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6.「2026河南漯河三中月考，★☆」如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接AE,AF,EF，∠EAF=45°.若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（
A.2α
B.90°−2α
C.45°−α
D.90°−α
A
）A.2α
B.90°−2α
C.45°−α
D.90°−α
答案
6.A 在正方形 ABCD 中,AD = AB, ∠BAD = ∠ABC = ∠ADC=90°,
如图,将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△ABG,
则 AF=AG,∠DAF=∠BAG,∠ABG=90°,
∴ ∠ABG+∠ABE=180°,
∴ G,B,E 三点共线,
∵ ∠EAF=45°,
∴ ∠BAE+∠DAF=45°,
∴ ∠GAE=∠FAE=45°,
在△GAE 和△FAE 中,$\begin{cases} AF=AG, \\ ∠FAE=∠GAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴ △FAE≌△GAE(SAS),
∴ ∠AEF=∠AEG,
∵ ∠BAE=α,
∴ ∠AEB=90°-α,
∴ ∠AEF=∠AEB=90°-α,
∴ ∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=180°-2×(90°-α)=2α.故选 A.
解析
【分析】
本题为正方形半角模型的典型题目，解题思路如下：首先利用正方形四边相等、内角均为90°的性质，针对∠EAF=45°（为直角∠BAD的一半）的特点，采用旋转法构造全等：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，先证明G、B、E三点共线，再推导得到∠GAE=∠EAF=45°，结合公共边AE和旋转得到的AG=AF，证明△GAE≌△FAE，得到∠AEF=∠AEB；最后结合直角三角形两锐角互余求出∠AEB的度数，利用平角为180°即可计算出∠FEC的大小。
【解析】
在正方形ABCD中，$AD = AB$，$∠ BAD = ∠ ABC = ∠ ADC=90°$。
如图，将$△ ADF$绕点$A$顺时针旋转$90°$，得到$△ ABG$，
则$AF=AG$，$∠ DAF=∠ BAG$，$∠ ABG=90°$，
$\therefore ∠ ABG+∠ ABE=90°+90°=180°$，因此$G$、$B$、$E$三点共线。
$\because ∠ EAF=45°$，
$\therefore ∠ BAE+∠ DAF=∠ BAD-∠ EAF=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ GAE=∠ BAG+∠ BAE=∠ DAF+∠ BAE=45°$，即$∠ GAE=∠ FAE$。
在$△ GAE$和$△ FAE$中：
$\begin{cases}AF=AG, \\∠ FAE=∠ GAE, \\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ FAE≌△ GAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AEF=∠ AEG$。
$\because \mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=α$，$∠ ABE=90°$，
$\therefore ∠ AEB=90°-α$，即$∠ AEG=90°-α$，
$\therefore ∠ AEF=∠ AEB=90°-α$。
$\because E$在$BC$上，$∠ BEC$为平角，度数为$180°$，
$\therefore ∠ FEC=180°-∠ AEF-∠ AEB=180°-2×(90°-α)=2α$。
【答案】A
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查正方形背景下的角度计算，核心是掌握半角模型的构造方法，通过旋转将分散的条件集中，构造全等三角形实现角的等量代换，这类题型是正方形性质应用的常考题型，掌握构造全等的技巧能快速解题。
【难度系数】
0.7
本题为正方形半角模型的典型题目，解题思路如下：首先利用正方形四边相等、内角均为90°的性质，针对∠EAF=45°（为直角∠BAD的一半）的特点，采用旋转法构造全等：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，先证明G、B、E三点共线，再推导得到∠GAE=∠EAF=45°，结合公共边AE和旋转得到的AG=AF，证明△GAE≌△FAE，得到∠AEF=∠AEB；最后结合直角三角形两锐角互余求出∠AEB的度数，利用平角为180°即可计算出∠FEC的大小。
【解析】
在正方形ABCD中，$AD = AB$，$∠ BAD = ∠ ABC = ∠ ADC=90°$。
如图，将$△ ADF$绕点$A$顺时针旋转$90°$，得到$△ ABG$，
则$AF=AG$，$∠ DAF=∠ BAG$，$∠ ABG=90°$，
$\therefore ∠ ABG+∠ ABE=90°+90°=180°$，因此$G$、$B$、$E$三点共线。
$\because ∠ EAF=45°$，
$\therefore ∠ BAE+∠ DAF=∠ BAD-∠ EAF=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ GAE=∠ BAG+∠ BAE=∠ DAF+∠ BAE=45°$，即$∠ GAE=∠ FAE$。
在$△ GAE$和$△ FAE$中：
$\begin{cases}AF=AG, \\∠ FAE=∠ GAE, \\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ FAE≌△ GAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AEF=∠ AEG$。
$\because \mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=α$，$∠ ABE=90°$，
