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10.【阅读材料】把多项式$am+an+bm+bn$分解因式.
解：原式$=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)$.
【解答问题】
（1）分解因式：$mb-3mc+b^2-3bc=$
（2）已知$△ ABC$三边的长分别为$a$，$b$，$c$，且$a^2-5bc+5ac-ab=0$，判断$△ ABC$的形状.
解：原式$=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)$.
【解答问题】
（1）分解因式：$mb-3mc+b^2-3bc=$
$(b-3c)(m+b)$
；（2）已知$△ ABC$三边的长分别为$a$，$b$，$c$，且$a^2-5bc+5ac-ab=0$，判断$△ ABC$的形状.
答案
（1）$(b-3c)(m+b)$
（2）$\because a^2-5bc+5ac-ab=0$，
$\therefore a^2-ab+5ac-5bc=0$，
$\therefore a(a-b)+5c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(a+5c)=0$，
$\because a,b,c$为$△ ABC$三边的长，
$\therefore a＞0,b＞0,c＞0$，
$\therefore a+5c＞0$，$a-b=0$，$\therefore a=b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
（2）$\because a^2-5bc+5ac-ab=0$，
$\therefore a^2-ab+5ac-5bc=0$，
$\therefore a(a-b)+5c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(a+5c)=0$，
$\because a,b,c$为$△ ABC$三边的长，
$\therefore a＞0,b＞0,c＞0$，
$\therefore a+5c＞0$，$a-b=0$，$\therefore a=b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
解析
【分析】
（1）分解因式时先观察多项式的项的特征，可采用两两分组的方法：把含m的项mb、-3mc分为一组，剩余的b²、-3bc分为一组，先对每组分别提取公因式，两组提取公因式后会出现公共的因式$(b-3c)$，再提取这个整体公因式即可完成分解。
（2）要判断三角形的形状，需先推导三边a、b、c的数量关系，先对等式左边的多项式合理分组，用提公因式法因式分解，再结合三角形边长均为正数的性质，得到边的相等关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}mb-3mc+b^2-3bc&=(mb-3mc)+(b^2-3bc)\\&=m(b-3c)+b(b-3c)\\&=(b-3c)(m+b)\end{aligned}$
（2）
$\because a^2-5bc+5ac-ab=0$，
$\therefore a^2-ab+5ac-5bc=0$，
$\therefore a(a-b)+5c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(a+5c)=0$，
$\because a,b,c$为$△ ABC$三边的长，
$\therefore a＞0,b＞0,c＞0$，
$\therefore a+5c＞0$，则$a-b=0$，即$a=b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(b-3c)(m+b)}$
（2）$\boldsymbol{△ABC是等腰三角形}$
【知识点】
提公因式法分解因式，分组分解法，等腰三角形的判定
【点评】
本题主要考查分组分解因式的技巧及因式分解的应用，解题关键是根据多项式项的特点合理分组，逐步提取公因式完成变形，再结合三角形边长为正的隐含条件推导边的关系，属于基础应用类题目，熟练掌握提公因式法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）分解因式时先观察多项式的项的特征，可采用两两分组的方法：把含m的项mb、-3mc分为一组，剩余的b²、-3bc分为一组，先对每组分别提取公因式，两组提取公因式后会出现公共的因式$(b-3c)$，再提取这个整体公因式即可完成分解。
（2）要判断三角形的形状，需先推导三边a、b、c的数量关系，先对等式左边的多项式合理分组，用提公因式法因式分解，再结合三角形边长均为正数的性质，得到边的相等关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}mb-3mc+b^2-3bc&=(mb-3mc)+(b^2-3bc)\\&=m(b-3c)+b(b-3c)\\&=(b-3c)(m+b)\end{aligned}$
（2）
$\because a^2-5bc+5ac-ab=0$，
$\therefore a^2-ab+5ac-5bc=0$，
$\therefore a(a-b)+5c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(a+5c)=0$，
$\because a,b,c$为$△ ABC$三边的长，
$\therefore a＞0,b＞0,c＞0$，
$\therefore a+5c＞0$，则$a-b=0$，即$a=b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(b-3c)(m+b)}$
（2）$\boldsymbol{△ABC是等腰三角形}$
【知识点】
提公因式法分解因式，分组分解法，等腰三角形的判定
【点评】
本题主要考查分组分解因式的技巧及因式分解的应用，解题关键是根据多项式项的特点合理分组，逐步提取公因式完成变形，再结合三角形边长为正的隐含条件推导边的关系，属于基础应用类题目，熟练掌握提公因式法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11. 计算：$a+1+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{99}.$
