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10[2025北京中考]如图,在$△ ABC$中,D,E分别为AB,AC的中点,$DF ⊥ BC$,垂足为F,点G在DE的延长线上,$DG=FC$.
(1)求证:四边形DFCG是矩形;
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求BC和AC的长.
(1)求证:四边形DFCG是矩形;
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求BC和AC的长.
答案
10.(1)【证明】
∵ D,E分别为AB,AC的中点,
∴ DE是△ABC的中位线,
∴ DE//BC.
∵ DG=FC,
∴ 四边形DFCG是平行四边形.
又
∵ DF⊥BC,
∴ ∠DFC = 90°,
∴ 平行四边形DFCG是矩形.
(2)【解】
∵ DF⊥BC,
∴ ∠DFB=90°.
∵ ∠B=45°,
∴ △BDF是等腰直角三角形,
∴ BF=DF=3.
∵ DG=FC=5,
∴ BC=BF+FC=3+5=8.
由(1)可知,DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形,
∴ DE=1/2 BC=4,CG=DF=3,∠G=90°,
∴ EG=DG−DE=5−4=1,
∴ CE=√(CG²+EG²)=√(3²+1²)=√10.
∵ E为AC的中点,
∴ AC=2CE=2√10.
关键点拨：△ABF和△ABM同底等高,面积相等.
∵ D,E分别为AB,AC的中点,
∴ DE是△ABC的中位线,
∴ DE//BC.
∵ DG=FC,
∴ 四边形DFCG是平行四边形.
又
∵ DF⊥BC,
∴ ∠DFC = 90°,
∴ 平行四边形DFCG是矩形.
(2)【解】
∵ DF⊥BC,
∴ ∠DFB=90°.
∵ ∠B=45°,
∴ △BDF是等腰直角三角形,
∴ BF=DF=3.
∵ DG=FC=5,
∴ BC=BF+FC=3+5=8.
由(1)可知,DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形,
∴ DE=1/2 BC=4,CG=DF=3,∠G=90°,
∴ EG=DG−DE=5−4=1,
∴ CE=√(CG²+EG²)=√(3²+1²)=√10.
∵ E为AC的中点,
∴ AC=2CE=2√10.
关键点拨：△ABF和△ABM同底等高,面积相等.
解析
【分析】
(1)要证明四边形DFCG是矩形，可先证明它是平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先根据D、E是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理得到DE//BC，即DG//FC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形；再由DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可判定该平行四边形是矩形。
(2)求BC的长度时，BC可拆分为BF+FC：已知DG=FC=5，只需计算BF即可，由∠B=45°、DF⊥BC可得△BDF是等腰直角三角形，因此BF=DF=3，相加即可得BC的长。求AC的长度时，E是AC中点，因此只需计算CE的长度再乘2；由中位线定理可得DE的长度，进而求出EG的长度，结合矩形的性质得到CG的长度和∠G=90°，用勾股定理求出CE，即可得到AC的长。
【解析】
(1)证明：
∵ D,E分别为AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，即DG//FC。
又
∵ DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形。
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC = 90°，
∴ 平行四边形DFCG是矩形。
(2)解：
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFB=90°，
又
∵ ∠B=45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形，
∴ BF=DF=3。
∵ 四边形DFCG是矩形，
∴ FC=DG=5，
∴ BC=BF+FC=3+5=8。
由(1)知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ DE=1/2 BC=4，CG=DF=3，∠G=90°，
∴ EG=DG−DE=5−4=1，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：
CE=√(CG²+EG²)=√(3²+1²)=√10。
∵ E为AC的中点，
∴ AC=2CE=2√10。
【答案】
(1)四边形DFCG是矩形，证明成立；
(2)BC的长为8，AC的长为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形中位线、特殊平行四边形的判定性质、等腰直角三角形性质和勾股定理结合考察，解题时需逐步拆解问题，先判定图形性质再计算线段长度，能较好的检验对几何基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形DFCG是矩形，可先证明它是平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先根据D、E是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理得到DE//BC，即DG//FC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形；再由DF⊥BC得到∠DFC=90°，即可判定该平行四边形是矩形。
(2)求BC的长度时，BC可拆分为BF+FC：已知DG=FC=5，只需计算BF即可，由∠B=45°、DF⊥BC可得△BDF是等腰直角三角形，因此BF=DF=3，相加即可得BC的长。求AC的长度时，E是AC中点，因此只需计算CE的长度再乘2；由中位线定理可得DE的长度，进而求出EG的长度，结合矩形的性质得到CG的长度和∠G=90°，用勾股定理求出CE，即可得到AC的长。
【解析】
(1)证明：
∵ D,E分别为AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，即DG//FC。
又
