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8.如图,在$\odot O$中,半径$OA$,$OB$互相垂直,点$C$在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上.若$∠ ABC=19°$,则$∠ BAC=$()
A.$21°$
B.$25°$
C.$26°$
D.$27°$
A.$21°$
B.$25°$
C.$26°$
D.$27°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：半径OA、OB互相垂直，可得圆心角∠AOB=90°，对应劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为90°。再结合圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，已知∠ABC=19°，它对应弧$\overset{\frown}{AC}$，可先求出$\overset{\frown}{AC}$的度数，再求出$\overset{\frown}{BC}$的度数，最后∠BAC对应弧$\overset{\frown}{BC}$，再次运用圆周角定理即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵ OA⊥OB，
∴ ∠AOB=90°，即劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为90°。
∵ ∠ABC是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数 = 2∠ABC = 2×19°=38°，
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数 = 劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数 - $\overset{\frown}{AC}$的度数 = 90°-38°=52°，
又
∵ ∠BAC是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}$×$\overset{\frown}{BC}$的度数 = $\frac{1}{2}$×52°=26°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，垂直的定义
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题核心是找准圆周角对应的弧，结合已知垂直条件得到对应弧的度数即可逐步推导，熟练掌握圆周角定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：半径OA、OB互相垂直，可得圆心角∠AOB=90°，对应劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为90°。再结合圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，已知∠ABC=19°，它对应弧$\overset{\frown}{AC}$，可先求出$\overset{\frown}{AC}$的度数，再求出$\overset{\frown}{BC}$的度数，最后∠BAC对应弧$\overset{\frown}{BC}$，再次运用圆周角定理即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵ OA⊥OB，
∴ ∠AOB=90°，即劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为90°。
∵ ∠ABC是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数 = 2∠ABC = 2×19°=38°，
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数 = 劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数 - $\overset{\frown}{AC}$的度数 = 90°-38°=52°，
又
∵ ∠BAC是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}$×$\overset{\frown}{BC}$的度数 = $\frac{1}{2}$×52°=26°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，垂直的定义
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题核心是找准圆周角对应的弧，结合已知垂直条件得到对应弧的度数即可逐步推导，熟练掌握圆周角定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$\odot O$中,直径AB与弦CD相交于点P,$∠ CAB=40°,∠ APD=65°$.
(1)求$∠ B$的大小;
(2)已知$AD=6$,求圆心O到BD的距离.
(1)求$∠ B$的大小;
(2)已知$AD=6$,求圆心O到BD的距离.
答案
解：
(1) ∵ ∠APD是△APC的外角，
∴ ∠APD = ∠CAB + ∠C，
∴ ∠C = ∠APD - ∠CAB = 65° - 40° = 25°，
又∵ ∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠B = ∠C = 25°。
(2) 过点O作OE⊥BD于点E，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即AD⊥BD，
又∵ OE⊥BD，
∴ OE//AD，
∵ O是AB的中点，
∴ OE是△ABD的中位线，
∴ OE = $\frac{1}{2}$AD，
∵ AD=6，
∴ OE = $\frac{1}{2} × 6 = 3$，
即圆心O到BD的距离为3。
(1) ∵ ∠APD是△APC的外角，
∴ ∠APD = ∠CAB + ∠C，
∴ ∠C = ∠APD - ∠CAB = 65° - 40° = 25°，
又∵ ∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠B = ∠C = 25°。
(2) 过点O作OE⊥BD于点E，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即AD⊥BD，
又∵ OE⊥BD，
∴ OE//AD，
∵ O是AB的中点，
∴ OE是△ABD的中位线，
∴ OE = $\frac{1}{2}$AD，
∵ AD=6，
∴ OE = $\frac{1}{2} × 6 = 3$，
即圆心O到BD的距离为3。
解析
【分析】
