1.「2026山西晋中期末」数学活动课上，小彤用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形.小彤想要让这个菱形成为正方形，需要添加的条件可以是（）


A.$∠ ABC=90°$
B.$AB=BC$
C.$AB// CD$
D.$∠ B=∠ D$

1.A 有一个角是直角的菱形是正方形.故选 A.

【分析】
解题时首先明确已知条件：该四边形已经是菱形，要使菱形变为正方形，需结合正方形的判定定理分析：菱形变为正方形只需满足“有一个内角为直角”或“对角线相等”二者其一即可。接下来逐一判断选项：首先排除菱形本身就具备的性质类选项，剩下的符合判定定理的即为正确答案。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，菱形本身具有以下性质：四条边相等、对边互相平行、对角相等。
选项B：AB=BC是菱形的固有性质，添加后不能使菱形变为正方形；
选项C：AB//CD是菱形的固有性质，添加后不能使菱形变为正方形；
选项D：∠B=∠D是菱形的固有性质，添加后不能使菱形变为正方形；
选项A：根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，添加∠ABC=90°后，该菱形符合正方形的判定条件，即为正方形。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定；菱形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，核心是区分菱形与正方形的联系和差异，解题时要注意先明确已知图形的性质，排除本身就成立的干扰选项，再结合判定定理筛选正确条件。
【难度系数】
0.8

2.「2025四川乐山中考」如图，在$□ ABCD$中，对角线AC与BD相交于点O。小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①$AC ⊥ BD$；②$AC = BD$；③$∠ ADC = 90°$。则正确的组合是（只需填一种组合即可）。

2.答案 ①②(或①③)
解析 当选择①②时,$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$AC ⊥ BD,\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形,$\because AC = BD,\therefore$ 菱形$ABCD$是正方形.
当选择①③时,$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$AC ⊥ BD,\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形,$\because ∠ ADC = 90°,\therefore$ 菱形$ABCD$是正方形.
当选择②③时,$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$AC = BD,\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形,此时$∠ ADC = 90°$,无法判定矩形$ABCD$是正方形.故答案为①②(或①③).

【分析】
要解决这个问题，首先明确正方形的判定逻辑：正方形是同时具备菱形和矩形特征的特殊平行四边形，因此要在平行四边形ABCD的基础上判定它是正方形，需要添加条件让它既满足菱形的判定要求，又满足矩形的判定要求。先分析三个条件的作用：①$AC⊥BD$，可使平行四边形变为菱形；②$AC=BD$、③$∠ADC=90°$，均可使平行四边形变为矩形，因此只需将“得到菱形的条件”和“得到矩形的条件”组合即可。
【解析】
我们对三种可能的组合逐一分析：
1. 选择条件①②时：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AC ⊥ BD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
又
∵$AC = BD$，
∴菱形$ABCD$是正方形（对角线相等的菱形是正方形），符合要求。
2. 选择条件①③时：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AC ⊥ BD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
又
∵$∠ ADC = 90°$，
∴菱形$ABCD$是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形），符合要求。
3. 选择条件②③时：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AC = BD$（或$∠ADC=90°$），
∴平行四边形$ABCD$是矩形，两个条件都只能得到矩形的特征，无法推出该图形具备菱形的特征，因此不能判定为正方形，不符合要求。
综上，正确组合为①②或①③。
【答案】
①②（或①③）
【知识点】
正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是理清平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的包含关系和判定逻辑，避免混淆不同特殊四边形的判定条件。
【难度系数】
0.7

3.「2026湖南张家界期末」如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BD 平分∠ABC,DE//AB,DF⊥AB,求证:四边形 BEDF 是正方形.

3.证明 $\because ∠ ABC=90°,\therefore BC ⊥ AB$,
$\because DF ⊥ AB,\therefore DF // BC$,
$\because DE // AB$,
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形,$DE ⊥ BC$,
又$\because BD$平分$∠ ABC,DF ⊥ AB$,
$\therefore DF=DE,\therefore$ 四边形$BEDF$是菱形,
$\because ∠ ABC=90°,\therefore$ 四边形$BEDF$是正方形.

【分析】
要证明四边形BEDF是正方形，可按照“平行四边形→菱形→正方形”的递进思路推导：首先根据已知的垂直、平行关系，证明四边形两组对边分别平行，判定其为平行四边形；再利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得到平行四边形的一组邻边相等，判定其为菱形；最后结合已知的直角条件，即可判定该菱形为正方形。
【解析】
证明：$\because ∠ABC=90°,\therefore BC ⊥ AB$,
$\because DF ⊥ AB,\therefore DF // BC$,
$\because DE // AB$,
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形,$DE ⊥ BC$,
又$\because BD$平分$∠ ABC,DF ⊥ AB$,
$\therefore DF=DE,\therefore$ 四边形$BEDF$是菱形,
$\because ∠ ABC=90°,\therefore$ 四边形$BEDF$是正方形.
【答案】
证明：$\because ∠ABC=90°,\therefore BC ⊥ AB$,
$\because DF ⊥ AB,\therefore DF // BC$,
$\because DE // AB$,
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形,$DE ⊥ BC$,
又$\because BD$平分$∠ ABC,DF ⊥ AB$,
$\therefore DF=DE,\therefore$ 四边形$BEDF$是菱形,
$\because ∠ ABC=90°,\therefore$ 四边形$BEDF$是正方形.
【知识点】
正方形的判定，角平分线的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型基础题，解题时需理清平行四边形、菱形、正方形之间的递进判定逻辑，结合已知条件逐步推导即可，有助于巩固特殊四边形的判定相关知识。
【难度系数】
0.8

