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13. 将数$-\frac{1}{2}, -7, +2.6, -30, -2\frac{3}{4}, 9.2, 0, 8$填入它们属于的集合圈内，则填入两集合圈公共部分区域M和N的数之和为().
A.$-37$
B.$-29$
C.$8$
D.$3$
A.$-37$
B.$-29$
C.$8$
D.$3$
答案
B
解析
【分析】
首先明确公共区域的含义：区域M是负数集合和整数集合的交集，也就是既是负数又是整数的负整数；区域N是整数集合和正数集合的交集，也就是既是正数又是整数的正整数。解题时先从给出的数中筛选出所有负整数和正整数，再将这些数相加，就能得到所求的和。
【解析】
第一步：筛选属于M区域（负整数）的数：
给出的数中，负整数有：-7、-30；
第二步：筛选属于N区域（正整数）的数：
给出的数中，正整数有：8；
第三步：计算M、N区域内所有数的和：
$-7 + (-30) + 8 = -37 + 8 = -29$
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类，有理数的加法
【点评】
本题解题核心是准确理解集合交集的含义，掌握有理数的分类标准，注意0既不属于正数也不属于负数，不要误填入M或N区域，计算时遵循有理数加法的符号规则即可。
【难度系数】
0.7
首先明确公共区域的含义：区域M是负数集合和整数集合的交集，也就是既是负数又是整数的负整数；区域N是整数集合和正数集合的交集，也就是既是正数又是整数的正整数。解题时先从给出的数中筛选出所有负整数和正整数，再将这些数相加，就能得到所求的和。
【解析】
第一步：筛选属于M区域（负整数）的数：
给出的数中，负整数有：-7、-30；
第二步：筛选属于N区域（正整数）的数：
给出的数中，正整数有：8；
第三步：计算M、N区域内所有数的和：
$-7 + (-30) + 8 = -37 + 8 = -29$
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类，有理数的加法
【点评】
本题解题核心是准确理解集合交集的含义，掌握有理数的分类标准，注意0既不属于正数也不属于负数，不要误填入M或N区域，计算时遵循有理数加法的符号规则即可。
【难度系数】
0.7
14.在有理数$5$，$-2$，$-0.3$，$0.57$，$\frac{1}{4}$，$-\frac{1}{5}$，$-1\frac{1}{6}$，$102$，$-17$中，属于非负整数的有个。
答案
2
解析
【分析】
解题首先要明确非负整数的定义，非负整数需要同时满足两个条件：①是整数；②数值大于等于0（即非负）。接下来我们只需逐个判断给出的有理数是否同时满足这两个条件，统计符合条件的数的个数即可。
【解析】
首先明确非负整数的定义：非负整数是指大于或等于0的整数，包含正整数和0。
对题干给出的数逐一判断：
1. 5：是正整数，满足非负整数的条件，符合；
2. -2：是负整数，不满足非负的要求，不符合；
3. -0.3：是负分数，不是整数，不符合；
4. 0.57：是正分数（小数属于分数范畴），不是整数，不符合；
5. $\frac{1}{4}$：是正分数，不是整数，不符合；
6. $-\frac{1}{5}$：是负分数，不符合；
7. $-1\frac{1}{6}$：是负分数，不符合；
8. 102：是正整数，满足非负整数的条件，符合；
9. -17：是负整数，不符合。
综上，符合条件的非负整数是5和102，共2个。
【答案】
2
【知识点】
非负整数的定义；有理数的分类
【点评】
本题是有理数分类的基础题，解题的核心是准确把握非负整数的概念，筛选时要同时满足“非负”和“整数”两个要求，避免因概念理解偏差漏判或多判。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确非负整数的定义，非负整数需要同时满足两个条件：①是整数；②数值大于等于0（即非负）。接下来我们只需逐个判断给出的有理数是否同时满足这两个条件，统计符合条件的数的个数即可。
【解析】
首先明确非负整数的定义：非负整数是指大于或等于0的整数，包含正整数和0。
对题干给出的数逐一判断：
1. 5：是正整数，满足非负整数的条件，符合；
2. -2：是负整数，不满足非负的要求，不符合；
3. -0.3：是负分数，不是整数，不符合；
4. 0.57：是正分数（小数属于分数范畴），不是整数，不符合；
5. $\frac{1}{4}$：是正分数，不是整数，不符合；
6. $-\frac{1}{5}$：是负分数，不符合；
7. $-1\frac{1}{6}$：是负分数，不符合；
8. 102：是正整数，满足非负整数的条件，符合；
9. -17：是负整数，不符合。
综上，符合条件的非负整数是5和102，共2个。
【答案】
2
【知识点】
非负整数的定义；有理数的分类
