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1. (2026·南京期末)下列函数中,是二次函数的是 (
A.$y=3x+1$
B.$y=x^2 -1$
C.$y=\frac{2}{x}$
D.$y=x^3 +x^2 -1$
B
)A.$y=3x+1$
B.$y=x^2 -1$
C.$y=\frac{2}{x}$
D.$y=x^3 +x^2 -1$
答案
1. B 解析:二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$.
A. $y=3x+1$,最高次项为一次,不是二次函数;
B. $y=x^2-1$,最高次项为二次,且系数为$1≠0$,是二次函数;
C. $y=\frac{2}{x}$,是分式函数,不是整式函数;
D. $y=x^3+x^2-1$,最高次项为三次,不是二次函数.
故选B.
A. $y=3x+1$,最高次项为一次,不是二次函数;
B. $y=x^2-1$,最高次项为二次,且系数为$1≠0$,是二次函数;
C. $y=\frac{2}{x}$,是分式函数,不是整式函数;
D. $y=x^3+x^2-1$,最高次项为三次,不是二次函数.
故选B.
2. (2026·大连期末)若二次函数$y=x^2 -4ax +2$的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
C
）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2. C 解析:
∵二次函数$y=x^2-4ax+2$的图象与x轴有且只有一个交点,
∴ 方程$x^2-4ax+2=0$的判别式$Δ=0$,即$Δ=(-4a)^2-4×1×2=16a^2-8=0$,
∴$a^2=\frac{1}{2}$,解得$a=±\frac{\sqrt{2}}{2}$.故选C.
∵二次函数$y=x^2-4ax+2$的图象与x轴有且只有一个交点,
∴ 方程$x^2-4ax+2=0$的判别式$Δ=0$,即$Δ=(-4a)^2-4×1×2=16a^2-8=0$,
∴$a^2=\frac{1}{2}$,解得$a=±\frac{\sqrt{2}}{2}$.故选C.
3. (2026·保定期中)国家决定对某药品分两次降价.若设平均每次降价的百分率为m,该药品的原价是100元,两次降价后的价格是n元,则表示n与m关系的图象是 (
A
)答案
3. A 解析:
∵药品原价为100元,平均每次降价的百分率为m,
∴第一次降价后价格:$100(1-m)$,第二次降价后价格:$n=100(1-m)^2$,
∴此函数是二次函数,形式为$n=100(1-m)^2$.
∵$100＞0$,
∴图象是开口向上的曲线,选项B是直线,对应一次函数,不符合题意;在函数$n=100(1-m)^2$中,取特殊值$m=40\%=0.4$,计算对应n,$n=100×(1-0.4)^2=100×0.36=36$,故选A.
∵药品原价为100元,平均每次降价的百分率为m,
∴第一次降价后价格:$100(1-m)$,第二次降价后价格:$n=100(1-m)^2$,
∴此函数是二次函数,形式为$n=100(1-m)^2$.
∵$100＞0$,
∴图象是开口向上的曲线,选项B是直线,对应一次函数,不符合题意;在函数$n=100(1-m)^2$中,取特殊值$m=40\%=0.4$,计算对应n,$n=100×(1-0.4)^2=100×0.36=36$,故选A.
4. (2026·上海月考)若一次函数$y=ax+b$的图象经过第二、三、四象限,则二次函数$y=ax^2+bx$的图象只可能是 (
D
) 答案
4. D 解析:
∵一次函数$y=ax+b$的图象经过第二、三、四象限,
∴$a＜0,b＜0$,
∴二次函数$y=ax^2+bx$的图象开口向下,$-\frac{b}{2a}＜0$,
∴对称轴在y轴左侧,则符合题意的选项为D.故选D.
∵一次函数$y=ax+b$的图象经过第二、三、四象限,
∴$a＜0,b＜0$,
∴二次函数$y=ax^2+bx$的图象开口向下,$-\frac{b}{2a}＜0$,
∴对称轴在y轴左侧,则符合题意的选项为D.故选D.
5. (2026·温州期末)已知函数$y=x^2-2ax+7$，当$x≤3$时，函数值随$x$增大而减小，且对于任意的$1≤x_1≤a+2$和$1≤x_2≤a+2$，$x_1,x_2$相应的函数值$y_1,y_2$总满足$|y_1-y_2|≤9$，则实数$a$的取值范围是（
A.$3≤a≤4$
B.$3≤a≤5$
C.$-2≤a≤3$
D.$-2≤a＜4$
A
）A.$3≤a≤4$
B.$3≤a≤5$
C.$-2≤a≤3$
D.$-2≤a＜4$
答案
5. A 解析:
∵函数$y=x^2-2ax+7$的图象开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2}=a$,且当$x≤3$时,函数值随x增大而减小,
∴$a≥3$.
∵对任意的$1≤x_1≤a+2$和$1≤x_2≤a+2$,$x_1,x_2$相应的函数值$y_1,y_2$总满足$|y_1-y_2|≤9$,
∴当$1≤x≤a+2$时,最大值与最小值的差不超过9.