(1) 求∠B的度数时，首先观察到∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，二者相等，因此只需先求出∠C的度数。已知∠APD是△APC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，结合给出的∠APD和∠CAB的度数，即可算出∠C，进而得到∠B的大小。
(2) 求圆心O到BD的距离，首先过点O作OE⊥BD于E，OE即为所求距离。由AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，即AD⊥BD，由此推出OE//AD。又因为O是AB的中点，所以OE是△ABD的中位线，根据中位线定理，OE的长度为AD的一半，代入AD的数值即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ ∠APD是△APC的外角，
∴ ∠APD = ∠CAB + ∠C，
∴ ∠C = ∠APD - ∠CAB = 65° - 40° = 25°，
又
∵ ∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠B = ∠C = 25°。
(2) 过点O作OE⊥BD于点E，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即AD⊥BD，
又
∵ OE⊥BD，
∴ OE//AD，
∵ O是AB的中点，
∴ OE是△ABD的中位线，
∴ OE = $\frac{1}{2}$AD，
∵ AD=6，
∴ OE = $\frac{1}{2} × 6 = 3$，
即圆心O到BD的距离为3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=25°}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
圆周角定理、三角形外角性质、三角形中位线定理
【点评】
本题属于圆周角定理应用的基础题型，解题的关键是熟练掌握圆周角的等量关系、三角形外角性质以及中位线定理，通过构造垂线辅助线即可快速求解，注重对基础定理的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠B的度数时，首先观察到∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，二者相等，因此只需先求出∠C的度数。已知∠APD是△APC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，结合给出的∠APD和∠CAB的度数，即可算出∠C，进而得到∠B的大小。
(2) 求圆心O到BD的距离，首先过点O作OE⊥BD于E，OE即为所求距离。由AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，即AD⊥BD，由此推出OE//AD。又因为O是AB的中点，所以OE是△ABD的中位线，根据中位线定理，OE的长度为AD的一半，代入AD的数值即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ ∠APD是△APC的外角，
∴ ∠APD = ∠CAB + ∠C，
∴ ∠C = ∠APD - ∠CAB = 65° - 40° = 25°，
又
∵ ∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠B = ∠C = 25°。
(2) 过点O作OE⊥BD于点E，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即AD⊥BD，
又
∵ OE⊥BD，
∴ OE//AD，
∵ O是AB的中点，
∴ OE是△ABD的中位线，
∴ OE = $\frac{1}{2}$AD，
∵ AD=6，
∴ OE = $\frac{1}{2} × 6 = 3$，
即圆心O到BD的距离为3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=25°}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
圆周角定理、三角形外角性质、三角形中位线定理
【点评】
本题属于圆周角定理应用的基础题型，解题的关键是熟练掌握圆周角的等量关系、三角形外角性质以及中位线定理，通过构造垂线辅助线即可快速求解，注重对基础定理的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
10.如图，AB是弦，OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=50°,求∠DEB的度数；
(2)若OC=3,OA=5,求BD的长.
(1)若∠AOD=50°,求∠DEB的度数；
(2)若OC=3,OA=5,求BD的长.
答案
解：
(1) ∵ OD⊥AB，OD是⊙O的半径，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，$∠ DEB=\frac{1}{2}∠ AOD$，
∵ $∠ AOD=50°$，
∴ $∠ DEB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OC=3$，$OA=5$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵ $OD⊥ AB$，
∴ $AC=BC=4$，
又∵ 半径$OD=OA=5$，
∴ $CD=OD-OC=5-3=2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
综上，(1) $∠ DEB=25°$；(2) $BD=2\sqrt{5}$。
(1) ∵ OD⊥AB，OD是⊙O的半径，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，$∠ DEB=\frac{1}{2}∠ AOD$，
∵ $∠ AOD=50°$，
∴ $∠ DEB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OC=3$，$OA=5$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵ $OD⊥ AB$，
∴ $AC=BC=4$，
又∵ 半径$OD=OA=5$，
∴ $CD=OD-OC=5-3=2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
综上，(1) $∠ DEB=25°$；(2) $BD=2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 求解∠DEB的度数：首先观察图形，OD是过圆心且垂直于弦AB的半径，根据垂径定理可推出弧AD和弧BD相等；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，可知∠DEB是弧BD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，因此∠DEB等于∠AOD的一半，代入已知角度即可计算结果。