【点评】
本题是有理数分类的基础题，解题的核心是准确把握非负整数的概念，筛选时要同时满足“非负”和“整数”两个要求，避免因概念理解偏差漏判或多判。
【难度系数】
0.8
15.在有理数中，最大的负整数是，最小的正整数是。
答案
解：
小于0的整数是负整数，所有负整数中最大的是-1；
大于0的整数是正整数，所有正整数中最小的是1。
答案依次为：$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{1}$。
小于0的整数是负整数，所有负整数中最大的是-1；
大于0的整数是正整数，所有正整数中最小的是1。
答案依次为：$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
首先明确负整数和正整数的定义：负整数是小于0的整数，正整数是大于0的整数。再结合整数的大小比较规则思考：负整数的数值越小对应的数越小，因此最靠近0的负整数就是最大的负整数；正整数的数值越大对应的数越大，因此最靠近0的正整数就是最小的正整数。
【解析】
小于0的整数是负整数，所有负整数从大到小排列为-1、-2、-3……，因此最大的负整数是-1；
大于0的整数是正整数，所有正整数从小到大排列为1、2、3……，因此最小的正整数是1。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 有理数的分类
2. 正、负整数的概念
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对有理数中整数分类的掌握情况，熟记相关定义即可快速解答，是有理数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.9
首先明确负整数和正整数的定义：负整数是小于0的整数，正整数是大于0的整数。再结合整数的大小比较规则思考：负整数的数值越小对应的数越小，因此最靠近0的负整数就是最大的负整数；正整数的数值越大对应的数越大，因此最靠近0的正整数就是最小的正整数。
【解析】
小于0的整数是负整数，所有负整数从大到小排列为-1、-2、-3……，因此最大的负整数是-1；
大于0的整数是正整数，所有正整数从小到大排列为1、2、3……，因此最小的正整数是1。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 有理数的分类
2. 正、负整数的概念
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对有理数中整数分类的掌握情况，熟记相关定义即可快速解答，是有理数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.9
16. 把下列各数填在相应的集合内：
$1, -0.1, -789, 25, 0, -20, -3.14, \frac{6}{7}.$
正整数集合: $\{ \dots \};$
负整数集合: $\{ \dots \};$
正有理数集合: $\{ \dots \};$
负有理数集合: $\{ \dots \}.$
$1, -0.1, -789, 25, 0, -20, -3.14, \frac{6}{7}.$
正整数集合: $\{ \dots \};$
负整数集合: $\{ \dots \};$
正有理数集合: $\{ \dots \};$
负有理数集合: $\{ \dots \}.$
答案
解：
正整数集合: $\{ 1,25 \dots \};$
负整数集合: $\{ -789,-20 \dots \};$
正有理数集合: $\{ 1,25,\frac{6}{7} \dots \};$
负有理数集合: $\{ -0.1,-789,-20,-3.14 \dots \}.$
正整数集合: $\{ 1,25 \dots \};$
负整数集合: $\{ -789,-20 \dots \};$
正有理数集合: $\{ 1,25,\frac{6}{7} \dots \};$
负有理数集合: $\{ -0.1,-789,-20,-3.14 \dots \}.$
解析
【分析】
解题时首先要明确各类有理数集合的定义：正整数是大于0的整数，负整数是小于0的整数，正有理数包含所有大于0的整数和分数，负有理数包含所有小于0的整数和分数，特别注意0既不是正数也不是负数，不会归入正负相关的集合。接下来将题干给出的数逐个辨析属性，再对应填入符合要求的集合即可，避免漏填、错填。
【解析】
第一步：明确各集合的判断标准：
① 正整数：大于0的整数；
② 负整数：小于0的整数；
③ 正有理数：大于0的有理数，包含正整数、正分数（含正有限小数、正无限循环小数）；
④ 负有理数：小于0的有理数，包含负整数、负分数（含负有限小数、负无限循环小数）；
0既不属于正数也不属于负数，不纳入上述正负类集合。
第二步：逐个辨析题干给出的数：
1：大于0的整数，属于正整数、正有理数；
