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1 [2026 辽宁朝阳期中]菱形ABCD的周长为20 cm，那么菱形ABCD的边长是 （
A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.8 cm
B
）A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.8 cm
答案
1.B 【解析】根据菱形的性质可知,菱形的四条边相等,
∴ 菱形ABCD的边长为20÷4=5(cm). 故选B.
∴ 菱形ABCD的边长为20÷4=5(cm). 故选B.
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的基本性质：菱形的四条边长度相等。已知菱形的周长是四条边的长度之和，因此可推导得出“边长=周长÷4”的数量关系，代入题干给出的周长数值即可算出边长，对应选出正确选项。
【解析】
∵ 菱形的四条边长度相等，周长为四条边的长度和
∴ 菱形ABCD的边长 = 周长 ÷ 4
已知菱形周长为20 cm，代入计算得：边长 = 20 ÷ 4 = 5（cm）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；周长的计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查菱形的核心基础性质，计算量极小，只要熟练掌握菱形四条边相等的性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆菱形的基本性质：菱形的四条边长度相等。已知菱形的周长是四条边的长度之和，因此可推导得出“边长=周长÷4”的数量关系，代入题干给出的周长数值即可算出边长，对应选出正确选项。
【解析】
∵ 菱形的四条边长度相等，周长为四条边的长度和
∴ 菱形ABCD的边长 = 周长 ÷ 4
已知菱形周长为20 cm，代入计算得：边长 = 20 ÷ 4 = 5（cm）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；周长的计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查菱形的核心基础性质，计算量极小，只要熟练掌握菱形四条边相等的性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2[2024 四川泸州中考]已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定$□ ABCD$为矩形的是 (
A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=∠ C$
C.$AC=BD$
D.$AC⊥ BD$
D
)A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=∠ C$
C.$AC=BD$
D.$AC⊥ BD$
答案
2.D 【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当∠A=90°时,平行四边形ABCD是矩形,故选项A不符合题意.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠B+∠C=180°. 当∠B=∠C时,∠B=∠C=90°,
∴ 平行四边形ABCD为矩形,故选项B不符合题意.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形,故选项C不符合题意.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当AC⊥BD时,平行四边形ABCD是菱形,故选项D符合题意. 故选D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当∠A=90°时,平行四边形ABCD是矩形,故选项A不符合题意.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠B+∠C=180°. 当∠B=∠C时,∠B=∠C=90°,
∴ 平行四边形ABCD为矩形,故选项B不符合题意.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形,故选项C不符合题意.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当AC⊥BD时,平行四边形ABCD是菱形,故选项D符合题意. 故选D.
解析
【分析】
本题需要选出不能判定平行四边形ABCD为矩形的选项，解题思路如下：首先回忆矩形的判定定理：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形。再结合平行四边形的性质，逐个验证四个选项是否满足矩形的判定条件，最终选出不符合要求的选项即可，解题时需注意题干要求是选“不能判定”的，避免审题出错。
【解析】
我们逐个分析选项：
A.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，当∠A=90°时，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，故A不符合题意；
B.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，当∠B=∠C时，可得∠B=∠C=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，故B不符合题意；
C.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，当AC=BD时，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，故C不符合题意；
D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只能判定ABCD是菱形，不能判定为矩形，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是基础题，主要考查平行四边形判定为矩形、菱形的条件差异，解题时只要熟练掌握相关判定定理，仔细审题，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题需要选出不能判定平行四边形ABCD为矩形的选项，解题思路如下：首先回忆矩形的判定定理：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形。再结合平行四边形的性质，逐个验证四个选项是否满足矩形的判定条件，最终选出不符合要求的选项即可，解题时需注意题干要求是选“不能判定”的，避免审题出错。
【解析】
我们逐个分析选项：
A.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，当∠A=90°时，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，故A不符合题意；
B.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，当∠B=∠C时，可得∠B=∠C=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，故B不符合题意；
C.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，当AC=BD时，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，故C不符合题意；
D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只能判定ABCD是菱形，不能判定为矩形，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是基础题，主要考查平行四边形判定为矩形、菱形的条件差异，解题时只要熟练掌握相关判定定理，仔细审题，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3[2025 陕西中考]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=20°$,$CD$为$AB$边上的中线,$DE ⊥ AC$,则图中与$∠ A$互余的角共有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
(第3题图) (第4题图)
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
(第3题图) (第4题图)
答案
3.C 【解析】在Rt△ACB中,
∵ ∠ACB=90°,D为AB中点,
∴ CD=1/2 AB=AD=BD,
∴ ∠A=∠ACD=20°,∠B = ∠BCD = 90° − 20° = 70°.
