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5. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,已知点$D,E,F$分别是边$BC,AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$,求$S_{△ BEF}$的值. 
答案
5. $\because D$为$BC$中点,根据等底等高的三角形面积相等,$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm}^2)$.同理,$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm}^2)$,$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}$,$\therefore S_{△ BCE}=2\ \mathrm{cm}^2$.$\because F$为$EC$的中点,$\therefore S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm}^2)$.
6. 如图，△ABC的面积为1，分别倍长(延长一倍)AB，BC，CA得到△A₁B₁C₁，再分别倍长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁得到△A₂B₂C₂，…，按此规律，求倍长n次后得到的△AₙBₙCₙ的面积. 
答案
6. 连结$AB_1$,$BC_1$,$CA_1$,$\because$ 等底等高的三角形面积相等,$\therefore △ A_1BC$,$△ A_1B_1C$,$△ AB_1C$,$△ AB_1C_1$,$△ ABC_1$,$△ A_1BC_1$,$△ ABC$的面积都相等,$\therefore S_{△ A_1B_1C_1}=7S_{△ ABC}$,同理,$S_{△ A_2B_2C_2}=7S_{△ A_1B_1C_1}=7^2S_{△ ABC}$,依此类推,$△ A_nB_nC_n$的面积$=7^nS_{△ ABC}$.$\because △ ABC$的面积为1,$\therefore S_{△ A_nB_nC_n}=7^n$.
7. 综合与实践
【问题背景】
三角形三条中线交于一点,这个点叫作三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看,我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点,这一点叫物体的重心,如图①,如果取一块质地均匀的三角形纸板,用一根细线从重心O处将三角形纸板提起来,纸板就会处于平衡状态.
【相关素材】
在图②中,AD是$△ ABC$的中线,$△ ACD$与$△ ABD$等底等高,面积相等,记作:$S_{△ ACD}=S_{△ ABD}.$
在图③中,若$△ ABC$三条中线AD,BE,CF交于点G,则GD是$△ GBC$的中线,利用上述结论可得$S_{△ GCD}=S_{△ GBD}$,同理,$S_{△ GBF}=S_{△ GAF},S_{△ GAE}=S_{△ GCE}.$
【解决问题】
(1)在图③中,若设$S_{△ GCD}=x,S_{△ GBF}=y,S_{△ GAE}=z$,证明:$x=y=z.$
(2)利用(1)中的结论,证明:$BG:GE=2:1.$
(3)如图④,G是$△ ABC$的重心,点D,E在$△ ABC$的边AB,AC上,BE与CD交于点G,BE=9,CD=10,$BE⊥ CD$,求$△ BGD$的面积.
【问题背景】
三角形三条中线交于一点,这个点叫作三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看,我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点,这一点叫物体的重心,如图①,如果取一块质地均匀的三角形纸板,用一根细线从重心O处将三角形纸板提起来,纸板就会处于平衡状态.
【相关素材】
在图②中,AD是$△ ABC$的中线,$△ ACD$与$△ ABD$等底等高,面积相等,记作:$S_{△ ACD}=S_{△ ABD}.$
在图③中,若$△ ABC$三条中线AD,BE,CF交于点G,则GD是$△ GBC$的中线,利用上述结论可得$S_{△ GCD}=S_{△ GBD}$,同理,$S_{△ GBF}=S_{△ GAF},S_{△ GAE}=S_{△ GCE}.$
【解决问题】
(1)在图③中,若设$S_{△ GCD}=x,S_{△ GBF}=y,S_{△ GAE}=z$,证明:$x=y=z.$
(2)利用(1)中的结论,证明:$BG:GE=2:1.$
(3)如图④,G是$△ ABC$的重心,点D,E在$△ ABC$的边AB,AC上,BE与CD交于点G,BE=9,CD=10,$BE⊥ CD$,求$△ BGD$的面积.
答案
7. (1)由题意可得$S_{△ GCD}=S_{△ GBD}=x$,$S_{△ GBF}=S_{△ GAF}=y$,$S_{△ GAE}=S_{△ GCE}=z$,$\because S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$,$\therefore 2y+x=2z+x$,$\therefore y=z$.$\because S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$,$\therefore 2x+z=2y+z$,$\therefore x=y$,$\therefore x=y=z$.
(2)由(1)可得被三条中线分成的六个三角形面积相等,$\therefore S_{△ AGE}=S_{△ AFG}=S_{△ BFG}$.$\because S_{△ ABG}=S_{△ AFG}+S_{△ BFG}$,$\therefore S_{△ ABG}=2S_{△ AGE}$,$\therefore BG:GE=2:1$.
(3)$\because G$为$△ ABC$的重心,$\therefore BG:GE=CG:GD=2:1$.$\because BE=9$,$CD=10$,$\therefore BG=6$,$CG=\frac{20}{3}$.$\because BE⊥ CD$,$\therefore S_{△ BGC}=\frac{1}{2}BG· CG=\frac{1}{2}×6×\frac{20}{3}=20$,$\therefore S_{△ BGD}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=10$.
(2)由(1)可得被三条中线分成的六个三角形面积相等,$\therefore S_{△ AGE}=S_{△ AFG}=S_{△ BFG}$.$\because S_{△ ABG}=S_{△ AFG}+S_{△ BFG}$,$\therefore S_{△ ABG}=2S_{△ AGE}$,$\therefore BG:GE=2:1$.
(3)$\because G$为$△ ABC$的重心,$\therefore BG:GE=CG:GD=2:1$.$\because BE=9$,$CD=10$,$\therefore BG=6$,$CG=\frac{20}{3}$.$\because BE⊥ CD$,$\therefore S_{△ BGC}=\frac{1}{2}BG· CG=\frac{1}{2}×6×\frac{20}{3}=20$,$\therefore S_{△ BGD}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=10$.
