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1. 数轴
(1)规定了、和的直线叫作数轴.
(2)数轴的三要素：
①在直线上任取一个点表示数，这个点叫作原点；
②通常规定直线上从向右(或上)为方向，从向左(或下)为方向；
③选取适当的长度为.
2. 用数轴上的点表示有理数
(1)有理数都可以用数轴上的点来表示；
(2)一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是个单位长度；表示数$-a$的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是个单位长度.数轴上与原点的距离是$a$个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是$a$的点.
(1)规定了、和的直线叫作数轴.
(2)数轴的三要素：
①在直线上任取一个点表示数，这个点叫作原点；
②通常规定直线上从向右(或上)为方向，从向左(或下)为方向；
③选取适当的长度为.
2. 用数轴上的点表示有理数
(1)有理数都可以用数轴上的点来表示；
(2)一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是个单位长度；表示数$-a$的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是个单位长度.数轴上与原点的距离是$a$个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是$a$的点.
答案
解：
1. (1) 原点；正方向；单位长度
(2) ① 0
② 原点；正；原点；负
③ 单位长度
2. (2) $a$；$a$
1. (1) 原点；正方向；单位长度
(2) ① 0
② 原点；正；原点；负
③ 单位长度
2. (2) $a$；$a$
解析
【分析】
本题考查数轴的基础概念，属于识记类基础题，解题时只需回忆数轴的定义、三要素内容以及数轴上的点和有理数的对应规则即可逐一填空：首先回忆数轴的定义明确三个核心要素，再对应三要素的具体含义填写相关内容，最后结合数轴上点到原点的距离的非负性填写距离相关的空。
【解析】
1. 数轴相关概念：
(1) 根据数轴的定义，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴，因此三个空依次对应填写即可。
(2) 数轴三要素的具体内容：
① 原点的定义为数轴上表示数0的点，因此对应填0；
② 数轴的方向规则为：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向，按规则依次填写即可；
③ 数轴需要选取适当的长度作为单位长度，因此对应填单位长度。
2. 数轴上点与有理数的关系：
(2) 若a是正数，数a在数轴正半轴，到原点的距离等于它本身，即a个单位长度；数-a是负数，在数轴负半轴，由于点到原点的距离为非负数，因此-a到原点的距离也为a个单位长度，两个空均填a即可。
【答案】
1. (1) 原点；正方向；单位长度
(2) ① 0
② 原点；正；原点；负
③ 单位长度
2. (2) $a$；$a$
【知识点】
数轴的定义；数轴的三要素；数轴与有理数的对应关系
【点评】
本题是数轴模块的基础概念考察题，涉及的都是数轴的核心基础内容，是后续学习有理数大小比较、相反数、绝对值等知识点的重要基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查数轴的基础概念，属于识记类基础题，解题时只需回忆数轴的定义、三要素内容以及数轴上的点和有理数的对应规则即可逐一填空：首先回忆数轴的定义明确三个核心要素，再对应三要素的具体含义填写相关内容，最后结合数轴上点到原点的距离的非负性填写距离相关的空。
【解析】
1. 数轴相关概念：
(1) 根据数轴的定义，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴，因此三个空依次对应填写即可。
(2) 数轴三要素的具体内容：
① 原点的定义为数轴上表示数0的点，因此对应填0；
② 数轴的方向规则为：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向，按规则依次填写即可；
③ 数轴需要选取适当的长度作为单位长度，因此对应填单位长度。
2. 数轴上点与有理数的关系：
(2) 若a是正数，数a在数轴正半轴，到原点的距离等于它本身，即a个单位长度；数-a是负数，在数轴负半轴，由于点到原点的距离为非负数，因此-a到原点的距离也为a个单位长度，两个空均填a即可。