∵ DE ⊥ AC,
∴ ∠AED=∠CED=90°,
∴ ∠ADE = ∠CDE = 90°−20°=70°.
∵ ∠A=20°,
∴ ∠A的余角为70°,
∴ 题图中与∠A互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE,共有4个. 故选C.
关键点拨：由直角三角形斜边上的中线的性质推出CD=AD=BD,再利用余角的概念进行判断即可.
∵ ∠ACB=90°,D为AB中点,
∴ CD=1/2 AB=AD=BD,
∴ ∠A=∠ACD=20°,∠B = ∠BCD = 90° − 20° = 70°.
∵ DE ⊥ AC,
∴ ∠AED=∠CED=90°,
∴ ∠ADE = ∠CDE = 90°−20°=70°.
∵ ∠A=20°,
∴ ∠A的余角为70°,
∴ 题图中与∠A互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE,共有4个. 故选C.
关键点拨：由直角三角形斜边上的中线的性质推出CD=AD=BD,再利用余角的概念进行判断即可.
解析
【分析】
要找出与∠A互余的角，首先明确互余的定义：和为90°的两个角互余，已知∠A=20°，即找度数为70°的角。第一步先利用直角三角形两锐角互余得到第一个互余角∠B；第二步根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，得CD=AD=BD，结合等边对等角推出∠BCD也与∠A互余；第三步结合DE⊥AC的垂直条件，在两个直角三角形中分别推导∠ADE、∠CDE与∠A的互余关系，最后统计个数即可。
【解析】
解：在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，即$∠ B$与$∠ A$互余。
$\because$ D为AB中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=AD=BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠ A=∠ ACD=20°$，$∠ B=∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCD + ∠ A = ∠ B + ∠ A = 90°$，即$∠ BCD$与$∠ A$互余。
$\because DE⊥ AC$，
$\therefore ∠ AED=∠ CED=90°$，
在$Rt△ ADE$中，$∠ A + ∠ ADE=90°$，即$∠ ADE$与$∠ A$互余；
在$Rt△ CDE$中，$∠ ACD + ∠ CDE=90°$，又$\because ∠ ACD=∠ A$，
$\therefore ∠ A + ∠ CDE=90°$，即$∠ CDE$与$∠ A$互余。
综上，与$∠ A$互余的角有$∠ B$、$∠ BCD$、$∠ ADE$、$∠ CDE$，共4个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质，余角定义，等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质和互余的判断，解题的关键是利用直角三角形斜边中线的性质得到相等的角，注意不要漏算间接和$∠ A$互余的角。
【难度系数】
0.7
要找出与∠A互余的角，首先明确互余的定义：和为90°的两个角互余，已知∠A=20°，即找度数为70°的角。第一步先利用直角三角形两锐角互余得到第一个互余角∠B；第二步根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，得CD=AD=BD，结合等边对等角推出∠BCD也与∠A互余；第三步结合DE⊥AC的垂直条件，在两个直角三角形中分别推导∠ADE、∠CDE与∠A的互余关系，最后统计个数即可。
【解析】
解：在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，即$∠ B$与$∠ A$互余。
$\because$ D为AB中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=AD=BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠ A=∠ ACD=20°$，$∠ B=∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCD + ∠ A = ∠ B + ∠ A = 90°$，即$∠ BCD$与$∠ A$互余。
$\because DE⊥ AC$，
$\therefore ∠ AED=∠ CED=90°$，
在$Rt△ ADE$中，$∠ A + ∠ ADE=90°$，即$∠ ADE$与$∠ A$互余；
在$Rt△ CDE$中，$∠ ACD + ∠ CDE=90°$，又$\because ∠ ACD=∠ A$，
$\therefore ∠ A + ∠ CDE=90°$，即$∠ CDE$与$∠ A$互余。
综上，与$∠ A$互余的角有$∠ B$、$∠ BCD$、$∠ ADE$、$∠ CDE$，共4个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质，余角定义，等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质和互余的判断，解题的关键是利用直角三角形斜边中线的性质得到相等的角，注意不要漏算间接和$∠ A$互余的角。
【难度系数】
0.7
4 如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点E在AB边上,点F在OD上,过点E作EG⊥BD,垂足为点G,若FE=FC,EF⊥CF,OF=3,则BE的长为 (
A.3
B.$3\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
B
)A.3
B.$3\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
4.B 【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC⊥BD,∠ABD=45°.