∵ DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形。
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC = 90°，
∴ 平行四边形DFCG是矩形。
(2)解：
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFB=90°，
又
∵ ∠B=45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形，
∴ BF=DF=3。
∵ 四边形DFCG是矩形，
∴ FC=DG=5，
∴ BC=BF+FC=3+5=8。
由(1)知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ DE=1/2 BC=4，CG=DF=3，∠G=90°，
∴ EG=DG−DE=5−4=1，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：
CE=√(CG²+EG²)=√(3²+1²)=√10。
∵ E为AC的中点，
∴ AC=2CE=2√10。
【答案】
(1)四边形DFCG是矩形，证明成立；
(2)BC的长为8，AC的长为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将三角形中位线、特殊平行四边形的判定性质、等腰直角三角形性质和勾股定理结合考察，解题时需逐步拆解问题，先判定图形性质再计算线段长度，能较好的检验对几何基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
11[2025甘肃兰州中考]如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点,∠ADB = 35°,则∠DPE= (
A.95°
B.100°
C.110°
D.145°
(第11题图)
(第12题图)
C
)A.95°
B.100°
C.110°
D.145°
(第11题图)
(第12题图)
答案
11.C 【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC,∠ABC=90°.
∵ ∠ADB=35°,
∴ ∠CBD=∠ADB=35°.
∵ ∠ABC=90°,P为EF的中点,
∴ PB=PF=1/2 EF,
∴ ∠CBD=∠PFB=35°,
∴ ∠BPF=180°−35°−35°=110°,
∴ ∠DPE=∠BPF=110°. 故选C.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC,∠ABC=90°.
∵ ∠ADB=35°,
∴ ∠CBD=∠ADB=35°.
∵ ∠ABC=90°,P为EF的中点,
∴ PB=PF=1/2 EF,
∴ ∠CBD=∠PFB=35°,
∴ ∠BPF=180°−35°−35°=110°,
∴ ∠DPE=∠BPF=110°. 故选C.
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形对边平行且四个内角都是直角，据此可以将已知的∠ADB通过平行线的内错角相等转化为∠CBD的度数；接下来观察到△EBF是直角三角形，且P是EF中点，结合直角三角形斜边中线的性质可得PB=PF，推出△PBF是等腰三角形，利用三角形内角和算出∠BPF的度数；最后根据对顶角相等，即可得到∠DPE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠ABC=90°，
∵ ∠ADB=35°，AD//BC，
∴ ∠CBD=∠ADB=35°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠ABC=90°，即△EBF是直角三角形，P为EF的中点，
∴ PB=PF=½EF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ∠PFB=∠CBD=35°，
在△BPF中，∠BPF=180°−∠CBD−∠PFB=180°−35°−35°=110°，
∵ ∠DPE与∠BPF是对顶角，
∴ ∠DPE=∠BPF=110°。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线定理；对顶角相等
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握矩形、直角三角形的相关性质，通过角的转化逐步推导所求角度，是几何部分的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的性质入手，矩形对边平行且四个内角都是直角，据此可以将已知的∠ADB通过平行线的内错角相等转化为∠CBD的度数；接下来观察到△EBF是直角三角形，且P是EF中点，结合直角三角形斜边中线的性质可得PB=PF，推出△PBF是等腰三角形，利用三角形内角和算出∠BPF的度数；最后根据对顶角相等，即可得到∠DPE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠ABC=90°，
∵ ∠ADB=35°，AD//BC，
∴ ∠CBD=∠ADB=35°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠ABC=90°，即△EBF是直角三角形，P为EF的中点，
∴ PB=PF=½EF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ∠PFB=∠CBD=35°，
在△BPF中，∠BPF=180°−∠CBD−∠PFB=180°−35°−35°=110°，
∵ ∠DPE与∠BPF是对顶角，
∴ ∠DPE=∠BPF=110°。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；直角三角形斜边中线定理；对顶角相等
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握矩形、直角三角形的相关性质，通过角的转化逐步推导所求角度，是几何部分的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
12[2025江苏淮安中考]如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,点E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,OF,若AE=4,则OF=
4
.答案
12.4 【解析】
∵ AC⊥AB,
∴ ∠BAC=90°.
