登录
10[2026广东揭阳质检]如图,在 Rt△ABD 中,∠ABD=90°,点 C 在线段 AD 上,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,CF⊥BD 于点 F,使得四边形CEBF 为正方形,此时 AC=3 cm,CD=4 cm,则阴影部分的面积为
(第10题图)
(第11题图)
6
cm².(第10题图)
(第11题图)
答案
10.6 【解析】在正方形CEBF中,CE=CF,∠ECF=90°. 如图,将△CFD绕点C顺时针旋转90°得到△CEM,则M在AB的延长线上,
∴ CD=CM,∠FCD = ∠ECM, S△ECM = S△FCD. 由旋转得∠DCM=90°,
∴ ∠ACM=90°,
∴ 阴影部分的面积为S△ACE+S△FCD = S△ACE + S△ECM = S△ACM = 1/2 AC · CM = 1/2×3×4=6(cm²). 故答案为6.
解析
【分析】
要计算两个分散的阴影三角形的面积和，直接单独计算两个三角形面积缺少边长条件。观察图形可知四边形CEBF是正方形，可得CE=CF，∠ECF=90°，因此可以利用旋转的方法，将△CFD绕点C顺时针旋转90°，使CF与CE重合，就能把两个阴影部分拼接成一个新的直角三角形，该直角三角形的两条直角边恰好是已知的AC和CD的长度，直接计算这个规则直角三角形的面积即可得到阴影部分总面积。
【解析】
在正方形CEBF中，CE=CF，∠ECF=90°。
如图，将△CFD绕点C顺时针旋转90°得到△CEM，则M在AB的延长线上，
∴ CD=CM，∠FCD = ∠ECM，$S_{△ ECM} = S_{△ FCD}$。
由旋转性质可得∠DCM=∠ECF=90°，
∴ ∠ACM=90°，
∴ 阴影部分的面积为$S_{△ ACE}+S_{△ FCD} = S_{△ ACE} + S_{△ ECM} = S_{△ ACM}$
$=\frac{1}{2} AC · CM = \frac{1}{2}×3×4=6(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
6
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，通过旋转将分散的阴影部分拼接为规则直角三角形是解决此类问题的常用技巧，解题关键是结合正方形的边、角特征找到合适的旋转方式。
【难度系数】
0.6
要计算两个分散的阴影三角形的面积和，直接单独计算两个三角形面积缺少边长条件。观察图形可知四边形CEBF是正方形，可得CE=CF，∠ECF=90°，因此可以利用旋转的方法，将△CFD绕点C顺时针旋转90°，使CF与CE重合，就能把两个阴影部分拼接成一个新的直角三角形，该直角三角形的两条直角边恰好是已知的AC和CD的长度，直接计算这个规则直角三角形的面积即可得到阴影部分总面积。
【解析】
在正方形CEBF中，CE=CF，∠ECF=90°。
如图，将△CFD绕点C顺时针旋转90°得到△CEM，则M在AB的延长线上，
∴ CD=CM，∠FCD = ∠ECM，$S_{△ ECM} = S_{△ FCD}$。
由旋转性质可得∠DCM=∠ECF=90°，
∴ ∠ACM=90°，
∴ 阴影部分的面积为$S_{△ ACE}+S_{△ FCD} = S_{△ ACE} + S_{△ ECM} = S_{△ ACM}$
$=\frac{1}{2} AC · CM = \frac{1}{2}×3×4=6(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
6
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，通过旋转将分散的阴影部分拼接为规则直角三角形是解决此类问题的常用技巧，解题关键是结合正方形的边、角特征找到合适的旋转方式。
【难度系数】
0.6
11 如图,在矩形$ABCD$中,$BC=6$,$M$为$AB$的中点,连接$MD$,$E$为$MD$中点,连接$BE$,$CE$,若$∠ BEC$为直角,则$AB$的长为
4
.答案
11.4 【解析】如图,连接AE,过点E作EF⊥AD于F,并延长FE,交BC于点H.
∵ 四边形ABCD是矩形,BC=6,
∴ ∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°,AD=BC=6,AB=DC,AD//BC,
∴ ∠AFH=∠BHF=90°,
∴ 四边形ABHF是矩形.
∵ E为MD的中点,
∴ AE=1/2 MD=DE,
∴ AF=DF,
∴ BH=CH,EF=1/2 AM.
∵ ∠BEC=90°,
∴ EH=1/2 BC=3.