∵ EF⊥CF,
∴ ∠COF=∠EFC=90°,
∴ ∠EFG = 90° − ∠CFO = ∠FCO.
∵ EG ⊥ BD,
∴ ∠EGF = ∠FOC = 90°. 在△EFG 和 △FCO 中,⎧⎨⎩∠EGF=∠FOC=90°,∠EFG=∠FCO,FE=CF,
∴ △EFG≅ △FCO (AAS),
∴ EG=OF=3.
∵ ∠ABD=45°,
∴ △EBG是等腰直角三角形,
∴ BE=√2 EG=3√2,故选B.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC⊥BD,∠ABD=45°.
∵ EF⊥CF,
∴ ∠COF=∠EFC=90°,
∴ ∠EFG = 90° − ∠CFO = ∠FCO.
∵ EG ⊥ BD,
∴ ∠EGF = ∠FOC = 90°. 在△EFG 和 △FCO 中,⎧⎨⎩∠EGF=∠FOC=90°,∠EFG=∠FCO,FE=CF,
∴ △EFG≅ △FCO (AAS),
∴ EG=OF=3.
∵ ∠ABD=45°,
∴ △EBG是等腰直角三角形,
∴ BE=√2 EG=3√2,故选B.
解析
【分析】
解决本题首先从正方形的性质入手，明确正方形对角线互相垂直、底角为45°的特点；再结合已知的垂直和边相等的条件，通过同角的余角相等推导对应角相等，证明两个直角三角形全等，将已知的OF长度转化为EG的长度；最后利用等腰直角三角形的边长关系，即可求出BE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，∠ABD=45°。
∵ EF⊥CF，
∴ ∠COF=∠EFC=90°，
∴ ∠EFG + ∠CFO = 90°，∠FCO + ∠CFO = 90°，即∠EFG = ∠FCO。
∵ EG⊥BD，
∴ ∠EGF = ∠FOC = 90°。
在△EFG 和 △FCO 中：
$\{\begin{array}{l}∠EGF=∠FOC=90° \\∠EFG=∠FCO \\FE=CF\end{array} $
∴ △EFG≌ △FCO (AAS)，
∴ EG=OF=3。
∵ ∠ABD=45°，∠EGB=90°，
∴ △EBG是等腰直角三角形，
∴ $BE=\sqrt{2}EG=3\sqrt{2}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将正方形、全等三角形、等腰直角三角形的知识点结合考查，解题的核心是通过角度互余推导等角，构造全等三角形实现线段长度的转化，只要熟练掌握相关图形的基本性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从正方形的性质入手，明确正方形对角线互相垂直、底角为45°的特点；再结合已知的垂直和边相等的条件，通过同角的余角相等推导对应角相等，证明两个直角三角形全等，将已知的OF长度转化为EG的长度；最后利用等腰直角三角形的边长关系，即可求出BE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，∠ABD=45°。
∵ EF⊥CF，
∴ ∠COF=∠EFC=90°，
∴ ∠EFG + ∠CFO = 90°，∠FCO + ∠CFO = 90°，即∠EFG = ∠FCO。
∵ EG⊥BD，
∴ ∠EGF = ∠FOC = 90°。
在△EFG 和 △FCO 中：
$\{\begin{array}{l}∠EGF=∠FOC=90° \\∠EFG=∠FCO \\FE=CF\end{array} $
∴ △EFG≌ △FCO (AAS)，
∴ EG=OF=3。
∵ ∠ABD=45°，∠EGB=90°，
∴ △EBG是等腰直角三角形，
∴ $BE=\sqrt{2}EG=3\sqrt{2}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将正方形、全等三角形、等腰直角三角形的知识点结合考查，解题的核心是通过角度互余推导等角，构造全等三角形实现线段长度的转化，只要熟练掌握相关图形的基本性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
5[2026广东佛山期中]如图,把矩形ABCD和矩形GCEF拼成“L”形图案(其中点B,C,E在一条直线上),若两个矩形大小、形状完全相同,AB=3,∠ACB=30°,则AF= (
A.$\sqrt{6}$
B.$6\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.6
(第5题图)
(第6题图)
B
)A.$\sqrt{6}$
B.$6\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.6
(第5题图)
(第6题图)
答案
5.B 【解析】
∵ 矩形ABCD和矩形CEFG大小、形状完全相同,
∴ AB=CE,BC=EF,∠B=∠E=90°,
∴ △ABC和△CEF都是直角三角形. 在Rt△ABC中,AB = 3, ∠ACB = 30°,
