6. (连云港中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线$L_1:y=x^2-2x-3$的顶点为$P$.直线$l$过点$M(0,m)(m≥-3)$,且平行于$x$轴,与抛物线$L_1$交于$A,B$两点($B$在$A$的右侧).将抛物线$L_1$沿直线$l$翻折得到抛物线$L_2$,抛物线$L_2$交$y$轴于点$C$,顶点为$D$.
(1)当$m=1$时,求点$D$的坐标;
(2)连接$BC,CD,DB$,若$△ BCD$为直角三角形,求此时$L_2$所对应的函数解析式;
(3)在(2)的条件下,若$△ BCD$的面积为$3$,$E,F$两点分别在边$BC,CD$上运动,且$EF=CD$,以$EF$为一边作正方形$EFGH$,连接$CG$,写出$CG$长度的最小值,并简要说明理由.

备用图

6. (1)$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore$ 抛物线$L_1$的顶点坐标$P(1,-4)$.$\because m=1$,$\therefore$ 点$P$和点$D$关于直线$y=1$对称,$\therefore$ 点$D$的坐标为$(1,6)$.
(2)$\because$ 抛物线$L_1$的顶点$P(1,-4)$与$L_2$的顶点$D$关于直线$y=m$对称,$\therefore D(1,2m+4)$,抛物线$L_2:y=-(x-1)^2+(2m+4)=-x^2+2x+2m+3$,$\therefore$ 当$x=0$时,$C(0,2m+3)$.①当$∠ BCD=90°$时,如图①,过点$D$作$DN⊥ y$轴于点$N$,
$\because D(1,2m+4)$,$\therefore N(0,2m+4)$.$\because C(0,2m+3)$,$\therefore DN=NC=1$,$\therefore ∠ DCN=45°$.$\because ∠ BCD=90°$,$\therefore ∠ BCO=45°$.$\because$ 直线$l// x$轴,$\therefore ∠ BOC=90°$,$∠ CBO=∠ BCO=45°$,$BO=CO$.$\because m≥-3$,$\therefore BO=CO=(2m+3)-m=m+3$,$\therefore B(m+3,m)$.$\because$ 点$B$在$y=x^2-2x-3$的图象上,$\therefore m=(m+3)^2-2(m+3)-3$,$\therefore m=0$或$m=-3$.$\because$ 当$m=-3$时,得$B(0,-3)$,$C(0,-3)$,此时,点$B$和点$C$重合,舍去,当$m=0$时,符合题意;将$m=0$代入$L_2:y=-x^2+2x+2m+3$得$L_2:y=-x^2+2x+3$.

②当$∠ BDC=90°$时,如图②,过点$B$作$BT⊥ ND$交$ND$的延长线于点$T$,同理,$BT=DT$,$\therefore D(1,2m+4)$,$\therefore DT=BT=(2m+4)-m=m+4$.$\because DN=1$,$\therefore NT=DN+DT=1+(m+4)=m+5$,$\therefore B(m+5,m)$.$\because$ 点$B$在$y=x^2-2x-3$的图象上,$\therefore m=(m+5)^2-2(m+5)-3$,解得$m=-3$或$m=-4$.$\because m≥-3$,$\therefore m=-4$不符合题意,舍去,当$m=-3$时,$B(2,-3)$,$C(0,-3)$符合题意;将$m=-3$代入$L_2:y=-x^2+2x+2m+3$得$L_2:y=-x^2+2x-3$.

③易知,当$∠ DBC=90°$时,此种情况不存在.
综上所述,$L_2$所对应的函数解析式为$y=-x^2+2x+3$或$y=-x^2+2x-3$.
(3)$CG$长度的最小值为$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$.理由:由(2)知,当$∠ BDC=90°$,$m=-3$时,此时$△ BCD$的面积为1,不符合题意,舍去;当$∠ BCD=90°$,$m=0$时,此时$△ BCD$的面积为3,符合题意,由题意得$EF=FG=CD=\sqrt{2}$,取$EF$的中点$Q$,在$\mathrm{Rt}△ CEF$中可求得$CQ=\frac{1}{2}EF=\frac{\sqrt{2}}{2}$,在$\mathrm{Rt}△ FGQ$中可求得$GQ=\frac{\sqrt{10}}{2}$,当$Q,C,G$三点共线时,$CG$取最小值,最小值为$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$.

7. (岳阳中考改编)如图①,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$F_1:y=x^2+bx+c$经过点$A(-3,0)$和点$B(1,0)$.
(1)求抛物线$F_1$的解析式.
(2)如图②,作抛物线$F_2$,把抛物线$F_1$绕原点旋转$180°$得到抛物线$F_2$,请直接写出抛物线$F_2$的解析式.
(3)如图③,将(2)中抛物线$F_2$向上平移2个单位长度,得到抛物线$F_3$,抛物线$F_1$与抛物线$F_3$相交于$C,D$两点(点$C$在点$D$的左侧).
①求点$C$和点$D$的坐标;
②若点$M,N$分别为抛物线$F_1$和抛物线$F_3$上$C,D$之间的动点(点$M,N$与点$C,D$不重合),试求四边形$CMDN$面积的最大值.

7. (1)将点$A(-3,0)$和点$B(1,0)$代入$y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases}9-3b+c=0,\\1+b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=-3,\end{cases}$ $\therefore y=x^2+2x-3$.
(2)$y=-x^2+2x+3$.
解析:$\because y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,$\therefore$ 抛物线$F_1$的顶点为$(-1,-4)$.$\because$ 顶点$(-1,-4)$关于原点的对称点为$(1,4)$,$\therefore$ 抛物线$F_2$的解析式为$y=-(x-1)^2+4$,$\therefore y=-x^2+2x+3$.
(3)①由题意可得抛物线$F_3$的解析式为$y=-(x-1)^2+6=-x^2+2x+5$,联立方程组$\begin{cases}y=-x^2+2x+5,\\y=x^2+2x-3,\end{cases}$解得$x=2$或$x=-2$,
$\therefore C(-2,-3)$,$D(2,5)$.
②设直线$CD$的解析式为$y=kx+b$,
$\therefore \begin{cases}-2k+b=-3,\\2k+b=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=1,\end{cases}$ $\therefore y=2x+1$.如图,过点$M$作$MF// y$轴交$CD$于点$F$,过点$N$作$NE// y$轴交$CD$于点$E$,设$M(m,m^2+2m-3)$,$N(n,-n^2+2n+5)$,则$F(m,2m+1)$,$E(n,2n+1)$,$\therefore MF=2m+1-(m^2+2m-3)=-m^2+4$,$NE=-n^2+2n+5-2n-1=-n^2+4$.
$\because -2＜m＜2$,$-2＜n＜2$,$\therefore$ 当$m=0$时,$MF$有最大值4,当$n=0$时,$NE$有最大值4. $\because S_{四边形CMDN}=S_{△ CDN}+S_{△ CDM}=\frac{1}{2}×4×(MF+NE)=2(MF+NE)$,$\therefore$ 当$MF+NE$最大时,四边形$CMDN$面积的最大值为16.