∵ M为AB的中点,
∴ AM=1/2 AB,
∴ EF=1/4 AB,
∴ EH=3/4 AB=3,
∴ AB=4,故答案为4.
解析
【分析】
解题时我们可结合矩形性质、直角三角形斜边中线性质和中位线定理推导线段关系：首先题干给出两个中点、一个直角的条件，优先考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质；为了建立已知边BC和待求边AB的联系，过E作AD的垂线并延长交BC，借助矩形对边平行的性质，可得到这条垂线同时垂直BC，进而推出各线段的比例关系，最终建立关于AB的等式求解即可。
【解析】
如图，连接AE，过点E作EF⊥AD于F，并延长FE，交BC于点H。
∵ 四边形ABCD是矩形，BC=6，
∴ ∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC=6，AB=DC，AD//BC，
∴ ∠AFH=∠BHF=90°，
∴ 四边形ABHF是矩形。
∵ E为MD的中点，
∴ AE=$\frac{1}{2}$MD=DE，
∴ AF=DF，即F为AD中点，
∴ BH=CH，EF是△AMD的中位线，EF=$\frac{1}{2}$AM。
∵ ∠BEC=90°，EH是Rt△BEC斜边BC的中线，
∴ EH=$\frac{1}{2}$BC=3。
∵ M为AB的中点，
∴ AM=$\frac{1}{2}$AB，
∴ EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{4}$AB，
又
∵ FH=AB=EF+EH，
∴ AB=$\frac{1}{4}$AB + 3，解得$\frac{3}{4}$AB=3，
∴ AB=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了矩形、直角三角形、中位线的相关知识点，解题核心是合理构造辅助线，结合中点、直角的特征转化线段关系，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时我们可结合矩形性质、直角三角形斜边中线性质和中位线定理推导线段关系：首先题干给出两个中点、一个直角的条件，优先考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质；为了建立已知边BC和待求边AB的联系，过E作AD的垂线并延长交BC，借助矩形对边平行的性质，可得到这条垂线同时垂直BC，进而推出各线段的比例关系，最终建立关于AB的等式求解即可。
【解析】
如图，连接AE，过点E作EF⊥AD于F，并延长FE，交BC于点H。
∵ 四边形ABCD是矩形，BC=6，
∴ ∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC=6，AB=DC，AD//BC，
∴ ∠AFH=∠BHF=90°，
∴ 四边形ABHF是矩形。
∵ E为MD的中点，
∴ AE=$\frac{1}{2}$MD=DE，
∴ AF=DF，即F为AD中点，
∴ BH=CH，EF是△AMD的中位线，EF=$\frac{1}{2}$AM。
∵ ∠BEC=90°，EH是Rt△BEC斜边BC的中线，
∴ EH=$\frac{1}{2}$BC=3。
∵ M为AB的中点，
∴ AM=$\frac{1}{2}$AB，
∴ EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{4}$AB，
又
∵ FH=AB=EF+EH，
∴ AB=$\frac{1}{4}$AB + 3，解得$\frac{3}{4}$AB=3，
∴ AB=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了矩形、直角三角形、中位线的相关知识点，解题核心是合理构造辅助线，结合中点、直角的特征转化线段关系，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
12 如图,平行四边形ABCD中,$AD=9\ \mathrm{cm},CD=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm},∠ B=45°,AE⊥ BC$,点M,N分别以A,C为起点,以1 cm/s的速度沿AD,CB边运动,连接AN,CM.设点M,N运动的时间为t s$(0≤ t≤6)$,作$MP⊥ BC$于P,$NQ⊥ AD$于Q,当$t=$
(第12题图)
(第13题图)
4.5或1.5
时,四边形MPNQ为正方形.(第12题图)
(第13题图)
答案
12.4.5或1.5 【解析】如图所示,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=CD=3√2 cm,AD=BC=9 cm. 在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠B=45°,
∴ △ABE是等腰直角三角形,
∴ AB=√2 AE,
∴ AE=3 cm.
∵ MP⊥BC,NQ⊥AD,QM//NP,
∴ 四边形MPNQ为矩形,
∴ 当QM=QN时,四边形MPNQ为正方形. 由题意得AM=CN=t cm,且BE=3 cm,
∴ 易得AQ=EN=BC−BE−CN=9−3−t=(6−t) cm,
∴ QM=AM−AQ=|t−(6−t)|=|2t−6| cm.
∵ QN=AE=3 cm,
∴ |2t−6|=3,解得t=4.5或t=1.5. 故当t=4.5或1.5时,四边形MPNQ为正方形. 故答案为4.5或1.5.