∴ AC=6,∠BAC=90°−∠ACB=60°. 在△ABC 和 △CEF 中,⎧⎨⎩AB=CE,∠B=∠E=90°,BC=EF,
∴ △ABC≅ △CEF (SAS),
∴ AC = FC = 6, ∠BAC = ∠ECF = 60°,
∴ ∠ACF = 180°−(∠ACB+∠ECF)=90°,
∴ △ACF是等腰直角三角形,
∴ 由勾股定理得AF=√(AC²+FC²)=√(6²+6²)=6√2. 故选B.
∵ 矩形ABCD和矩形CEFG大小、形状完全相同,
∴ AB=CE,BC=EF,∠B=∠E=90°,
∴ △ABC和△CEF都是直角三角形. 在Rt△ABC中,AB = 3, ∠ACB = 30°,
∴ AC=6,∠BAC=90°−∠ACB=60°. 在△ABC 和 △CEF 中,⎧⎨⎩AB=CE,∠B=∠E=90°,BC=EF,
∴ △ABC≅ △CEF (SAS),
∴ AC = FC = 6, ∠BAC = ∠ECF = 60°,
∴ ∠ACF = 180°−(∠ACB+∠ECF)=90°,
∴ △ACF是等腰直角三角形,
∴ 由勾股定理得AF=√(AC²+FC²)=√(6²+6²)=6√2. 故选B.
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：①先利用矩形的性质和两个矩形全等的条件，得到对应边相等、对应角为直角；②在Rt△ABC中，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出AC的长度；③通过SAS证明△ABC≌△CEF，得到AC=FC，结合对应角相等推导得出∠ACF=90°，确定△ACF是等腰直角三角形；④最后利用勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
∵ 矩形ABCD和矩形CEFG大小、形状完全相同，
∴ AB=CE，BC=EF，∠B=∠E=90°，△ABC和△CEF均为直角三角形。
在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=30°，
∴ AC=2AB=6，∠BAC=90°−∠ACB=60°。
在△ABC和△CEF中：
$\{\begin{array}{l} AB=CE\\ ∠ B=∠ E=90°\\ BC=EF\end{array} $
∴ △ABC≌△CEF（SAS），
∴ AC=FC=6，∠BAC=∠ECF=60°，
∴ ∠ACF=180°−∠ACB−∠ECF=180°−30°−60°=90°，即△ACF是等腰直角三角形。
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AC^2+FC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将矩形性质、全等三角形判定及勾股定理结合考查，解题的核心是通过角的推导确定△ACF为等腰直角三角形，再结合勾股定理计算线段长，能有效锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路逐步推导：①先利用矩形的性质和两个矩形全等的条件，得到对应边相等、对应角为直角；②在Rt△ABC中，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出AC的长度；③通过SAS证明△ABC≌△CEF，得到AC=FC，结合对应角相等推导得出∠ACF=90°，确定△ACF是等腰直角三角形；④最后利用勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
∵ 矩形ABCD和矩形CEFG大小、形状完全相同，
∴ AB=CE，BC=EF，∠B=∠E=90°，△ABC和△CEF均为直角三角形。
在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=30°，
∴ AC=2AB=6，∠BAC=90°−∠ACB=60°。
在△ABC和△CEF中：
$\{\begin{array}{l} AB=CE\\ ∠ B=∠ E=90°\\ BC=EF\end{array} $
∴ △ABC≌△CEF（SAS），
∴ AC=FC=6，∠BAC=∠ECF=60°，
∴ ∠ACF=180°−∠ACB−∠ECF=180°−30°−60°=90°，即△ACF是等腰直角三角形。
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AC^2+FC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将矩形性质、全等三角形判定及勾股定理结合考查，解题的核心是通过角的推导确定△ACF为等腰直角三角形，再结合勾股定理计算线段长，能有效锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
6[2026河南平顶山质检]四边形不具有稳定性.
