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1[2026北京海淀区校级期中]若抛物线$y=2(x-m-1)^2+2m+4$的顶点在第二象限，则$m$的取值范围是（
A.$m＞1$
B.$m＜2$
C.$1＜m＜2$
D.$-2＜m＜-1$
D
）A.$m＞1$
B.$m＜2$
C.$1＜m＜2$
D.$-2＜m＜-1$
答案
抛物线$y=2(x-m-1)^2+2m+4$的顶点坐标为$(m+1,2m+4).\because$顶点在第二象限，$\therefore m+1＜0,2m+4＞0,\therefore -2＜m＜-1$,故选D.
2[2025贵州黔东南州调研]已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.下列关于该函数在所给自变量取值范围内的说法,正确的是 (
A.图象关于直线$x=1$对称
B.有最小值$-1$,有最大值$3$
C.$y$值随$x$值的增大而增大
D.有最小值$0$,有最大值$3$
B
)A.图象关于直线$x=1$对称
B.有最小值$-1$,有最大值$3$
C.$y$值随$x$值的增大而增大
D.有最小值$0$,有最大值$3$
答案
根据轴对称定义得,该函数的图象不是轴对称图形,故A选项错误.根据函数图象的最高点和最低点,得出函数的最大值为3,最小值为-1,故B选项正确,D选项错误.当0≤x≤1时,y值随x值的增大而减小;当1＜x≤3时,y值随x值的增大而增大,故C选项错误.故选B.
3[2026北京东城区期中]已知y是关于x的二次函数，y与x的部分对应值如表所示，当0＜x＜3时，y的取值范围是（
A.$2＜y＜6$
B.$2≤ y＜6$
C.$3＜y＜6$
D.$3≤ y＜6$
B
）A.$2＜y＜6$
B.$2≤ y＜6$
C.$3＜y＜6$
D.$3≤ y＜6$
答案
$\because x=0$或2时,y的值为3,$\therefore$抛物线的对称轴是直线$x=1$,$\therefore$当$x=3$时,$y=m=6$.易知抛物线开口向上,$\therefore$当$0＜x＜3$时,$2≤y＜6$.故选B.
4 已知二次函数$y=-(x-1)^2+2$，当$t＜x＜5$时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是
1≤t＜5
。答案
由$y=-(x-1)^2+2$可知抛物线的对称轴为直线$x=1$.因为$a=-1＜0$,所以抛物线开口向下,所以当$x＞1$时,y值随x值的增大而减小.因为$t＜x＜5$时,y随x的增大而减小,所以$1≤t＜5$.故答案为$1≤t＜5$.
5 如图是二次函数$y=a(x+1)^2+4$的图象的一部分(点A为抛物线与x轴的交点,且在网格线的交点处),根据图象回答下列问题:
(1)确定$a$的值;
(2)设抛物线的顶点是$P,B$是$x$轴上的一个点,若$△ PAB$的面积为6,求点$B$的坐标.
(1)确定$a$的值;
(2)设抛物线的顶点是$P,B$是$x$轴上的一个点,若$△ PAB$的面积为6,求点$B$的坐标.
答案
(1)由图象可知A点坐标为$(-4,0).\because$二次函数$y=a(x+1)^2+4$,$\therefore 0=a(-4+1)^2+4$,解得$a=-\frac{4}{9}$.
(2)$\because$二次函数$y=-\frac{4}{9}(x+1)^2+4$,$\therefore P(-1,4)$.设B的坐标为$(m,0)$,$\therefore AB=|m+4|$.$\because △ PAB$的面积为6,$\therefore \frac{1}{2}×4×|m+4|=6$,$\therefore m=-1$或-7,$\therefore$点B的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$.
(2)$\because$二次函数$y=-\frac{4}{9}(x+1)^2+4$,$\therefore P(-1,4)$.设B的坐标为$(m,0)$,$\therefore AB=|m+4|$.$\because △ PAB$的面积为6,$\therefore \frac{1}{2}×4×|m+4|=6$,$\therefore m=-1$或-7,$\therefore$点B的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$.
6[2026湖北武汉期中]将抛物线$y=-2(x+1)^2 -2$先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为
$y=-2(x-2)^2-5$
。答案
将抛物线$y=-2(x+1)^2-2$先向右平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为$y=-2(x+1-3)^2-2-3$,即$y=-2(x-2)^2-5$.故答案为$y=-2(x-2)^2-5$.
7[2025江苏淮安淮阴区质检]点P(m,5)在抛物线$C:y=-(x-3)^2+6$上,将抛物线$C$进行平移得到抛物线$C':y=-x^2+2$,$P$的对应点为$P'$,则点P移动的最短路程为
5
.答案
$\because$抛物线$C:y=-(x-3)^2+6$,$\therefore$抛物线C的顶点坐标为$(3,6)$.$\because$抛物线$C':y=-x^2+2$,$\therefore$抛物线$C'$的顶点坐标为$(0,2)$.$\because$将抛物线C进行平移得到抛物线$C'$,$\therefore$点P移动的最短路程为$\sqrt{3^2+(6-2)^2}=5$.故答案为5.
8[2026河北邯郸期末]某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为$\frac{3}{2}$米的喷水管喷水最大高度为4米，此时距喷水管水平距离为$\frac{1}{2}$米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数解析式为
刷易错 小心有坑~
$y=-10(x-\frac{1}{2})^2+4$
.(不需要写出自变量的取值范围)刷易错 小心有坑~
答案
根据题意可设函数解析式为$y=a(x-\frac{1}{2})^2+4$,把$(0,\frac{3}{2})$代入可得,$\frac{1}{4}a+4=\frac{3}{2}$,解得$a=-10$,所以函数解析式为$y=-10(x-\frac{1}{2})^2+4$.
9 抛物线的函数解析式为$y=3(x-2)^2+1$，若将$x$轴向上平移2个单位长度，将$y$轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为 (
A.$y=3(x+1)^2+3$
B.$y=3(x-5)^2+3$
C.$y=3(x-5)^2-1$
D.$y=3(x+1)^2-1$
C
)A.$y=3(x+1)^2+3$
B.$y=3(x-5)^2+3$
C.$y=3(x-5)^2-1$
D.$y=3(x+1)^2-1$
答案
根据题意知,将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度相当于将抛物线$y=3(x-2)^2+1$向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,则所得抛物线的解析式为$y=3(x-5)^2-1$.故选C.
