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$a^2 - b^2 = \_\_\_\_\_\_$，即两个数的平方差，等于________。
答案
$(a+b)(a-b)$
这两个数的和与这两个数的差的积
这两个数的和与这两个数的差的积
解析
【分析】
本题考查平方差公式的因式分解形式，解题时先回忆平方差公式的结构特征：公式左边是两个数的平方作差，右边是这两个数的和与这两个数的差的乘积，直接对应公式的字母表达和文字表述填空即可。
【解析】
根据因式分解的平方差公式定义可知，用字母表示平方差的因式分解形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应的文字表述为：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
【答案】
$(a+b)(a-b)$；这两个数的和与这两个数的差的积
【知识点】
平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对平方差公式内容的识记，熟练掌握公式的字母形式和文字表述是解题的关键，平时要注意区分平方差公式的整式乘法和因式分解两种表达形式，避免混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查平方差公式的因式分解形式，解题时先回忆平方差公式的结构特征：公式左边是两个数的平方作差，右边是这两个数的和与这两个数的差的乘积，直接对应公式的字母表达和文字表述填空即可。
【解析】
根据因式分解的平方差公式定义可知，用字母表示平方差的因式分解形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应的文字表述为：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
【答案】
$(a+b)(a-b)$；这两个数的和与这两个数的差的积
【知识点】
平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对平方差公式内容的识记，熟练掌握公式的字母形式和文字表述是解题的关键，平时要注意区分平方差公式的整式乘法和因式分解两种表达形式，避免混淆。
【难度系数】
0.9
1. 将$4a^2 -16$分解因式的结果是（
A.$(4a+16)(4a-16)$
B.$4(a^2 -4)$
C.$(2a+4)(2a-4)$
D.$4(a+2)(a-2)$
D
）.A.$(4a+16)(4a-16)$
B.$4(a^2 -4)$
C.$(2a+4)(2a-4)$
D.$4(a+2)(a-2)$
答案
D
解析
【分析】
解这道题要遵循因式分解的标准思路：首先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式，之后再判断剩余部分是否可以套用公式继续分解，且因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。本题先找原式$4a^2-16$的公因式，提取后再判断剩余部分能否用平方差公式分解，最后匹配选项即可。
【解析】
对$4a^2-16$分解因式的步骤如下：
1. 提取公因式：观察到两项的系数最大公因数为4，因此提取公因式4，可得$4a^2-16=4(a^2-4)$；
2. 套用平方差公式分解：剩余部分$a^2-4$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$，$n=2$，因此$a^2-4=(a+2)(a-2)$；
3. 整合结果得：$4a^2-16=4(a+2)(a-2)$。
辨析选项：
A选项公因式提取规则错误，排除；B、C选项均未分解到因式不可再分解的程度，排除；D选项符合分解结果。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查因式分解的操作顺序，易错点是分解不彻底误选B、C，或公因式提取错误误选A，牢记“先提公因式、后套公式、分解彻底”的原则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解这道题要遵循因式分解的标准思路：首先观察多项式是否存在公因式，若有先提取公因式，之后再判断剩余部分是否可以套用公式继续分解，且因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。本题先找原式$4a^2-16$的公因式，提取后再判断剩余部分能否用平方差公式分解，最后匹配选项即可。
【解析】
对$4a^2-16$分解因式的步骤如下：
1. 提取公因式：观察到两项的系数最大公因数为4，因此提取公因式4，可得$4a^2-16=4(a^2-4)$；
2. 套用平方差公式分解：剩余部分$a^2-4$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$，$n=2$，因此$a^2-4=(a+2)(a-2)$；
3. 整合结果得：$4a^2-16=4(a+2)(a-2)$。
辨析选项：
A选项公因式提取规则错误，排除；B、C选项均未分解到因式不可再分解的程度，排除；D选项符合分解结果。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查因式分解的操作顺序，易错点是分解不彻底误选B、C，或公因式提取错误误选A，牢记“先提公因式、后套公式、分解彻底”的原则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 小强是一名热衷于密码编译的爱好者，在他的密码手册中记录了一条信息：“$x-y$”“$a-b$”“2”“$x^2+y^2$”“$a$”“$x+y$”分别对应“华”“我”“爱”“美”“游”“中”这六个字，现将$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$因式分解，结果呈现的密码信息可能是（
A.爱我中华
B.我游中华
C.中华美
D.我爱美
A
）。A.爱我中华
B.我游中华
C.中华美
D.我爱美
答案
A
解析
【分析】
解题思路分两步：①先对多项式$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$进行因式分解，按照因式分解的常规步骤，先提取公因式，再观察剩余部分是否可以用公式法继续分解，直到不能分解为止；②将分解得到的每一个因式，对应题干给出的“因式-汉字”匹配关系，组合出汉字信息，和选项比对即可得到答案。
【解析】
对多项式$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$因式分解：
1. 提取公因式$2(x^2-y^2)$，可得：
原式$=2(x^2-y^2)(a-b)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，对$x^2-y^2$继续分解：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，因此原式最终分解为：