∵ 点E为BC的中点,
∴ AE=1/2 BC,
∴ BC=2AE=8.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ OB=OD. 又
∵ 点F为CD的中点,
∴ OF=1/2 BC=4. 故答案为4.
∵ AC⊥AB,
∴ ∠BAC=90°.
∵ 点E为BC的中点,
∴ AE=1/2 BC,
∴ BC=2AE=8.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ OB=OD. 又
∵ 点F为CD的中点,
∴ OF=1/2 BC=4. 故答案为4.
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直关系入手，得到直角三角形，结合E是BC中点的条件，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出BC的长度；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到O是BD中点，结合F是CD中点的条件，判断OF是△BCD的中位线，利用中位线定理即可求出OF的长度。
【解析】
∵ AC⊥AB，
∴ ∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形。
∵ 点E为BC的中点，
∴ AE是Rt△ABC斜边的中线，根据直角三角形斜边中线性质可得$AE=\frac{1}{2}BC$，
∴ $BC=2AE=2×4=8$。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ 对角线AC、BD互相平分，即O为BD的中点。
又
∵ 点F为CD的中点，
∴ OF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得$OF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $OF=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，整合了多个常见几何图形的核心性质，解题关键是准确识别斜边中线和中位线的结构，熟练掌握相关定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直关系入手，得到直角三角形，结合E是BC中点的条件，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出BC的长度；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到O是BD中点，结合F是CD中点的条件，判断OF是△BCD的中位线，利用中位线定理即可求出OF的长度。
【解析】
∵ AC⊥AB，
∴ ∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形。
∵ 点E为BC的中点，
∴ AE是Rt△ABC斜边的中线，根据直角三角形斜边中线性质可得$AE=\frac{1}{2}BC$，
∴ $BC=2AE=2×4=8$。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ 对角线AC、BD互相平分，即O为BD的中点。
又
∵ 点F为CD的中点，
∴ OF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得$OF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $OF=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，整合了多个常见几何图形的核心性质，解题关键是准确识别斜边中线和中位线的结构，熟练掌握相关定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
13[2025四川自贡中考]如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0,-2)。若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A'B'C'D'。则点D'的坐标为（
A.(-3,5)
B.(5,-3)
C.(-2,5)
D.(5,-2)
A
）A.(-3,5)
B.(5,-3)
C.(-2,5)
D.(5,-2)
答案
13.A 【解析】
∵ 正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上,将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',
∴ AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5,A'B'在x轴上,A'B'//C'D'.
∵ B(0,−2),
∴ B'(2,0),
∴ C'(2,5),
∴ D'(−3,5). 故选A.
∵ 正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上,将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',
∴ AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5,A'B'在x轴上,A'B'//C'D'.
∵ B(0,−2),
∴ B'(2,0),
∴ C'(2,5),
∴ D'(−3,5). 故选A.