$\therefore ∠ AEB=90°-α$，即$∠ AEG=90°-α$，
$\therefore ∠ AEF=∠ AEB=90°-α$。
$\because E$在$BC$上，$∠ BEC$为平角，度数为$180°$，
$\therefore ∠ FEC=180°-∠ AEF-∠ AEB=180°-2×(90°-α)=2α$。
【答案】A
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查正方形背景下的角度计算，核心是掌握半角模型的构造方法，通过旋转将分散的条件集中，构造全等三角形实现角的等量代换，这类题型是正方形性质应用的常考题型，掌握构造全等的技巧能快速解题。
【难度系数】
0.7
7.「2025北京中考，★☆」如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F。若AB=1，∠EBC=30°，则△ABF的面积为
$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$
。答案
7.答案 $\boldsymbol{\frac{3}{8}}$
解析 如图,过点 A 作 AG ⊥ BF 于点 G,
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ ∠ABC=90°,AB=BC=1,
∵ CF ⊥ BE,∠EBC=30°,
∴ ∠BFC=90°,$CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$,
在 Rt△BCF 中,$BF=\sqrt{BC^2-CF^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵ ∠ABG+∠FBC=90°,∠BCF+∠FBC=90°,
∴ ∠ABG=∠BCF,
又
∵ AB=BC,∠AGB=∠BFC=90°,
∴ △ABG≌△BCF(AAS),
∴ $AG=BF=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}BF· AG=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$.
解析
【分析】
要求△ABF的面积，可选取BF作为底，只需再求出点A到直线BF的高即可。首先利用正方形的性质得到边长和直角，结合30°角的直角三角形性质算出BF的长度；再通过同角的余角相等得到对应角相等，证明△ABG和△BCF全等，得到高AG的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点A作AG⊥BF于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=1，
∵CF⊥BE，∠EBC=30°，
∴∠BFC=90°，在Rt△BCF中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，故$CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：$BF=\sqrt{BC^2-CF^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ABG + ∠FBC = 90°，∠BCF + ∠FBC = 90°，
∴∠ABG = ∠BCF，
在△ABG和△BCF中：
$\begin{cases}∠AGB = ∠BFC = 90° \\∠ABG = ∠BCF \\AB = BC\end{cases}$
∴△ABG≌△BCF(AAS)，
∴$AG=BF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{△ABF}=\frac{1}{2}·BF·AG=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将未知的高转化为已知可求的线段，同时结合正方形和直角三角形的性质逐步推导，考查了学生的几何逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
要求△ABF的面积，可选取BF作为底，只需再求出点A到直线BF的高即可。首先利用正方形的性质得到边长和直角，结合30°角的直角三角形性质算出BF的长度；再通过同角的余角相等得到对应角相等，证明△ABG和△BCF全等，得到高AG的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点A作AG⊥BF于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=1，
∵CF⊥BE，∠EBC=30°，
∴∠BFC=90°，在Rt△BCF中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，故$CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：$BF=\sqrt{BC^2-CF^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ABG + ∠FBC = 90°，∠BCF + ∠FBC = 90°，
∴∠ABG = ∠BCF，
在△ABG和△BCF中：
$\begin{cases}∠AGB = ∠BFC = 90° \\∠ABG = ∠BCF \\AB = BC\end{cases}$
∴△ABG≌△BCF(AAS)，
∴$AG=BF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$S_{△ABF}=\frac{1}{2}·BF·AG=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将未知的高转化为已知可求的线段，同时结合正方形和直角三角形的性质逐步推导，考查了学生的几何逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
8.「2026湖北黄冈月考，★☆」如图，在正方形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF，连接ED，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF为菱形.