$2(a-b)(x+y)(x-y)$
结合题干对应关系：“2”对应“爱”，“$a-b$”对应“我”，“$x+y$”对应“中”，“$x-y$”对应“华”，组合可得密码信息“爱我中华”。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，因式分解的应用
【点评】
本题将因式分解和趣味密码结合，既考查了因式分解“先提公因式、再用公式、分解彻底”的基本要求，又需要结合对应关系匹配结果，出题形式灵活，核心考点基础。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步：①先对多项式$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$进行因式分解，按照因式分解的常规步骤，先提取公因式，再观察剩余部分是否可以用公式法继续分解，直到不能分解为止；②将分解得到的每一个因式，对应题干给出的“因式-汉字”匹配关系，组合出汉字信息，和选项比对即可得到答案。
【解析】
对多项式$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$因式分解：
1. 提取公因式$2(x^2-y^2)$，可得：
原式$=2(x^2-y^2)(a-b)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，对$x^2-y^2$继续分解：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，因此原式最终分解为：
$2(a-b)(x+y)(x-y)$
结合题干对应关系：“2”对应“爱”，“$a-b$”对应“我”，“$x+y$”对应“中”，“$x-y$”对应“华”，组合可得密码信息“爱我中华”。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，因式分解的应用
【点评】
本题将因式分解和趣味密码结合，既考查了因式分解“先提公因式、再用公式、分解彻底”的基本要求，又需要结合对应关系匹配结果，出题形式灵活，核心考点基础。
【难度系数】
0.7
3. 分解因式：$x^4 - 16 =$
$(x^2+4)(x+2)(x-2)$
.答案
$(x^2+4)(x+2)(x-2)$
解析
【分析】
拿到式子首先观察特征：原式是两项，符号相反，且两项都可以写成平方的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构。第一步先将$x^4$转化为$(x^2)^2$、$16$转化为$4^2$，第一次用平方差公式分解；再检查分解后的因式，发现$x^2-4$仍符合平方差公式的结构，需要再次用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：$x^4 - 16$
$=(x^2)^2 - 4^2$
$=(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
$=(x^2 + 4)(x^2 - 2^2)$
$=(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
【答案】
$(x^2+4)(x+2)(x-2)$
【知识点】
平方差公式因式分解，因式分解的彻底性
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础应用，解题关键是准确识别平方差的结构特征，同时要牢记因式分解需分解到每个因式都不能再分解为止，避免遗漏对$x^2-4$的二次分解。
【难度系数】
0.7
拿到式子首先观察特征：原式是两项，符号相反，且两项都可以写成平方的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构。第一步先将$x^4$转化为$(x^2)^2$、$16$转化为$4^2$，第一次用平方差公式分解；再检查分解后的因式，发现$x^2-4$仍符合平方差公式的结构，需要再次用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：$x^4 - 16$
$=(x^2)^2 - 4^2$
$=(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
$=(x^2 + 4)(x^2 - 2^2)$
$=(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
【答案】
$(x^2+4)(x+2)(x-2)$
【知识点】
平方差公式因式分解，因式分解的彻底性
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础应用，解题关键是准确识别平方差的结构特征，同时要牢记因式分解需分解到每个因式都不能再分解为止，避免遗漏对$x^2-4$的二次分解。
【难度系数】
0.7
4. 分解因式：$2xy^2 - 8x =$
$2x(y+2)(y-2)$
.答案
$2x(y+2)(y-2)$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路，首先观察多项式的两项，发现均含有公因式2x，先提取公因式；提取后剩下的因式为$y^2-4$，是平方差的形式，可套用平方差公式继续分解，最后确认所有因式不能再分解即可。
【解析】
解：
1. 提取公因式$2x$：
$2xy^2 - 8x = 2x(y^2 - 4)$
2. 对括号内的多项式套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a=y$，$b=2$：
$y^2 - 4 = y^2 - 2^2 = (y+2)(y-2)$
3. 整理得到最终分解结果：$2x(y+2)(y-2)$
【答案】
$2x(y+2)(y-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，需掌握因式分解的基本步骤，先提取公因式再结合对应公式分解，注意分解要彻底，直到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的思路，首先观察多项式的两项，发现均含有公因式2x，先提取公因式；提取后剩下的因式为$y^2-4$，是平方差的形式，可套用平方差公式继续分解，最后确认所有因式不能再分解即可。
【解析】
解：
1. 提取公因式$2x$：
$2xy^2 - 8x = 2x(y^2 - 4)$
2. 对括号内的多项式套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a=y$，$b=2$：
$y^2 - 4 = y^2 - 2^2 = (y+2)(y-2)$
3. 整理得到最终分解结果：$2x(y+2)(y-2)$
【答案】