当四条边长都确定的四边形的内角大小发生变
化时,其形状也随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,使正方形ABCD变为菱形ABC'D',如果∠DAD'=30°,那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是 (
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.1
当四条边长都确定的四边形的内角大小发生变
化时,其形状也随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,使正方形ABCD变为菱形ABC'D',如果∠DAD'=30°,那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是 (
A
)A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.1
答案
6.A 【解析】过点D'作D'M⊥AB于M,如图所示,则∠D'MA=90°.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ 正方形ABCD的面积=AB²,AB = AD, ∠BAD = 90°.
∵ ∠DAD' = 30°,
∴ ∠D'AM = 90° − 30° = 60°,
∴ ∠AD'M = 30°,
∴ AM = 1/2 AD',
∴ 易得D'M = √3/2 AD'.
∵ 四边形ABC'D'是菱形,
∴ AB=AD'=AD,
∴ 菱形ABCD的面积=AB×D'M=√3/2 AB²,
∴ 菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比为(√3/2 AB²)/AB²=√3/2. 故选A.
解析
【分析】
要计算菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比，步骤如下：①明确二者边长相等，正方形面积为边长的平方，菱形面积可通过“底×高”计算，因此只需先求出菱形AB边上的高；②过D'作AB的垂线构造直角三角形，结合已知∠DAD'=30°和正方形内角为90°，可求出高的长度；③最后代入面积公式作比即可得到结果。
【解析】
过点D'作D'M⊥AB于M，如图所示，则∠D'MA=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 正方形ABCD的面积$=AB^2$，$AB = AD$，$∠ BAD = 90°$。
∵ $∠ DAD' = 30°$，
∴ $∠ D'AM = 90° - 30° = 60°$，
∴ 在$Rt△ AD'M$中，$∠ AD'M = 30°$，
∴ $AM = \frac{1}{2}AD'$，由勾股定理可得$D'M = \frac{\sqrt{3}}{2}AD'$。
∵ 四边形ABC'D'是菱形，
∴ $AB=AD'=AD$，
∴ 菱形ABC'D'的面积$=AB× D'M=\frac{\sqrt{3}}{2}AB^2$，
∴ 菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比为$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AB^2}{AB^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
正方形的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合四边形不稳定性的特点，考查正方形和菱形的面积计算，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形求出菱形的高，侧重对几何基础性质的应用考查，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
要计算菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比，步骤如下：①明确二者边长相等，正方形面积为边长的平方，菱形面积可通过“底×高”计算，因此只需先求出菱形AB边上的高；②过D'作AB的垂线构造直角三角形，结合已知∠DAD'=30°和正方形内角为90°，可求出高的长度；③最后代入面积公式作比即可得到结果。
【解析】
过点D'作D'M⊥AB于M，如图所示，则∠D'MA=90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 正方形ABCD的面积$=AB^2$，$AB = AD$，$∠ BAD = 90°$。
∵ $∠ DAD' = 30°$，
∴ $∠ D'AM = 90° - 30° = 60°$，
∴ 在$Rt△ AD'M$中，$∠ AD'M = 30°$，
∴ $AM = \frac{1}{2}AD'$，由勾股定理可得$D'M = \frac{\sqrt{3}}{2}AD'$。
∵ 四边形ABC'D'是菱形，
∴ $AB=AD'=AD$，
∴ 菱形ABC'D'的面积$=AB× D'M=\frac{\sqrt{3}}{2}AB^2$，
∴ 菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比为$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AB^2}{AB^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
正方形的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合四边形不稳定性的特点，考查正方形和菱形的面积计算，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形求出菱形的高，侧重对几何基础性质的应用考查，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
7[2026河北邯郸期中]如图,在矩形ABCD中,AB=9,BC=8,E为BC中点,G为AB上的动点,且GF⊥CD,连接AF,GE,则AF+GE的最小值为 (
A.$\frac{21}{2}$
B.12
C.$5+3\sqrt{10}$
D.15
(第7题图)
(第8题图)
D
)A.$\frac{21}{2}$
B.12
C.$5+3\sqrt{10}$
D.15
(第7题图)
(第8题图)
答案
7.D 【解析】如图,连接DG,作点E关于直线AB的对称点H,连接GH,DH.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°,DC=AB=9.