【答案】
1. (1) 原点；正方向；单位长度
(2) ① 0
② 原点；正；原点；负
③ 单位长度
2. (2) $a$；$a$
【知识点】
数轴的定义；数轴的三要素；数轴与有理数的对应关系
【点评】
本题是数轴模块的基础概念考察题，涉及的都是数轴的核心基础内容，是后续学习有理数大小比较、相反数、绝对值等知识点的重要基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
【例1】下列所画的数轴，正确的是（）。
答案
D
解析
【分析】
要判断数轴是否正确，首先要牢记数轴的三个必备要素：原点（标注0的点）、正方向（通常用向右的箭头表示）、统一的单位长度（同一数轴上每相邻两个整数刻度的距离要相等），解题时逐一核对每个选项是否同时满足这三个要素，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据数轴三要素逐个分析选项：
1. 选项A：没有标注表示正方向的箭头，不满足数轴的要素，错误；
2. 选项B：没有标注原点（0刻度），不满足数轴的要素，错误；
3. 选项C：既没有标注正方向的箭头，同时-1到0的距离与0到1的距离不相等，单位长度不统一，不满足数轴的要素，错误；
4. 选项D：同时具备原点（标注了0）、向右的正方向箭头、统一的单位长度，符合数轴的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴三要素；数轴的判定
【点评】
本题是数轴的基础考查题，解题的关键是牢记数轴的三个必备要素，判断时逐一排查三个要素是否全部满足，避免遗漏条件导致判断错误。
【难度系数】
0.9
要判断数轴是否正确，首先要牢记数轴的三个必备要素：原点（标注0的点）、正方向（通常用向右的箭头表示）、统一的单位长度（同一数轴上每相邻两个整数刻度的距离要相等），解题时逐一核对每个选项是否同时满足这三个要素，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据数轴三要素逐个分析选项：
1. 选项A：没有标注表示正方向的箭头，不满足数轴的要素，错误；
2. 选项B：没有标注原点（0刻度），不满足数轴的要素，错误；
3. 选项C：既没有标注正方向的箭头，同时-1到0的距离与0到1的距离不相等，单位长度不统一，不满足数轴的要素，错误；
4. 选项D：同时具备原点（标注了0）、向右的正方向箭头、统一的单位长度，符合数轴的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴三要素；数轴的判定
【点评】
本题是数轴的基础考查题，解题的关键是牢记数轴的三个必备要素，判断时逐一排查三个要素是否全部满足，避免遗漏条件导致判断错误。
【难度系数】
0.9
方法点拨
判断数轴的画法是否正确的两个标准：
(1)要具备数轴的三要素；
(2)数字排列方式要正确。
【变式1】下列各图中,表示数轴的是().
判断数轴的画法是否正确的两个标准：
(1)要具备数轴的三要素；
(2)数字排列方式要正确。
【变式1】下列各图中,表示数轴的是().
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个图是数轴，首先要明确数轴的三个必备要素：原点（标记0的点）、正方向（一般用向右的箭头表示）、统一的单位长度，同时数轴上的数字要满足右大左小的排列规律。我们可以对照这几个要求逐一排查每个选项：先看有没有正方向，再看有没有原点，接着看单位长度是否统一，最后检查数字排列是否正确。
【解析】
数轴必须同时满足：①有原点（标注0）；②有明确的正方向；③单位长度统一；④数字从左到右依次增大。
选项A：没有标注正方向（箭头），不符合数轴要求，错误；
选项B：没有标注原点（没有0的位置），不符合数轴要求，错误；
选项C：正方向向左，但数字排列不符合箭头指向一侧数更大的规律，错误；
选项D：具备原点0、向右的正方向，单位长度统一，数字-1＜0＜1＜2排列正确，符合数轴的所有要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的三要素；数轴的判定
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对数轴构成要素的理解，只要熟练掌握数轴的判断标准，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图是数轴，首先要明确数轴的三个必备要素：原点（标记0的点）、正方向（一般用向右的箭头表示）、统一的单位长度，同时数轴上的数字要满足右大左小的排列规律。我们可以对照这几个要求逐一排查每个选项：先看有没有正方向，再看有没有原点，接着看单位长度是否统一，最后检查数字排列是否正确。