答案
8.证明 如图,连接 BD 交 AC 于点 O,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ OB=OD,OA=OC.
∵ AE=CF,
∴ OE=OF,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC ⊥ BD,
∴ 平行四边形 BEDF 是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形BEDF为菱形，可结合菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”推导。首先利用正方形对角线互相垂直平分的性质，连接BD交AC于点O，先通过OA=OC和已知的AE=CF推出OE=OF，证明四边形BEDF是平行四边形，再结合正方形对角线互相垂直的性质，即可证明该平行四边形为菱形。
【解析】
证明 如图，连接 BD 交 AC 于点 O，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ OB=OD，OA=OC。
∵ AE=CF，
∴ OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形BEDF是平行四边形，
又
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，即平行四边形BEDF的对角线互相垂直，
根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得平行四边形BEDF是菱形。
【答案】
证明 如图,连接 BD 交 AC 于点 O,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ OB=OD,OA=OC.
∵ AE=CF,
∴ OE=OF,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC ⊥ BD,
∴ 平行四边形 BEDF 是菱形.
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题，解题核心是熟练掌握正方形的性质和平行四边形、菱形的判定定理，通过连接对角线构造证明所需的边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明四边形BEDF为菱形，可结合菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”推导。首先利用正方形对角线互相垂直平分的性质，连接BD交AC于点O，先通过OA=OC和已知的AE=CF推出OE=OF，证明四边形BEDF是平行四边形，再结合正方形对角线互相垂直的性质，即可证明该平行四边形为菱形。
【解析】
证明 如图，连接 BD 交 AC 于点 O，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ OB=OD，OA=OC。
∵ AE=CF，
∴ OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形BEDF是平行四边形，
又
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，即平行四边形BEDF的对角线互相垂直，
根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得平行四边形BEDF是菱形。
【答案】
证明 如图,连接 BD 交 AC 于点 O,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ OB=OD,OA=OC.
∵ AE=CF,
∴ OE=OF,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC ⊥ BD,
∴ 平行四边形 BEDF 是菱形.
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题，解题核心是熟练掌握正方形的性质和平行四边形、菱形的判定定理，通过连接对角线构造证明所需的边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 核心素养 推理能力 【数学思考】如图①，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE交对角线AC于点M，连接AE交对角线BD于点N.
(1)求证:DM=AN.
(2)若∠AED=α，求∠BDE(用含α的式子表示).
【拓展研究】如图②，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，若AG=2GB，求2OM+FG的最小值.
(1)求证:DM=AN.
(2)若∠AED=α，求∠BDE(用含α的式子表示).
【拓展研究】如图②，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，若AG=2GB，求2OM+FG的最小值.
答案
9.解析 【数学思考】(1)证明:
∵ 点 E 是 BC 的中点,
∴ CE=BE,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ DC=AB,∠DCE=∠ABE=90°,
在△DCE 和△ABE 中,$\begin{cases} CE=BE, \\ ∠DCE=∠ABE, \\ DC=AB, \end{cases}$
∴ △DCE≌△ABE(SAS),
∴ ∠CDE=∠BAE,
∵ DC=AB,∠DCA=∠ABD=45°,
∴ △DCM≌△ABN(ASA),
∴ DM=AN.
(2)
∵ △DCE≌△ABE,
∴ ∠CED=∠BEA=$\frac{180°-∠DEA}{2}=90°-\frac{α}{2}$,
∵ ∠DBC=45°,
∴ ∠BNE=180°-45°-$(90°-\frac{α}{2})=45°+\frac{α}{2}$,
∴ ∠BDE=∠BNE-∠AED=$45°+\frac{α}{2}-α=45°-\frac{α}{2}$.