∵ GF⊥CD,
∴ ∠BAD=∠ADC=∠GFD=90°,
∴ 四边形ADFG是矩形,
∴ DG=AF. 由对称的性质得GH=GE,∠ABH=∠ABE=90°,
∴ 点H在CB的延长线上.
∵ 点E为CB的中点,BC=8,
∴ BH=BE=1/2 BC=4,
∴ CH=BC+BH=12.
∵ AF+GE=DG+GH≥DH,
∴ 当点G在线段DH上时,AF+GE取得最小值,最小值为线段DH的长,即√(CD²+CH²)=15. 故选D.
解析
【分析】
本题属于线段和最值问题，解题核心是利用“两点之间线段最短”的原理，通过图形性质转化线段、化折为直求解。首先观察图形特征：矩形ABCD中GF⊥CD，可先借助矩形的性质将AF转化为等长的DG；再通过轴对称变换，作点E关于AB的对称点H，将GE转化为等长的GH，此时AF+GE就转化为DG+GH，两条线段有公共端点G，当D、G、H三点共线时，DG+GH的最小值就是线段DH的长度，最后用勾股定理计算DH的长度即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接DG，作点E关于直线AB的对称点H，连接GH，DH。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，DC=AB=9。
∵ GF⊥CD，
∴ ∠BAD=∠ADC=∠GFD=90°，
∴ 四边形ADFG是矩形，
∴ DG=AF。
由轴对称的性质得：GH=GE，∠ABH=∠ABE=90°，即点H在CB的延长线上。
∵ E为BC中点，BC=8，
∴ BH=BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴ CH=BC+BH=8+4=12。
∴ AF+GE=DG+GH≥DH，当且仅当D、G、H三点共线时，等号成立，即AF+GE的最小值为DH的长。
在Rt△DCH中，由勾股定理得：$DH=\sqrt{CD^2+CH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，轴对称的性质，最短路径问题
【点评】
本题是将军饮马最值模型的变形应用，解题关键是结合矩形性质和轴对称变换，将分散的两条线段和转化为两点之间的线段长，化折为直后结合勾股定理计算得到最小值，可有效考查学生的图形转化能力和最值模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于线段和最值问题，解题核心是利用“两点之间线段最短”的原理，通过图形性质转化线段、化折为直求解。首先观察图形特征：矩形ABCD中GF⊥CD，可先借助矩形的性质将AF转化为等长的DG；再通过轴对称变换，作点E关于AB的对称点H，将GE转化为等长的GH，此时AF+GE就转化为DG+GH，两条线段有公共端点G，当D、G、H三点共线时，DG+GH的最小值就是线段DH的长度，最后用勾股定理计算DH的长度即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接DG，作点E关于直线AB的对称点H，连接GH，DH。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，DC=AB=9。
∵ GF⊥CD，
∴ ∠BAD=∠ADC=∠GFD=90°，
∴ 四边形ADFG是矩形，
∴ DG=AF。
由轴对称的性质得：GH=GE，∠ABH=∠ABE=90°，即点H在CB的延长线上。
∵ E为BC中点，BC=8，
∴ BH=BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴ CH=BC+BH=8+4=12。
∴ AF+GE=DG+GH≥DH，当且仅当D、G、H三点共线时，等号成立，即AF+GE的最小值为DH的长。
在Rt△DCH中，由勾股定理得：$DH=\sqrt{CD^2+CH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，轴对称的性质，最短路径问题
【点评】
本题是将军饮马最值模型的变形应用，解题关键是结合矩形性质和轴对称变换，将分散的两条线段和转化为两点之间的线段长，化折为直后结合勾股定理计算得到最小值，可有效考查学生的图形转化能力和最值模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
8 如图,在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F 是对角线BD 上的动点,且 BE=DF,M,N 分别是边 AD,边 BC 上的动点.下列说法:①存在无数个平行四边形 MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形 MENF;④存在无数个正方形 MENF.其中正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.C 【解析】如图,连接AC,MN,ME,MF,NE,NF,且令AC,MN,BD相交于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC,OB=OD.