-0.1：小于0的有限小数（可化为负分数），属于负有理数；
-789：小于0的整数，属于负整数、负有理数；
25：大于0的整数，属于正整数、正有理数；
0：非正非负，不纳入正负类集合；
-20：小于0的整数，属于负整数、负有理数；
-3.14：小于0的有限小数（可化为负分数），属于负有理数；
$\frac{6}{7}$：大于0的分数，属于正有理数。
第三步：将对应数填入各集合即可。
【答案】
正整数集合: $\{ 1,25 \dots \};$
负整数集合: $\{ -789,-20 \dots \};$
正有理数集合: $\{ 1,25,\frac{6}{7} \dots \};$
负有理数集合: $\{ -0.1,-789,-20,-3.14 \dots \}.$
【知识点】
有理数的分类；正负数的识别；整数与分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，核心考查对有理数相关概念的掌握程度，解题的易错点是忽略0的非正非负属性，或者误将正分数排除在正有理数集合外，熟练掌握各类有理数的定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确各类有理数集合的定义：正整数是大于0的整数，负整数是小于0的整数，正有理数包含所有大于0的整数和分数，负有理数包含所有小于0的整数和分数，特别注意0既不是正数也不是负数，不会归入正负相关的集合。接下来将题干给出的数逐个辨析属性，再对应填入符合要求的集合即可，避免漏填、错填。
【解析】
第一步：明确各集合的判断标准：
① 正整数：大于0的整数；
② 负整数：小于0的整数；
③ 正有理数：大于0的有理数，包含正整数、正分数（含正有限小数、正无限循环小数）；
④ 负有理数：小于0的有理数，包含负整数、负分数（含负有限小数、负无限循环小数）；
0既不属于正数也不属于负数，不纳入上述正负类集合。
第二步：逐个辨析题干给出的数：
1：大于0的整数，属于正整数、正有理数；
-0.1：小于0的有限小数（可化为负分数），属于负有理数；
-789：小于0的整数，属于负整数、负有理数；
25：大于0的整数，属于正整数、正有理数；
0：非正非负，不纳入正负类集合；
-20：小于0的整数，属于负整数、负有理数；
-3.14：小于0的有限小数（可化为负分数），属于负有理数；
$\frac{6}{7}$：大于0的分数，属于正有理数。
第三步：将对应数填入各集合即可。
【答案】
正整数集合: $\{ 1,25 \dots \};$
负整数集合: $\{ -789,-20 \dots \};$
正有理数集合: $\{ 1,25,\frac{6}{7} \dots \};$
负有理数集合: $\{ -0.1,-789,-20,-3.14 \dots \}.$
【知识点】
有理数的分类；正负数的识别；整数与分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，核心考查对有理数相关概念的掌握程度，解题的易错点是忽略0的非正非负属性，或者误将正分数排除在正有理数集合外，熟练掌握各类有理数的定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.85
17.(分类讨论思想)设三个互不相等的有理数,既可分别表示为$1,a+b,a$的形式,又可分别表示为$4,\frac{a}{b},b$的形式,试求$ab$的值.
答案
解：
由题意可知，两组数表示的是同一组互不相等的三个有理数，因此两组元素完全相同。
第一组含元素1，第二组含元素4，且1≠4，因此第一组中a+b和a必有一个等于4；第二组中$\frac{a}{b}$和b必有一个等于1。
1. 若$a=4$：
若$\frac{a}{b}=1$，则$a=b=4$，此时两组数为$\{1,8,4\}$和$\{4,1,4\}$，存在重复元素4，不符合三个数互不相等的条件，舍去；
若$b=1$，此时两组数为$\{1,5,4\}$和$\{4,4,1\}$，存在重复元素4，不符合条件，舍去。
因此$a=4$的情况不成立。
2. 若$a+b=4$：
① 当$b=1$时，代入$a+b=4$得$a=3$，此时两组数为$\{1,4,3\}$和$\{4,3,1\}$，三个数互不相等，符合条件，此时$ab=3×1=3$；
② 当$\frac{a}{b}=1$即$a=b$时，代入$a+b=4$得$a=b=2$，此时两组数为$\{1,4,2\}$和$\{4,1,2\}$，三个数互不相等，符合条件，此时$ab=2×2=4$。
综上，$ab$的值为3或4。
由题意可知，两组数表示的是同一组互不相等的三个有理数，因此两组元素完全相同。
第一组含元素1，第二组含元素4，且1≠4，因此第一组中a+b和a必有一个等于4；第二组中$\frac{a}{b}$和b必有一个等于1。
1. 若$a=4$：