(2) 求解BD的长度：首先在Rt△OAC中，已知OA和OC的长度，利用勾股定理可求出AC的长度；再根据垂径定理，OD垂直AB可得AC=BC；接着计算CD的长度（CD等于半径OD减去OC）；最后在Rt△BCD中，已知BC和CD的长度，用勾股定理即可算出BD的长。
【解析】
(1)
∵ OD⊥AB，OD是⊙O的半径，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，$∠ DEB=\frac{1}{2}∠ AOD$，
∵ $∠ AOD=50°$，
∴ $∠ DEB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OC=3$，$OA=5$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵ $OD⊥ AB$，
∴ $AC=BC=4$，
又
∵ 半径$OD=OA=5$，
∴ $CD=OD-OC=5-3=2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $∠ DEB=25°$；(2) $BD=2\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查核心定理的应用，熟练掌握垂径定理、圆周角定理以及勾股定理的适用场景，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠DEB的度数：首先观察图形，OD是过圆心且垂直于弦AB的半径，根据垂径定理可推出弧AD和弧BD相等；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，可知∠DEB是弧BD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，因此∠DEB等于∠AOD的一半，代入已知角度即可计算结果。
(2) 求解BD的长度：首先在Rt△OAC中，已知OA和OC的长度，利用勾股定理可求出AC的长度；再根据垂径定理，OD垂直AB可得AC=BC；接着计算CD的长度（CD等于半径OD减去OC）；最后在Rt△BCD中，已知BC和CD的长度，用勾股定理即可算出BD的长。
【解析】
(1)
∵ OD⊥AB，OD是⊙O的半径，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
根据圆周角定理，$∠ DEB=\frac{1}{2}∠ AOD$，
∵ $∠ AOD=50°$，
∴ $∠ DEB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OC=3$，$OA=5$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵ $OD⊥ AB$，
∴ $AC=BC=4$，
又
∵ 半径$OD=OA=5$，
∴ $CD=OD-OC=5-3=2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $∠ DEB=25°$；(2) $BD=2\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查核心定理的应用，熟练掌握垂径定理、圆周角定理以及勾股定理的适用场景，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
11.如图，AB是$\odot O$的直径，D是弦AC的延长线上的一点，DB的延长线交$\odot O$于点E，且$CD=CE$.
(1)求证:$AC=CD$.
(2)连接$AE$，若$∠ D=25°$，求$∠ BAE$的度数.
(1)求证:$AC=CD$.
(2)连接$AE$，若$∠ D=25°$，求$∠ BAE$的度数.
答案
(1) 证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，点E在$\odot O$上，
∴ $∠ AEB=90°$，即$∠ AED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ EAC + ∠ D = 90°$，$∠ AEC + ∠ CED = 90°$。
∵ $CD=CE$，
∴ $∠ D = ∠ CED$，
∴ $∠ EAC = ∠ AEC$，
∴ $AC=CE$，
又∵ $CD=CE$，
∴ $AC=CD$。
---
(2) 解：
∵ $∠ D=25°$，由(1)得$AC=CD$，
∴ $∠ BAD = ∠ D = 25°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ AED=90°$，
∴ $∠ EAD = 90° - ∠ D = 90° - 25° = 65°$，
∴ $∠ BAE = ∠ EAD - ∠ BAD = 65° - 25° = 40°$。
最终结论：$∠ BAE=40°$。
∵ AB是$\odot O$的直径，点E在$\odot O$上，
∴ $∠ AEB=90°$，即$∠ AED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ EAC + ∠ D = 90°$，$∠ AEC + ∠ CED = 90°$。
∵ $CD=CE$，
∴ $∠ D = ∠ CED$，
∴ $∠ EAC = ∠ AEC$，
∴ $AC=CE$，
又∵ $CD=CE$，
∴ $AC=CD$。
---
(2) 解：
∵ $∠ D=25°$，由(1)得$AC=CD$，
∴ $∠ BAD = ∠ D = 25°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ AED=90°$，
∴ $∠ EAD = 90° - ∠ D = 90° - 25° = 65°$，
∴ $∠ BAE = ∠ EAD - ∠ BAD = 65° - 25° = 40°$。
最终结论：$∠ BAE=40°$。
解析
【分析】
(1) 要证$AC=CD$，已知$CD=CE$，因此只需证明$AC=CE$即可。首先由AB是$\odot O$的直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，即$∠AED=90°$；再结合直角三角形两锐角互余的性质，以及$CD=CE$得到$∠D=∠CED$，通过等角的余角相等推出$∠EAC=∠AEC$，根据等角对等边得$AC=CE$，最后等量代换即可得证。
(2) 求$∠BAE$的度数，先在$Rt△ AED$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠EAD$的度数，再结合(1)的结论$AC=CD$得到$∠BAD=∠D$，最后用$∠EAD$减去$∠BAD$即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，点E在$\odot O$上，