思路分析：先证明四边形MPNQ为矩形,则当QM=QN时,四边形MPNQ为正方形. 根据QM=QN列出方程|2t−6|=3,解方程即可.
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，先结合已知的边长和45°角，利用等腰直角三角形的性质求出平行四边形的高AE；再判断四边形MPNQ的形状，由AD与BC平行、NQ和MP都垂直于底边，可得该四边形是矩形，要成为正方形只需满足邻边相等，即QM=QN；最后用运动时间t表示出QM的长度，结合QN等于高AE列方程求解，注意验证解是否在t的取值范围内。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3√2 cm，AD//BC，AD=BC=9 cm。
∵AE⊥BC，∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=√2 AE，
∴AE=AB/√2=3√2/√2=3 cm。
∵NQ⊥AD，MP⊥BC，AD//BC，
∴QN=AE=3 cm，且QM//NP，∠QNP=∠MPN=∠MQN=90°，
∴四边形MPNQ是矩形。
若四边形MPNQ为正方形，则需满足QM=QN=3 cm。
由题意得：AM=CN=t cm，
易知AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=(6-t) cm，
∴QM=|AM - AQ|=|t - (6 - t)|=|2t - 6| cm。
∴|2t - 6|=3，
当2t-6=3时，解得t=4.5；当2t-6=-3时，解得t=1.5，
两个解均满足0≤t≤6，符合题意。
【答案】
4.5或1.5
【知识点】
平行四边形的性质；正方形的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是动点与特殊四边形判定结合的综合题型，解题核心是明确矩形成为正方形的条件，通过用参数表示线段长度建立方程求解，解题时要注意绝对值方程有两个解，需结合参数的取值范围判断解是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先从平行四边形的性质入手，先结合已知的边长和45°角，利用等腰直角三角形的性质求出平行四边形的高AE；再判断四边形MPNQ的形状，由AD与BC平行、NQ和MP都垂直于底边，可得该四边形是矩形，要成为正方形只需满足邻边相等，即QM=QN；最后用运动时间t表示出QM的长度，结合QN等于高AE列方程求解，注意验证解是否在t的取值范围内。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3√2 cm，AD//BC，AD=BC=9 cm。
∵AE⊥BC，∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=√2 AE，
∴AE=AB/√2=3√2/√2=3 cm。
∵NQ⊥AD，MP⊥BC，AD//BC，
∴QN=AE=3 cm，且QM//NP，∠QNP=∠MPN=∠MQN=90°，
∴四边形MPNQ是矩形。
若四边形MPNQ为正方形，则需满足QM=QN=3 cm。
由题意得：AM=CN=t cm，
易知AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=(6-t) cm，
∴QM=|AM - AQ|=|t - (6 - t)|=|2t - 6| cm。
∴|2t - 6|=3，
当2t-6=3时，解得t=4.5；当2t-6=-3时，解得t=1.5，
两个解均满足0≤t≤6，符合题意。
【答案】
4.5或1.5
【知识点】
平行四边形的性质；正方形的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是动点与特殊四边形判定结合的综合题型，解题核心是明确矩形成为正方形的条件，通过用参数表示线段长度建立方程求解，解题时要注意绝对值方程有两个解，需结合参数的取值范围判断解是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.6
13[2025辽宁中考]如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E在线段OA上,AE=2,点F在线段OC上,OF=1,连接BE,点G为BE的中点,连接FG,则FG的长为
√13
.答案
13.√13 【解析】在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,
∴ OA=1/2 AC=4,OB=1/2 BD=6,AC⊥BD.
∵ AE=2,
∴ OE=OA−AE=4−2=2. 如图,取OE的中点H,连接GH.
∵ 点G为BE的中点,点H为OE的中点,
∴ GH是△EBO的中位线,
∴ GH=1/2 OB=3,GH//OB,
∴ ∠GHE=∠BOA=90°.
∵ OF=1,
∴ HF=OH+OF=1/2 OE + OF=1/2×2+1=2,
∴ 在Rt△GFH中,由勾股定理得GF=√(GH²+HF²)=√(3²+2²)=√13,故答案为√13.
