1[2025河北衡水质检,中]已知$a(a＜0)$,$h(0＜h＜10)$,$k$为三个常数,且二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象经过$(0,5)$,$(10,8)$两点.对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是 ()
结论Ⅰ:$h$的值可能为5;
结论Ⅱ:点$P(m,n)$在二次函数图象上,若$n=8$,则满足条件的点$P$有两个.

A.Ⅰ和Ⅱ都对
B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对Ⅱ对
D.Ⅰ对Ⅱ不对

$\because$二次函数$y=a(x-h)^2+k$,$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=h$.$\because a＜0$,$\therefore$抛物线开口向下.如图,$\because$图象经过$(0,5)$,$(10,8)$两点,$0＜h＜10$,$\therefore 5＜h＜10$,故结论Ⅰ不正确.$\because$图象经过$(0,5)$,$(10,8)$两点,$a＜0$,$0＜h＜10$,对称轴为直线$x=h$,$\therefore$点$(10,8)$不是抛物线的顶点,函数的最大值大于8,$\therefore$当$n=8$时,满足条件的点P有两个,故结论Ⅱ正确.故选C.

2[中]已知抛物线$C:y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -1$，顶点为$D$，将抛物线$C$沿水平方向向右(或向左)平移$|m|$个单位长度，得到抛物线$C_1$，顶点为$D_1$，抛物线$C$与抛物线$C_1$交于点$Q$。若$∠ DQD_1=60°$，则$m$等于（）

A.$\pm4\sqrt{3}$
B.$\pm2\sqrt{3}$
C.$-2$或$2\sqrt{3}$
D.$-4$或$4\sqrt{3}$

抛物线$C:y=\frac{1}{2}(x-1)^2-1$沿水平方向向右(或向左)平移$|m|$个单位长度得到抛物线$C_1:y=\frac{1}{2}(x-m-1)^2-1$,$\therefore D(1,-1)$,$D_1(m+1,-1)$,$\therefore Q$点的横坐标为$\frac{m+2}{2}$,代入$y=\frac{1}{2}(x-1)^2-1$,得$y=\frac{m^2}{8}-1$,$\therefore Q(\frac{m+2}{2},\frac{m^2}{8}-1)$.
$\because ∠ DQD_1=60°$,$\therefore$易知$△ DQD_1$是等边三角形,$\therefore QD=DD_1=|m|$,$\therefore (\frac{m+2}{2}-1)^2+(\frac{m^2}{8}-1+1)^2=m^2$,解得$m=\pm4\sqrt{3}$($m=0$已舍去).故选A.

3[较难]如图，抛物线$l_1:y_1=-(x+1)^2+2$与$l_2:y_2=-(x-2)^2-1$交于点$B(1,-2)$，且分别与$y$轴交于点$D,E$.过点$B$作$x$轴的平行线，交两条抛物线于点$A,C$，则以下结论：
①无论$x$取何值，$y_2$总是负数；
②$l_2$可由$l_1$向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③随着$x$的增大，$y_1-y_2$的值先增大后减小；
④四边形$AECD$为正方形.

其中正确的是.(填序号)

①$\because (x-2)^2≥0$,$\therefore -(x-2)^2≤0$,$\therefore y_2=-(x-2)^2-1≤-1＜0$,$\therefore$无论x取何值,$y_2$总是负数,故①正确.②$\because$抛物线$l_1:y_1=-(x+1)^2+2$的顶点为$(-1,2)$,抛物线$l_2:y_2=-(x-2)^2-1$的顶点为$(2,-1)$,$\therefore l_2$可由$l_1$向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到,故②正确.③$\because y_1-y_2=-(x+1)^2+2-[-(x-2)^2-1]=-6x+6$,$\therefore$随着x的增大,$y_1-y_2$的值逐渐减小,故③错误.④设AC与DE交于点F.$\because$当$y=-2$时,$-(x+1)^2+2=-2$,解得$x=-3$或$1$,$\therefore$点$A(-3,-2)$.当$y=-2$时,$-(x-2)^2-1=-2$,解得$x=3$或$1$,$\therefore$点$C(3,-2)$,$\therefore AF=CF=3$,$AC=6$.当$x=0$时,$y_1=1$,$y_2=-5$,$\therefore DE=6$,$DF=EF=3$,$\therefore$四边形AECD为平行四边形.又$\because AC=DE$,$\therefore$四边形AECD为矩形.又$\because AC⊥ DE$,$\therefore$四边形AECD为正方形,故④正确.故答案为①②④.