∴ $∠ AEB=90°$，即$∠ AED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ EAC + ∠ D = 90°$，$∠ AEC + ∠ CED = 90°$。
∵ $CD=CE$，
∴ $∠ D = ∠ CED$，
∴ $∠ EAC = ∠ AEC$，
∴ $AC=CE$，
又
∵ $CD=CE$，
∴ $AC=CD$。
(2) 解：
∵ $∠ D=25°$，由(1)得$AC=CD$，
∴ $∠ BAD = ∠ D = 25°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ AED=90°$，
∴ $∠ EAD = 90° - ∠ D = 90° - 25° = 65°$，
∴ $∠ BAE = ∠ EAD - ∠ BAD = 65° - 25° = 40°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{∠BAE=40°}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，核心突破口是利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合角的等量关系推导边、角的结论，侧重考察基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AC=CD$，已知$CD=CE$，因此只需证明$AC=CE$即可。首先由AB是$\odot O$的直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，即$∠AED=90°$；再结合直角三角形两锐角互余的性质，以及$CD=CE$得到$∠D=∠CED$，通过等角的余角相等推出$∠EAC=∠AEC$，根据等角对等边得$AC=CE$，最后等量代换即可得证。
(2) 求$∠BAE$的度数，先在$Rt△ AED$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠EAD$的度数，再结合(1)的结论$AC=CD$得到$∠BAD=∠D$，最后用$∠EAD$减去$∠BAD$即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，点E在$\odot O$上，
∴ $∠ AEB=90°$，即$∠ AED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ EAC + ∠ D = 90°$，$∠ AEC + ∠ CED = 90°$。
∵ $CD=CE$，
∴ $∠ D = ∠ CED$，
∴ $∠ EAC = ∠ AEC$，
∴ $AC=CE$，
又
∵ $CD=CE$，
∴ $AC=CD$。
(2) 解：
∵ $∠ D=25°$，由(1)得$AC=CD$，
∴ $∠ BAD = ∠ D = 25°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ AED=90°$，
∴ $∠ EAD = 90° - ∠ D = 90° - 25° = 65°$，
∴ $∠ BAE = ∠ EAD - ∠ BAD = 65° - 25° = 40°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{∠BAE=40°}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，核心突破口是利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合角的等量关系推导边、角的结论，侧重考察基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
12.如图①，已知AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，垂足为E，点M在$\odot O$上，$∠ M = ∠ D$.
（1）判断BC与MD的位置关系，并说明理由；
（2）若$AE=16$，$BE=4$，求线段CD的长；
（3）如图②，若MD恰好经过圆心O，求$∠ D$的度数.
（1）判断BC与MD的位置关系，并说明理由；
（2）若$AE=16$，$BE=4$，求线段CD的长；
（3）如图②，若MD恰好经过圆心O，求$∠ D$的度数.
答案
解：
(1) $BC// MD$，理由如下：
$\because ∠ M$和$∠ BCD$都是弧$BD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ M = ∠ BCD$，
又$\because ∠ M = ∠ D$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ D$，
$\therefore BC// MD$。
(2) $\because AE=16$，$BE=4$，
$\therefore AB = AE + BE = 20$，
$\therefore \odot O$的半径$OC = OB = \frac{1}{2}AB = 10$，
$\therefore OE = OB - BE = 10 - 4 = 6$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE = \sqrt{OC^2 - OE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$，
由垂径定理得：$CD = 2CE = 16$。
(3) $\because MD$经过圆心$O$，
$\therefore ∠ BOD$是弧$BD$对应的圆心角，
由圆周角定理得：$∠ BOD = 2∠ M$，
又$\because ∠ M = ∠ D$，
$\therefore ∠ BOD = 2∠ D$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ OED = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OED$中，$∠ D + ∠ BOD = 90°$，
代入得：$∠ D + 2∠ D = 90°$，
解得$∠ D = 30°$。
(1) $BC// MD$，理由如下：
$\because ∠ M$和$∠ BCD$都是弧$BD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ M = ∠ BCD$，
又$\because ∠ M = ∠ D$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ D$，
$\therefore BC// MD$。
(2) $\because AE=16$，$BE=4$，
$\therefore AB = AE + BE = 20$，
$\therefore \odot O$的半径$OC = OB = \frac{1}{2}AB = 10$，