∵ BE=DF,
∴ OE=OF,
∴ 只要OM=ON,那么四边形MENF就是平行四边形.
∵ 点E,F是BD上的动点,
∴ 存在无数个平行四边形MENF,故①正确. 只要MN=EF,OM=ON,那么四边形MENF就是矩形.
∵ 点E,F是BD上的动点,
∴ 存在无数个矩形MENF,故②正确. 只要MN⊥EF,OM=ON,那么四边形MENF就是菱形.
∵ 点E,F是BD上的动点,
∴ 存在无数个菱形MENF,故③正确. 只要MN=EF,MN⊥EF,OM=ON,那么四边形MENF就是正方形,而符合要求的正方形只有一个,故④错误. 故选C.
关键点拨：根据对角线的情况进行判断,EF和MN的长度都有无数种情况,所以它们有无数种情况互相平分,无数种情况相等且互相平分,无数种情况互相垂直平分,对角线互相垂直平分且相等的情况只有一种.
解析
【分析】
本题是平行四边形背景下的特殊四边形存在性判断问题，解题从特殊四边形的对角线判定定理入手：首先连接平行四边形ABCD的对角线AC，与BD交于点O，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知BE=DF，可推得OE=OF恒成立。接下来分别对应各结论中特殊四边形的对角线要求，分析满足条件的M、N、E、F的组合数量即可：平行四边形需要对角线互相平分，即仅需OM=ON；矩形需要对角线互相平分且相等，即需OM=ON且MN=EF；菱形需要对角线互相垂直平分，即需OM=ON且MN⊥EF；正方形需要对角线互相垂直平分且相等，需同时满足矩形和菱形的条件，逐一判断各类情况的存在数量即可得出结论。
【解析】
解：如图，连接AC、MN、ME、MF、NE、NF，令AC、MN、BD相交于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD。
∵ BE=DF，
∴ OB-BE=OD-DF，即OE=OF。
① 判定平行四边形MENF：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要满足OM=ON，四边形MENF就是平行四边形。由于E、F是BD上的动点，可调整M、N的位置使得OM=ON，因此存在无数个平行四边形MENF，故①正确。
② 判定矩形MENF：根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，只要满足OM=ON且MN=EF，四边形MENF就是矩形。E、F是BD上的动点时，EF的长度可调整，总能找到对应的M、N使得MN=EF且OM=ON，因此存在无数个矩形MENF，故②正确。
③ 判定菱形MENF：根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，只要满足OM=ON且MN⊥EF，四边形MENF就是菱形。E、F是BD上的动点时，可调整M、N的位置使得MN与EF垂直且OM=ON，因此存在无数个菱形MENF，故③正确。
④ 判定正方形MENF：正方形需要对角线互相垂直平分且相等，即同时满足MN=EF、MN⊥EF、OM=ON，同时满足这些条件的情况仅有1种，不存在无数个，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，特殊四边形的判定，动点问题分析
【点评】
本题结合动点考查特殊四边形的判定，解题核心是抓住OE=OF为定值的特点，再结合不同特殊四边形的对角线判定条件分析存在性，需熟练掌握各类特殊四边形的判定定理，区分不同特殊四边形对角线要求的差异。
【难度系数】
0.6
本题是平行四边形背景下的特殊四边形存在性判断问题，解题从特殊四边形的对角线判定定理入手：首先连接平行四边形ABCD的对角线AC，与BD交于点O，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知BE=DF，可推得OE=OF恒成立。接下来分别对应各结论中特殊四边形的对角线要求，分析满足条件的M、N、E、F的组合数量即可：平行四边形需要对角线互相平分，即仅需OM=ON；矩形需要对角线互相平分且相等，即需OM=ON且MN=EF；菱形需要对角线互相垂直平分，即需OM=ON且MN⊥EF；正方形需要对角线互相垂直平分且相等，需同时满足矩形和菱形的条件，逐一判断各类情况的存在数量即可得出结论。
【解析】
解：如图，连接AC、MN、ME、MF、NE、NF，令AC、MN、BD相交于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD。
∵ BE=DF，
∴ OB-BE=OD-DF，即OE=OF。
① 判定平行四边形MENF：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要满足OM=ON，四边形MENF就是平行四边形。由于E、F是BD上的动点，可调整M、N的位置使得OM=ON，因此存在无数个平行四边形MENF，故①正确。