【解析】
数轴必须同时满足：①有原点（标注0）；②有明确的正方向；③单位长度统一；④数字从左到右依次增大。
选项A：没有标注正方向（箭头），不符合数轴要求，错误；
选项B：没有标注原点（没有0的位置），不符合数轴要求，错误；
选项C：正方向向左，但数字排列不符合箭头指向一侧数更大的规律，错误；
选项D：具备原点0、向右的正方向，单位长度统一，数字-1＜0＜1＜2排列正确，符合数轴的所有要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的三要素；数轴的判定
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对数轴构成要素的理解，只要熟练掌握数轴的判断标准，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
【例2】(1)画出数轴，并在数轴上表示出下列各有理数：$-2,-3\frac{1}{2},0,-4\frac{1}{3},\frac{1}{2}$；
(2)指出下面数轴上A,B,C,D,E各点分别表示的有理数。
(2)指出下面数轴上A,B,C,D,E各点分别表示的有理数。
答案
解：
(1) 先画一条水平直线，确定原点标记为0，规定向右为正方向并画出箭头，选取合适的单位长度，从原点向左右两侧依次标注整数刻度。
将各有理数对应标注在数轴上：
$-4\frac{1}{3}$位于-5和-4之间，距离-4点$\frac{1}{3}$个单位长度处；
$-3\frac{1}{2}$位于-4和-3的中点处；
-2与刻度-2的位置重合；
0与原点位置重合；
$\frac{1}{2}$位于0和1之间，距离原点$\frac{1}{2}$个单位长度处。
(2) 数轴上各点表示的有理数为：
点A表示$-4$，
点B表示$-2$，
点C表示$1$，
点D表示$3$，
点E表示$4.5$。
(1) 先画一条水平直线，确定原点标记为0，规定向右为正方向并画出箭头，选取合适的单位长度，从原点向左右两侧依次标注整数刻度。
将各有理数对应标注在数轴上：
$-4\frac{1}{3}$位于-5和-4之间，距离-4点$\frac{1}{3}$个单位长度处；
$-3\frac{1}{2}$位于-4和-3的中点处；
-2与刻度-2的位置重合；
0与原点位置重合；
$\frac{1}{2}$位于0和1之间，距离原点$\frac{1}{2}$个单位长度处。
(2) 数轴上各点表示的有理数为：
点A表示$-4$，
点B表示$-2$，
点C表示$1$，
点D表示$3$，
点E表示$4.5$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先回忆数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，画数轴时三个要素必须齐全。标注有理数时，先根据数的符号确定大致位置：正数在原点右侧，负数在原点左侧，0与原点重合，再结合数的大小，确定其在相邻两个整数刻度之间的具体位置即可。
2. 第(2)问：读取数轴上点对应的数时，先根据点在原点的左侧/右侧确定数的正负（左侧为负，右侧为正，原点对应0），再结合点对应的刻度数值，就能得到该点表示的有理数。
【解析】
(1) 绘制数轴并标注数的步骤：
① 先画一条水平直线，在直线上选一点标记为0作为原点，规定向右为正方向并画出箭头，选取合适的长度作为单位长度，从原点向左右两侧依次标注整数刻度，完成数轴绘制。
② 标注各有理数：
$-4\frac{1}{3}$是负数，在-5和-4之间，距离-4点$\frac{1}{3}$个单位长度处标注；
$-3\frac{1}{2}$是负数，在-4和-3的中点位置标注；
-2与数轴上-2的刻度位置重合，直接标注；
0与原点位置重合，直接标注；
$\frac{1}{2}$是正数，在0和1之间，距离原点$\frac{1}{2}$个单位长度处标注。
(2) 读取各点对应的有理数：
点A在原点左侧，对应刻度-4，因此表示$-4$；
点B在原点左侧，对应刻度-2，因此表示$-2$；
点C在原点右侧，对应刻度1，因此表示$1$；
点D在原点右侧，对应刻度3，因此表示$3$；
点E在原点右侧，在4和5之间的4.5刻度处，因此表示$4.5$。
【答案】
(1) 按上述步骤画出数轴并标注对应数即可；