解析
【分析】
解题时可按两步思考：第一步先根据正方形的性质和已知的B点坐标，推出原正方形中点D的坐标；第二步回忆平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律，将D点坐标代入规律计算即可得到D'的坐标，也可通过分析旋转后各边的位置逐步推导验证结果。
【解析】
1. 求原正方形中点D的坐标
∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B点坐标为$(0,-2)$
∴A点横坐标为0，纵坐标为$-2+5=3$，即$A(0,3)$
∵AD是正方形的边，AD平行于x轴且长度为5
∴D点横坐标为$0+5=5$，纵坐标和A点相同为3，即$D(5,3)$
2. 根据旋转规律求$D'$的坐标
点绕原点O逆时针旋转90°的坐标变换规律为：若原坐标为$(x,y)$，旋转后对应点坐标为$(-y,x)$
将$D(5,3)$代入规律，得$D'$的横坐标为$-3$，纵坐标为$5$，即$D'(-3,5)$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题结合正方形和旋转的知识考查坐标的求解，既可以直接用旋转坐标变换规律快速计算，也可以通过画图分析旋转后边的位置逐步推导，解题方法灵活，重点考查对基础性质的掌握。
【难度系数】
0.7
解题时可按两步思考：第一步先根据正方形的性质和已知的B点坐标，推出原正方形中点D的坐标；第二步回忆平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律，将D点坐标代入规律计算即可得到D'的坐标，也可通过分析旋转后各边的位置逐步推导验证结果。
【解析】
1. 求原正方形中点D的坐标
∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B点坐标为$(0,-2)$
∴A点横坐标为0，纵坐标为$-2+5=3$，即$A(0,3)$
∵AD是正方形的边，AD平行于x轴且长度为5
∴D点横坐标为$0+5=5$，纵坐标和A点相同为3，即$D(5,3)$
2. 根据旋转规律求$D'$的坐标
点绕原点O逆时针旋转90°的坐标变换规律为：若原坐标为$(x,y)$，旋转后对应点坐标为$(-y,x)$
将$D(5,3)$代入规律，得$D'$的横坐标为$-3$，纵坐标为$5$，即$D'(-3,5)$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题结合正方形和旋转的知识考查坐标的求解，既可以直接用旋转坐标变换规律快速计算，也可以通过画图分析旋转后边的位置逐步推导，解题方法灵活，重点考查对基础性质的掌握。
【难度系数】
0.7
14 新考向开放性试题 [2025 四川乐山中考]如图，在$□ ABCD$中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①$AC ⊥ BD$；②$AC=BD$；③$∠ ADC=90°$.则正确的组合是
①②(或①③)
（只需填一种组合即可）.答案
14.①②(或①③) 【解析】当选择①②时,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
∵ AC=BD,
∴ 四边形ABCD是正方形. 当选择①③时,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
∵ ∠ADC=90°,
∴ 四边形ABCD是正方形. 当选择②③时,由于四边形ABCD是平行四边形,若AC=BD或∠ADC=90°,均只能得到四边形ABCD是矩形,不能证明其为正方形,故不符合题意.
∴ 正确的组合是①②或①③,故答案为①②(或①③).
∵ 四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
∵ AC=BD,
∴ 四边形ABCD是正方形. 当选择①③时,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
∵ ∠ADC=90°,
∴ 四边形ABCD是正方形. 当选择②③时,由于四边形ABCD是平行四边形,若AC=BD或∠ADC=90°,均只能得到四边形ABCD是矩形,不能证明其为正方形,故不符合题意.
∴ 正确的组合是①②或①③,故答案为①②(或①③).
解析
【分析】
要判定平行四边形ABCD是正方形，需明确：平行四边形要成为正方形，需要同时具备菱形和矩形的特征，因此添加的两个条件需要一个可判定该平行四边形为菱形，一个可判定为矩形。先分析三个条件的作用：①$AC⊥BD$，可让平行四边形变为菱形；②$AC=BD$，可让平行四边形变为矩形；③$∠ADC=90°$，可让平行四边形变为矩形。因此只需选择菱形判定条件搭配矩形判定条件即可，②③均为矩形判定条件，同时添加仅能得到矩形，不符合要求。
【解析】
当选择组合①②时：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$AC⊥BD$，
∴ 四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∵ $AC=BD$，
∴ 四边形ABCD是正方形（对角线相等的菱形是正方形）。
当选择组合①③时：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$AC⊥BD$，
∴ 四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∵ $∠ADC=90°$，
∴ 四边形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
若选择组合②③：
平行四边形$ABCD$添加$AC=BD$或$∠ADC=90°$，均只能判定为矩形，无法证明其为菱形，因此不能得到正方形，不符合题意。
【答案】
①②(或①③)
【知识点】
正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题为开放性试题，考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题关键是理清平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的转化关系，牢记各特殊四边形的判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7
要判定平行四边形ABCD是正方形，需明确：平行四边形要成为正方形，需要同时具备菱形和矩形的特征，因此添加的两个条件需要一个可判定该平行四边形为菱形，一个可判定为矩形。先分析三个条件的作用：①$AC⊥BD$，可让平行四边形变为菱形；②$AC=BD$，可让平行四边形变为矩形；③$∠ADC=90°$，可让平行四边形变为矩形。因此只需选择菱形判定条件搭配矩形判定条件即可，②③均为矩形判定条件，同时添加仅能得到矩形，不符合要求。
【解析】
当选择组合①②时：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$AC⊥BD$，
∴ 四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∵ $AC=BD$，
∴ 四边形ABCD是正方形（对角线相等的菱形是正方形）。
当选择组合①③时：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$AC⊥BD$，
∴ 四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∵ $∠ADC=90°$，
∴ 四边形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
若选择组合②③：
平行四边形$ABCD$添加$AC=BD$或$∠ADC=90°$，均只能判定为矩形，无法证明其为菱形，因此不能得到正方形，不符合题意。
【答案】
①②(或①③)
【知识点】
正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题为开放性试题，考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题关键是理清平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的转化关系，牢记各特殊四边形的判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7
15 [2025 北京中考]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F.若AB = 1，∠EBC = 30°，则△ABF的面积为
3/8
.答案
15.3/8 【解析】如图,过点F作FM⊥BC,FN⊥AB,垂足分别为M,N,连接AM,则∠FMC=90°.