解析
【分析】
解决本题首先从菱形的性质入手，菱形对角线互相垂直平分，因此可先求出OA、OB、OE的长度。要求FG的长，已知G是BE的中点，联想到三角形中位线定理，通过取OE的中点构造中位线，即可将FG转化到直角三角形中，最后利用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=12，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=$\frac{1}{2}$BD=6，AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=OA - AE=4 - 2=2，
如图，取OE的中点H，连接GH，
∵G是BE的中点，H是OE的中点，
∴GH是△EBO的中位线，
∴GH=$\frac{1}{2}$OB=3，GH//OB，
∴∠GHF=∠COB=90°，
∵OF=1，OH=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴HF=OH + OF=1 + 1=2，
在Rt△GFH中，由勾股定理得：
FG=$\sqrt{GH^2 + HF^2}$=$\sqrt{3^2 + 2^2}$=$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将菱形性质、中位线定理和勾股定理结合考查，解题的关键是合理作出辅助线构造中位线，将未知线段放在直角三角形中求解，能有效锻炼学生的几何辅助线构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从菱形的性质入手，菱形对角线互相垂直平分，因此可先求出OA、OB、OE的长度。要求FG的长，已知G是BE的中点，联想到三角形中位线定理，通过取OE的中点构造中位线，即可将FG转化到直角三角形中，最后利用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=12，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=$\frac{1}{2}$BD=6，AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=OA - AE=4 - 2=2，
如图，取OE的中点H，连接GH，
∵G是BE的中点，H是OE的中点，
∴GH是△EBO的中位线，
∴GH=$\frac{1}{2}$OB=3，GH//OB，
∴∠GHF=∠COB=90°，
∵OF=1，OH=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴HF=OH + OF=1 + 1=2，
在Rt△GFH中，由勾股定理得：
FG=$\sqrt{GH^2 + HF^2}$=$\sqrt{3^2 + 2^2}$=$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将菱形性质、中位线定理和勾股定理结合考查，解题的关键是合理作出辅助线构造中位线，将未知线段放在直角三角形中求解，能有效锻炼学生的几何辅助线构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14 [2025 湖北宜昌期末]如图，已知正方形 OABC 的顶点 B，O 在直线 $ y=4x $ 上，点 A 在第一象限，若正方形 OABC 的面积是 34，则点 C 的坐标为
(-3,5)
。答案
14.(-3,5) 【解析】
∵ 正方形OABC的面积是34,
∴ ∠BCO=90°,OC=BC=√34,
∴ OB=√(OC²+BC²)=√((√34)²+(√34)²)=√34+34=2√17.
∵ 点B在直线y=4x上,
∴ 设B(a,4a)(a＞0),
∴ OB=√(a²+(4a)²)=√17 a=2√17,
∴ a=2,
∴ B(2,8). 过点B作BM⊥y轴于点M,过点C作CE⊥x轴于点E,延长EC,交BM的延长线于点D,如图,
∴ 四边形OEDM是矩形,
∴ ∠BDC=∠CEO=90°,OM=DE,∠OCE+∠COE=90°.
∵ ∠BCO=90°,
∴ ∠BCD+∠OCE=90°,
∴ ∠BCD=∠COE. 又
∵ BC=CO,
∴ △DBC≅△ECO(AAS),
∴ DB=EC,DC=EO.
∵ B(2,8),
∴ MB=2,OM=DE=8. 设OE=DC=x,
∴ DB=OE+MB=x+2,EC=DE−DC=8−x.
∵ DB=EC,
∴ x+2=8−x,
∴ x=3,
∴ OE=3,CE=5.
∵ 点C在第二象限,
∴ C(-3,5). 故答案为(-3,5).
