图形特征：已知∠BAC、∠AEP、∠AFP都是直角，可先判定四边形AEPF的形状；根据矩形对角线相等的性质，可得EF和AP长度相等，因此可以把求EF的最小值转化为求AP的最小值；AP是点A到BC上动点P的线段，根据“垂线段最短”，当AP垂直BC时AP最短，最后用勾股定理和等面积法计算这个最短长度即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
如图，连接AP，
∵ ∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ 四边形AEPF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
∴ EF=AP（矩形的对角线相等），
因此线段AP的最小值就是线段EF的最小值，
根据“垂线段最短”，当AP⊥BC时，AP的值最小，
此时由三角形等面积法：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AP$，
代入数值可得：$AP=\frac{AB·AC}{BC}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴ 线段EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题是典型的动点最值问题，核心解题思路是利用矩形的性质实现线段的转化，将陌生的动线段EF的最值问题转化为熟悉的点到直线的最短距离问题，解题过程中用到的等面积法是计算直角三角形斜边上高的常用方法，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
4.「2025云南中考，★★」如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 90°$，$O$是$AC$的中点。延长$BO$至点$D$，使$OD = OB$。连接$AD$，$CD$。记$AB = a$，$BC = b$，$△ AOB$的周长为$l_1$，$△ BOC$的周长为$l_2$，四边形$ABCD$的周长为$l_3$。
(1)求证：四边形$ABCD$是矩形。
(2)若$l_2 - l_1 = 2$，$l_3 = 28$，求$AC$的长。
(1)求证：四边形$ABCD$是矩形。
(2)若$l_2 - l_1 = 2$，$l_3 = 28$，求$AC$的长。
答案
解析 (1)证明:
∵ O 是 AC 的中点,
∴ OA=OC,
∵ OB=OD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∵ ∠ABC=90°,
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
(2)
∵ △AOB 的周长为 l₁,△BOC 的周长为 l₂,四边形 ABCD 的周长为 l₃,
∴ l₂-l₁ = BC - AB = b - a = 2, l₃ = 2(AB + BC) = 2(a + b) = 28,
∴ $\begin{cases} b-a=2, \\ b+a=14, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=6, \\ b=8, \end{cases}$ 即 AB=6,BC=8,
∴ AC=√(AB²+BC²)=10.
∵ O 是 AC 的中点,
∴ OA=OC,
∵ OB=OD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∵ ∠ABC=90°,
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
(2)
∵ △AOB 的周长为 l₁,△BOC 的周长为 l₂,四边形 ABCD 的周长为 l₃,
∴ l₂-l₁ = BC - AB = b - a = 2, l₃ = 2(AB + BC) = 2(a + b) = 28,
∴ $\begin{cases} b-a=2, \\ b+a=14, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=6, \\ b=8, \end{cases}$ 即 AB=6,BC=8,
∴ AC=√(AB²+BC²)=10.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ABCD是矩形，可按照“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先根据已知的O是AC中点、OD=OB，可得四边形对角线互相平分，先判定为平行四边形，再结合∠ABC=90°的条件，即可判定为矩形。
(2) 求AC的长时，先分析两个三角形的周长差：△AOB和△BOC有公共边BO，且AO=OC，因此周长差实际为BC与AB的差；再结合矩形周长公式可得到AB与BC的和，联立两个关系求出AB、BC的长度后，用勾股定理即可计算AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ O是AC的中点，
∴ OA=OC，
又
∵ OD=OB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵ ∠ABC=90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
由题意得，$l_1=AB+AO+BO$，$l_2=BC+BO+OC$，
∵ O为AC中点，
∴ AO=OC，
∴ $l_2 - l_1 = BC - AB = b - a = 2$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 周长$l_3=2(AB+BC)=2(a+b)=28$，即$a+b=14$，
联立得方程组：$\begin{cases} b-a=2 \\ a+b=14 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} a=6 \\ b=8 \end{cases}$，即AB=6，BC=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是矩形，证明成立；
(2) AC的长为$\boxed{10}$。
【知识点】
矩形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的常规考题，将四边形性质、周长计算和勾股定理结合考查，解题的关键是利用矩形对角线的性质简化周长差的推导，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形ABCD是矩形，可按照“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先根据已知的O是AC中点、OD=OB，可得四边形对角线互相平分，先判定为平行四边形，再结合∠ABC=90°的条件，即可判定为矩形。
(2) 求AC的长时，先分析两个三角形的周长差：△AOB和△BOC有公共边BO，且AO=OC，因此周长差实际为BC与AB的差；再结合矩形周长公式可得到AB与BC的和，联立两个关系求出AB、BC的长度后，用勾股定理即可计算AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ O是AC的中点，
∴ OA=OC，
又
∵ OD=OB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵ ∠ABC=90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
由题意得，$l_1=AB+AO+BO$，$l_2=BC+BO+OC$，
∵ O为AC中点，
∴ AO=OC，
∴ $l_2 - l_1 = BC - AB = b - a = 2$，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 周长$l_3=2(AB+BC)=2(a+b)=28$，即$a+b=14$，
联立得方程组：$\begin{cases} b-a=2 \\ a+b=14 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} a=6 \\ b=8 \end{cases}$，即AB=6，BC=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是矩形，证明成立；
(2) AC的长为$\boxed{10}$。
【知识点】
矩形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的常规考题，将四边形性质、周长计算和勾股定理结合考查，解题的关键是利用矩形对角线的性质简化周长差的推导，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
