1[中]已知二次函数$y=(x-h)^2$（$h$为常数），当自变量$x$的值满足$1≤ x≤3$时，其对应的函数值$y$的最小值为1，则$h$的值为 （）

A.2或4
B.0或4
C.2或3
D.0或3

1.B 【解析】函数图象的对称轴为直线$x=h$，开口向上. ①当$h≥3$时，则当$x=3$时，函数取得最小值1，即$(3-h)^2=1$，解得$h=4$或$h=2$(舍去)；②当$h≤1$时，则当$x=1$时，函数取得最小值1，即$(1-h)^2=1$，解得$h=0$或$h=2$(舍去)；③当$1＜h＜3$时，则当$x=h$时，函数取得最小值0，不符合题意. 综上，$h=4$或$h=0$. 故选B.

2[中]设函数$y_1=-(x-m)^2$，$y_2=-(x-n)^2$，直线$x=1$与函数$y_1,y_2$的图象分别交于点$A(1,a_1)$，$B(1,a_2)$，下列判断正确的是（）

A.若$1＜m＜n$，则$a_1＜a_2$
B.若$m＜1＜n$，则$a_1＜a_2$
C.若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$
D.若$m＜n＜1$，则$a_2＜a_1$

2.C 【解析】如图(1)所示，若$1＜m＜n$，则$a_1＞a_2$，故A选项错误；如图(2)、图(3)所示，若$m＜1＜n$，则$a_1＞a_2$或$a_1＜a_2$，故B选项错误；如图(4)所示，若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$，故C选项正确，D选项错误. 故选C.

3[2026北京海淀区质检,中]对于二次函数$y_1=a(x+2)^2$和$y_2=a(x-2)^2(a＞0)$，其自变量和函数数值的两组对应值如表所示：

根据二次函数图象的相关性质可知，$m=$，$d-b=$。

3.4 5 【解析】对于二次函数$y_1=a(x+2)^2$和$y_2=a(x-2)^2(a＞0)$，由表格中的数据得，当$x=-4$时，$y_1=4a=b$，即$b=4a$；$y_2=36a=d$，即$d=36a$. 当$x=m$时，$y_1=a(m+2)^2=b+5$，代入$b=4a$得，$a(m+2)^2=4a+5$；$y_2=a(m-2)^2=b$，代入$b=4a$得，$a(m-2)^2=4a$，化简得$(m-2)^2=4$，解得$m=4$或$m=0$. 当$m=0$时，可得$4a=4a+5$，此情况不存在；当$m=4$时，可得$36a=4a+5$，解得$a=\frac{5}{32}$，符合$a＞0$，
∴$d=36a=36×\frac{5}{32}=\frac{45}{8}$，$b=4a=4×\frac{5}{32}=\frac{5}{8}$，
∴$d-b=\frac{45}{8}-\frac{5}{8}=5$. 故答案为4,5.

4[中]在平面直角坐标系内有线段PQ，已知$P(3,1),Q(9,1)$，若抛物线$y=(x-a)^2$与线段PQ有交点，则a的取值范围是。

4.$2≤a≤10$ 【解析】由$y=(x-a)^2$可得抛物线的对称轴为直线$x=a$，顶点坐标为$(a,0)$. 当对称轴在点P左侧时，$a＜3$，把$P(3,1)$代入$y=(x-a)^2$得$1=(3-a)^2$，解得$a=2$或$a=4$(舍去)；当对称轴在点Q右侧时，$a＞9$，把$Q(9,1)$代入$y=(x-a)^2$得$1=(9-a)^2$，解得$a=10$或$a=8$(舍去)，
∴当$2≤a≤10$时，抛物线$y=(x-a)^2$与线段PQ有交点，故答案为$2≤a≤10$.

5[较难]如图,点$P_{1},P_{2},P_{3},···,P_{n}$在抛物线$y=a(x-1)^2$上,点$Q_{1},Q_{2},Q_{3},···,Q_{n}$在抛物线的对称轴上,若$△ P_{1}Q_{0}Q_{1},△ P_{2}Q_{1}Q_{2},···,△ P_{n}Q_{n-1}Q_{n}$都为等边三角形(点$Q_{0}$是抛物线的顶点)且$Q_{0}Q_{1}=2$,则$P_{n}$的坐标为.