$\therefore OE = OB - BE = 10 - 4 = 6$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE = \sqrt{OC^2 - OE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$，
由垂径定理得：$CD = 2CE = 16$。
(3) $\because MD$经过圆心$O$，
$\therefore ∠ BOD$是弧$BD$对应的圆心角，
由圆周角定理得：$∠ BOD = 2∠ M$，
又$\because ∠ M = ∠ D$，
$\therefore ∠ BOD = 2∠ D$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ OED = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OED$中，$∠ D + ∠ BOD = 90°$，
代入得：$∠ D + 2∠ D = 90°$，
解得$∠ D = 30°$。
解析
【分析】
（1）要判断BC与MD的位置关系，优先考虑平行或垂直，结合已知角相等的条件，可通过判定内错角相等证明平行：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠M=∠BCD，结合已知∠M=∠D，推出∠BCD=∠D，即可得到平行结论。
（2）求弦CD的长，可利用垂径定理求解：先根据AE、BE的长度求出圆的直径，进而得到半径和圆心O到弦CD的距离OE，再在直角三角形OCE中用勾股定理求出半弦长CE，乘2即可得到CD的长度。
（3）求∠D的度数，可结合圆周角定理和直角三角形的性质求解：MD过圆心时，∠BOD是弧BD对应的圆心角，根据圆周角定理可得∠BOD=2∠M，结合∠M=∠D推出∠BOD=2∠D，再在Rt△OED中利用两锐角互余列方程，即可求出∠D的度数。
【解析】
(1) $BC// MD$，理由如下：
$\because ∠M$和$∠BCD$都是弧$BD$所对的圆周角，
$\therefore ∠M = ∠BCD$，
又$\because ∠M = ∠D$，
$\therefore ∠BCD = ∠D$，
$\therefore BC// MD$。
(2) $\because AE=16$，$BE=4$，
$\therefore AB = AE + BE = 20$，
$\therefore \odot O$的半径$OC = OB = \frac{1}{2}AB = 10$，
$\therefore OE = OB - BE = 10 - 4 = 6$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△OCE$中，$CE = \sqrt{OC^2 - OE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$，
由垂径定理得：$CD = 2CE = 16$。
(3) $\because MD$经过圆心$O$，
$\therefore ∠BOD$是弧$BD$对应的圆心角，
由圆周角定理得：$∠BOD = 2∠M$，
又$\because ∠M = ∠D$，
$\therefore ∠BOD = 2∠D$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠OED = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△OED$中，$∠D + ∠BOD = 90°$，
代入得：$∠D + 2∠D = 90°$，
解得$∠D = 30°$。
【答案】
(1) $BC// MD$；(2) $CD=16$；(3) $∠D=30°$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，围绕圆周角、垂径定理等核心考点设置问题，既考查了平行判定、几何计算的能力，也锻炼了逻辑推理能力，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
（1）要判断BC与MD的位置关系，优先考虑平行或垂直，结合已知角相等的条件，可通过判定内错角相等证明平行：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠M=∠BCD，结合已知∠M=∠D，推出∠BCD=∠D，即可得到平行结论。
（2）求弦CD的长，可利用垂径定理求解：先根据AE、BE的长度求出圆的直径，进而得到半径和圆心O到弦CD的距离OE，再在直角三角形OCE中用勾股定理求出半弦长CE，乘2即可得到CD的长度。
（3）求∠D的度数，可结合圆周角定理和直角三角形的性质求解：MD过圆心时，∠BOD是弧BD对应的圆心角，根据圆周角定理可得∠BOD=2∠M，结合∠M=∠D推出∠BOD=2∠D，再在Rt△OED中利用两锐角互余列方程，即可求出∠D的度数。
【解析】
(1) $BC// MD$，理由如下：
$\because ∠M$和$∠BCD$都是弧$BD$所对的圆周角，
$\therefore ∠M = ∠BCD$，
又$\because ∠M = ∠D$，
$\therefore ∠BCD = ∠D$，
$\therefore BC// MD$。
(2) $\because AE=16$，$BE=4$，
$\therefore AB = AE + BE = 20$，
$\therefore \odot O$的半径$OC = OB = \frac{1}{2}AB = 10$，
$\therefore OE = OB - BE = 10 - 4 = 6$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△OCE$中，$CE = \sqrt{OC^2 - OE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$，
由垂径定理得：$CD = 2CE = 16$。
(3) $\because MD$经过圆心$O$，
$\therefore ∠BOD$是弧$BD$对应的圆心角，
由圆周角定理得：$∠BOD = 2∠M$，
又$\because ∠M = ∠D$，
$\therefore ∠BOD = 2∠D$，
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠OED = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△OED$中，$∠D + ∠BOD = 90°$，
代入得：$∠D + 2∠D = 90°$，
解得$∠D = 30°$。
【答案】
(1) $BC// MD$；(2) $CD=16$；(3) $∠D=30°$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，围绕圆周角、垂径定理等核心考点设置问题，既考查了平行判定、几何计算的能力，也锻炼了逻辑推理能力，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