(2) 点A表示$\boldsymbol{-4}$，点B表示$\boldsymbol{-2}$，点C表示$\boldsymbol{1}$，点D表示$\boldsymbol{3}$，点E表示$\boldsymbol{4.5}$
【知识点】
数轴的三要素，数轴读数，有理数的数轴表示
【点评】
本题是数轴的基础考查题，核心是掌握数轴的构成规则以及有理数和数轴上点的一一对应关系，解题时要注意负分数的位置判断，避免因刻度定位错误丢分。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先回忆数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，画数轴时三个要素必须齐全。标注有理数时，先根据数的符号确定大致位置：正数在原点右侧，负数在原点左侧，0与原点重合，再结合数的大小，确定其在相邻两个整数刻度之间的具体位置即可。
2. 第(2)问：读取数轴上点对应的数时，先根据点在原点的左侧/右侧确定数的正负（左侧为负，右侧为正，原点对应0），再结合点对应的刻度数值，就能得到该点表示的有理数。
【解析】
(1) 绘制数轴并标注数的步骤：
① 先画一条水平直线，在直线上选一点标记为0作为原点，规定向右为正方向并画出箭头，选取合适的长度作为单位长度，从原点向左右两侧依次标注整数刻度，完成数轴绘制。
② 标注各有理数：
$-4\frac{1}{3}$是负数，在-5和-4之间，距离-4点$\frac{1}{3}$个单位长度处标注；
$-3\frac{1}{2}$是负数，在-4和-3的中点位置标注；
-2与数轴上-2的刻度位置重合，直接标注；
0与原点位置重合，直接标注；
$\frac{1}{2}$是正数，在0和1之间，距离原点$\frac{1}{2}$个单位长度处标注。
(2) 读取各点对应的有理数：
点A在原点左侧，对应刻度-4，因此表示$-4$；
点B在原点左侧，对应刻度-2，因此表示$-2$；
点C在原点右侧，对应刻度1，因此表示$1$；
点D在原点右侧，对应刻度3，因此表示$3$；
点E在原点右侧，在4和5之间的4.5刻度处，因此表示$4.5$。
【答案】
(1) 按上述步骤画出数轴并标注对应数即可；
(2) 点A表示$\boldsymbol{-4}$，点B表示$\boldsymbol{-2}$，点C表示$\boldsymbol{1}$，点D表示$\boldsymbol{3}$，点E表示$\boldsymbol{4.5}$
【知识点】
数轴的三要素，数轴读数，有理数的数轴表示
【点评】
本题是数轴的基础考查题，核心是掌握数轴的构成规则以及有理数和数轴上点的一一对应关系，解题时要注意负分数的位置判断，避免因刻度定位错误丢分。
【难度系数】
0.9
【变式2】已知下列各组有理数：$-\dfrac{3}{2}$和$\dfrac{3}{2}$；$-3$和$3$；$-4$和$4$；$3\dfrac{2}{3}$和$-3\dfrac{2}{3}$。
(1)请用数轴上的点表示各组有理数。
(2)观察数轴上表示各组数的点，它们有什么共同特点？
(1)请用数轴上的点表示各组有理数。
(2)观察数轴上表示各组数的点，它们有什么共同特点？
答案
解：
(1) 画出规定了原点、正方向、单位长度的数轴：
表示$-\dfrac{3}{2}$的点在原点左侧，距离原点$\dfrac{3}{2}$个单位长度处；
表示$\dfrac{3}{2}$的点在原点右侧，距离原点$\dfrac{3}{2}$个单位长度处；
表示$-3$的点在原点左侧，距离原点3个单位长度处；
表示$3$的点在原点右侧，距离原点3个单位长度处；
表示$-4$的点在原点左侧，距离原点4个单位长度处；
表示$4$的点在原点右侧，距离原点4个单位长度处；
表示$3\dfrac{2}{3}$的点在原点右侧，距离原点$3\dfrac{2}{3}$个单位长度处；
表示$-3\dfrac{2}{3}$的点在原点左侧，距离原点$3\dfrac{2}{3}$个单位长度处；
在数轴上述对应位置标注出各数即可。
(2) 共同特点：每组数对应的两个点分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
(1) 画出规定了原点、正方向、单位长度的数轴：
表示$-\dfrac{3}{2}$的点在原点左侧，距离原点$\dfrac{3}{2}$个单位长度处；
表示$\dfrac{3}{2}$的点在原点右侧，距离原点$\dfrac{3}{2}$个单位长度处；
表示$-3$的点在原点左侧，距离原点3个单位长度处；
表示$3$的点在原点右侧，距离原点3个单位长度处；
表示$-4$的点在原点左侧，距离原点4个单位长度处；
表示$4$的点在原点右侧，距离原点4个单位长度处；