5.$(\sqrt{3}n+1,n^2)$ 【解析】如图，过点$P_1,P_2$作$P_1M_1⊥Q_1Q_0$，$P_2M_2⊥Q_1Q_2$. $\because$ 点$Q_1,Q_2,Q_3,…,Q_n$在抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴上，对称轴为直线$x=1$，则点$Q_1,Q_2,Q_3,…,Q_n$的横坐标为1. $\because Q_0Q_1=2$，$△ P_1Q_0Q_1$是等边三角形，
∴$Q_0M_1=\frac{1}{2}Q_0Q_1=1$，易得$M_1P_1=\sqrt{3}$，
∴$P_1(1+\sqrt{3},1)$. $\because P_1(1+\sqrt{3},1)$在抛物线$y=a(x-1)^2$上，
∴$1=3a$，解得$a=\frac{1}{3}$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}(x-1)^2$. 设$Q_1Q_2=m$，则$Q_1M_2=\frac{m}{2}$，易得$M_2P_2=\frac{\sqrt{3}}{2}m$，
∴$P_2$的纵坐标为$\frac{1}{2}m+2$，$P_2$的横坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}m+1$，
∴$\frac{1}{2}m+2=\frac{1}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}m+1-1)^2$，解得$m=-2$(舍去)或$m=4$，
∴$P_2$的纵坐标为4，$P_2$的横坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}×4+1=2\sqrt{3}+1$，即$P_2(2\sqrt{3}+1,4)$. $\because$ 点$P_1,P_2,P_3,…,P_n$在抛物线$y=\frac{1}{3}(x-1)^2$上，且在第一象限，
∴横坐标与纵坐标满足$x=\sqrt{3y}+1$. 同理可得$P_3$的纵坐标为9，横坐标为$\sqrt{3×9}+1=3\sqrt{3}+1$，…，$P_n$的纵坐标为$n^2$，横坐标为$\sqrt{3× n^2}+1=\sqrt{3}n+1$，
∴$P_n(\sqrt{3}n+1,n^2)$，故答案为$(\sqrt{3}n+1,n^2)$.

6[中]如图，在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=1，现把$△ OAB$沿x轴的正方向平移1个单位长度后得$△ AA_1B_1$.
(1)求以A为顶点，且经过点$B_1$的抛物线的解析式；
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点C,D的坐标.

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6.【解】(1)$\because OA=AB=1$，$∠ OAB=90°$，
∴$A(1,0)$，$B(1,1)$. 由平移的性质，得$A_1(2,0)$，$B_1(2,1)$. $\because$ 抛物线的顶点坐标为$A(1,0)$.
∴可设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2$. 把$B_1(2,1)$代入$y=a(x-1)^2$，得$a=1$，
∴以A为顶点，且经过点$B_1$的抛物线的解析式为$y=(x-1)^2$.
(2)设直线OB的解析式为$y=kx(k≠0)$. 把$B(1,1)$代入，得$k=1$，
∴直线OB的解析式为$y=x$. 由$\begin{cases} y=x, \\ y=(x-1)^2, \end{cases}$得$\begin{cases} x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}, \\ y=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \end{cases}$或$\begin{cases} x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, \\ y=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \end{cases}$(不符合题意，舍去)，
∴点C的坐标为$(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})$. 对于$y=(x-1)^2$，当$x=0$时，$y=1$，
∴$D(0,1)$，
∴点C的坐标为$(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\dfrac{3-\sqrt{5}}{2})$，点D的坐标为$(0,1)$.

7 思想方法数形结合[2026河南驻马店质检,较难]
如图,直线$y=-x-2$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A$,且经过点$B$.
(1)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上,求$m$的值;
(2)若抛物线的对称轴上存在一点$P$,使$PO+PB$的值最小,求出点$P$的坐标.

7.【解】(1)对于直线$y=-x-2$，令$x=0$，可得$y=-2$，则点B坐标为$(0,-2)$；令$y=0$，可得$x=-2$，则点A坐标为$(-2,0)$. $\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为A，且经过点B，
∴$y=a(x+2)^2$，将$(0,-2)$代入，得$-2=4a$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$. $\because$ 点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$上，
∴$-\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$，整理得$m^2+4m-5=0$，解得$m_1=1$，$m_2=-5$. 故$m$的值为1或-5.
(2)如图，设点B关于对称轴$x=-2$的对称点为$B'$，连接$OB'$，$OB'$与对称轴的交点即为点P. $\because$ 点B坐标为$(0,-2)$，对称轴是直线$x=-2$，
∴$B'(-4,-2)$，则易得直线$OB'$的解析式为$y=\frac{1}{2}x$，当$x=-2$时，$y=-1$，故$P(-2,-1)$.