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积求出边长与对角线OB的长度，结合点B在直线y=4x上的特征，设参数求出点B的坐标；再利用正方形边相等、夹角为直角的性质，通过作垂线构造全等三角形，将点B的坐标转化为与点C坐标相关的线段关系，设未知数列方程求解，最后结合点C所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
∵ 正方形OABC的面积是34，
∴ ∠BCO=90°，$OC=BC=\sqrt{34}$，
∴ $OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2+(\sqrt{34})^2}=2\sqrt{17}$。
∵ 点B在直线$y=4x$上，且点B在第一象限，
∴ 设$B(a,4a)(a＞0)$，
则$OB=\sqrt{a^2+(4a)^2}=\sqrt{17}a=2\sqrt{17}$，
解得$a=2$，
∴ $B(2,8)$。
过点B作$BM⊥ y$轴于点M，过点C作$CE⊥ x$轴于点E，延长EC交BM的延长线于点D，如图，
∴ 四边形OEDM是矩形，
∴ $∠ BDC=∠ CEO=90°$，$OM=DE$，$∠ OCE+∠ COE=90°$。
∵ $∠ BCO=90°$，
∴ $∠ BCD+∠ OCE=90°$，
∴ $∠ BCD=∠ COE$。
在$△ DBC$和$△ ECO$中：
$\begin{cases}∠ BDC=∠ CEO \\∠ BCD=∠ COE \\BC=CO\end{cases}$
∴ $△ DBC≌△ ECO(\mathrm{AAS})$，
∴ $DB=EC$，$DC=EO$。
∵ $B(2,8)$，
∴ $MB=2$，$OM=DE=8$。
设$OE=DC=x$，
则$DB=OE+MB=x+2$，$EC=DE-DC=8-x$，
∵ $DB=EC$，
∴ $x+2=8-x$，
解得$x=3$，
∴ $OE=3$，$CE=5$。
∵ 点C在第二象限，
∴ $C(-3,5)$。
【答案】
$(-3,5)$
【知识点】
正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是函数与几何的综合题，侧重考查数形结合思想的应用，解题的核心是通过作辅助线构造全等三角形，将坐标问题转化为线段长度的计算问题，对几何作图和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题时首先根据正方形面积求出边长与对角线OB的长度，结合点B在直线y=4x上的特征，设参数求出点B的坐标；再利用正方形边相等、夹角为直角的性质，通过作垂线构造全等三角形，将点B的坐标转化为与点C坐标相关的线段关系，设未知数列方程求解，最后结合点C所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
∵ 正方形OABC的面积是34，
∴ ∠BCO=90°，$OC=BC=\sqrt{34}$，
∴ $OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2+(\sqrt{34})^2}=2\sqrt{17}$。
∵ 点B在直线$y=4x$上，且点B在第一象限，
∴ 设$B(a,4a)(a＞0)$，
则$OB=\sqrt{a^2+(4a)^2}=\sqrt{17}a=2\sqrt{17}$，
解得$a=2$，
∴ $B(2,8)$。
过点B作$BM⊥ y$轴于点M，过点C作$CE⊥ x$轴于点E，延长EC交BM的延长线于点D，如图，
∴ 四边形OEDM是矩形，
∴ $∠ BDC=∠ CEO=90°$，$OM=DE$，$∠ OCE+∠ COE=90°$。
∵ $∠ BCO=90°$，
∴ $∠ BCD+∠ OCE=90°$，
∴ $∠ BCD=∠ COE$。
在$△ DBC$和$△ ECO$中：
$\begin{cases}∠ BDC=∠ CEO \\∠ BCD=∠ COE \\BC=CO\end{cases}$
∴ $△ DBC≌△ ECO(\mathrm{AAS})$，
∴ $DB=EC$，$DC=EO$。
∵ $B(2,8)$，
∴ $MB=2$，$OM=DE=8$。
设$OE=DC=x$，
则$DB=OE+MB=x+2$，$EC=DE-DC=8-x$，
∵ $DB=EC$，
∴ $x+2=8-x$，
解得$x=3$，
∴ $OE=3$，$CE=5$。
∵ 点C在第二象限，
∴ $C(-3,5)$。
【答案】
$(-3,5)$
【知识点】
正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是函数与几何的综合题，侧重考查数形结合思想的应用，解题的核心是通过作辅助线构造全等三角形，将坐标问题转化为线段长度的计算问题，对几何作图和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
三、解答题(本大题共5小题,共30分)
15[2026江西南昌期末]如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF,AF与DE交于点O.
(1)求证:四边形AEFD为矩形；
(2)若AB=3,OE=2,BF=5,求证:AB⊥AF.
15[2026江西南昌期末]如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF,AF与DE交于点O.
(1)求证:四边形AEFD为矩形；
(2)若AB=3,OE=2,BF=5,求证:AB⊥AF.
答案
15.(1)【证明】
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD//BC,AD=BC.
∵ CF=BE,
∴ CF+CE=BE+CE,
∴ EF=BC=AD.
∵ AD//EF,
∴ 四边形AEFD是平行四边形.
∵ AE⊥EF,
∴ ∠AEF=90°,
∴ 四边形AEFD是矩形.
(2)由(1)知四边形AEFD是矩形,
∴ AF=DE=2OE.
∵ OE=2,
∴ AF=DE=2×2=4,
∴ AB²+AF²=3²+4²=5²=BF²,
∴ △ABF是直角三角形,且∠BAF=90°,
∴ AB⊥AF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD//BC,AD=BC.