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ ∠ABC=90°,
∴ ∠ABC=∠FMC,
∴ AB//FM,
∴ FN=BM.
∵ S△ABF=1/2 AB·FN,S△ABM=1/2 AB·BM,
∴ S△ABF=S△ABM.
∵ CF⊥BE,AB=1=BC,∠EBC=30°,
∴ ∠BCF=60°,CF=1/2 BC=1/2,
∴ ∠CFM=90°−∠BCF=30°,
∴ CM=1/2 CF=1/4,
∴ BM=BC−CM=3/4,
∴ S△ABF=S△ABM=1/2×1×3/4=3/8,故答案为3/8.
解析
【分析】
要求△ABF的面积，已知底AB=1，因此只需要求出AB边上的高即可。结合正方形的性质，可过点F作FM⊥BC、FN⊥AB，利用平行线间距离相等的性质，将AB边上的高FN转化为BM。再结合CF⊥BE、∠EBC=30°的条件，在含30°角的直角三角形中依次求出CF、CM的长度，进而得到BM的长度，最终计算出△ABF的面积。
【解析】
过点F作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足分别为M、N。
∵ 四边形ABCD为正方形，AB=1，
∴ ∠ABC=90°，BC=AB=1，
∴ ∠ABC=∠FMC=90°，可得AB//FM，
∴ 平行线AB与FM间的距离相等，即FN=BM。
∵ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· FN$，$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB· BM$，
∴ $S_{△ ABF}=S_{△ ABM}$。
∵ CF⊥BE，∠EBC=30°，
∴ 在Rt△BFC中，∠BCF=90°-30°=60°，$CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$。
在Rt△CFM中，∠CFM=90°-∠BCF=30°，
∴ $CM=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{4}$，
∴ $BM=BC-CM=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
∴ $S_{△ ABF}=S_{△ ABM}=\frac{1}{2}×1×\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
正方形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题巧妙运用转化思想，通过作辅助线将所求三角形的高转化为易求的线段长度，结合特殊直角三角形的性质求解，既考查了基础几何知识点的掌握情况，也锻炼了几何图形的分析转化能力。
【难度系数】
0.7
要求△ABF的面积，已知底AB=1，因此只需要求出AB边上的高即可。结合正方形的性质，可过点F作FM⊥BC、FN⊥AB，利用平行线间距离相等的性质，将AB边上的高FN转化为BM。再结合CF⊥BE、∠EBC=30°的条件，在含30°角的直角三角形中依次求出CF、CM的长度，进而得到BM的长度，最终计算出△ABF的面积。
【解析】
过点F作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足分别为M、N。
∵ 四边形ABCD为正方形，AB=1，
∴ ∠ABC=90°，BC=AB=1，
∴ ∠ABC=∠FMC=90°，可得AB//FM，
∴ 平行线AB与FM间的距离相等，即FN=BM。
∵ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· FN$，$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB· BM$，
∴ $S_{△ ABF}=S_{△ ABM}$。
∵ CF⊥BE，∠EBC=30°，
∴ 在Rt△BFC中，∠BCF=90°-30°=60°，$CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$。
在Rt△CFM中，∠CFM=90°-∠BCF=30°，
∴ $CM=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{4}$，
∴ $BM=BC-CM=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
∴ $S_{△ ABF}=S_{△ ABM}=\frac{1}{2}×1×\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
正方形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题巧妙运用转化思想，通过作辅助线将所求三角形的高转化为易求的线段长度，结合特殊直角三角形的性质求解，既考查了基础几何知识点的掌握情况，也锻炼了几何图形的分析转化能力。
【难度系数】
0.7
16[2025浙江中考]【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出$△ ABE≌△ CBE$的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足$DE=DA$，求“机翼角”$∠ BAE$的度数.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出$△ ABE≌△ CBE$的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足$DE=DA$，求“机翼角”$∠ BAE$的度数.