【拓展研究】如图,延长 AB 至点 H,使得 BH=BG,连接FH,DH,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,
∵ AE=BF,
∴ △ADE≌△BAF(SAS),
∴ ∠ADE=∠BAF,
∴ ∠DOF = ∠ADO + ∠DAO = ∠BAF + ∠DAO = ∠DAB=90°,
∵ M 是 DF 的中点,
∴ DF=2OM,
∵ FB=FB,∠FBG=∠FBH=90°,BG=BH,
∴ △FBG≌△FBH(SAS),
∴ FH=FG,
∴ 2OM+FG=DF+FH,
∴ 当点 H,D,F 共线时,DF+FH 有最小值,即此时2OM+FG 有最小值,最小值为 DH 的长,
∵ 正方形 ABCD 的边长为 6,AG=2GB,
∴ BH=BG=2,
∴ AH=8,
在 Rt△ADH 中,由勾股定理得 $DH=\sqrt{AD^2+AH^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$,
∴ 2OM+FG 的最小值为 10.
解析
【分析】
【数学思考】
(1) 要证明DM=AN，可通过证明两线段所在的三角形全等推导：首先利用正方形的性质和E是BC中点的条件，证明△DCE≌△ABE，得到∠CDE=∠BAE；再结合正方形对角线平分内角得到的45°角，证明△DCM≌△ABN，即可推出DM=AN。
(2) 求∠BDE的度数，可先由△DCE≌△ABE得到∠CED=∠BEA，先求出∠BEA的表达式，再结合三角形外角性质，用∠BNE减去∠AED，即可用含α的式子表示∠BDE。
【拓展研究】
求2OM+FG的最小值，首先由∠DOF=90°，M是DF中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得2OM=DF；再通过构造对称点H，证明△FBG≌△FBH，将FG转化为FH，把2OM+FG转化为DF+FH；根据两点之间线段最短，当D、F、H三点共线时，DF+FH取最小值，即为DH的长度，最后利用勾股定理计算DH即可得到结果。
【解析】
【数学思考】
(1)证明:
∵ 点 E 是 BC 的中点,
∴ CE=BE,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ DC=AB,∠DCE=∠ABE=90°,
在△DCE 和△ABE 中,$\begin{cases} CE=BE, \\ ∠DCE=∠ABE, \\ DC=AB, \end{cases}$
∴ △DCE≌△ABE(SAS),
∴ ∠CDE=∠BAE,
∵ DC=AB,∠DCA=∠ABD=45°,
∴ △DCM≌△ABN(ASA),
∴ DM=AN.
(2)
∵ △DCE≌△ABE,
∴ ∠CED=∠BEA=$\frac{180°-∠DEA}{2}=90°-\frac{α}{2}$,
∵ ∠DBC=45°,
∴ ∠BNE=180°-45°-$(90°-\frac{α}{2})=45°+\frac{α}{2}$,
∴ ∠BDE=∠BNE-∠AED=$45°+\frac{α}{2}-α=45°-\frac{α}{2}$.
【拓展研究】
如图,延长 AB 至点 H,使得 BH=BG,连接FH,DH,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,
∵ AE=BF,
∴ △ADE≌△BAF(SAS),
∴ ∠ADE=∠BAF,
∴ ∠DOF = ∠ADO + ∠DAO = ∠BAF + ∠DAO = ∠DAB=90°,
∵ M 是 DF 的中点,
∴ DF=2OM,
∵ FB=FB,∠FBG=∠FBH=90°,BG=BH,
∴ △FBG≌△FBH(SAS),
∴ FH=FG,
∴ 2OM+FG=DF+FH,
∴ 当点 H,D,F 共线时,DF+FH 有最小值,即此时2OM+FG 有最小值,最小值为 DH 的长,
∵ 正方形 ABCD 的边长为 6,AG=2GB,
∴ BH=BG=2,
∴ AH=8,
在 Rt△ADH 中,由勾股定理得 $DH=\sqrt{AD^2+AH^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$,
∴ 2OM+FG 的最小值为 10.