∵ CF=BE,
∴ CF+CE=BE+CE,
∴ EF=BC=AD.
∵ AD//EF,
∴ 四边形AEFD是平行四边形.
∵ AE⊥EF,
∴ ∠AEF=90°,
∴ 四边形AEFD是矩形.
(2)由(1)知四边形AEFD是矩形,
∴ AF=DE=2OE.
∵ OE=2,
∴ AF=DE=2×2=4,
∴ AB²+AF²=3²+4²=5²=BF²,
∴ △ABF是直角三角形,且∠BAF=90°,
∴ AB⊥AF.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AEFD为矩形，遵循“先判定平行四边形，再证有一个内角为直角”的矩形判定思路：首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，结合已知CF=BE可推导出EF=BC=AD，即可得出AD与EF平行且相等，先证得四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC的垂直条件，即可证明该平行四边形为矩形。
(2) 要证明AB⊥AF，只需证明∠BAF=90°，可通过勾股定理的逆定理验证△ABF的三边满足平方和关系：由(1)得到的矩形性质可知，矩形对角线相等且互相平分，因此AF=DE=2OE，代入OE=2求出AF的长度，再验证AB²+AF²是否等于BF²，若成立则△ABF为直角三角形，∠BAF=90°，即可得证垂直。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ CF=BE，
∴ CF+CE=BE+CE，即EF=BC，
∴ EF=AD。
又
∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
∵ AE⊥BC，即∠AEF=90°，
∴ 四边形AEFD是矩形。
(2) 证明：
由(1)知四边形AEFD是矩形，矩形对角线相等且互相平分，
∴ AF=DE=2OE。
∵ OE=2，
∴ AF=DE=2×2=4。
在△ABF中，AB=3，AF=4，BF=5，
∴ AB²+AF²=3²+4²=25=5²=BF²，
∴ △ABF是直角三角形，且∠BAF=90°，
∴ AB⊥AF。
【答案】
(1) 四边形AEFD为矩形；
(2) AB⊥AF。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于四边形基础综合证明题，核心考查平行四边形、矩形的性质与判定，以及勾股定理逆定理的应用，解题时明确证明目标，结合图形性质逐层推导即可，是几何板块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形AEFD为矩形，遵循“先判定平行四边形，再证有一个内角为直角”的矩形判定思路：首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，结合已知CF=BE可推导出EF=BC=AD，即可得出AD与EF平行且相等，先证得四边形AEFD是平行四边形，再结合AE⊥BC的垂直条件，即可证明该平行四边形为矩形。
(2) 要证明AB⊥AF，只需证明∠BAF=90°，可通过勾股定理的逆定理验证△ABF的三边满足平方和关系：由(1)得到的矩形性质可知，矩形对角线相等且互相平分，因此AF=DE=2OE，代入OE=2求出AF的长度，再验证AB²+AF²是否等于BF²，若成立则△ABF为直角三角形，∠BAF=90°，即可得证垂直。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ CF=BE，
∴ CF+CE=BE+CE，即EF=BC，
∴ EF=AD。
又
∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
∵ AE⊥BC，即∠AEF=90°，
∴ 四边形AEFD是矩形。
(2) 证明：
由(1)知四边形AEFD是矩形，矩形对角线相等且互相平分，
∴ AF=DE=2OE。
∵ OE=2，
∴ AF=DE=2×2=4。
在△ABF中，AB=3，AF=4，BF=5，
∴ AB²+AF²=3²+4²=25=5²=BF²，
∴ △ABF是直角三角形，且∠BAF=90°，
∴ AB⊥AF。
【答案】
(1) 四边形AEFD为矩形；
(2) AB⊥AF。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于四边形基础综合证明题，核心考查平行四边形、矩形的性质与判定，以及勾股定理逆定理的应用，解题时明确证明目标，结合图形性质逐层推导即可，是几何板块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
16[2026湖北武汉期末]如图,正方形ABCD的边长为$2\sqrt{5}$,点E,F分别是边AB,BC上的点,$AE=BF$,连接DE,AF交于点G,过B点作AF的垂线分别交AF,CD于点M,N.
(1)如图(1),求证:四边形BEDN为平行四边形.
(2)如图(2),连接BG,若$AE=\sqrt{5}$,求BG的长.
(1)如图(1),求证:四边形BEDN为平行四边形.
(2)如图(2),连接BG,若$AE=\sqrt{5}$,求BG的长.
答案
16.(1)【证明】
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ DA=AB,∠DAE=∠ABC=90°,AB//CD.