② 判定矩形MENF：根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，只要满足OM=ON且MN=EF，四边形MENF就是矩形。E、F是BD上的动点时，EF的长度可调整，总能找到对应的M、N使得MN=EF且OM=ON，因此存在无数个矩形MENF，故②正确。
③ 判定菱形MENF：根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，只要满足OM=ON且MN⊥EF，四边形MENF就是菱形。E、F是BD上的动点时，可调整M、N的位置使得MN与EF垂直且OM=ON，因此存在无数个菱形MENF，故③正确。
④ 判定正方形MENF：正方形需要对角线互相垂直平分且相等，即同时满足MN=EF、MN⊥EF、OM=ON，同时满足这些条件的情况仅有1种，不存在无数个，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，特殊四边形的判定，动点问题分析
【点评】
本题结合动点考查特殊四边形的判定，解题核心是抓住OE=OF为定值的特点，再结合不同特殊四边形的对角线判定条件分析存在性，需熟练掌握各类特殊四边形的判定定理，区分不同特殊四边形对角线要求的差异。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9 [2025山西太原质检]如图,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯截面图,若杯内水面刚好经过点D(DE//CF),且∠AED=50°,则水杯底面BC与水平面夹角∠BCF的大小为
9 [2025山西太原质检]如图,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯截面图,若杯内水面刚好经过点D(DE//CF),且∠AED=50°,则水杯底面BC与水平面夹角∠BCF的大小为
40°
.答案
9.40° 【解析】延长AB交CF于点G,如图所示.
∵ DE//CF,∠AED=50°,
∴ ∠AGC=∠AED=50°.
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ ∠ABC=90°,
∴ ∠CBG=180°−∠ABC=90°,
∴ ∠BCF=90°−50°=40°. 故答案为40°.
解析
【分析】
要求∠BCF的度数，首先观察已知条件有DE//CF，可利用平行线的性质得到相等的角，由于两条平行线缺少共同的截线建立角的联系，因此考虑延长AB交CF于点G，构造出同位角∠AED和∠AGC，得到∠AGC的度数；再结合矩形的内角为90°，可得∠CBG为直角，最后在直角△BCG中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BCF的度数。
【解析】
延长AB交CF于点G，如图所示。
∵ DE//CF，∠AED=50°，
∴ ∠AGC=∠AED=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠ABC=90°，
∴ ∠CBG=180°−∠ABC=90°，
在Rt△BCG中，∠BCF+∠AGC=90°，
∴ ∠BCF=90°−50°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质；矩形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的倒水场景命题，将几何知识和实际生活相结合，解题的关键是正确作出辅助线，构造出同位角和直角三角形，考查了学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠BCF的度数，首先观察已知条件有DE//CF，可利用平行线的性质得到相等的角，由于两条平行线缺少共同的截线建立角的联系，因此考虑延长AB交CF于点G，构造出同位角∠AED和∠AGC，得到∠AGC的度数；再结合矩形的内角为90°，可得∠CBG为直角，最后在直角△BCG中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BCF的度数。
【解析】
延长AB交CF于点G，如图所示。
∵ DE//CF，∠AED=50°，
∴ ∠AGC=∠AED=50°（两直线平行，同位角相等）。
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠ABC=90°，
∴ ∠CBG=180°−∠ABC=90°，
在Rt△BCG中，∠BCF+∠AGC=90°，
∴ ∠BCF=90°−50°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质；矩形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的倒水场景命题，将几何知识和实际生活相结合，解题的关键是正确作出辅助线，构造出同位角和直角三角形，考查了学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