∵$x=a$时,y取到最小值,
∴$y_{min}=7-a^2$.
∵$a≥3$,对称轴为直线$x=a$,
∴$x=1$时,y取到最大值,此时$y_{max}=1-2a+7=8-2a$,
∴$8-2a-(7-a^2)≤9$,即$a^2-2a-8≤0$,解得$-2≤a≤4$.又
∵$a≥3$,
∴$3≤a≤4$.故选A.
∵函数$y=x^2-2ax+7$的图象开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2}=a$,且当$x≤3$时,函数值随x增大而减小,
∴$a≥3$.
∵对任意的$1≤x_1≤a+2$和$1≤x_2≤a+2$,$x_1,x_2$相应的函数值$y_1,y_2$总满足$|y_1-y_2|≤9$,
∴当$1≤x≤a+2$时,最大值与最小值的差不超过9.
∵$x=a$时,y取到最小值,
∴$y_{min}=7-a^2$.
∵$a≥3$,对称轴为直线$x=a$,
∴$x=1$时,y取到最大值,此时$y_{max}=1-2a+7=8-2a$,
∴$8-2a-(7-a^2)≤9$,即$a^2-2a-8≤0$,解得$-2≤a≤4$.又
∵$a≥3$,
∴$3≤a≤4$.故选A.
6. (2026·武汉月考)如图①,运动点Q从A处出发,沿线段AB向目的地B处运动.设AQ为$x(0≤x≤n)$,$PQ^2$为$y$.如图②,$y$关于$x$的函数图象与$y$轴交于点$C$,最低点$D(m,81)$,且经过$E(1,225)$和$F(n,225)$两点.则$n$的值是 (
A.23
B.24
C.25
D.26
C
)A.23
B.24
C.25
D.26
答案
6. C 解析:如图,过点P作$PG⊥AB$于点G,在AB上取点H,使$AH=1$,连接PA,PH,PB,
∵$E(1,225)$,
∴当$x=1$时,动点Q运动到了点H的位置,则由图象可知,$PH^2=225$,当点Q运动到点G的时候,$PQ^2$最小,即$PG^2=81$,$HG=m-1$,在$Rt△PGH$中,$GH^2+PG^2=PH^2$,即$(m-1)^2+81=225$,解得$m=13$或$m=-11$(舍去).
∵y关于x的函数图象最低点$D(m,81)$,且经过$E(1,225)$和$F(n,225)$两点,
∴抛物线的对称轴为直线$x=m=13$,且点E,F关于抛物线的对称轴对称,
∴$n=13+(13-1)=25$.故选C.
7. (2026·绥化期末)如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(1,n)$,与$x$轴的一个交点为$B(3,0)$,与$y$轴的交点在$(0,-3)$和$(0,-2)$之间,则下列结论:
①$\frac{ab}{c}＞0$;②$-2＜b＜-\frac{4}{3}$;
③$(a+c)^2 - b^2 = 0$;
④$2c - a ＜ 2n$.
正确的有
(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$\frac{ab}{c}＞0$;②$-2＜b＜-\frac{4}{3}$;
③$(a+c)^2 - b^2 = 0$;
④$2c - a ＜ 2n$.
正确的有
(
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7. C 解析:①
∵函数图象开口向上,
∴$a＞0$.
∵对称轴在y轴右侧,
∴a与b异号,
∴$b＜0$.
∵函数图象与y轴交于负半轴,
∴$c＜0$.故$\frac{ab}{c}＞0$,故①正确.
②
∵抛物线与x轴的一个交点为$B(3,0)$,顶点为$(1,n)$,
∴$9a+3b+c=0$,$-\frac{b}{2a}=1$,即$b=-2a$.
∵$1-(3-1)=-1$,
∴抛物线与x轴的另一个交点为$(-1,0)$.
∵$b=-2a$,
∴$c=\frac{3b}{2}$,
∴$-3＜\frac{3b}{2}＜-2$,
∴$-2＜b＜-\frac{4}{3}$,故②正确.
③当$x=-1$时,$y=a-b+c=0$,
∴$(a+c)^2-b^2=(a+b+c)(a-b+c)=0$,故③正确.
④当$x=1$时,$y=a+b+c=n$.
∵顶点坐标为$(1,n)$,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$,
∴$b=-2a＜0$,$a=-\frac{b}{2}$,
∴点$B(3,0)$关于对称轴直线$x=1$的对称点为$(-1,0)$,
∴当$x=-1$时,$y=a-b+c=0$,得$c=\frac{3}{2}b$,
∴$n=2b$,$2n=4b$,
∴$2c-a=\frac{7}{2}b$.
∵$b＜0$,
∴$\frac{7}{2}b＞4b$,即$2c-a＞2n$,故④错误.
综上所述,正确的有3个,故选C.
∵函数图象开口向上,
∴$a＞0$.
∵对称轴在y轴右侧,
∴a与b异号,
∴$b＜0$.
∵函数图象与y轴交于负半轴,
∴$c＜0$.故$\frac{ab}{c}＞0$,故①正确.