在△ADE和△BAF中,⎧⎨⎩DA=AB,∠DAE=∠ABC=90°,AE=BF,
∴ △ADE≅△BAF(SAS),
∴ ∠ADE=∠BAF.
∵ ∠BAF + ∠DAG = ∠DAE = 90°,
∴ ∠ADE + ∠DAG = 90°.
在△ADG中,∠AGD = 180°−(∠ADE + ∠DAG)=90°,
∴ DE⊥AF.
∵ BN⊥AF,
∴ DE//BN. 又
∵ AB//CD,
∴ 四边形BEDN为平行四边形.
(2)【解】
∵ 四边形ABCD是正方形,且边长为2√5,
∴ AB=2√5.
∵ AE=BF,AE=√5,
∴ BF=√5.
在Rt△ABF中,由勾股定理得AF=√(AB²+BF²)=√((2√5)²+(√5)²)=5.
由三角形的面积公式得S△ABF=1/2 AF · BM = 1/2 AB · BF,
∴ BM=(AB · BF)/AF=(2√5×√5)/5=2.
在Rt△BFM中,由勾股定理得MF=√(BF²−BM²)=√((√5)²−2²)=1,
∴ AM=AF−MF=5−1=4.
∵ AB=2√5,AE=√5,
∴ BE=AB−AE=√5,
∴ AE=BE.
又
∵ DE//BN,
∴ 易知EG是△ABM的中位线,
∴ GM=AG=1/2 AM=2.
在Rt△BMG中,由勾股定理得BG=√(BM²+GM²)=√(2²+2²)=2√2.
思路分析：(1) 证明△ADE≅△BAF(SAS),得到∠ADE=∠BAF,进而得出DE⊥AF,又由BN⊥AF得到DE//BN,再结合AB//CD即可证得结论;(2) 推出BE=AE=√5,BM=2,GM=AG=2,由勾股定理即可求出BG的长.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ DA=AB,∠DAE=∠ABC=90°,AB//CD.
在△ADE和△BAF中,⎧⎨⎩DA=AB,∠DAE=∠ABC=90°,AE=BF,
∴ △ADE≅△BAF(SAS),
∴ ∠ADE=∠BAF.
∵ ∠BAF + ∠DAG = ∠DAE = 90°,
∴ ∠ADE + ∠DAG = 90°.
在△ADG中,∠AGD = 180°−(∠ADE + ∠DAG)=90°,
∴ DE⊥AF.
∵ BN⊥AF,
∴ DE//BN. 又
∵ AB//CD,
∴ 四边形BEDN为平行四边形.
(2)【解】
∵ 四边形ABCD是正方形,且边长为2√5,
∴ AB=2√5.
∵ AE=BF,AE=√5,
∴ BF=√5.
在Rt△ABF中,由勾股定理得AF=√(AB²+BF²)=√((2√5)²+(√5)²)=5.
由三角形的面积公式得S△ABF=1/2 AF · BM = 1/2 AB · BF,
∴ BM=(AB · BF)/AF=(2√5×√5)/5=2.
在Rt△BFM中,由勾股定理得MF=√(BF²−BM²)=√((√5)²−2²)=1,
∴ AM=AF−MF=5−1=4.
∵ AB=2√5,AE=√5,
∴ BE=AB−AE=√5,
∴ AE=BE.
又
∵ DE//BN,
∴ 易知EG是△ABM的中位线,
∴ GM=AG=1/2 AM=2.
在Rt△BMG中,由勾股定理得BG=√(BM²+GM²)=√(2²+2²)=2√2.
思路分析：(1) 证明△ADE≅△BAF(SAS),得到∠ADE=∠BAF,进而得出DE⊥AF,又由BN⊥AF得到DE//BN,再结合AB//CD即可证得结论;(2) 推出BE=AE=√5,BM=2,GM=AG=2,由勾股定理即可求出BG的长.