答案
解：原式$=(a+1)[1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{98}]$
$=(a+1)^2 [1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{97}]$
$=(a+1)^3 [1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{96}]$
$\dots\dots$
$=(a+1)^{100}$
$=(a+1)^2 [1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{97}]$
$=(a+1)^3 [1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{96}]$
$\dots\dots$
$=(a+1)^{100}$
解析
【分析】观察原式的结构特征，可发现每一项都含有公因式$(a+1)$，解题时可先提取公因式$(a+1)$，提取后得到的多项式与原式结构相似，仅最高次项的次数降低1，再次提取公因式$(a+1)$，重复该操作，直到无公因式可提，即可得到化简结果，无需展开各项计算。
【解析】
解：原式提取公因式$(a+1)$，得：
$=(a+1)[1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{98}]$
观察所得括号内的式子，仍含有公因式$(a+1)$，再次提取，得：
$=(a+1)^2 [1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{97}]$
继续提取公因式$(a+1)$：
$=(a+1)^3 [1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{96}]$
……
按照该规律反复提取公因式，最终可得：
$=(a+1)^{100}$
【答案】
$(a+1)^{100}$
【知识点】
提公因式法分解因式、整式化简
【点评】
本题考查提公因式法的灵活运用，解题核心是发现式子每一步都存在公因式$(a+1)$的结构特点，通过反复提取公因式逐步降次化简，既避免了直接展开计算的繁琐，也能快速得到结果。
【难度系数】
0.6
【解析】
解：原式提取公因式$(a+1)$，得：
$=(a+1)[1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{98}]$
观察所得括号内的式子，仍含有公因式$(a+1)$，再次提取，得：
$=(a+1)^2 [1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{97}]$
继续提取公因式$(a+1)$：
$=(a+1)^3 [1+a+a(a+1)+a(a+1)^2+\dots+a(a+1)^{96}]$
……
按照该规律反复提取公因式，最终可得：
$=(a+1)^{100}$
【答案】
$(a+1)^{100}$
【知识点】
提公因式法分解因式、整式化简
【点评】
本题考查提公因式法的灵活运用，解题核心是发现式子每一步都存在公因式$(a+1)$的结构特点，通过反复提取公因式逐步降次化简，既避免了直接展开计算的繁琐，也能快速得到结果。
【难度系数】
0.6
12. 已知$x^2 + 3x - 1 = 0$，求$x^3 + 5x^2 + 5x + 2023$的值.
答案
解：$\because x^2+3x-1=0$，
$\therefore x^3+5x^2+5x+2023$
$=x(x^2+3x-1)+2(x^2+3x-1)+2025$
$=0+0+2025$
$=2025$
$\therefore x^3+5x^2+5x+2023$
$=x(x^2+3x-1)+2(x^2+3x-1)+2025$
$=0+0+2025$
$=2025$
解析
【分析】
已知条件是二次等式$x^2+3x-1=0$，所求代数式为三次多项式，若直接解方程求出$x$的值再代入计算，过程繁琐易出错，因此采用整体代入降次的思路：将所求多项式拆分变形，凑出含有已知式$x^2+3x-1$的项，利用已知式的值为0，消去含$x$的项，剩余常数即为结果。凑项时先处理最高次项$x^3$，将其写成$x· x^2$，结合已知式先凑出$x(x^2+3x-1)$，再整理剩余部分继续凑已知式即可。
【解析】
$\because x^2+3x-1=0$，
$\therefore x^3 + 5x^2 + 5x + 2023$
$=x(x^2+3x-1)+2x^2+6x+2023$
$=x(x^2+3x-1)+2(x^2+3x-1)+2+2023$
$=x×0 + 2×0 + 2025$
$=2025$
【答案】
$2025$
【知识点】
整体代入求值，提公因式法，代数式化简求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体思想的应用，无需计算未知数的具体取值，通过拆分变形所求代数式，凑出已知值的整式代入即可简化运算，能有效检验学生的式子变形能力。
【难度系数】
0.7
已知条件是二次等式$x^2+3x-1=0$，所求代数式为三次多项式，若直接解方程求出$x$的值再代入计算，过程繁琐易出错，因此采用整体代入降次的思路：将所求多项式拆分变形，凑出含有已知式$x^2+3x-1$的项，利用已知式的值为0，消去含$x$的项，剩余常数即为结果。凑项时先处理最高次项$x^3$，将其写成$x· x^2$，结合已知式先凑出$x(x^2+3x-1)$，再整理剩余部分继续凑已知式即可。
【解析】
$\because x^2+3x-1=0$，
$\therefore x^3 + 5x^2 + 5x + 2023$
$=x(x^2+3x-1)+2x^2+6x+2023$
$=x(x^2+3x-1)+2(x^2+3x-1)+2+2023$
$=x×0 + 2×0 + 2025$
$=2025$
【答案】
$2025$
【知识点】
整体代入求值，提公因式法，代数式化简求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体思想的应用，无需计算未知数的具体取值，通过拆分变形所求代数式，凑出已知值的整式代入即可简化运算，能有效检验学生的式子变形能力。
【难度系数】
0.7