表示$3\dfrac{2}{3}$的点在原点右侧，距离原点$3\dfrac{2}{3}$个单位长度处；
表示$-3\dfrac{2}{3}$的点在原点左侧，距离原点$3\dfrac{2}{3}$个单位长度处；
在数轴上述对应位置标注出各数即可。
(2) 共同特点：每组数对应的两个点分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要牢记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，先画出符合要求的数轴；再根据有理数的正负判断对应点在原点的哪一侧：正数对应点在原点右侧，负数对应点在原点左侧，最后根据数的绝对值确定点到原点的距离，即可找到各数的对应位置标注。
(2) 解决第二问可分别观察每组两个点的位置，以及它们到原点的距离，归纳总结出共性即可。
【解析】
(1) 首先画出规定了原点、正方向、单位长度的数轴：
表示$-\dfrac{3}{2}$的点在原点左侧，距离原点$\dfrac{3}{2}$个单位长度处；
表示$\dfrac{3}{2}$的点在原点右侧，距离原点$\dfrac{3}{2}$个单位长度处；
表示$-3$的点在原点左侧，距离原点3个单位长度处；
表示$3$的点在原点右侧，距离原点3个单位长度处；
表示$-4$的点在原点左侧，距离原点4个单位长度处；
表示$4$的点在原点右侧，距离原点4个单位长度处；
表示$3\dfrac{2}{3}$的点在原点右侧，距离原点$3\dfrac{2}{3}$个单位长度处；
表示$-3\dfrac{2}{3}$的点在原点左侧，距离原点$3\dfrac{2}{3}$个单位长度处；
在数轴上述对应位置标注出各数即可。
(2) 观察每组数对应的点可发现共同特点：每组数对应的两个点分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
【答案】
(1) 按要求画出数轴并标注各组数即可，具体标注方法见解析；
(2) 每组数对应的两个点分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
【知识点】
数轴的三要素；有理数的数轴表示；相反数的几何意义
【点评】
本题侧重基础能力考察，通过绘制数轴、标注有理数的操作，加深对数轴对应关系的理解，同时引导学生通过观察归纳出成对正负有理数的位置特征，为后续相反数的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.85
(1) 解决第一问首先要牢记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，先画出符合要求的数轴；再根据有理数的正负判断对应点在原点的哪一侧：正数对应点在原点右侧，负数对应点在原点左侧，最后根据数的绝对值确定点到原点的距离，即可找到各数的对应位置标注。
(2) 解决第二问可分别观察每组两个点的位置，以及它们到原点的距离，归纳总结出共性即可。
【解析】
(1) 首先画出规定了原点、正方向、单位长度的数轴：
表示$-\dfrac{3}{2}$的点在原点左侧，距离原点$\dfrac{3}{2}$个单位长度处；
表示$\dfrac{3}{2}$的点在原点右侧，距离原点$\dfrac{3}{2}$个单位长度处；
表示$-3$的点在原点左侧，距离原点3个单位长度处；
表示$3$的点在原点右侧，距离原点3个单位长度处；
表示$-4$的点在原点左侧，距离原点4个单位长度处；
表示$4$的点在原点右侧，距离原点4个单位长度处；
表示$3\dfrac{2}{3}$的点在原点右侧，距离原点$3\dfrac{2}{3}$个单位长度处；
表示$-3\dfrac{2}{3}$的点在原点左侧，距离原点$3\dfrac{2}{3}$个单位长度处；
在数轴上述对应位置标注出各数即可。
(2) 观察每组数对应的点可发现共同特点：每组数对应的两个点分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
【答案】
(1) 按要求画出数轴并标注各组数即可，具体标注方法见解析；
(2) 每组数对应的两个点分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
【知识点】
数轴的三要素；有理数的数轴表示；相反数的几何意义
【点评】
本题侧重基础能力考察，通过绘制数轴、标注有理数的操作，加深对数轴对应关系的理解，同时引导学生通过观察归纳出成对正负有理数的位置特征，为后续相反数的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.85