若$\frac{a}{b}=1$，则$a=b=4$，此时两组数为$\{1,8,4\}$和$\{4,1,4\}$，存在重复元素4，不符合三个数互不相等的条件，舍去；
若$b=1$，此时两组数为$\{1,5,4\}$和$\{4,4,1\}$，存在重复元素4，不符合条件，舍去。
因此$a=4$的情况不成立。
2. 若$a+b=4$：
① 当$b=1$时，代入$a+b=4$得$a=3$，此时两组数为$\{1,4,3\}$和$\{4,3,1\}$，三个数互不相等，符合条件，此时$ab=3×1=3$；
② 当$\frac{a}{b}=1$即$a=b$时，代入$a+b=4$得$a=b=2$，此时两组数为$\{1,4,2\}$和$\{4,1,2\}$，三个数互不相等，符合条件，此时$ab=2×2=4$。
综上，$ab$的值为3或4。
解析
【分析】
两组数表示的是同一组互不相等的三个有理数，说明两组的元素完全相同。已知第一组有元素1，第二组有元素4，且1≠4，因此第一组的$a+b$、$a$中必有一个等于4，第二组的$\frac{a}{b}$、$b$中必有一个等于1。接下来分情况讨论所有可能的组合，同时结合“三个有理数互不相等”的条件排除不符合的情况，最终计算$ab$的值即可。
【解析】
由题意可知，两组数表示的是同一组互不相等的三个有理数，因此两组元素完全相同。
已知第一组含元素1，第二组含元素4，且1≠4，因此第一组中$a+b$和$a$必有一个等于4；第二组中$\frac{a}{b}$和$b$必有一个等于1。
1. 若$a=4$：
若$\frac{a}{b}=1$，则$a=b=4$，此时两组数为$\{1,8,4\}$和$\{4,1,4\}$，存在重复元素4，不符合三个数互不相等的条件，舍去；
若$b=1$，此时两组数为$\{1,5,4\}$和$\{4,4,1\}$，存在重复元素4，不符合条件，舍去。
因此$a=4$的情况不成立。
2. 若$a+b=4$：
① 当$b=1$时，代入$a+b=4$得$a=3$，此时两组数为$\{1,4,3\}$和$\{4,3,1\}$，三个数互不相等，符合条件，此时$ab=3×1=3$；
② 当$\frac{a}{b}=1$即$a=b$时，代入$a+b=4$得$a=b=2$，此时两组数为$\{1,4,2\}$和$\{4,1,2\}$，三个数互不相等，符合条件，此时$ab=2×2=4$。
综上，$ab$的值为3或4。
【答案】
3或4
【知识点】
有理数的概念；分类讨论思想；元素互异性
【点评】
本题重点考察逻辑推理能力和对有理数概念的应用能力，解题核心是抓住两组数元素完全相同的条件，有序展开分类讨论，得出结果后注意验证是否满足“互不相等”的限制，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
两组数表示的是同一组互不相等的三个有理数，说明两组的元素完全相同。已知第一组有元素1，第二组有元素4，且1≠4，因此第一组的$a+b$、$a$中必有一个等于4，第二组的$\frac{a}{b}$、$b$中必有一个等于1。接下来分情况讨论所有可能的组合，同时结合“三个有理数互不相等”的条件排除不符合的情况，最终计算$ab$的值即可。
【解析】
由题意可知，两组数表示的是同一组互不相等的三个有理数，因此两组元素完全相同。
已知第一组含元素1，第二组含元素4，且1≠4，因此第一组中$a+b$和$a$必有一个等于4；第二组中$\frac{a}{b}$和$b$必有一个等于1。
1. 若$a=4$：
若$\frac{a}{b}=1$，则$a=b=4$，此时两组数为$\{1,8,4\}$和$\{4,1,4\}$，存在重复元素4，不符合三个数互不相等的条件，舍去；
若$b=1$，此时两组数为$\{1,5,4\}$和$\{4,4,1\}$，存在重复元素4，不符合条件，舍去。
因此$a=4$的情况不成立。
2. 若$a+b=4$：
① 当$b=1$时，代入$a+b=4$得$a=3$，此时两组数为$\{1,4,3\}$和$\{4,3,1\}$，三个数互不相等，符合条件，此时$ab=3×1=3$；
② 当$\frac{a}{b}=1$即$a=b$时，代入$a+b=4$得$a=b=2$，此时两组数为$\{1,4,2\}$和$\{4,1,2\}$，三个数互不相等，符合条件，此时$ab=2×2=4$。
综上，$ab$的值为3或4。
【答案】
3或4
【知识点】
有理数的概念；分类讨论思想；元素互异性
【点评】
本题重点考察逻辑推理能力和对有理数概念的应用能力，解题核心是抓住两组数元素完全相同的条件，有序展开分类讨论，得出结果后注意验证是否满足“互不相等”的限制，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
18.(推理能力)黑板上有10个互不相等的有理数，小明说：“其中有6个整数.”小红说：“其中有6个正数.”小华说：“其中正小数与负小数的个数相等.”小林说：“负数不超过3个.”请你根据四位同学的描述，判断这10个有理数中负整数的个数.