②
∵抛物线与x轴的一个交点为$B(3,0)$,顶点为$(1,n)$,
∴$9a+3b+c=0$,$-\frac{b}{2a}=1$,即$b=-2a$.
∵$1-(3-1)=-1$,
∴抛物线与x轴的另一个交点为$(-1,0)$.
∵$b=-2a$,
∴$c=\frac{3b}{2}$,
∴$-3＜\frac{3b}{2}＜-2$,
∴$-2＜b＜-\frac{4}{3}$,故②正确.
③当$x=-1$时,$y=a-b+c=0$,
∴$(a+c)^2-b^2=(a+b+c)(a-b+c)=0$,故③正确.
④当$x=1$时,$y=a+b+c=n$.
∵顶点坐标为$(1,n)$,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$,
∴$b=-2a＜0$,$a=-\frac{b}{2}$,
∴点$B(3,0)$关于对称轴直线$x=1$的对称点为$(-1,0)$,
∴当$x=-1$时,$y=a-b+c=0$,得$c=\frac{3}{2}b$,
∴$n=2b$,$2n=4b$,
∴$2c-a=\frac{7}{2}b$.
∵$b＜0$,
∴$\frac{7}{2}b＞4b$,即$2c-a＞2n$,故④错误.
综上所述,正确的有3个,故选C.
8. (2025·南通中考)在平面直角坐标系$xOy$中,五个点的坐标分别为$A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5)$.若抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$经过上述五个点中的三个点,则满足题意的$a$的值不可能为 (
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
C
)A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
8. C 解析:抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$的对称轴为直线$x=2$,若A,D,E三点在抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$上,
∵$A(-1,5)$,$E(5,5)$,
∴A,E关于对称轴$x=2$对称,将$A(-1,5)$,$D(3,-1)$代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2+k,\\-1=a(3-2)^2+k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{4},\\k=-\frac{7}{4},\end{cases}$当$x=5$时,代入$y=\frac{3}{4}(x-2)^2-\frac{7}{4}$,得$y=\frac{3}{4}×(5-2)^2-\frac{7}{4}$,
∴点E在抛物线$y=\frac{3}{4}(x-2)^2-\frac{7}{4}$上,故抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$同时经过A,D,E三点;
若A,C,E三点在抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$上
把$A(-1,5)$,$C(2,1)$代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2+k,\\1=a(2-2)^2+k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{4}{9},\\k=1,\end{cases}$当$x=5$时,代入$y=\frac{4}{9}(x-2)^2+1$,得$y=\frac{4}{9}×(5-2)^2+1=5$,
∴$E(5,5)$在抛物线$y=\frac{4}{9}(x-2)^2+1$上,故抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$同时过A,C,E三点;
若A,B,E三点在抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$上,
把$A(-1,5)$,$B(1,2)$代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2+k,\\2=a(1-2)^2+k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{8},\\k=\frac{13}{8},\end{cases}$把$x=5$代入$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{13}{8}$,得$y=\frac{3}{8}×(5-2)^2+\frac{13}{8}=5$,
∴$E(5,5)$在抛物线$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{13}{8}$上,
∴抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$同时过A,B,E三点.
综上所述,抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$能同时经过的三个点有A,D,E;A,C,E;A,B,E,且a的值分别是$\frac{3}{4}$,$\frac{4}{9}$,$\frac{3}{8}$.故选C.
∵$A(-1,5)$,$E(5,5)$,
∴A,E关于对称轴$x=2$对称,将$A(-1,5)$,$D(3,-1)$代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2+k,\\-1=a(3-2)^2+k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{4},\\k=-\frac{7}{4},\end{cases}$当$x=5$时,代入$y=\frac{3}{4}(x-2)^2-\frac{7}{4}$,得$y=\frac{3}{4}×(5-2)^2-\frac{7}{4}$,
∴点E在抛物线$y=\frac{3}{4}(x-2)^2-\frac{7}{4}$上,故抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$同时经过A,D,E三点;
若A,C,E三点在抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$上
把$A(-1,5)$,$C(2,1)$代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2+k,\\1=a(2-2)^2+k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{4}{9},\\k=1,\end{cases}$当$x=5$时,代入$y=\frac{4}{9}(x-2)^2+1$,得$y=\frac{4}{9}×(5-2)^2+1=5$,
∴$E(5,5)$在抛物线$y=\frac{4}{9}(x-2)^2+1$上,故抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$同时过A,C,E三点;
若A,B,E三点在抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$上,
把$A(-1,5)$,$B(1,2)$代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2+k,\\2=a(1-2)^2+k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{8},\\k=\frac{13}{8},\end{cases}$把$x=5$代入$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{13}{8}$,得$y=\frac{3}{8}×(5-2)^2+\frac{13}{8}=5$,
∴$E(5,5)$在抛物线$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{13}{8}$上,
∴抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$同时过A,B,E三点.
综上所述,抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$能同时经过的三个点有A,D,E;A,C,E;A,B,E,且a的值分别是$\frac{3}{4}$,$\frac{4}{9}$,$\frac{3}{8}$.故选C.