【答案】
(1) 证明成立，$DM=AN$；
(2) $\boldsymbol{∠BDE=45°-\dfrac{α}{2}}$；
拓展研究：$\boldsymbol{2OM+FG}$的最小值为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；最短路径问题
【点评】
本题围绕正方形的性质展开，融合了全等三角形证明、角度计算、线段最值求解等考点，解题的关键是灵活运用转化思想，将零散的线段关系转化为可求的最短路径，能有效锻炼逻辑推理和问题转化的能力。
【难度系数】
0.4
【数学思考】
(1) 要证明DM=AN，可通过证明两线段所在的三角形全等推导：首先利用正方形的性质和E是BC中点的条件，证明△DCE≌△ABE，得到∠CDE=∠BAE；再结合正方形对角线平分内角得到的45°角，证明△DCM≌△ABN，即可推出DM=AN。
(2) 求∠BDE的度数，可先由△DCE≌△ABE得到∠CED=∠BEA，先求出∠BEA的表达式，再结合三角形外角性质，用∠BNE减去∠AED，即可用含α的式子表示∠BDE。
【拓展研究】
求2OM+FG的最小值，首先由∠DOF=90°，M是DF中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得2OM=DF；再通过构造对称点H，证明△FBG≌△FBH，将FG转化为FH，把2OM+FG转化为DF+FH；根据两点之间线段最短，当D、F、H三点共线时，DF+FH取最小值，即为DH的长度，最后利用勾股定理计算DH即可得到结果。
【解析】
【数学思考】
(1)证明:
∵ 点 E 是 BC 的中点,
∴ CE=BE,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ DC=AB,∠DCE=∠ABE=90°,
在△DCE 和△ABE 中,$\begin{cases} CE=BE, \\ ∠DCE=∠ABE, \\ DC=AB, \end{cases}$
∴ △DCE≌△ABE(SAS),
∴ ∠CDE=∠BAE,
∵ DC=AB,∠DCA=∠ABD=45°,
∴ △DCM≌△ABN(ASA),
∴ DM=AN.
(2)
∵ △DCE≌△ABE,
∴ ∠CED=∠BEA=$\frac{180°-∠DEA}{2}=90°-\frac{α}{2}$,
∵ ∠DBC=45°,
∴ ∠BNE=180°-45°-$(90°-\frac{α}{2})=45°+\frac{α}{2}$,
∴ ∠BDE=∠BNE-∠AED=$45°+\frac{α}{2}-α=45°-\frac{α}{2}$.
【拓展研究】
如图,延长 AB 至点 H,使得 BH=BG,连接FH,DH,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,
∵ AE=BF,
∴ △ADE≌△BAF(SAS),
∴ ∠ADE=∠BAF,
∴ ∠DOF = ∠ADO + ∠DAO = ∠BAF + ∠DAO = ∠DAB=90°,
∵ M 是 DF 的中点,
∴ DF=2OM,
∵ FB=FB,∠FBG=∠FBH=90°,BG=BH,
∴ △FBG≌△FBH(SAS),
∴ FH=FG,
∴ 2OM+FG=DF+FH,
∴ 当点 H,D,F 共线时,DF+FH 有最小值,即此时2OM+FG 有最小值,最小值为 DH 的长,
∵ 正方形 ABCD 的边长为 6,AG=2GB,
∴ BH=BG=2,
∴ AH=8,
在 Rt△ADH 中,由勾股定理得 $DH=\sqrt{AD^2+AH^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$,
∴ 2OM+FG 的最小值为 10.
【答案】
(1) 证明成立，$DM=AN$；
(2) $\boldsymbol{∠BDE=45°-\dfrac{α}{2}}$；
拓展研究：$\boldsymbol{2OM+FG}$的最小值为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；最短路径问题
【点评】
本题围绕正方形的性质展开，融合了全等三角形证明、角度计算、线段最值求解等考点，解题的关键是灵活运用转化思想，将零散的线段关系转化为可求的最短路径，能有效锻炼逻辑推理和问题转化的能力。
【难度系数】
0.4