答案
解：
∵10个互不相等的有理数中有6个整数，
∴小数的总个数为$10-6=4$。
∵正小数与负小数的个数相等，
∴正小数的个数为$4÷2=2$，负小数的个数也为2。
∵这10个有理数中有6个正数，正数包含正整数和正小数，
∴正整数的个数为$6-2=4$。
∵负数不超过3个，且负数包含负整数和负小数，已知负小数有2个，
若负数总个数为2，则负整数个数为0，此时非正数总个数为$10-6=4$，除去2个负小数，剩余2个非正数只能是0，与10个有理数互不相等矛盾，因此负数总个数只能为3，
∴负整数的个数为$3-2=1$。
答：这10个有理数中负整数的个数为1。
∵10个互不相等的有理数中有6个整数，
∴小数的总个数为$10-6=4$。
∵正小数与负小数的个数相等，
∴正小数的个数为$4÷2=2$，负小数的个数也为2。
∵这10个有理数中有6个正数，正数包含正整数和正小数，
∴正整数的个数为$6-2=4$。
∵负数不超过3个，且负数包含负整数和负小数，已知负小数有2个，
若负数总个数为2，则负整数个数为0，此时非正数总个数为$10-6=4$，除去2个负小数，剩余2个非正数只能是0，与10个有理数互不相等矛盾，因此负数总个数只能为3，
∴负整数的个数为$3-2=1$。
答：这10个有理数中负整数的个数为1。
解析
【分析】
解题时先梳理有理数的不同分类对应的数量关系：第一步，先根据总个数和整数个数算出小数的总个数；第二步，结合正小数和负小数个数相等的条件，求出正、负小数的具体数量；第三步，根据正数总个数和正小数个数算出正整数的个数；第四步，结合负数不超过3个的限制，以及10个有理数互不相等的前提，排除矛盾的情况，最终推算出负整数的个数。
【解析】
解：
∵10个互不相等的有理数中有6个整数，
∴小数的总个数为$10-6=4$。
∵正小数与负小数的个数相等，
∴正小数的个数为$4÷2=2$，负小数的个数也为2。
∵这10个有理数中有6个正数，正数包含正整数和正小数，
∴正整数的个数为$6-2=4$。
∵负数不超过3个，且负数包含负整数和负小数，已知负小数有2个，
若负数总个数为2，则负整数个数为0，此时非正数总个数为$10-6=4$，除去2个负小数，剩余2个非正数只能是0，与10个有理数互不相等矛盾，因此负数总个数只能为3，
∴负整数的个数为$3-2=1$。
【答案】
1
【知识点】
有理数的分类，正负数的概念，逻辑推理
【点评】
本题需要结合有理数的分类规则梳理不同类别数的数量关系，解题时要注意0是特殊的有理数，不属于正数也不属于负数，避免因遗漏0的存在导致推理错误。
【难度系数】
0.6
解题时先梳理有理数的不同分类对应的数量关系：第一步，先根据总个数和整数个数算出小数的总个数；第二步，结合正小数和负小数个数相等的条件，求出正、负小数的具体数量；第三步，根据正数总个数和正小数个数算出正整数的个数；第四步，结合负数不超过3个的限制，以及10个有理数互不相等的前提，排除矛盾的情况，最终推算出负整数的个数。
【解析】
解：
∵10个互不相等的有理数中有6个整数，
∴小数的总个数为$10-6=4$。
∵正小数与负小数的个数相等，
∴正小数的个数为$4÷2=2$，负小数的个数也为2。
∵这10个有理数中有6个正数，正数包含正整数和正小数，
∴正整数的个数为$6-2=4$。
∵负数不超过3个，且负数包含负整数和负小数，已知负小数有2个，
若负数总个数为2，则负整数个数为0，此时非正数总个数为$10-6=4$，除去2个负小数，剩余2个非正数只能是0，与10个有理数互不相等矛盾，因此负数总个数只能为3，
∴负整数的个数为$3-2=1$。
【答案】
1
【知识点】
有理数的分类，正负数的概念，逻辑推理
【点评】
本题需要结合有理数的分类规则梳理不同类别数的数量关系，解题时要注意0是特殊的有理数，不属于正数也不属于负数，避免因遗漏0的存在导致推理错误。
【难度系数】
0.6