答案
16.(1)【证明】
∵ 四边形ABCD是正方形,BD是其对角线,
∴ BA=BC,∠ABD=∠CBD=45°.
在△ABE和△CBE中,
∵ ⎧⎨⎩BA=BC,∠ABE=∠CBE,BE=BE,
∴ △ABE≌△CBE(SAS).
(2)【解】
∵ 四边形ABCD是正方形,BD是其对角线,
∴ ∠BAD=90°,∠ADB=45°.
∵ DE=DA,
∴ ∠DAE=∠DEA=67.5°,
∴ ∠BAE=∠BAD−∠DAE=90°−67.5°=22.5°.
∵ 四边形ABCD是正方形,BD是其对角线,
∴ BA=BC,∠ABD=∠CBD=45°.
在△ABE和△CBE中,
∵ ⎧⎨⎩BA=BC,∠ABE=∠CBE,BE=BE,
∴ △ABE≌△CBE(SAS).
(2)【解】
∵ 四边形ABCD是正方形,BD是其对角线,
∴ ∠BAD=90°,∠ADB=45°.
∵ DE=DA,
∴ ∠DAE=∠DEA=67.5°,
∴ ∠BAE=∠BAD−∠DAE=90°−67.5°=22.5°.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CBE，首先利用正方形的性质可得邻边AB=BC，对角线BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE，再结合公共边BE=BE，即可通过SAS判定定理证明两三角形全等。
(2) 求∠BAE的度数时，先根据正方形性质得到∠BAD=90°、对角线BD分∠ADC得到∠ADB=45°；已知DE=DA，说明△ADE是等腰三角形，结合三角形内角和先算出底角∠DAE的度数，再用∠BAD减去∠DAE即可得到∠BAE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，BD是其对角线，
∴ BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°。
在△ABE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l} BA=BC\\ ∠ ABE=∠ CBE\\ BE=BE\end{array} $
∴ △ABE≌△CBE（SAS）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，BD是其对角线，
∴ ∠BAD=90°，∠ADB=45°。
∵ DE=DA，
∴ △ADE为等腰三角形，∠DAE=∠DEA，
根据三角形内角和为180°，得$∠ DAE=\frac{180°-∠ ADB}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
∴ $∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=90°-67.5°=22.5°$。
【答案】
(1) △ABE≌△CBE，证明过程如上；
(2) $∠ BAE=22.5°$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的SAS判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题以正方形裁剪为背景，考查基础几何定理的应用，解题核心是熟练掌握特殊四边形的性质、全等判定方法和等腰三角形的角度计算逻辑，是典型的几何基础应用题。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ABE≌△CBE，首先利用正方形的性质可得邻边AB=BC，对角线BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE，再结合公共边BE=BE，即可通过SAS判定定理证明两三角形全等。
(2) 求∠BAE的度数时，先根据正方形性质得到∠BAD=90°、对角线BD分∠ADC得到∠ADB=45°；已知DE=DA，说明△ADE是等腰三角形，结合三角形内角和先算出底角∠DAE的度数，再用∠BAD减去∠DAE即可得到∠BAE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，BD是其对角线，
∴ BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°。
在△ABE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l} BA=BC\\ ∠ ABE=∠ CBE\\ BE=BE\end{array} $
∴ △ABE≌△CBE（SAS）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，BD是其对角线，
∴ ∠BAD=90°，∠ADB=45°。
∵ DE=DA，
∴ △ADE为等腰三角形，∠DAE=∠DEA，
根据三角形内角和为180°，得$∠ DAE=\frac{180°-∠ ADB}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
∴ $∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=90°-67.5°=22.5°$。
【答案】
(1) △ABE≌△CBE，证明过程如上；
(2) $∠ BAE=22.5°$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的SAS判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题以正方形裁剪为背景，考查基础几何定理的应用，解题核心是熟练掌握特殊四边形的性质、全等判定方法和等腰三角形的角度计算逻辑，是典型的几何基础应用题。
【难度系数】
0.8