$2x(y+2)(y-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，需掌握因式分解的基本步骤，先提取公因式再结合对应公式分解，注意分解要彻底，直到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
5. 定义一种运算：$a * b = a^2 + 2b$，则$(x - 1) * (x - 5)$因式分解的结果是
$(x+3)(x-3)$
。答案
$(x+3)(x-3)$
解析
【分析】
解题需分三步思考：第一步先明确新定义运算规则，$a*b=a^2+2b$，先确定待求式中对应$a=x-1$，$b=x-5$；第二步将$a$、$b$代入新运算公式，展开后合并同类项得到最简整式；第三步观察最简整式的结构，发现其符合平方差公式的特征，用平方差公式完成因式分解，注意检查结果是否分解彻底。
【解析】
根据新定义运算$a*b=a^2+2b$，代入$a=x-1$，$b=x-5$得：
$\begin{aligned}(x-1)*(x-5)&=(x-1)^2+2(x-5)\\&=x^2-2x+1+2x-10\\&=x^2-9\end{aligned}$
再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解：
$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$
【答案】
$(x+3)(x-3)$
【知识点】
新定义运算、整式化简、平方差公式因式分解
【点评】
本题结合新定义运算考查因式分解的应用，解题关键是正确理解新运算规则，将原式转化为普通整式后再选择合适的方法分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
解题需分三步思考：第一步先明确新定义运算规则，$a*b=a^2+2b$，先确定待求式中对应$a=x-1$，$b=x-5$；第二步将$a$、$b$代入新运算公式，展开后合并同类项得到最简整式；第三步观察最简整式的结构，发现其符合平方差公式的特征，用平方差公式完成因式分解，注意检查结果是否分解彻底。
【解析】
根据新定义运算$a*b=a^2+2b$，代入$a=x-1$，$b=x-5$得：
$\begin{aligned}(x-1)*(x-5)&=(x-1)^2+2(x-5)\\&=x^2-2x+1+2x-10\\&=x^2-9\end{aligned}$
再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解：
$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$
【答案】
$(x+3)(x-3)$
【知识点】
新定义运算、整式化简、平方差公式因式分解
【点评】
本题结合新定义运算考查因式分解的应用，解题关键是正确理解新运算规则，将原式转化为普通整式后再选择合适的方法分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
6. 利用因式分解计算：
(1) $2024 + 2024^2 - 2025^2$；
(2) $3.14×51^2 - 3.14×49^2$。
(1) $2024 + 2024^2 - 2025^2$；
(2) $3.14×51^2 - 3.14×49^2$。
答案
解：(1) $2\ 024+2\ 024^2-2\ 025^2$
$=2\ 024+(2\ 024+2\ 025)×(2\ 024-2\ 025)$
$=2\ 024-(2\ 024+2\ 025)$
$=-2\ 025.$
(2) $3.14×51^2-3.14×49^2$
$=3.14×(51^2-49^2)$
$=3.14×(51+49)×(51-49)$
$=3.14×100×2$
$=628.$
$=2\ 024+(2\ 024+2\ 025)×(2\ 024-2\ 025)$
$=2\ 024-(2\ 024+2\ 025)$
$=-2\ 025.$
(2) $3.14×51^2-3.14×49^2$
$=3.14×(51^2-49^2)$
$=3.14×(51+49)×(51-49)$
$=3.14×100×2$
$=628.$
解析
【分析】
(1) 观察式子发现后两项$2024^2 - 2025^2$符合平方差公式的形式，先利用平方差公式对这部分因式分解，再进行加减运算，可避免计算大数的平方，简化计算过程。
(2) 观察式子发现两项都含有公因式3.14，先提取公因式，剩余部分$51^2 - 49^2$再利用平方差公式因式分解，进而简化乘法运算。
【解析】
(1) $2024 + 2024^2 - 2025^2$
$=2024 + (2024 + 2025)×(2024 - 2025)$
$=2024 - (2024 + 2025)$
$=2024 - 2024 - 2025$
$=-2025$
(2) $3.14×51^2 - 3.14×49^2$
$=3.14×(51^2 - 49^2)$
$=3.14×(51 + 49)×(51 - 49)$
$=3.14×100×2$
$=628$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2025}$；(2) $\boldsymbol{628}$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解简化数值运算，解题核心是先观察式子的结构特征，优先提取公因式，再结合平方差公式分解，可大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 观察式子发现后两项$2024^2 - 2025^2$符合平方差公式的形式，先利用平方差公式对这部分因式分解，再进行加减运算，可避免计算大数的平方，简化计算过程。
(2) 观察式子发现两项都含有公因式3.14，先提取公因式，剩余部分$51^2 - 49^2$再利用平方差公式因式分解，进而简化乘法运算。
【解析】
(1) $2024 + 2024^2 - 2025^2$
$=2024 + (2024 + 2025)×(2024 - 2025)$
$=2024 - (2024 + 2025)$
$=2024 - 2024 - 2025$
$=-2025$
(2) $3.14×51^2 - 3.14×49^2$
$=3.14×(51^2 - 49^2)$
$=3.14×(51 + 49)×(51 - 49)$
$=3.14×100×2$
$=628$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2025}$；(2) $\boldsymbol{628}$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解简化数值运算，解题核心是先观察式子的结构特征，优先提取公因式，再结合平方差公式分解，可大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