4. 学科特色 教材变式「2026 广东佛山月考」如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H依次是AB,BC,CD,DA的中点.①四边形EFGH是平行四边形；②若AC=BD，则四边形EFGH是菱形；③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形；④若AC=BD,AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形.上述四个结论中正确的是 ()


A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④

4.D $\because E,F$分别是$AB,BC$的中点,
$\therefore EF // AC,EF=\frac{1}{2}AC$,
同理可得$GH // AC,GH=\frac{1}{2}AC$,
$\therefore EF // GH,EF=GH$,
$\therefore$ 四边形$EFGH$是平行四边形,故①结论正确;
当$AC=BD$时,$EF=FG$,
$\therefore$ 平行四边形$EFGH$是菱形,故②结论正确;
当$AC ⊥ BD$时,$EF ⊥ FG$,
$\therefore$ 平行四边形$EFGH$是矩形,故③结论正确;
当$AC=BD,AC ⊥ BD$时,$EF=FG,EF ⊥ FG,\therefore$ 平行四边形$EFGH$是正方形,故④结论正确.故选 D.

【分析】
遇到四边形各边中点的问题，首先联想到三角形中位线定理，利用中位线平行于第三边且等于第三边一半的性质，先推导中点四边形的边的位置和数量关系，再结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定条件，逐一验证四个结论是否正确即可。
【解析】
∵E,F分别是AB,BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
$\therefore EF // AC,EF=\frac{1}{2}AC$，
同理可得，GH是△ADC的中位线，$GH // AC,GH=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore EF // GH,EF=GH$，
$\therefore$ 四边形$EFGH$是平行四边形，故①结论正确；
若$AC=BD$，
∵FG是△BCD的中位线，$\therefore FG=\frac{1}{2}BD$，
又$\because EF=\frac{1}{2}AC$，$\therefore EF=FG$，
邻边相等的平行四边形是菱形，即四边形EFGH是菱形，故②结论正确；
若$AC ⊥ BD$，$\because EF//AC,FG//BD$，
$\therefore EF ⊥ FG$，
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即四边形EFGH是矩形，故③结论正确；
若$AC=BD,AC ⊥ BD$，结合②③的结论，平行四边形EFGH邻边相等且有一个内角是直角，
$\therefore$ 四边形$EFGH$是正方形，故④结论正确。
综上，①②③④均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形判定，特殊平行四边形判定
【点评】
本题是典型的中点四边形判定题，解题核心是灵活运用三角形中位线定理得到中点四边形的边的关系，再结合各类特殊平行四边形的判定条件判断即可，是四边形章节的高频基础考题。
【难度系数】
0.8

5. 学科特色教材变式 如图,分别在正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上截取相等的线段AE,BF,CG,DH,连接EF,FG,GH,HE得四边形EFGH.求证:四边形EFGH是正方形.

5.证明 $\because$ 四边形$ABCD$是正方形,
$\therefore AB=BC=CD=DA,∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°$,
$\because AE=BF=CG=DH$,
$\therefore AB-AE=BC-BF=CD-CG=DA-DH$,
$\therefore BE=CF=DG=AH$,
$\therefore △ AEH ≌ △ BFE ≌ △ CGF ≌ △ DHG(\mathrm{SAS})$,
$\therefore HE=EF=FG=GH,∠ AEH = ∠ BFE$,
$\therefore$ 四边形$EFGH$是菱形,
在$△ BEF$中,$∠ BEF+∠ BFE=90°$,
$\because ∠ AEH = ∠ BFE$,
$\therefore ∠ BEF+∠ AEH=90°$,
$\therefore ∠ HEF=180°-(∠ BEF+∠ AEH)=90°$,
$\therefore$ 菱形$EFGH$是正方形.

【分析】
要证明四边形EFGH是正方形，可按“先证菱形，再证菱形有一个内角为直角”的思路推导：首先利用正方形ABCD的边、角性质，结合已知截取的等长线段，推导出四个小直角三角形的直角边对应相等，通过SAS判定四个三角形全等，得到四边形EFGH四条边相等，先确定它是菱形；再通过全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余，推导得出菱形的一个内角为90°，即可证得四边形EFGH是正方形。
【解析】
证明：$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=BC=CD=DA,∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°$，
$\because AE=BF=CG=DH$，
$\therefore AB-AE=BC-BF=CD-CG=DA-DH$，即$BE=CF=DG=AH$，
$\therefore △ AEH ≌ △ BFE ≌ △ CGF ≌ △ DHG(\mathrm{SAS})$，
$\therefore HE=EF=FG=GH,∠ AEH = ∠ BFE$，
$\therefore$ 四边形$EFGH$是菱形，
在$△ BEF$中，$∠ BEF+∠ BFE=90°$，
$\because ∠ AEH = ∠ BFE$，
$\therefore ∠ BEF+∠ AEH=90°$，
$\therefore ∠ HEF=180°-(∠ BEF+∠ AEH)=90°$，
$\therefore$ 菱形$EFGH$是正方形。
【答案】
四边形EFGH是正方形。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定
【点评】
本题是正方形判定的常规典型题，解题时需熟练掌握特殊四边形的性质和判定定理，灵活运用全等三角形推导边和角的关系，牢记证明正方形的两类常用路径：先证菱形再证有一个直角，或先证矩形再证邻边相等。
【难度系数】
0.7