解析
【分析】
(1) 要证四边形BEDN是平行四边形，已知正方形中AB//CD，即BE//DN，因此只需再证DE//BN即可。已知BN⊥AF，故需推导DE⊥AF：可通过证明△ADE≌△BAF得到角的等量关系，进而推导∠AGD=90°得到DE⊥AF，结合两组对边分别平行即可证得平行四边形。
(2) 要求BG的长，观察到△BMG为直角三角形，因此只需算出BM和GM的长度，再用勾股定理求解即可。首先用勾股定理算出AF的长度，再通过三角形面积法求出BM的长度，接着结合E是AB中点、DE//BN得到EG是△ABM的中位线，即可求出GM的长度，最后代入勾股定理计算BG。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DA=AB，∠DAE=∠ABC=90°，AB//CD。
在△ADE和△BAF中，
$\{\begin{array}{l} DA=AB\\ ∠ DAE=∠ ABC=90°\\ AE=BF \end{array} $
∴ △ADE≅△BAF(SAS)，
∴ ∠ADE=∠BAF。
∵ ∠BAF + ∠DAG = ∠DAE = 90°，
∴ ∠ADE + ∠DAG = 90°，
在△ADG中，∠AGD = 180°−(∠ADE + ∠DAG)=90°，即DE⊥AF。
∵ BN⊥AF，
∴ DE//BN，
又
∵ AB//CD，即BE//DN，
∴ 四边形BEDN为平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{5}$，
∴ AB=$2\sqrt{5}$。
∵ AE=BF，且AE=$\sqrt{5}$，
∴ BF=$\sqrt{5}$。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=5$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AF· BM=\frac{1}{2}AB· BF$，
∴ $BM=\frac{AB· BF}{AF}=\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5}=2$。
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
$MF=\sqrt{BF^2-BM^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$，
∴ $AM=AF-MF=5-1=4$。
∵ AB=$2\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{5}$，
∴ BE=AB-AE=$\sqrt{5}$，即AE=BE。
又
∵ DE//BN，
∴ EG是△ABM的中位线，
∴ $GM=AG=\frac{1}{2}AM=2$。
在Rt△BMG中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BM^2+GM^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 四边形BEDN为平行四边形，证明成立；
(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题为几何综合题，融合了正方形、全等三角形、平行四边形判定、中位线、勾股定理等多个考点，第一问侧重通过全等推导线的位置关系，第二问需灵活运用面积法、中位线性质求线段长度，解题时要注意挖掘图形中隐含的边角等量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 要证四边形BEDN是平行四边形，已知正方形中AB//CD，即BE//DN，因此只需再证DE//BN即可。已知BN⊥AF，故需推导DE⊥AF：可通过证明△ADE≌△BAF得到角的等量关系，进而推导∠AGD=90°得到DE⊥AF，结合两组对边分别平行即可证得平行四边形。
(2) 要求BG的长，观察到△BMG为直角三角形，因此只需算出BM和GM的长度，再用勾股定理求解即可。首先用勾股定理算出AF的长度，再通过三角形面积法求出BM的长度，接着结合E是AB中点、DE//BN得到EG是△ABM的中位线，即可求出GM的长度，最后代入勾股定理计算BG。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DA=AB，∠DAE=∠ABC=90°，AB//CD。
在△ADE和△BAF中，
$\{\begin{array}{l} DA=AB\\ ∠ DAE=∠ ABC=90°\\ AE=BF \end{array} $
∴ △ADE≅△BAF(SAS)，
∴ ∠ADE=∠BAF。
∵ ∠BAF + ∠DAG = ∠DAE = 90°，
∴ ∠ADE + ∠DAG = 90°，
在△ADG中，∠AGD = 180°−(∠ADE + ∠DAG)=90°，即DE⊥AF。
∵ BN⊥AF，
∴ DE//BN，
又
∵ AB//CD，即BE//DN，
∴ 四边形BEDN为平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{5}$，
∴ AB=$2\sqrt{5}$。
∵ AE=BF，且AE=$\sqrt{5}$，
∴ BF=$\sqrt{5}$。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=5$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AF· BM=\frac{1}{2}AB· BF$，
∴ $BM=\frac{AB· BF}{AF}=\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5}=2$。
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
$MF=\sqrt{BF^2-BM^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$，
∴ $AM=AF-MF=5-1=4$。
∵ AB=$2\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{5}$，
∴ BE=AB-AE=$\sqrt{5}$，即AE=BE。
又
∵ DE//BN，
∴ EG是△ABM的中位线，
∴ $GM=AG=\frac{1}{2}AM=2$。
在Rt△BMG中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BM^2+GM^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 四边形BEDN为平行四边形，证明成立；
(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题为几何综合题，融合了正方形、全等三角形、平行四边形判定、中位线、勾股定理等多个考点，第一问侧重通过全等推导线的位置关系，第二问需灵活运用面积法、中位线性质求线段长度，解题时要注意挖掘图形中隐含的边角等量关系。
【难度系数】
0.6