4[2026浙江宁波质检,较难]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$C_1:y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+h$分别与$x$轴、$y$轴交于点$A(1,0)$和点$B(0,-2)$,
连接$AB$,过点$A$作$AP ⊥ AB$且$AP=AB$.
(1)求点$P$的坐标及抛物线$C_1$的解析式;
(2)将抛物线$C_1$先向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到抛物线$C_2$,请你判断点$P$是否在抛物线$C_2$上,并说明理由.

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(1)$\because$点$A(1,0)$和点$B(0,-2)$,$\therefore OA=1$,$OB=2$.过P作$PM⊥ x$轴于M,如图所示.
$\because AB=AP$,$AP⊥ AB$,$\therefore ∠ OAB+∠ PAM=∠ ABO+∠ OAB=90°$,$\therefore ∠ ABO=∠ PAM$.
在$△ ABO$和$△ PAM$中,$\begin{cases}∠ AOB=∠ PMA=90°,\\∠ ABO=∠ PAM,\\AB=PA,\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ PAM$,$\therefore AM=OB$,$PM=OA$,$\therefore P(3,-1)$.
$\because$点$A(1,0)$和点$B(0,-2)$在抛物线$C_1:y=a(x-\frac{5}{2})^2+h$上,
$\therefore \begin{cases}0=a(1-\frac{5}{2})^2+h,\\-2=a(0-\frac{5}{2})^2+h,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\h=\frac{9}{8},\end{cases}$
$\therefore$抛物线$C_1$的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{8}$.
(2)点P在抛物线$C_2$上.理由如下:
$\because$将抛物线$C_1$先向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到抛物线$C_2$,
$\therefore$抛物线$C_2$的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2}+2)^2+\frac{9}{8}+1=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{8}$,
当$x=3$时,$y=-\frac{1}{2}×(3-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{8}=-1$,$\therefore$点P在抛物线$C_2$上.

5 思想方法 数形结合[较难]如图,抛物线$y=a(x-h)^2+k(a＜0,k＞0)$的顶点为A,对称轴与x轴交于点C,当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B,D恰好在抛物线上时,我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”,正方形ABCD为它的内接正方形.
(1)若抛物线$y=ax^2+2$是“美丽抛物线”,则$a=$;
(2)若抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+k$是“美丽抛物线”,则$k=$;
(3)若抛物线$y=a(x-h)^2+k$是“美丽抛物线”,求a,k之间的数量关系.

(1)$\because y=ax^2+2$,$\therefore$顶点$A(0,2)$,对称轴为y轴,$\therefore$点C的坐标为$(0,0)$,$\therefore AC=2$.如图(1),连接BD.$\because$四边形ABCD为正方形,$\therefore BD⊥ OA$且BD与OA互相平分,$BD=OA=2$,$\therefore$点D的坐标为$(1,1)$.$\because$点D在抛物线$y=ax^2+2$上,$\therefore$将点D的坐标代入$y=ax^2+2$得$1=a×1^2+2$,解得$a=-1$.故答案为-1.
(2)$\because y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+k$,$\therefore$顶点A的坐标为$(1,k)$,点C的坐标为$(1,0)$.如图(2),连接BD.同(1)可得点D的坐标为$(\frac{1}{2}k+1,\frac{1}{2}k)$.
$\because$点D在抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+k$上,$\therefore$将点D的坐标代入$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+k$得$\frac{k}{2}=-\frac{1}{2}(\frac{k}{2}+1-1)^2+k$,
解得$k_1=0$(舍去),$k_2=4$.故答案为4.
(3)$\because y=a(x-h)^2+k$,$\therefore$顶点A的坐标为$(h,k)$,点C的坐标为$(h,0)$.
同理可得,点D的坐标为$(\frac{1}{2}k+h,\frac{1}{2}k)$,将点D的坐标代入$y=a(x-h)^2+k$得$\frac{k}{2}=a(\frac{k}{2}+h-h)^2+k$,化简得$ak=-2$.
故a,k之间的数量关系为$ak=-2$.